ความสามารถในการคำนวณปริมาตรของตัวเลขเชิงพื้นที่มีความสำคัญในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนหนึ่ง หนึ่งในรูปทรงที่พบบ่อยที่สุดคือปิรามิด ในบทความนี้เราจะพิจารณาปิรามิดทั้งแบบเต็มและแบบตัดทอน

พีระมิดเป็นรูปสามมิติ

ใครๆก็รู้ ปิรามิดอียิปต์ดังนั้นจึงแสดงให้เห็นได้ดีว่าร่างใดที่จะกล่าวถึง อย่างไรก็ตาม โครงสร้างหินของอียิปต์เป็นเพียงกรณีพิเศษของปิรามิดขนาดใหญ่เท่านั้น

วัตถุเรขาคณิตที่พิจารณาในกรณีทั่วไปคือฐานหลายเหลี่ยม ซึ่งแต่ละจุดยอดจะเชื่อมต่อกับบางจุดในอวกาศที่ไม่ได้อยู่ในระนาบฐาน คำจำกัดความนี้นำไปสู่รูปที่ประกอบด้วยหนึ่ง n-gon และ n สามเหลี่ยม

ปิรามิดใดๆ ที่ประกอบด้วยใบหน้า n+1, ขอบ 2*n และจุดยอด n+1 เนื่องจากภาพที่อยู่ระหว่างการพิจารณาเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ จำนวนขององค์ประกอบที่ทำเครื่องหมายไว้จึงเป็นไปตามสมการออยเลอร์:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2

รูปหลายเหลี่ยมที่ฐานทำให้ชื่อของพีระมิด ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยม ห้าเหลี่ยม และอื่นๆ ชุดปิรามิดกับ บริเวณต่างๆแสดงในภาพด้านล่าง

จุดที่เชื่อมต่อรูปสามเหลี่ยม n รูปเรียกว่ายอดปิรามิด หากตั้งฉากจากมันไปที่ฐานและมันตัดมันในศูนย์เรขาคณิตจากนั้นร่างดังกล่าวจะเรียกว่าเส้นตรง หากไม่เป็นไปตามเงื่อนไขแสดงว่ามีปิรามิดเอียง

รูปทรงตรง ซึ่งฐานของมันประกอบขึ้นด้วย n-gon ด้านเท่ากันหมด (equiangular) เรียกว่า ปกติ

สูตรปริมาตรพีระมิด

ในการคำนวณปริมาตรของปิรามิด เราใช้แคลคูลัสอินทิกรัล ในการทำเช่นนี้ เราแบ่งร่างด้วยระนาบซีแคนต์ขนานกับฐานเป็นชั้นบาง ๆ จำนวนอนันต์ รูปด้านล่างแสดงพีระมิดสี่เหลี่ยมที่มีความสูง h และด้านยาว L โดยที่สี่เหลี่ยมนั้นทำเครื่องหมาย ชั้นบางส่วนต่างๆ

พื้นที่ของแต่ละชั้นดังกล่าวสามารถคำนวณได้โดยสูตร:

A(z) = A 0 *(hz) 2 /h 2 .

โดยที่ A 0 คือพื้นที่ของฐาน z คือค่าของพิกัดแนวตั้ง จะเห็นได้ว่าถ้า z = 0 สูตรจะให้ค่า A 0

เพื่อให้ได้สูตรปริมาตรของปิรามิด คุณควรคำนวณอินทิกรัลของความสูงทั้งหมดของรูป นั่นคือ:

V = ∫ ชั่วโมง 0 (A(z)*dz)

แทนที่การพึ่งพา A(z) และการคำนวณแอนติเดริเวทีฟ เรามาถึงนิพจน์:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| ชั่วโมง 0 \u003d 1/3 * A 0 * ชม.

