ทฤษฎีบทไซน์เท่ากับสองรัศมี การพิสูจน์ทฤษฎีบทไซน์

เราสร้างรูปสามเหลี่ยมโดยพลการที่จารึกไว้ในวงกลม ลองแสดงว่าเป็น ABC
เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบททั้งหมด เนื่องจากขนาดของสามเหลี่ยมถูกเลือกโดยพลการ มันก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์ว่าอัตราส่วนของด้านใดส่วนหนึ่งต่อมุมตรงข้ามกับมันเท่ากับ 2R ปล่อยให้มันเป็น 2R = a / sin α นั่นคือถ้าเราเอา 2R = BC / sin A ตามรูปวาด

วาดเส้นผ่านศูนย์กลาง BD สำหรับวงกลมที่ล้อมรอบ BCD สามเหลี่ยมที่ได้จะเป็นมุมฉากเนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากอยู่บนเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ (คุณสมบัติของมุมที่จารึกไว้ในวงกลม)

เนื่องจากมุมที่จารึกไว้ในวงกลมโดยอิงจากส่วนโค้งเดียวกันนั้นเท่ากัน ดังนั้นมุม CDB จึงเท่ากับมุม CAB (หากจุด A และ D อยู่บนด้านเดียวกันของเส้น BC) หรือเท่ากับ π - CAB (มิฉะนั้น) .

มาดูคุณสมบัติกัน ฟังก์ชันตรีโกณมิติ. เนื่องจาก sin(π − α) = sin α ดังนั้นตัวเลือกที่ระบุสำหรับการสร้างสามเหลี่ยมจะยังคงนำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกัน

คำนวณค่า 2R = a / sin α ตามรูปวาด 2R = BC / sin A ในการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ sin A ด้วยอัตราส่วนของด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

2R=BC/sinA
2R=BC/(BC/DB)
2R=DB

และเนื่องจาก DB ถูกสร้างขึ้นเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ความเท่าเทียมกันจึงเป็นจริง
ทำซ้ำเหตุผลเดียวกันสำหรับอีกสองด้านที่เหลือของรูปสามเหลี่ยม เราจะได้:

ทฤษฎีบทไซน์ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทไซน์

บันทึก. นี่เป็นส่วนหนึ่งของบทเรียนที่มีปัญหาในเรขาคณิต (ส่วนของทฤษฎีบทไซน์) หากคุณต้องการแก้ปัญหาในเรขาคณิตซึ่งไม่ได้อยู่ที่นี่ - เขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในฟอรัม ในงานแทนที่จะใช้สัญลักษณ์ "รากที่สอง" จะใช้ฟังก์ชัน sqrt () ซึ่ง sqrt เป็นสัญลักษณ์ รากที่สองและในวงเล็บคือนิพจน์ราก.

ทฤษฎีบทไซน์:
ด้านของสามเหลี่ยมเป็นสัดส่วนกับไซน์ของมุมตรงข้าม หรือในสูตรขยาย:
a / บาป α = b / บาป β = c / บาป γ = 2R
โดยที่ R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

ทฤษฎี - สำหรับการกำหนดและการพิสูจน์ทฤษฎีบท ดูบท "ทฤษฎีบทของไซน์" โดยละเอียด .

งาน

ในรูปสามเหลี่ยม XYZ มุม X=30 มุม Z=15 YQ ตั้งฉากกับ ZY แบ่งด้าน XZ ออกเป็นส่วน ๆ XQ และ QZ ค้นหา XY ถ้า QZ=1.5m

วิธีการแก้.
ความสูงสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป XYQ และ ZYQ
ในการแก้ปัญหา เราใช้ทฤษฎีบทไซน์
QZ / บาป (QYZ) = QY / บาป (QZY)

QZY = 15 องศา ดังนั้น QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

เนื่องจากตอนนี้ทราบความยาวของความสูงของสามเหลี่ยมแล้ว เราจึงพบ XY โดยใช้ทฤษฎีบทไซน์เดียวกัน

QY / บาป (30) = XY / บาป (90)

พิจารณาค่าตารางของฟังก์ชันตรีโกณมิติบางอย่าง:

• ไซน์ของ 30 องศาคือบาป (30) = 1 / 2
• ไซน์ของ 90 องศาคือบาป (90) = 1

QY = XY บาป(30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0.8 m

ตอบ: 0.8 ม. หรือ 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)

ทฤษฎีบทไซน์ (ตอนที่ 2)

บันทึก. นี่เป็นส่วนหนึ่งของบทเรียนที่มีปัญหาในเรขาคณิต (ส่วนของทฤษฎีบทไซน์) หากคุณต้องการแก้ปัญหาในเรขาคณิตซึ่งไม่ได้อยู่ที่นี่ - เขียนเกี่ยวกับมันในฟอรัม .

