วิธีหาโคไซน์ของมุมระหว่างระนาบ มุมไดฮีดรัล

บทความนี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับมุมระหว่างระนาบและวิธีการค้นหา ขั้นแรก ให้คำจำกัดความของมุมระหว่างระนาบสองระนาบและให้ภาพประกอบกราฟิก หลังจากนั้น ได้วิเคราะห์หลักการของการหามุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองระนาบโดยวิธีพิกัด ได้สูตรที่ช่วยให้คำนวณมุมระหว่างระนาบที่ตัดกันโดยใช้พิกัดที่ทราบของเวกเตอร์ปกติของระนาบเหล่านี้ โดยสรุปแล้วจะแสดงวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดของปัญหาทั่วไป

การนำทางหน้า

มุมระหว่างระนาบ-ความหมาย

ให้เราให้ข้อโต้แย้งที่จะช่วยให้เราค่อยๆ เข้าใกล้คำจำกัดความของมุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองระนาบ

ให้เราได้รับระนาบตัดกันสองระนาบและ . ระนาบเหล่านี้ตัดกันเป็นเส้นตรง ซึ่งเราแทนด้วยตัวอักษร c มาสร้างระนาบที่ผ่านจุด M ของเส้น c และตั้งฉากกับเส้น c กัน ในกรณีนี้ เครื่องบินจะตัดกับระนาบ และ . ระบุเส้นตรงที่ระนาบตัดกันและเป็น a และเส้นตรงที่ระนาบตัดกันและเป็น b แน่นอน เส้น a และ b ตัดกันที่จุด M

เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงว่ามุมระหว่างเส้นตัดกัน a และ b ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด M บนเส้น c ที่ระนาบผ่าน

ให้เราสร้างระนาบตั้งฉากกับเส้น c และแตกต่างจากระนาบ เครื่องบินตัดกับระนาบและตามแนวเส้นตรง ซึ่งเราแทนด้วย 1 และ b 1 ตามลำดับ

จากวิธีสร้างระนาบแล้วเส้น a และ b ตั้งฉากกับเส้น c และเส้น a 1 และ b 1 ตั้งฉากกับเส้น c เนื่องจากเส้น a และ 1 อยู่ในระนาบเดียวกันและตั้งฉากกับเส้น c จึงขนานกัน ในทำนองเดียวกัน เส้น b และ b 1 อยู่ในระนาบเดียวกันและตั้งฉากกับเส้น c ดังนั้นจึงขนานกัน ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะทำการถ่ายโอนระนาบขนานกับระนาบโดยที่เส้น a 1 เกิดขึ้นพร้อมกับเส้น a และเส้น b กับเส้น b 1 ดังนั้น มุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้น a 1 และ b 1 เท่ากับมุมระหว่างเส้นตัด a และ b .

นี่พิสูจน์ว่ามุมระหว่างเส้นตัด a และ b ที่อยู่ในระนาบที่ตัดกันและไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกจุด M ที่ระนาบผ่าน ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะใช้มุมนี้เป็นมุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองระนาบ

ตอนนี้คุณสามารถเปล่งเสียงคำจำกัดความของมุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองระนาบกับ

คำนิยาม.

มุมระหว่างระนาบสองระนาบตัดกันเป็นเส้นตรงและคือมุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้น a และ b ซึ่งระนาบและตัดกับระนาบตั้งฉากกับเส้น c

คำจำกัดความของมุมระหว่างระนาบสองระนาบสามารถกำหนดได้แตกต่างกันเล็กน้อย หากอยู่บนเส้น c ซึ่งระนาบตัดกัน ให้ทำเครื่องหมายที่จุด M แล้วลากเส้นผ่านจุด a และ b โดยตั้งฉากกับเส้น c และนอนอยู่ในระนาบ และตามลำดับ ดังนั้นมุมระหว่างเส้น a และ b คือ มุมระหว่างระนาบกับ. โดยปกติ ในทางปฏิบัติ โครงสร้างดังกล่าวจะดำเนินการเพื่อให้ได้มุมระหว่างระนาบ

เนื่องจากมุมระหว่างเส้นตัดกันไม่เกิน จากคำจำกัดความที่เปล่งออกมา การวัดองศาของมุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองระนาบจะแสดงด้วยจำนวนจริงจากช่วง ในกรณีนี้เรียกว่าระนาบที่ตัดกัน ตั้งฉากถ้ามุมระหว่างพวกเขาคือเก้าสิบองศา มุมระหว่างระนาบคู่ขนานไม่ได้ถูกกำหนดเลยหรือถือว่าเท่ากับศูนย์

การหามุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองระนาบ

โดยปกติ เมื่อหามุมระหว่างระนาบสองระนาบที่ตัดกัน ก่อนอื่นคุณต้องสร้างโครงสร้างเพิ่มเติมเพื่อดูเส้นตัดกัน มุมระหว่างซึ่งเท่ากับมุมที่ต้องการ แล้วเชื่อมต่อมุมนี้กับข้อมูลเดิมโดยใช้เครื่องหมายเท่ากับ เครื่องหมายความคล้ายคลึงกัน ทฤษฎีบทโคไซน์หรือคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์และแทนเจนต์ของมุม ในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนมัธยมมีปัญหาที่คล้ายกัน

ตัวอย่างเช่น ให้วิธีแก้ปัญหา C2 จาก Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์สำหรับปี 2012 (เงื่อนไขมีการเปลี่ยนแปลงโดยเจตนา แต่ไม่ส่งผลต่อหลักการของการแก้ปัญหา) ในนั้นจำเป็นต้องหามุมระหว่างระนาบสองระนาบที่ตัดกัน

ตัวอย่าง.