เราได้สูตรปริมาตรของปิรามิดมา ในการหาค่าของ V ก็เพียงพอที่จะคูณความสูงของรูปด้วยพื้นที่ฐานแล้วหารผลลัพธ์ด้วยสาม

โปรดทราบว่านิพจน์ผลลัพธ์นั้นใช้ได้สำหรับการคำนวณปริมาตรของปิรามิดประเภทใดก็ได้ นั่นคือมันสามารถเอียงได้และฐานของมันสามารถเป็น n-gon โดยพลการ

และปริมาณของมัน

ได้รับในวรรคด้านบน สูตรทั่วไปสำหรับปริมาตรสามารถกำหนดได้ในกรณีของปิรามิดด้วย รากฐานที่ถูกต้อง. พื้นที่ของฐานดังกล่าวคำนวณโดยสูตรต่อไปนี้:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n)

โดยที่ L คือความยาวด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจุดยอด n จุด สัญลักษณ์ pi คือตัวเลข pi

แทนที่นิพจน์สำหรับ A 0 ลงในสูตรทั่วไป เราได้ปริมาตรของปิรามิดปกติ:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n)

ตัวอย่างเช่น สำหรับปิรามิดสามเหลี่ยม สูตรนี้นำไปสู่นิพจน์ต่อไปนี้:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

เพื่อความถูกต้อง พีระมิดทรงสี่เหลี่ยมสูตรปริมาตรจะอยู่ในรูปแบบ:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

การกำหนดปริมาตรของปิรามิดปกติต้องรู้ด้านฐานและความสูงของรูป

พีระมิดถูกตัดทอน

สมมติว่าเราได้นำพีระมิดตามอำเภอใจมาและตัดส่วนหนึ่งของพื้นผิวด้านข้างที่มีจุดยอดออก รูปที่เหลือเรียกว่าปิรามิดที่ถูกตัดทอน ประกอบด้วยฐาน n-gonal สองอันและสี่เหลี่ยมคางหมู n อันที่เชื่อมต่อกัน หากระนาบการตัดขนานกับฐานของรูป ปิรามิดที่ถูกตัดปลายจะเกิดพร้อมกับฐานที่คล้ายกันขนานกัน นั่นคือ ความยาวของด้านหนึ่งของพวกมันหาได้จากการคูณความยาวของอีกด้านหนึ่งด้วยค่าสัมประสิทธิ์ k

รูปด้านบนแสดงให้เห็นฐานปกติที่ถูกตัดทอนจะเห็นว่าฐานบนเช่นเดียวกับฐานล่างประกอบด้วยรูปหกเหลี่ยมปกติ

สูตรที่สามารถหาได้โดยใช้แคลคูลัสอินทิกรัลที่คล้ายกับข้างต้นคือ:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

โดยที่ A 0 และ A 1 คือพื้นที่ของฐานล่าง (ใหญ่) และบน (เล็ก) ตามลำดับ ตัวแปร h หมายถึงความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ปริมาตรของปิรามิดแห่ง Cheops

อยากรู้วิธีแก้ปัญหาในการกำหนดปริมาตรที่ปิรามิดอียิปต์ที่ใหญ่ที่สุดมีอยู่

ในปี 1984 นักอียิปต์วิทยาชาวอังกฤษ Mark Lehner และ Jon Goodman ได้ก่อตั้ง ขนาดที่แน่นอนพีระมิดแห่ง Cheops ความสูงเดิมคือ 146.50 เมตร (ปัจจุบันประมาณ 137 เมตร) ความยาวเฉลี่ยด้านละสี่ด้านของโครงสร้างคือ 230.363 เมตร ฐานของปิรามิดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความแม่นยำสูง

ลองใช้ตัวเลขที่กำหนดเพื่อกำหนดปริมาตรของยักษ์หินนี้ เนื่องจากปิรามิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมปกติ ดังนั้นสูตรจึงใช้ได้กับมัน:

เสียบตัวเลขเราได้รับ:

V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 ม. 3

ปริมาตรของปิรามิด Cheops เกือบ 2.6 ล้าน m 3 สำหรับการเปรียบเทียบ เราทราบว่าสระโอลิมปิกมีปริมาตร 2.5 พัน ม. 3 นั่นคือเพื่อเติมเต็มปิรามิด Cheops ทั้งหมด มากกว่า 1,000 สระดังกล่าวจะต้อง!