ดูทฤษฎีโดยละเอียดในบท "ทฤษฎีบทของไซน์" .

งาน

ด้าน AB ของสามเหลี่ยม ABC คือ 16 ซม. มุม A คือ 30 องศา มุม B คือ 105 องศา คำนวณความยาวของด้าน BC

วิธีการแก้.
ตามทฤษฎีบทไซน์ ด้านของสามเหลี่ยมเป็นสัดส่วนกับไซน์ของมุมตรงข้าม:
a / บาป α = b / บาป β = c / บาป γ

ทางนี้
BC / บาป α = AB / บาป γ

เราหาค่าของมุม C จากข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180 องศา
C \u003d 180 - 30 -105 \u003d 45 องศา

ที่ไหน:
BC / บาป 30° = 16 / บาป 45°

BC = 16 บาป 30° / บาป 45°

จากตารางฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราพบว่า:

BC = (16 * 1 / 2) / √2/2 = 16 / √2 ≈ 11.3 cm

ตอบ: 16 / √2

งาน.
ในรูปสามเหลี่ยม ABC, มุม A \u003d α, มุม C \u003d β, BC \u003d 7cm, BH คือความสูงของสามเหลี่ยม
ค้นหา AN

ส่วนแรกของทฤษฎีบท: ด้านของสามเหลี่ยมตามสัดส่วนกับไซน์ มุมตรงข้าม, นั่นคือ:

ส่วนที่สองของทฤษฎีบท: เศษส่วนแต่ละส่วนเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมที่กำหนด นั่นคือ: .

ความคิดเห็นของครูสอนคณิตศาสตร์: การใช้ส่วนที่สองของทฤษฎีบทไซน์นั้นวางอยู่ในปัญหาการแข่งขันเกือบทุกวินาทีสำหรับวงกลม ทำไม ความจริงก็คือความเท่าเทียมกันช่วยให้คุณหารัศมีของวงกลมที่มีองค์ประกอบของรูปสามเหลี่ยมเพียงสองอย่าง มักใช้โดยคอมไพเลอร์ของปัญหาที่รุนแรงซึ่งเลือกเงื่อนไขโดยเฉพาะในลักษณะที่องค์ประกอบอื่น ๆ ของรูปสามเหลี่ยม (และภาพทั้งหมด) จะไม่พบเลย! "ภาพ" จะลอย สถานการณ์นี้ทำให้งานในการสอบซับซ้อนขึ้นอย่างมาก เนื่องจากไม่สามารถเลี่ยงผ่านคุณสมบัติโดยธรรมชาติได้

หลักฐานของทฤษฎีบทไซน์:

ตามตำราของ Atanasyan
ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับสามเหลี่ยมใดๆ ที่มีด้าน a, b, c และด้านตรงข้ามมุม A, B และ C ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือ: .
วาดความสูง BH จากจุดยอด B เป็นไปได้สองกรณี:
1) จุด H อยู่ที่ด้าน AC (เป็นไปได้เมื่อเกิดเฉียบพลัน)
โดยนิยามของไซน์ของมุมแหลมใน สามเหลี่ยมมุมฉาก ABH เราเขียน

ในทำนองเดียวกัน ในรูปสามเหลี่ยม CBH เรามี . การเทียบนิพจน์สำหรับ BH ให้เท่ากัน เราได้รับ:
2)ให้ H นอนบนส่วนขยายของด้าน AC (เช่น ทางด้านซ้ายของ A) สิ่งนี้จะเกิดขึ้นหาก - โง่ ในทำนองเดียวกัน ตามคำจำกัดความของไซน์ของมุมแหลม A ในรูปสามเหลี่ยม ABH เราเขียนความเท่าเทียมกัน แต่เนื่องจากไซน์ของมุมที่อยู่ติดกันมีค่าเท่ากัน การแทนที่ความเท่าเทียมกันนี้ด้วย เราจึงได้ในกรณีแรก ดังนั้น ไม่ว่ามุม A และ C จะเท่ากันก็ตาม
หลังจากหารทั้งสองส่วนแล้วเราจะได้ . ความเท่าเทียมกันของเศษส่วนคู่ที่สองได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน

พิสูจน์ทฤษฎีบทไซน์ตามตำราของ Pogorelov:

ใช้สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมสำหรับสองมุม A และ C:


หลังจากที่ได้สัดส่วนที่ถูกต้องและลดลง เราก็ได้ค่าความเท่าเทียมกันเช่นเดียวกับการพิสูจน์ด้วยวิธีแรก จากนั้นในทำนองเดียวกันเราได้ความเท่าเทียมกันของเศษส่วน

พิสูจน์ส่วนที่สองของทฤษฎีบทไซน์:

ให้เราอธิบายวงกลมรอบสามเหลี่ยมที่กำหนดและวาดเส้นผ่านศูนย์กลาง BD ถึง B เนื่องจากมุม D และ C อยู่บนส่วนโค้งเดียวกัน พวกมันจึงเท่ากัน (ผลสืบเนื่องจากทฤษฎีบทมุมที่จารึกไว้) แล้ว . ให้เราใช้นิยามไซน์ของมุม D ในรูปสามเหลี่ยม ABD: นี่คือสิ่งที่ต้องพิสูจน์

งานสำหรับส่วนที่สองของทฤษฎีบทไซน์:
1) สี่เหลี่ยมคางหมูถูกจารึกไว้ในวงกลมรัศมี 15 ความยาวของเส้นทแยงมุมและความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 20 และ 6 ตามลำดับ จงหาด้าน
2) รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 25 และโคไซน์ของมุมป้านคือ -0.28 (ลบ!!!) เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูสร้างมุมกับฐาน หาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู.
3) สี่เหลี่ยมคางหมูถูกจารึกไว้ในวงกลมรัศมี 10 ความยาวของเส้นทแยงมุมและเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 15 และ 12 ตามลำดับ จงหาความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู
4) การแข่งขันกีฬาโอลิมปิกใน สถาบันทางการเงินปี 2009 คอร์ดของวงกลมตัดกันที่จุด Q เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่ารัศมีของวงกลมคือ 4 ซม. หาความยาวของคอร์ด PN การแข่งขันกีฬาโอลิมปิกที่สถาบันการเงิน 2009
5) ในรูปสามเหลี่ยม PST วงกลมที่มีรัศมี 8 ซม. ล้อมรอบจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งและจุดยอด P และ T หารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยม PST (ปัญหาของผู้เขียน)

ติวเตอร์คณิตศาสตร์จะช่วยคุณวิเคราะห์ทฤษฎีบทไซน์ในรายละเอียดและฝึกฝนการใช้งานที่จำเป็นในงานต่างๆ เสมอ การศึกษาในโรงเรียนที่วางแผนไว้ของเธอเกิดขึ้นในหลักสูตรเรขาคณิตเกรด 9 ในหัวข้อการแก้สามเหลี่ยม (สำหรับทุกโปรแกรม) หากคุณต้องการเตรียมตัวสอบวิชาคณิตศาสตร์เพื่อสอบผ่านให้ได้อย่างน้อย 70 คะแนน คุณจะต้องฝึกแก้ปัญหาเชิงแพลนเมตริกหนักๆ จากตัวเลข C4 ในนั้น ทฤษฎีบทไซน์มักใช้กับสามเหลี่ยมที่จารึกไว้ตามความสัมพันธ์ จำสิ่งนี้ไว้!

ขอแสดงความนับถือ Kolpakov Alexander Nikolaevich
ติวเตอร์คณิต

ผู้สำเร็จการศึกษาที่กำลังเตรียมสอบวิชาคณิตศาสตร์และต้องการได้คะแนนสูงพอสมควรจะต้องเชี่ยวชาญหลักการแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทของไซน์และโคไซน์อย่างแน่นอน การปฏิบัติระยะยาวแสดงให้เห็นว่างานดังกล่าวจากส่วน "เรขาคณิตบนเครื่องบิน" เป็นส่วนบังคับของโปรแกรมทดสอบการรับรอง ดังนั้นหากหนึ่งใน .ของคุณ จุดอ่อนเป็นงานในทฤษฎีบทของโคไซน์และไซน์ เราขอแนะนำให้คุณทำซ้ำทฤษฎีพื้นฐานในหัวข้อนี้อย่างแน่นอน

เตรียมตัวสอบกับพอร์ทัลการศึกษา "Shkolkovo"