สารละลาย.

ขั้นแรก มาวาดรูปกัน

ลองทำโครงสร้างเพิ่มเติมเพื่อ "ดู" มุมระหว่างระนาบ

อันดับแรก ให้นิยามเส้นตรงที่ระนาบ ABC และ BED 1 ตัดกัน จุด B เป็นหนึ่งในจุดร่วมของพวกเขา หาจุดร่วมที่สองของระนาบเหล่านี้ เส้น DA และ D 1 E อยู่ในระนาบเดียวกัน ADD 1 และไม่ขนานกัน ดังนั้นจึงตัดกัน ในทางกลับกัน เส้น DA อยู่ในระนาบ ABC และเส้น D 1 E อยู่ในระนาบ BED 1 ดังนั้น จุดตัดของเส้น DA และ D 1 E จะเป็นจุดร่วมของระนาบ ABC และ เตียง 1 ดังนั้นเราจึงดำเนินการต่อเส้น DA และ D 1 E จนกระทั่งมันตัดกัน เราแสดงจุดตัดของพวกมันด้วยตัวอักษร F จากนั้น BF จะเป็นเส้นตรงที่ระนาบ ABC และ BED 1 ตัดกัน

มันยังคงสร้างเส้นสองเส้นที่วางอยู่บนระนาบ ABC และ BED 1 ตามลำดับ โดยผ่านจุดหนึ่งบนเส้น BF และตั้งฉากกับเส้น BF - ตามคำจำกัดความมุมระหว่างเส้นเหล่านี้จะเท่ากับมุมที่ต้องการระหว่าง เครื่องบิน ABC และ BED 1 มาทำกัน

Dot A คือเส้นโครงของจุด E บนระนาบ ABC ลากเส้นที่ตัดเป็นมุมฉากกับเส้น BF ที่จุด M จากนั้นเส้น AM คือการฉายภาพของเส้น EM ลงบนระนาบ ABC และด้วยทฤษฎีบทตั้งฉากสามประการ

ดังนั้น มุมที่ต้องการระหว่างระนาบ ABC และ BED 1 คือ

เราสามารถกำหนดไซน์ โคไซน์ หรือแทนเจนต์ของมุมนี้ (และด้วยเหตุนี้ตัวมุมเอง) จากสามเหลี่ยมมุมฉาก AEMถ้าเราทราบความยาวของสองด้านของมัน จากเงื่อนไข หาความยาว AE ได้ง่าย เนื่องจากจุด E หารด้าน AA 1 ที่สัมพันธ์กับ 4 ถึง 3 นับจากจุด A และความยาวของด้าน AA 1 คือ 7 จากนั้น AE \u003d 4 หาความยาวของ AM

ในการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ABF ที่มีมุมฉาก A โดยที่ AM คือความสูง โดยเงื่อนไข AB=2 เราสามารถหาความยาวของด้าน AF จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก DD 1 F และ AEF :

โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากสามเหลี่ยม ABF เราพบ . เราหาความยาว AM ผ่านพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABF: ด้านหนึ่ง พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABF เท่ากับ , ในทางกลับกัน , ที่ไหน .

ดังนั้น จากสามเหลี่ยมมุมฉาก AEM ที่เรามี .

จากนั้นมุมที่ต้องการระหว่างระนาบ ABC และ BED 1 คือ (โปรดทราบว่า ).

ตอบ:

ในบางกรณี ในการหามุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองระนาบ การระบุ Oxyz และใช้วิธีพิกัดจะสะดวก หยุดมันกันเถอะ

มาตั้งค่าภารกิจกัน: เพื่อค้นหามุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองระนาบกับ . ให้แทนมุมที่ต้องการเป็น

เราคิดว่าในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด Oxyz เราทราบพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบที่ตัดกัน และหรือเป็นไปได้ที่จะหาพวกมัน ปล่อยให้เป็น เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ และ เป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบ ให้เราแสดงวิธีการหามุมระหว่างระนาบที่ตัดกันกับพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบเหล่านี้

ให้เราแสดงเส้นที่ระนาบตัดกัน และ เป็น ค . ผ่านจุด M บนเส้น c เราวาดระนาบตั้งฉากกับเส้น c เครื่องบินตัดกับระนาบและตามแนวเส้น a และ b ตามลำดับ เส้น a และ b ตัดกันที่จุด M ตามคำจำกัดความ มุมระหว่างระนาบที่ตัดกันและเท่ากับมุมระหว่างเส้นที่ตัดกัน a และ b