พีระมิด. ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

พีระมิดเรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยม ( ฐาน ) และใบหน้าอื่นๆ ทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม ( ใบหน้าด้านข้าง ) (รูปที่ 15). ปิรามิดเรียกว่า ถูกต้อง หากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและยอดปิรามิดถูกฉายไปที่กึ่งกลางฐาน (รูปที่ 16) พีระมิดสามเหลี่ยมที่ขอบทุกด้านเท่ากันเรียกว่า จัตุรมุข .

ซี่โครงข้างปิรามิด เรียกว่า ด้านของหน้าด้านที่ไม่อยู่ในฐาน ส่วนสูง พีระมิดเรียกว่าระยะทางจากยอดถึงระนาบของฐาน ขอบด้านข้างของพีระมิดทุกด้านเท่ากันทุกด้าน ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน ความสูงของใบหน้าด้านข้างของพีระมิดปกติที่ดึงมาจากจุดยอดเรียกว่า เภสัช . ส่วนทแยงมุม ส่วนของปิรามิดเรียกว่าระนาบที่ลอดผ่านขอบด้านข้างทั้งสองข้างที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน

พื้นที่ผิวด้านข้างพีระมิดเรียกว่าผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทุกด้าน พื้นที่ เต็มพื้นผิว คือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างและฐานทั้งหมด

ทฤษฎีบท

1. หากในปิรามิดขอบทั้งหมดเอียงไปทางระนาบของฐานเท่ากัน ส่วนบนของปิรามิดจะถูกฉายไปที่กึ่งกลางของวงกลมที่ล้อมรอบบริเวณฐาน

2. หากขอบด้านข้างทั้งหมดมีความยาวเท่ากันในปิรามิด ส่วนบนของปิรามิดจะถูกฉายไปที่กึ่งกลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐานใกล้กับฐาน

3. ถ้าในปิรามิด ใบหน้าทั้งหมดเอียงเท่ากันกับระนาบของฐาน ส่วนบนของปิรามิดจะถูกฉายเข้าตรงกลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน

ในการคำนวณปริมาตรของปิรามิดโดยพลการ สูตรนั้นถูกต้อง:

ที่ไหน วี- ปริมาณ;

S หลัก- พื้นที่ฐาน;

ชมคือความสูงของปิรามิด

สำหรับปิรามิดปกติ สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

ที่ไหน พี- ปริมณฑลของฐาน

ห่า- ระยะตั้งฉาก

ชม- ความสูง;

อิ่ม

ด้านเอส

S หลัก- พื้นที่ฐาน;

วีคือปริมาตรของปิรามิดปกติ

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่า ส่วนของปิรามิดที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบตัดขนานกับฐานของปิรามิด (รูปที่ 17) แก้ไขปิรามิดที่ถูกตัดทอน เรียกว่า ส่วนของปิรามิดปกติ อยู่ระหว่างฐานกับระนาบตัดขนานกับฐานของปิรามิด

ฐานรากปิรามิดที่ถูกตัดทอน - รูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน ใบหน้าด้านข้าง - สี่เหลี่ยมคางหมู ส่วนสูง ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่าระยะห่างระหว่างฐานของมัน เส้นทแยงมุม ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดที่ไม่อยู่บนใบหน้าเดียวกัน ส่วนทแยงมุม ส่วนหนึ่งของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่าระนาบที่ผ่านขอบทั้งสองข้างที่ไม่อยู่ในใบหน้าเดียวกัน

สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอน สูตรนี้ใช้ได้:

(4)

ที่ไหน ส 1 , ส 2 - พื้นที่ของฐานบนและล่าง;