ลุ้นกันก่อน สอบผ่านผู้สำเร็จการศึกษาจำนวนมากต้องเผชิญกับปัญหาในการหาทฤษฎีพื้นฐานที่จำเป็นในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของไซน์และโคไซน์

หนังสือเรียนไม่ได้อยู่ใกล้แค่เอื้อมเสมอไป และการค้นหาสูตรที่จำเป็นในบางครั้งก็ค่อนข้างมีปัญหาแม้กระทั่งบนอินเทอร์เน็ต

การเตรียมตัวสอบใบรับรองกับ พอร์ทัลการศึกษา Shkolkovo จะมีคุณภาพและประสิทธิภาพสูงสุด เพื่อให้งานเกี่ยวกับทฤษฎีบทของไซน์และโคไซน์ง่ายขึ้น เราขอแนะนำให้รีเฟรชหน่วยความจำของทฤษฎีทั้งหมดในหัวข้อนี้ ผู้เชี่ยวชาญของเราเตรียมเนื้อหานี้จากประสบการณ์อันยาวนานและนำเสนอในรูปแบบที่เข้าใจได้ คุณสามารถค้นหาได้ในส่วน "การอ้างอิงทางทฤษฎี"

การรู้ทฤษฎีบทพื้นฐานและคำจำกัดความเป็นความสำเร็จเพียงครึ่งเดียวเมื่อผ่านการทดสอบการรับรอง แบบฝึกหัดที่เหมาะสมช่วยให้คุณฝึกฝนทักษะการแก้ตัวอย่างได้ หากต้องการค้นหาเพียงไปที่ส่วน "แคตตาล็อก" บนเว็บไซต์การศึกษา Shkolkovo มีรายการงานมากมาย ระดับต่างๆความซับซ้อนซึ่งเสริมและปรับปรุงอย่างต่อเนื่อง

งานเกี่ยวกับทฤษฎีบทของไซน์และโคไซน์ คล้ายกับที่พบใน Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์ นักเรียนสามารถดำเนินการออนไลน์ได้ ขณะอยู่ในมอสโกหรือเมืองอื่นๆ ของรัสเซีย

ตัวอย่างเช่น หากจำเป็น คุณสามารถบันทึกการออกกำลังกายใด ๆ ได้ในส่วน "รายการโปรด" ซึ่งจะทำให้คุณสามารถกลับไปใช้ใหม่ได้ในอนาคตเพื่อวิเคราะห์อัลกอริทึมอีกครั้งเพื่อค้นหาคำตอบที่ถูกต้องและพูดคุยกับครูที่โรงเรียนหรือติวเตอร์

ตรีโกณมิติใช้กันอย่างแพร่หลายไม่เพียง แต่ในส่วนของพีชคณิต - จุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ แต่ยังรวมถึงในเรขาคณิตด้วย ในเรื่องนี้ มีเหตุผลที่จะสมมติถึงการมีอยู่ของทฤษฎีบทและการพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ อันที่จริง ทฤษฎีบทโคไซน์และไซน์ได้รับความสัมพันธ์ที่น่าสนใจมาก และที่สำคัญที่สุดคือความสัมพันธ์ที่มีประโยชน์ระหว่างด้านและมุมของสามเหลี่ยม

เมื่อใช้สูตรนี้ คุณจะได้ผลลัพธ์ด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม:

หลักฐานของข้อความนี้มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส: กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC ตามอำเภอใจ จากจุดยอด C เราลดความสูง h ลงที่ฐานของรูป ในกรณีนี้ ความยาวไม่สำคัญอย่างแน่นอน ทีนี้ ถ้าเราพิจารณาสามเหลี่ยม ACB ตามอำเภอใจ เราก็สามารถแสดงพิกัดของจุด C ผ่านตรีโกณมิติได้ ฟังก์ชัน cosและบาป

จำนิยามของโคไซน์และเขียนอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยม ACD: cos α = AD/AC | คูณความเสมอภาคทั้งสองข้างด้วย AC AD = AC * cos α

ลองใช้ความยาว AC เป็น b และรับนิพจน์สำหรับพิกัดแรกของจุด C:
x = b * cos⁡α. ในทำนองเดียวกัน เราพบค่าของพิกัด C: y = b * sin α ต่อไป เราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและแสดง h สลับกันสำหรับสามเหลี่ยม ACD และ DCB:

เห็นได้ชัดว่านิพจน์ (1) และ (2) มีค่าเท่ากัน เราให้ชิดขวาและให้สิ่งที่คล้ายกัน:

ในทางปฏิบัติ สูตรที่กำหนดให้คุณหาความยาวของด้านที่ไม่รู้จักของสามเหลี่ยมโดย มุมที่กำหนด. ทฤษฎีบทโคไซน์มีผลที่ตามมาสามประการ: สำหรับมุมขวา มุมแหลม และมุมป้านของรูปสามเหลี่ยม

ให้เราแทนที่ค่าของ cos α ด้วยตัวแปรปกติ x จากนั้นสำหรับมุมแหลมของสามเหลี่ยม ABC เราจะได้:

หากมุมกลายเป็นด้านขวา 2bx จะหายไปจากนิพจน์เนื่องจาก cos 90 ° \u003d 0 ในรูปแบบกราฟิก สามารถแสดงผลลัพธ์ที่สองได้ดังนี้:

ในกรณีของมุมป้าน เครื่องหมาย "-" หน้าอาร์กิวเมนต์คู่ในสูตรจะเปลี่ยนเป็น "+":

ดังที่คุณเห็นจากคำอธิบาย อัตราส่วนไม่มีอะไรซับซ้อน ทฤษฎีบทโคไซน์ไม่มีอะไรมากไปกว่าการจัดเรียงของทฤษฎีบทพีทาโกรัสในปริมาณตรีโกณมิติ

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทในทางปฏิบัติ

แบบฝึกหัด 1. ให้สามเหลี่ยม ABC ที่มีด้าน BC = a = 4 ซม., AC = b = 5 ซม. และ cos α = ½ จงหาความยาวของด้าน AB

ในการคำนวณอย่างถูกต้อง คุณต้องกำหนดมุม α เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ดูตารางค่าสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยที่ arc cosine คือ 1/2 สำหรับมุม 60 ° จากสิ่งนี้ เราใช้สูตรของผลสืบเนื่องแรกของทฤษฎีบท:

งาน2. สำหรับสามเหลี่ยม ABC รู้จักทุกด้าน: AB =4√2,BC=5,AC=7 จำเป็นต้องหาทุกมุมของรูป

ในกรณีนี้ คุณไม่สามารถทำได้โดยปราศจากการวาดเงื่อนไขของปัญหา

เนื่องจากค่าของมุมยังไม่ทราบ จึงควรใช้ ครบสูตรสำหรับมุมแหลม

โดยการเปรียบเทียบนั้นไม่ยากในการกำหนดและคำนวณค่าของมุมอื่น:

โดยสรุป มุมทั้งสามของสามเหลี่ยมควรเป็น 180 °: 53 + 82 + 45 = 180 ดังนั้นจึงพบคำตอบ

ทฤษฎีบทไซน์

ทฤษฎีบทระบุว่าทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นสัดส่วนกับไซน์ของมุมตรงข้าม อัตราส่วนเขียนในรูปของความเท่าเทียมกันสามเท่า:

หลักฐานคลาสสิกของคำแถลงนั้นใช้ตัวอย่างของรูปที่จารึกไว้ในวงกลม

ในการตรวจสอบความจริงของข้อความโดยใช้ตัวอย่างสามเหลี่ยม ABC ในรูป จำเป็นต้องยืนยันข้อเท็จจริงว่า 2R = BC / sin A จากนั้นให้พิสูจน์ว่าด้านอื่น ๆ ยังสอดคล้องกับไซน์ของมุมตรงข้าม เช่น 2R หรือ D ของวงกลม

ในการทำเช่นนี้ เราวาดเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมจากจุดยอด B จากคุณสมบัติของมุมที่จารึกไว้ในวงกลม ∠GCB เป็นเส้นตรง และ ∠CGB เท่ากับ ∠CAB หรือ (π - ∠CAB) ในกรณีของไซน์ สถานการณ์หลังไม่สำคัญ เนื่องจากบาป (π -α) \u003d บาป α จากข้อสรุปข้างต้นสามารถโต้แย้งได้ว่า:

บาป ∠CGB = BC/ BG หรือบาป A = BC/2R

หากเราพิจารณามุมอื่นๆ ของรูป เราจะได้สูตรขยายของทฤษฎีบทไซน์:

งานทั่วไปสำหรับฝึกความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทไซน์ลงมาเพื่อหาด้านหรือมุมที่ไม่รู้จักของสามเหลี่ยม

ดังจะเห็นได้จากตัวอย่าง การแก้ปัญหาดังกล่าวไม่ก่อให้เกิดความยุ่งยากและประกอบด้วยการคำนวณทางคณิตศาสตร์