ขอให้เราแยกเวกเตอร์ตั้งฉากและระนาบออกจากจุด M บนระนาบ และ . ในกรณีนี้ เวกเตอร์อยู่บนเส้นที่ตั้งฉากกับเส้น a และเวกเตอร์อยู่บนเส้นที่ตั้งฉากกับเส้น b ดังนั้น ในระนาบ เวกเตอร์คือเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้น a เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้น b

ในบทความ การหามุมระหว่างเส้นตัดกัน เราได้รับสูตรที่ให้คุณคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเส้นตัดกันโดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ปกติ ดังนั้น โคไซน์ของมุมระหว่างเส้น a และ b และดังนั้น และ โคไซน์ของมุมระหว่างระนาบตัดกันและหาได้จากสูตร โดยที่ และ เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบและตามลำดับ แล้วคำนวณเป็น .

ลองแก้ตัวอย่างก่อนหน้านี้โดยใช้วิธีการพิกัด

ตัวอย่าง.

ให้ ABCDA สี่เหลี่ยมด้านขนาน 1 B 1 C 1 D 1 ซึ่ง AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 และจุด E แบ่งด้าน AA 1 ในอัตราส่วน 4 ถึง 3 นับจากจุด A . จงหามุมระหว่างระนาบ ABC กับ BED 1

สารละลาย.

เนื่องจากด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่จุดยอดด้านหนึ่งตั้งฉากเป็นคู่ จึงสะดวกที่จะแนะนำระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า Oxyz ดังต่อไปนี้: จุดเริ่มต้นอยู่ในแนวเดียวกับจุดยอด C และแกนพิกัด Ox, Oy และ Oz จะถูกนำไปที่ด้านข้าง CD, CB และ CC 1 ตามลำดับ

มุมระหว่างระนาบ ABC และ BED 1 สามารถหาได้จากพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบเหล่านี้โดยใช้สูตร โดยที่ และเป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบ ABC และ BED 1 ตามลำดับ ให้เรากำหนดพิกัดของเวกเตอร์ปกติ

ความเป็นส่วนตัวของคุณมีความสำคัญต่อเรา ด้วยเหตุผลนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เรารวบรวม:

เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ ของคุณ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่นๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญถึงคุณ
เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เราให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายคลึงกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้มาเพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณไปยังบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

ในกรณีที่มีความจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาล ในกระบวนการทางกฎหมาย และ / หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณด้วย หากเราพิจารณาแล้วว่าการเปิดเผยดังกล่าวจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ด้านสาธารณประโยชน์อื่นๆ
ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การปกป้องข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมทั้งการบริหาร เทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้ในทางที่ผิด ตลอดจนจากการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

รักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราแจ้งหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ทฤษฎีบท

มุมระหว่างระนาบไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกระนาบการตัด

การพิสูจน์.

ให้มีระนาบ α และ β สองระนาบตัดกันตามเส้น c วาดระนาบ γ ตั้งฉากกับเส้น c จากนั้นระนาบ γ ตัดกับระนาบ α และ β ตามเส้น a และ b ตามลำดับ มุมระหว่างระนาบ α และ β เท่ากับมุมระหว่างเส้น a และ b
ใช้ระนาบการตัดอีกอัน γ` ตั้งฉากกับ c จากนั้นระนาบ γ` จะตัดระนาบ α และ β ตามแนว a` และ b` ตามลำดับ
ด้วยการแปลแบบขนาน จุดตัดของระนาบ γ กับเส้น c จะไปที่จุดตัดของระนาบ γ` กับเส้น c ในกรณีนี้ โดยคุณสมบัติของการแปลแบบขนาน บรรทัด a จะไปที่บรรทัด a`, b - ไปยังบรรทัด b` ดังนั้นมุมระหว่างเส้น a และ b, a` และ b` จึงเท่ากัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

การนำทางหน้า

มุมระหว่างระนาบ-ความหมาย

เมื่อนำเสนอเนื้อหา เราจะใช้คำจำกัดความและแนวคิดที่ให้ไว้ในระนาบบทความในอวกาศและเส้นตรงในอวกาศ

ให้เราได้รับระนาบตัดกันสองระนาบและ . ระนาบเหล่านี้ตัดกันเป็นเส้นตรง ซึ่งเราเขียนแทนด้วยตัวอักษร ค. สร้างเครื่องบินผ่านจุด เอ็มตรง คและตั้งฉากกับเส้น ค. ในกรณีนี้ เครื่องบินจะตัดกับระนาบ และ . เราแสดงถึงเส้นที่ระนาบตัดกันและเป็น เอแต่เส้นตรงที่ระนาบตัดกันและอย่างไร ข. ตรงไปตรงมาแน่นอน เอและ ขตัดกันที่จุด เอ็ม.