อิ่มคือพื้นที่ผิวทั้งหมด

ด้านเอสคือพื้นที่ผิวข้าง

ชม- ความสูง;

วีคือปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอนแบบปกติ สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

ที่ไหน พี 1 , พี 2 - ปริมณฑลฐาน;

ห่า- apothem ของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ

ตัวอย่างที่ 1ในปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ มุมไดฮีดรัลที่ฐานคือ60º หาแทนเจนต์ของมุมเอียงของขอบด้านข้างกับระนาบของฐาน

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 18)

พีระมิดเป็นแบบปกติ ซึ่งหมายความว่าฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และด้านด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน มุมไดฮีดรัลที่ฐาน - นี่คือมุมเอียงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดกับระนาบของฐาน มุมเชิงเส้นจะเป็นมุม เอระหว่างสองฉากตั้งฉาก: เช่น ด้านบนของปิรามิดถูกฉายที่กึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม (ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบและวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม ABC). มุมเอียงของซี่โครงด้านข้าง (เช่น SB) คือมุมระหว่างขอบของตัวมันเองกับการฉายภาพบนระนาบฐาน สำหรับซี่โครง SBมุมนี้จะเป็นมุม SBD. ในการหาสัมผัสต้องรู้ขา ดังนั้นและ OB. ให้ความยาวของส่วน BDคือ 3 แต่. จุด เกี่ยวกับส่วน BDแบ่งออกเป็นส่วนๆ และ จากเราพบว่า ดังนั้น: จากเราพบว่า:

ตอบ:

ตัวอย่าง 2จงหาปริมาตรของพีระมิดทรงสี่เหลี่ยมที่ถูกตัดทอนแบบปกติ ถ้าฐานของมันคือ ซม. และ ซม. และสูง 4 ซม.

สารละลาย.ในการหาปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน เราใช้สูตร (4) ในการหาพื้นที่ของฐาน คุณต้องหาด้านข้างของสี่เหลี่ยมฐาน โดยรู้แนวทแยงของพวกมัน ด้านข้างของฐานคือ 2 ซม. และ 8 ซม. ตามลำดับ ซึ่งหมายถึงพื้นที่ของฐานและการแทนที่ข้อมูลทั้งหมดลงในสูตร เราจะคำนวณปริมาตรของพีระมิดที่ถูกตัดทอน:

ตอบ: 112 ซม.3.

ตัวอย่างที่ 3หาพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างของพีระมิดที่ตัดเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติซึ่งมีฐานด้านข้าง 10 ซม. และ 4 ซม. และความสูงของพีระมิดเท่ากับ 2 ซม.

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 19)

ด้านข้างของพีระมิดนี้เป็นสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู คุณจำเป็นต้องรู้ฐานและความสูง ฐานถูกกำหนดโดยเงื่อนไข เฉพาะส่วนสูงเท่านั้นที่ยังไม่ทราบ หาได้จากไหน แต่ 1 อีตั้งฉากจากจุด แต่ 1 บนระนาบของฐานล่าง อา 1 ดี- ตั้งฉากจาก แต่ 1 วัน AC. แต่ 1 อี\u003d 2 ซม. เนื่องจากนี่คือความสูงของปิรามิด สำหรับการค้นหา DEเราจะวาดภาพเพิ่มเติมซึ่งเราจะแสดงมุมมองด้านบน (รูปที่ 20) Dot เกี่ยวกับ- การฉายภาพศูนย์กลางของฐานบนและล่าง ตั้งแต่ (ดูรูปที่ 20) และในทางกลับกัน ตกลงคือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้และ โอมคือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้:

MK=DE.

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสจาก

บริเวณใบหน้าด้านข้าง:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 4ที่ฐานของปิรามิดมีสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งฐานของนั้น แต่และ ข (เอ> ข). ด้านแต่ละด้านมีมุมเท่ากับระนาบของฐานปิรามิด เจ. หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด.

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 21) พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด SABCDเท่ากับผลรวมของพื้นที่และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี.