ง่ายที่จะแสดงว่ามุมระหว่างเส้นตัดกัน เอและ ขไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด เอ็มบนเส้นตรง คที่เครื่องบินผ่าน

สร้างระนาบตั้งฉากกับเส้น คและแตกต่างจากเครื่องบิน เครื่องบินตัดกันโดยเครื่องบินและตามเส้นตรงซึ่งเราแสดงว่า 1และ ข 1ตามลำดับ

ตามมาจากวิธีการสร้างระนาบที่เส้น เอและ ขตั้งฉากกับเส้น คและกำกับ 1และ ข 1ตั้งฉากกับเส้น ค. ตั้งแต่ตรง เอและ 1 คแล้วมันขนานกัน ในทำนองเดียวกันตรง ขและ ข 1อยู่ในระนาบเดียวกันและตั้งฉากกับเส้น คจึงขนานกัน ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะทำการถ่ายโอนระนาบขนานกับระนาบซึ่งเส้นตรง 1ตรงกับเส้น เอและเส้นตรง ขด้วยเส้นตรง ข 1. ดังนั้น มุมระหว่างเส้นสองเส้นตัดกัน 1และ ข 1เท่ากับมุมระหว่างเส้นตัดกัน เอและ ข.

นี่พิสูจน์ได้ว่ามุมระหว่างเส้นตัดกัน เอและ ขนอนในระนาบที่ตัดกันและไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกจุด เอ็มที่เครื่องบินผ่าน ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะใช้มุมนี้เป็นมุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองระนาบ

คำนิยาม.

มุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้น คเครื่องบินและคือมุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้น เอและ ขซึ่งระนาบและตัดกับระนาบตั้งฉากกับเส้นตรง ค.

คำจำกัดความของมุมระหว่างระนาบสองระนาบสามารถกำหนดได้แตกต่างกันเล็กน้อย ถ้าอยู่บนเส้นตรง จากที่ระนาบและตัดกัน ทำเครื่องหมายจุด เอ็มแล้วลากเส้นตรงเข้าไป แต่และ ข, ตั้งฉากกับเส้น คและนอนในระนาบและตามลำดับจากนั้นจึงทำมุมระหว่างเส้น แต่และ ขคือมุมระหว่างระนาบกับ . โดยปกติ ในทางปฏิบัติ โครงสร้างดังกล่าวจะดำเนินการเพื่อให้ได้มุมระหว่างระนาบ

ด้านบนของหน้า

การหามุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองระนาบ

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, ซึ่งใน AB=3, AD=2, AA 1 =7และจุด อีแบ่งข้าง AA 1มีความสัมพันธ์ 4 ถึง 3 , นับจากจุด แต่ ABCและ เตียง1.

ขั้นแรก มาวาดรูปกัน

ลองทำโครงสร้างเพิ่มเติมเพื่อ "ดู" มุมระหว่างระนาบ

อันดับแรก เรากำหนดเส้นตรงที่ระนาบตัดกัน ABCและ เตียง1. Dot ในเป็นหนึ่งในจุดร่วมของพวกเขา หาจุดร่วมที่สองของระนาบเหล่านี้ โดยตรง DAและ ดี 1 อีนอนระนาบเดียวกัน เพิ่ม 1และพวกมันไม่ขนานกันและดังนั้นจึงตัดกัน ในทางกลับกัน ตรง DAนอนอยู่บนเครื่องบิน ABCและเส้นตรง ดี 1 อี- บนเครื่องบิน เตียง1ดังนั้นจุดตัดของเส้น DAและ ดี 1 อีจะเป็นจุดร่วมของเครื่องบิน ABCและ เตียง1. งั้นไปกันต่อเลย DAและ ดี 1 อีก่อนที่พวกมันจะตัดกัน เราแสดงจุดตัดของพวกมันด้วยตัวอักษร F. แล้ว bf- เส้นตรงที่เครื่องบินตัดกัน ABCและ เตียง1.

มันยังคงสร้างเส้นตรงสองเส้นนอนอยู่ในระนาบ ABCและ เตียง1ตามลำดับ โดยผ่านจุดหนึ่งบนเส้น bfและตั้งฉากกับเส้น bf, - มุมระหว่างเส้นเหล่านี้จะเท่ากับมุมที่ต้องการระหว่างระนาบ ABCและ เตียง1. มาทำกัน

Dot แต่คือการฉายภาพของจุด อีขึ้นเครื่องบิน ABC. ลากเส้นที่ตัดกันเป็นมุมฉาก BFณ จุดนั้น เอ็ม. แล้วสาย เช้าเป็นการฉายเส้นตรง กินขึ้นเครื่องบิน ABCและโดยทฤษฎีบทสามฉากตั้งฉาก

ดังนั้นมุมที่ต้องการระหว่างระนาบ ABCและ เตียง1เท่ากับ .

ไซน์ โคไซน์ หรือแทนเจนต์ของมุมนี้ (และด้วยเหตุนี้ตัวมุมเอง) เราสามารถหาได้จากสามเหลี่ยมมุมฉาก AEMถ้าเรารู้ความยาวของสองด้านของมัน จากเงื่อนไขหาความยาวได้ง่าย AE: ตั้งแต่ dot อีแบ่งข้าง AA 1มีความสัมพันธ์ 4 ถึง 3 , นับจากจุด แต่, และความยาวด้าน AA 1เท่ากับ 7 , แล้ว AE=4. หาความยาวอื่นกันเถอะ เช้า.

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ABFมุมฉาก แต่, ที่ไหน เช้าคือความสูง ตามเงื่อนไข AB=2. ความยาวด้าน AFหาได้จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก DD 1Fและ AEF:

โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากรูปสามเหลี่ยม ABFหา . ความยาว เช้าหาผ่านพื้นที่สามเหลี่ยม ABF: ด้านหนึ่งเป็นพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABFเท่ากับ ในทางกลับกัน มาจากไหน

จากสามเหลี่ยมมุมฉาก AEMเรามี .

แล้วมุมที่ต้องการระหว่างระนาบ ABCและ เตียง1เท่ากับ (โปรดทราบว่า )

ในบางกรณี ในการหามุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองระนาบ จะสะดวกที่จะกำหนดระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyzและใช้วิธีพิกัด หยุดมันกันเถอะ

เราคิดว่าในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด Oxyzเราทราบพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบที่ตัดกัน และหรือมีโอกาสพบพวกมัน อนุญาต เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ และ เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ ให้เราแสดงวิธีการหามุมระหว่างระนาบที่ตัดกันกับพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบเหล่านี้

ให้เราแสดงเส้นที่ระนาบตัดกันและ as ค. ผ่านจุด เอ็มบนเส้นตรง ควาดระนาบตั้งฉากกับเส้น ค. เครื่องบินตัดกับระนาบและตามแนวเส้นตรง เอและ ขตามลำดับโดยตรง เอและ ขตัดกันที่จุด เอ็ม. ตามนิยาม มุมระหว่างระนาบที่ตัดกันและเท่ากับมุมระหว่างเส้นตัดกัน เอและ ข.

วางห่างจากจุด เอ็มในระนาบคือเวกเตอร์ปกติและของระนาบและ เวกเตอร์อยู่บนเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นตรง เอและเวกเตอร์อยู่บนเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นตรง ข. ดังนั้น ในระนาบ เวกเตอร์จึงเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง เอ, - เวกเตอร์เส้นปกติ ข.

ในบทความ การหามุมระหว่างเส้นตัดกัน เราได้รับสูตรที่ให้คุณคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเส้นตัดกันโดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ปกติ ดังนั้น โคไซน์ของมุมระหว่างเส้น เอและ ขและดังนั้น โคไซน์ของมุมระหว่างระนาบตัดกันและหาได้จากสูตร ที่ไหน และ เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ และ ตามลำดับ แล้ว มุมระหว่างระนาบตัดกันคำนวณเป็น .

ลองแก้ตัวอย่างก่อนหน้านี้โดยใช้วิธีการพิกัด

รับสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, ซึ่งใน AB=3, AD=2, AA 1 =7และจุด อีแบ่งข้าง AA 1มีความสัมพันธ์ 4 ถึง 3 , นับจากจุด แต่. หามุมระหว่างระนาบ ABCและ เตียง1.

เนื่องจากด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่จุดยอดหนึ่งจุดตั้งฉากเป็นคู่ จึงสะดวกที่จะแนะนำระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyzแบบนี้ เริ่มประกอบกับยอด จากและแกนพิกัด วัว, ออยและ ออนซ์ส่งไปทั่ว ซีดี, CBและ CC 1ตามลำดับ

มุมระหว่างระนาบ ABCและ เตียง1สามารถหาได้จากพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบเหล่านี้ โดยสูตร ที่ไหน และ เป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบ ABCและ เตียง1ตามลำดับ ให้เรากำหนดพิกัดของเวกเตอร์ปกติ

ตั้งแต่เครื่องบิน ABCตรงกับระนาบพิกัด Oxyแล้วเวกเตอร์ปกติของมันคือเวกเตอร์พิกัด นั่นคือ

เป็นเวกเตอร์ระนาบปกติ เตียง1เราสามารถหาผลคูณของเวกเตอร์ และ ในทางกลับกัน พิกัดของเวกเตอร์ และสามารถพบได้ผ่านพิกัดของจุด ใน, อีและ D1(ซึ่งเขียนไว้ในบทความพิกัดของเวกเตอร์ผ่านพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของมัน) และพิกัดของจุด ใน, อีและ D1ในระบบพิกัดที่นำมาใช้ เรากำหนดจากเงื่อนไขของปัญหา

อย่างชัดเจน, . ตั้งแต่ จากนั้นเราจะพบโดยพิกัดของจุดต่างๆ (หากจำเป็น ให้ดูที่การแบ่งบทความของส่วนในอัตราส่วนที่กำหนด) จากนั้น และ Oxyz เป็นสมการและ