เราใช้ข้อความที่ว่าถ้าทุกหน้าของพีระมิดเอียงเท่ากันกับระนาบของฐาน จุดยอดจะถูกฉายเข้าไปที่กึ่งกลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน Dot เกี่ยวกับ- การฉายภาพจุดยอด สที่ฐานของปิรามิด สามเหลี่ยม SODคือเส้นโครงฉากของสามเหลี่ยม CSDสู่ระนาบฐาน ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปทรงแบน เราได้:

ในทำนองเดียวกันก็หมายความว่า ดังนั้นปัญหาจึงลดลงเหลือเพียงการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี. วาดสี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดีแยกกัน (รูปที่ 22) Dot เกี่ยวกับเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู

เนื่องจากสามารถจารึกวงกลมในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูแล้ว หรือ โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่เรามี

• 09.10.2014

  พรีแอมพลิฟายเออร์ที่แสดงในรูปได้รับการออกแบบสำหรับใช้กับแหล่งกำเนิดเสียง 4 ประเภท เช่น ไมโครโฟน เครื่องเล่นซีดี เครื่องบันทึกวิทยุ ฯลฯ ในเวลาเดียวกันปรีแอมป์มีอินพุตเดียวที่สามารถเปลี่ยนความไวจาก 50mV เป็น 500mV . แรงดันขาออกของเครื่องขยายเสียงคือ 1000mV กำลังเชื่อมต่อ แหล่งต่างๆสัญญาณเมื่อเปลี่ยนสวิตซ์ SA1 เราจะได้ ...

• 20.09.2014

  PSU ออกแบบมาสำหรับโหลดที่มีกำลัง 15 ... 20 วัตต์ แหล่งที่มาถูกสร้างขึ้นตามโครงร่างของตัวแปลงความถี่สูงแบบพัลซิ่งแบบวงจรเดียว ออสซิลเลเตอร์ทำงานที่ความถี่ 20 ... 40 kHz ประกอบบนทรานซิสเตอร์ ความถี่จะถูกปรับโดยความจุ C5 องค์ประกอบ VD5, VD6 และ C6 สร้างวงจรสำหรับการสตาร์ทออสซิลเลเตอร์ ในวงจรทุติยภูมิหลังจากวงจรเรียงกระแสแบบบริดจ์มีโคลงเชิงเส้นแบบธรรมดาบนไมโครเซอร์กิตซึ่งช่วยให้คุณมี ...

• 28.09.2014

  รูปแสดงเครื่องกำเนิดไฟฟ้าบนชิป K174XA11 ซึ่งควบคุมความถี่ด้วยแรงดันไฟฟ้า ด้วยการเปลี่ยนความจุ C1 จาก 560 เป็น 4700pF สามารถรับช่วงความถี่ที่กว้างได้ ในขณะที่ความถี่จะถูกปรับโดยการเปลี่ยนความต้านทาน R4 ตัวอย่างเช่น ผู้เขียนพบว่าที่ C1 \u003d 560pF ความถี่ของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าสามารถเปลี่ยนได้โดยใช้ R4 จาก 600Hz เป็น 200kHz, ...

• 03.10.2014

  ยูนิตนี้ออกแบบมาเพื่อจ่ายไฟให้กับ ULF อันทรงพลัง ออกแบบมาสำหรับแรงดันเอาต์พุต ± 27V และโหลดได้สูงถึง 3A ที่แขนแต่ละข้าง PSU เป็นไบโพลาร์ ซึ่งสร้างจากทรานซิสเตอร์คอมโพสิตที่สมบูรณ์ KT825-KT827 แขนทั้งสองของโคลงถูกสร้างขึ้นตามรูปแบบเดียวกัน แต่ในแขนอีกข้าง (ไม่แสดง) ขั้วของตัวเก็บประจุจะเปลี่ยนไปและใช้ทรานซิสเตอร์ของอีกอัน ...