เมื่อเราศึกษาสมการทั่วไปของเส้นตรง เราพบว่าสัมประสิทธิ์ แต่, ในและ จากคือพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ ดังนั้น และ เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบและตามลำดับ

เราแทนที่พิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบเป็นสูตรสำหรับคำนวณมุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองระนาบ:

แล้ว . เนื่องจากมุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองระนาบไม่เป็นป้าน ดังนั้นโดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน เราจะพบไซน์ของมุม:

การวัดมุมระหว่างระนาบคือมุมแหลมที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่วางอยู่บนระนาบเหล่านี้และวาดตั้งฉากกับแนวตัดของพวกมัน

อัลกอริทึมการก่อสร้าง

จากจุดใดจุดหนึ่ง K เส้นตั้งฉากจะถูกวาดไปยังระนาบที่กำหนดแต่ละระนาบ
การหมุนรอบเส้นระดับเป็นตัวกำหนดมุม γ° ที่มีจุดยอดที่จุด K
คำนวณมุมระหว่างระนาบ ϕ° = 180 - γ° โดยที่ γ° > 90° ถ้า γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

รูปแสดงกรณีที่ระนาบ α และ β ถูกกำหนดโดยร่องรอย โครงสร้างที่จำเป็นทั้งหมดสร้างขึ้นตามอัลกอริทึมและอธิบายไว้ด้านล่าง

สารละลาย

ในตำแหน่งที่วาดโดยพลการ เราทำเครื่องหมายจุด K จากนั้นเราลดเส้นตั้งฉาก m และ n ตามลำดับ ไปที่ระนาบ α และ β ทิศทางของการฉายภาพ m และ n มีดังนี้: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
เรากำหนดขนาดจริง ∠γ° ระหว่างเส้น m และ n เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หมุนระนาบของมุมด้วยจุดยอด K รอบหน้าผาก f ไปยังตำแหน่งขนานกับระนาบการฉายภาพด้านหน้า รัศมีวงเลี้ยว R ของจุด K เท่ากับค่าของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก O""K""K 0 ซึ่งขาคือ K""K 0 = y K – y O .
มุมที่ต้องการคือ ϕ° = ∠γ° เนื่องจาก ∠γ° มีความคม

รูปด้านล่างแสดงวิธีแก้ปัญหาซึ่งจำเป็นต้องหามุม γ° ระหว่างระนาบ α และ β ที่กำหนดโดยเส้นขนานและตัดกัน ตามลำดับ

สารละลาย

เรากำหนดทิศทางของการฉายภาพในแนวนอน ชั่วโมง 1 , ชั่วโมง 2 และหน้าผาก ฉ 1 , f 2 ที่เป็นของระนาบ α และ β ตามลำดับที่ระบุโดยลูกศร จากจุดใดจุดหนึ่งบนสี่เหลี่ยมจัตุรัส α และ β เราวางฉากตั้งฉาก e และ k ในกรณีนี้ e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 และ k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
เรากำหนด ∠γ° ระหว่างบรรทัด e และ k ในการทำเช่นนี้ เราวาดแนวนอน h 3 และหมุนจุด K ไปรอบๆ ไปยังตำแหน่ง K 1 ซึ่ง △CKD จะขนานกับระนาบแนวนอนและจะสะท้อนให้เห็นในขนาดเต็ม - △C "K" 1 D ". การฉายภาพของจุดศูนย์กลางการหมุน O" อยู่ที่ลากไปที่ h "3 ตั้งฉาก K "O" รัศมี R ถูกกำหนดจากสามเหลี่ยมมุมฉาก O "K" K 0 ซึ่งด้านคือ K "K 0 \u003d ZO - ZK.
ค่าที่ต้องการคือ ∠ϕ° = ∠γ° เนื่องจากมุม γ° เป็นแบบเฉียบพลัน

ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตในอวกาศ มักมีสิ่งที่จำเป็นในการคำนวณมุมระหว่างวัตถุเชิงพื้นที่ต่างๆ ในบทความนี้ เราจะพิจารณาคำถามในการหามุมระหว่างระนาบและระหว่างระนาบกับเส้นตรง

เส้นตรงในช่องว่าง

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเส้นตรงใดๆ ในระนาบสามารถกำหนดได้โดยความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขบางตัว หากเราแสดงเส้นตรงในอวกาศด้วยนิพจน์เดียวกัน เราก็ได้ระนาบขนานกับแกน z สำหรับคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของเส้นเชิงพื้นที่ จะใช้วิธีการแก้ปัญหาที่แตกต่างจากกรณีสองมิติ ประกอบด้วยการใช้แนวคิดเรื่อง "directing vector"

ตัวอย่างการแก้ปัญหาการกำหนดมุมตัดของระนาบ

เมื่อรู้วิธีหามุมระหว่างระนาบแล้ว เราจะแก้ปัญหาต่อไปนี้ ให้ระนาบสองระนาบ สมการที่มีรูปแบบ:

3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;
X - 2 * y + 5 * z +1 = 0

อะไรคือมุมระหว่างระนาบ?

เพื่อตอบคำถามของปัญหา เราจำได้ว่าสัมประสิทธิ์ที่ยืนที่ตัวแปรในสมการทั่วไปของระนาบคือพิกัดของเวกเตอร์ไกด์ สำหรับเครื่องบินเหล่านี้ เรามีพิกัดปกติดังต่อไปนี้:

n 1 ¯(3; 4; -1);
n 2 ¯(-1; -2; 5)

ตอนนี้เราพบผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้และโมดูลของพวกมันแล้ว เรามี:

(n 1 ¯ * n 2 ¯) \u003d -3 -8 -5 \u003d -16;
|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;
|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

ตอนนี้คุณสามารถแทนที่ตัวเลขที่พบในสูตรที่ระบุในย่อหน้าก่อนหน้า เราได้รับ:

α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55.05 o

ค่าผลลัพธ์สอดคล้องกับมุมแหลมของจุดตัดของระนาบที่ระบุในสภาวะของปัญหา

ทีนี้มาดูตัวอย่างอื่นกัน ให้เครื่องบินสองลำ:

พวกเขาตัดกันหรือไม่? มาเขียนค่าของพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางกัน คำนวณผลคูณของสเกลาร์และโมดูล:

n 1 ¯(1; 1; 0);
n 2 ¯(3; 3; 0);
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 ¯| = √2;
|n 2 ¯| = √18

จากนั้นมุมของทางแยกคือ:

α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .

มุมนี้แสดงว่าระนาบไม่ตัดกัน แต่ขนานกัน ข้อเท็จจริงที่ว่าพวกเขาไม่ตรงกันนั้นง่ายต่อการตรวจสอบ ลองใช้จุดใดก็ได้ที่เป็นของตัวแรกเช่น P(0; 3; 2) แทนที่พิกัดของมันเป็นสมการที่สอง เราได้:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

นั่นคือจุด P เป็นของระนาบแรกเท่านั้น

ดังนั้นระนาบสองระนาบขนานกันเมื่อเส้นตั้งฉากเท่ากัน

เครื่องบินและสาย

ในกรณีของการพิจารณาตำแหน่งสัมพัทธ์ระหว่างระนาบกับเส้นตรง มีตัวเลือกมากกว่าสองระนาบ ความจริงข้อนี้เชื่อมโยงกับความจริงที่ว่าเส้นตรงเป็นวัตถุหนึ่งมิติ เส้นและระนาบสามารถ:

ขนานกัน ในกรณีนี้ระนาบไม่ตัดกับเส้น
อันหลังอาจเป็นของระนาบในขณะที่มันจะขนานไปกับมัน
วัตถุทั้งสองสามารถตัดกันได้ในบางมุม

พิจารณากรณีสุดท้ายก่อน เนื่องจากต้องมีการแนะนำแนวคิดเรื่องมุมของทางแยก

เส้นและระนาบ ค่าของมุมระหว่างพวกมัน

ถ้าเส้นตรงตัดกับระนาบ เรียกว่า ความโน้มเอียงตามระนาบ จุดตัดเรียกว่าฐานของความชัน ในการกำหนดมุมระหว่างวัตถุเรขาคณิตเหล่านี้ จำเป็นต้องลดเส้นตรงในแนวตั้งฉากกับระนาบจากจุดใดก็ได้ จากนั้นจุดตัดของเส้นตั้งฉากกับระนาบและจุดตัดของเส้นเอียงที่ก่อให้เกิดเป็นเส้นตรง ส่วนหลังเรียกว่าการฉายภาพของเส้นเดิมบนระนาบที่กำลังพิจารณา เฉียบพลันและการฉายภาพเป็นสิ่งที่ต้องการ

คำจำกัดความที่ค่อนข้างสับสนของมุมระหว่างระนาบกับแนวเฉียงจะอธิบายได้ชัดเจนตามรูปด้านล่าง

โดยที่มุม ABO คือมุมระหว่างเส้น AB กับระนาบ a

ในการเขียนสูตรให้พิจารณาตัวอย่าง ให้มีเส้นตรงและระนาบซึ่งอธิบายโดยสมการดังนี้

(x ; y ; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + λ * (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0

การคำนวณมุมที่ต้องการสำหรับวัตถุเหล่านี้เป็นเรื่องง่าย หากคุณพบผลคูณสเกลาร์ระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นกับระนาบ มุมแหลมที่เป็นผลลัพธ์ควรลบออกจาก 90 o จากนั้นจะได้มาระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

รูปด้านบนแสดงอัลกอริทึมที่อธิบายไว้ในการค้นหามุมที่พิจารณา โดยที่ β คือมุมระหว่างเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง และ α อยู่ระหว่างเส้นกับการฉายภาพบนระนาบ จะเห็นได้ว่าผลรวมของมันมีค่าเท่ากับ 90 o .

ด้านบน มีการนำเสนอสูตรที่ตอบคำถามเกี่ยวกับวิธีการหามุมระหว่างระนาบ ตอนนี้เราให้นิพจน์ที่สอดคล้องกันสำหรับกรณีของเส้นตรงและระนาบ:

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))

โมดูลัสในสูตรอนุญาตให้คำนวณเฉพาะมุมแหลมเท่านั้น ฟังก์ชันอาร์กไซน์ปรากฏขึ้นแทนอาร์กโคไซน์เนื่องจากการใช้สูตรการรีดิวซ์ที่สอดคล้องกันระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติ (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α))

ปัญหา: เครื่องบินตัดกับเส้น

ตอนนี้เราจะแสดงวิธีการทำงานกับสูตรข้างต้น มาแก้ปัญหากัน: จำเป็นต้องคำนวณมุมระหว่างแกน y กับระนาบที่กำหนดโดยสมการ:

เครื่องบินลำนี้แสดงในรูป

จะเห็นได้ว่ามันตัดแกน y และ z ที่จุด (0; -12; 0) และ (0; 0; 12) ตามลำดับ และขนานกับแกน x

เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง y มีพิกัด (0; 1; 0) เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดมีลักษณะเป็นพิกัด (0; 1; -1) เราใช้สูตรสำหรับมุมตัดของเส้นตรงและระนาบ เราได้:

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45o

ปัญหา : เส้นตรงขนานกับระนาบ

ทีนี้มาแก้ปัญหาที่คล้ายกับคำถามก่อนหน้านี้กันซึ่งคำถามนั้นแตกต่างกัน สมการของระนาบและเส้นตรงเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว:

x + y - z - 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)

จำเป็นต้องค้นหาว่าวัตถุเรขาคณิตเหล่านี้ขนานกันหรือไม่

เรามีเวกเตอร์สองตัว: เส้นกำกับคือ (0; 2; 2) และระนาบทิศทางคือ (1; 1; -1) เราพบผลิตภัณฑ์สเกลาร์:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

ค่าศูนย์ที่เป็นผลลัพธ์แสดงว่ามุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้คือ 90 o ซึ่งพิสูจน์ความขนานของเส้นตรงกับระนาบ

ทีนี้ลองดูว่าเส้นนี้ขนานกันหรืออยู่ในระนาบด้วย ในการดำเนินการนี้ ให้เลือกจุดใดก็ได้บนเส้นและตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นของเครื่องบินหรือไม่ ตัวอย่างเช่น ลองหา λ = 0 จากนั้นจุด P(1; 0; 0) เป็นของเส้น เราแทนที่สมการของระนาบ P:

จุด P ไม่ได้อยู่ในระนาบ และด้วยเหตุนี้ทั้งเส้นจึงไม่อยู่ในจุดนั้น

การรู้มุมระหว่างวัตถุทางเรขาคณิตที่พิจารณามีความสำคัญที่ไหน

สูตรและตัวอย่างการแก้ปัญหาข้างต้นไม่เพียงแต่เป็นประโยชน์เชิงทฤษฎีเท่านั้น มักใช้เพื่อกำหนดปริมาณทางกายภาพที่สำคัญของตัวเลขสามมิติจริง เช่น ปริซึมหรือปิรามิด สิ่งสำคัญคือต้องสามารถกำหนดมุมระหว่างระนาบเมื่อคำนวณปริมาตรของตัวเลขและพื้นที่ของพื้นผิวได้ ยิ่งไปกว่านั้น หากในกรณีของปริซึมตรง เป็นไปไม่ได้ที่จะใช้สูตรเหล่านี้เพื่อกำหนดปริมาณที่ระบุ ดังนั้นสำหรับปิรามิดประเภทใดก็ตาม การใช้งานนั้นย่อมหลีกเลี่ยงไม่ได้

ด้านล่างนี้ เราจะพิจารณาตัวอย่างการใช้ทฤษฎีที่ระบุในการกำหนดมุมของปิรามิดที่มีฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ปิรามิดและมุมของมัน

รูปด้านล่างแสดงปิรามิดที่ฐานซึ่งมีสี่เหลี่ยมด้าน a ความสูงของรูปคือ h คุณต้องพบสองมุม:

ระหว่างพื้นผิวด้านข้างและฐาน
ระหว่างขอบด้านข้างกับฐาน

ในการแก้ปัญหา ก่อนอื่นคุณต้องเข้าสู่ระบบพิกัดและกำหนดพารามิเตอร์ของจุดยอดที่สอดคล้องกัน จากรูปแสดงว่าจุดกำเนิดของพิกัดตรงกับจุดศูนย์กลางของฐานสี่เหลี่ยม ในกรณีนี้ ระนาบฐานถูกอธิบายโดยสมการ:

นั่นคือ สำหรับ x และ y ใดๆ ค่าของพิกัดที่สามจะเป็นศูนย์เสมอ ระนาบด้านข้าง ABC ตัดกับแกน z ที่จุด B(0; 0; h) และแกน y ที่จุดด้วยพิกัด (0; a/2; 0) มันไม่ข้ามแกน x ซึ่งหมายความว่าสมการของระนาบ ABC สามารถเขียนได้ดังนี้: