Vad är arean av en rektangeltriangel? Hur man hittar arean av en triangel (formler)

I elementär geometri är en rätvinklig triangel en figur som består av tre segment anslutna i punkter, med vinklar varav två är spetsiga och en rak (det vill säga lika med 90°). Rätt triangel kännetecknas av ett antal viktiga egenskaper, av vilka många ligger till grund för trigonometri (till exempel förhållandet mellan dess sidor och vinklar). Sedan skolan vet vi alla hur man räknar arean av en rätvinklig triangel, och i vardagen möter vi denna geometriska figur ganska ofta, ibland utan att ens märka det. Den finner ganska bred tillämpning inom teknik och därför måste ingenjörer, designers och arkitekter ofta lösa ett sådant problem.

Arkitekter måste bestämma detta värde när de designar byggnader med frontoner, som är färdigställandet av fasaderna och har triangulär form avgränsad av en gesims och på sidorna av taksluttningar. Ofta är vinkeln mellan sluttningarna rak, och i sådana fall har frontonen formen av en rätvinklig triangel. Det är nödvändigt att bestämma dess område av den enkla anledningen att det är nödvändigt att veta exakt mängden byggmaterial som krävs för dess arrangemang. Det bör noteras att gavlar är obligatoriska element i låga byggnader (lanthus, stugor, dachas).

Hitta arean av en rätvinklig triangel

a- ben

b- ben

S- arean av en rätvinklig triangel

Form rät triangel har många av de detaljer som moderna möbler är gjorda av. Som du vet, för att utnyttja rumsutrymmet så effektivt som möjligt, måste alla delar av inredningen placeras i det på ett optimalt sätt. Du kan utnyttja ytor som hörn väl med hjälp av triangulärt formade bord, vars toppar i de flesta fall är rätvinkliga trianglar med ben intill väggarna. Vid design och beräkning av dessa element använder möbelproduktionsdesigners formeln enligt vilken hitta arean av en rätvinklig triangel utförs baserat på längden på dess sidor. Dessutom måste de ofta utveckla design för bord som fästs direkt på väggarna, som inkluderar bärande element, som också representerar räta trianglar.

Byggare som är engagerade i frontarbete måste ofta i sin yrkesverksamhet använda keramiska plattor i form av en rätvinklig triangel med ben av samma eller olika längd. De måste också bestämma arean för dessa element för att ta reda på det nödvändiga antalet.

Form rät triangel Den har också ett så viktigt och nödvändigt mätverktyg som en fyrkant. Det används för att konstruera och kontrollera räta vinklar, och det används mycket brett och av många: från vanliga skolbarn på geometrilektioner till designers av banbrytande teknik.

En rätvinklig triangel finns i verkligheten på nästan varje hörn. Kunskap om egenskaperna hos en given figur, såväl som förmågan att beräkna dess yta, kommer utan tvekan att vara användbar för dig inte bara för att lösa geometriproblem utan också i livssituationer.

Triangelgeometri

I elementär geometri är en rätvinklig triangel en figur som består av tre sammankopplade segment som bildar tre vinklar (två spetsiga och en rak). Den räta triangeln är en originalfigur som kännetecknas av ett antal viktiga egenskaper som utgör grunden för trigonometri. Till skillnad från en vanlig triangel har sidorna på en rektangulär figur sina egna namn:

Hypotenusan är den längsta sidan av en triangel, mitt emot den räta vinkeln.
Ben är segment som bildar en rät vinkel. Beroende på vilken vinkel som övervägs kan benet vara intill den (bildar denna vinkel med hypotenusan) eller motsatt (ligger mittemot vinkeln). Det finns inga ben för icke-räta trianglar.

Det är förhållandet mellan benen och hypotenusan som ligger till grund för trigonometrin: sinus, tangenter och sekanter definieras som förhållandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel.

Rätt triangel i verkligheten

Denna siffra har blivit utbredd i verkligheten. Trianglar används i design och teknik, så att beräkna arean av en figur måste göras av ingenjörer, arkitekter och designers. Baserna på tetraeder eller prismor - tredimensionella figurer som är lätta att möta i vardagen - har formen av en triangel. Dessutom är en kvadrat den enklaste representationen av en "platt" rätvinklig triangel i verkligheten. En kvadrat är ett verktyg för metallbearbetning, ritning, konstruktion och snickeri som används för att konstruera vinklar av både skolbarn och ingenjörer.

Arean av en triangel

Arean av en geometrisk figur är en kvantitativ uppskattning av hur mycket av planet som begränsas av triangelns sidor. Arean av en vanlig triangel kan hittas på fem sätt, med hjälp av Herons formel eller med hjälp av sådana variabler som basen, sidan, vinkeln och radien för den inskrivna eller omskrivna cirkeln. Den enklaste formeln för area uttrycks som:

där a är sidan av triangeln, h är dess höjd.

Formeln för att beräkna arean av en rätvinklig triangel är ännu enklare:

där a och b är ben.

Genom att arbeta med vår online-kalkylator kan du beräkna arean av en triangel med hjälp av tre par parametrar:

två ben;
ben och intilliggande vinkel;
ben och motsatt vinkel.

I problem eller vardagliga situationer kommer du att få olika kombinationer av variabler, så denna form av miniräknare låter dig beräkna arean av en triangel på flera sätt. Låt oss titta på ett par exempel.

Verkliga exempel

Keramikplatta

Låt oss säga att du vill täcka köksväggarna med keramiska plattor, som har formen av en rätvinklig triangel. För att bestämma förbrukningen av plattor måste du ta reda på arean av ett beklädnadselement och den totala arean av ytan som behandlas. Låt oss säga att du behöver bearbeta 7 kvadratmeter. Längden på benen på ett element är 19 cm, då blir plattans yta lika med:

Detta betyder att arean av ett element är 24,5 kvadratcentimeter eller 0,01805 kvadratmeter. Genom att känna till dessa parametrar kan du beräkna att för att avsluta 7 kvadratmeter vägg behöver du 7/0,01805 = 387 element av motstående plattor.

Skoluppgift

Låt oss säga att i ett skolgeometriproblem måste du hitta arean av en rätvinklig triangel, bara veta att sidan på ett ben är 5 cm och den motsatta vinkeln är 30 grader. Vår online-kalkylator levereras med en illustration som visar sidorna och vinklarna i en rätvinklig triangel. Om sidan a = 5 cm, är dess motsatta vinkel vinkel alfa, lika med 30 grader. Ange dessa data i kalkylatorformuläret och få resultatet:

Således beräknar kalkylatorn inte bara arean av en given triangel, utan bestämmer också längden på det intilliggande benet och hypotenusan, såväl som värdet på den andra vinkeln.

Slutsats

Rätt trianglar finns i våra liv bokstavligen på varje hörn. Att bestämma området för sådana figurer kommer att vara användbart för dig inte bara när du löser skoluppgifter i geometri, utan också i vardagliga och professionella aktiviteter.

Beroende på typen av triangel finns det flera alternativ för att hitta dess område. Till exempel, för att beräkna arean av en rätvinklig triangel, använd formeln S= a * b / 2, där a och b är dess ben. Om du vill ta reda på arean av en likbent triangel, måste du dela produkten av dess bas och höjd med två. Det vill säga S= b*h / 2, där b är basen av triangeln och h är dess höjd.

Därefter kan du behöva beräkna arean av en likbent rätvinklig triangel. Här kommer följande formel till undsättning: S = a* a / 2, där benen "a" och "a" nödvändigtvis måste ha samma värden.

Dessutom måste vi ofta beräkna arean av en liksidig triangel. Den hittas med formeln: S= a * h/ 2, där a är sidan av triangeln och h är dess höjd. Eller enligt denna formel: S= √3/ 4 *a^2, där a är sidan.

Hur man hittar arean av en rätvinklig triangel

Behöver du hitta arean av en rätvinklig triangel, men problemformuleringen indikerar inte måtten på två av dess ben samtidigt? Då kan vi inte använda denna formel (S= a * b / 2) direkt.

Låt oss överväga flera möjliga lösningar:

Om du inte vet längden på ett ben, men måtten på hypotenusan och det andra benet är givna, vänder vi oss till den store Pythagoras och använder hans sats (a^2+b^2=c^2), vi beräknar längden på det okända benet och använder det sedan för att beräkna arean av triangeln.
Om längden på det ena benet och gradens lutning för vinkeln mittemot det anges: vi hittar längden på det andra benet med formeln - a=b*ctg(C).
Givet: längden på ett ben och gradlutningen för vinkeln intill det: för att hitta längden på det andra benet använder vi formeln - a=b*tg(C).
Och slutligen, givet: hypotenusans vinkel och längd: vi beräknar längden på båda dess ben med hjälp av följande formler - b=c*sin(C) och a=c*cos(C).

Hur man hittar arean av en likbent triangel

Arean av en likbent triangel kan mycket enkelt och snabbt hittas med formeln S= b*h / 2, men om en av indikatorerna saknas blir uppgiften mycket mer komplicerad. När allt kommer omkring är det nödvändigt att utföra ytterligare åtgärder.

Möjliga uppgiftsalternativ:

Givet: längden på en av sidorna och längden på basen. Med hjälp av Pythagoras sats hittar vi höjden, det vill säga längden på det andra benet. Förutsatt att längden på basen delat med två är benet, och den initialt kända sidan är hypotenusan.
Givet: basen och vinkeln mellan sidan och basen. Vi beräknar höjden med formeln h=c*ctg(B)/2 (glöm inte att dividera sidan "c" med två).
Givet: höjden och vinkeln som bildades av basen och sidan: vi använder formeln c=h*tg(B)*2 för att hitta höjden och multiplicerar resultatet med två. Därefter beräknar vi arean.
Känd: längden på sidan och vinkeln som bildas mellan den och höjden. Lösning: vi använder formlerna - c=a*sin(C)*2 och h=a*cos(C) för att hitta basen och höjden, varefter vi beräknar arean.

Hur man hittar arean av en likbent rätvinklig triangel

Om alla data är kända, med hjälp av standardformeln S= a* a / 2 beräknar vi arean av en likbent rät triangel, men om några indikatorer inte anges i problemet, utförs ytterligare åtgärder.

Till exempel: vi vet inte längden på båda sidorna (vi kommer ihåg att i en likbent rätvinklig triangel är de lika), men längden på hypotenusan är given. Låt oss tillämpa Pythagoras sats för att hitta samma sidor "a" och "a". Pythagoras formel: a^2+b^2=c^2. I fallet med en likbent rätvinklig triangel omvandlas den till detta: 2a^2 = c^2. Det visar sig att för att hitta ben "a" måste du dividera längden på hypotenusan med roten av 2. Resultatet av lösningen blir längden på båda benen i en likbent rätvinklig triangel. Därefter hittar vi området.

Hur man hittar arean av en liksidig triangel

Med formeln S= √3/ 4*a^2 kan du enkelt beräkna arean av en liksidig triangel. Om radien för triangelns omskrivna cirkel är känd, kan arean hittas med formeln: S= 3√3/ 4*R^2, där R är cirkelns radie.

Som du kanske minns från din läroplan för geometri i skolan är en triangel en figur som bildas av tre segment som är förbundna med tre punkter som inte ligger på samma räta linje. En triangel bildar tre vinklar, därav namnet på figuren. Definitionen kan vara annorlunda. En triangel kan också kallas en polygon med tre vinklar, svaret blir också korrekt. Trianglar delas in efter antalet lika sidor och storleken på vinklarna i figurerna. Således urskiljs trianglar som likbenta, liksidiga och skalan, samt rektangulära, spetsiga respektive trubbiga.

Det finns många formler för att beräkna arean av en triangel. Välj hur du ska hitta arean av en triangel, dvs. Vilken formel du ska använda är upp till dig. Men det är värt att notera bara några av notationerna som används i många formler för att beräkna arean av en triangel. Så kom ihåg:

S är arean av triangeln,

a, b, c är triangelns sidor,

h är triangelns höjd,

R är radien för den omskrivna cirkeln,

p är halvperimetern.

Här är de grundläggande notationerna som kan vara användbara för dig om du helt glömt din geometrikurs. Nedan är de mest förståeliga och okomplicerade alternativen för att beräkna det okända och mystiska området i en triangel. Det är inte svårt och kommer att vara användbart både för dina hushållsbehov och för att hjälpa dina barn. Låt oss komma ihåg hur man beräknar arean av en triangel så enkelt som möjligt:

I vårt fall är arean av triangeln: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 kvm. Kom ihåg att arean mäts i kvadratcentimeter (sqcm).

Rätt triangel och dess area.

En rätvinklig triangel är en triangel där en vinkel är lika med 90 grader (därav kallad rät). En rät vinkel bildas av två vinkelräta linjer (i fallet med en triangel, två vinkelräta segment). I en rätvinklig triangel kan det bara finnas en rät vinkel, eftersom... summan av alla vinklar i en triangel är lika med 180 grader. Det visar sig att 2 andra vinklar ska dela de återstående 90 graderna, till exempel 70 och 20, 45 och 45 osv. Så du kommer ihåg det viktigaste, allt som återstår är att ta reda på hur man hittar arean av en rätvinklig triangel. Låt oss föreställa oss att vi har en sådan rätvinklig triangel framför oss, och vi måste hitta dess område S.

1. Det enklaste sättet att bestämma arean av en rätvinklig triangel beräknas med hjälp av följande formel:

I vårt fall är arean av den högra triangeln: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 kvm.

I princip finns det inte längre något behov av att verifiera triangelns yta på andra sätt, eftersom Endast den här kommer att vara användbar och kommer att hjälpa i vardagen. Men det finns också alternativ för att mäta arean av en triangel genom spetsiga vinklar.

2. För andra beräkningsmetoder måste du ha en tabell med cosinus, sinus och tangenter. Bedöm själv, här är några alternativ för att beräkna arean av en rätvinklig triangel som fortfarande kan användas:

Vi bestämde oss för att använda den första formeln och med några mindre fläckar (vi ritade den i en anteckningsbok och använde en gammal linjal och gradskiva), men vi fick rätt beräkning:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Vi fick följande resultat: 3,6=3,7, men med hänsyn till cellförskjutningen kan vi förlåta denna nyans.

Likbent triangel och dess area.

Om du står inför uppgiften att beräkna formeln för en likbent triangel, är det enklaste sättet att använda huvudformeln och vad som anses vara den klassiska formeln för arean av en triangel.

Men först, innan vi hittar arean av en likbent triangel, låt oss ta reda på vilken typ av figur det här är. En likbent triangel är en triangel där två sidor har samma längd. Dessa två sidor kallas laterala, den tredje sidan kallas basen. Blanda inte ihop en likbent triangel med en liksidig triangel, d.v.s. en regelbunden triangel med alla tre sidor lika. I en sådan triangel finns det inga speciella tendenser till vinklarna, eller snarare till deras storlek. Vinklarna vid basen i en likbent triangel är dock lika, men skiljer sig från vinkeln mellan lika sidor. Så du känner redan till den första och huvudformeln; det återstår att ta reda på vilka andra formler för att bestämma arean av en likbent triangel som är kända.

En rätvinklig triangel är en triangel där en av vinklarna är 90°. Dess område kan hittas om två sidor är kända. Du kan naturligtvis ta den långa vägen - hitta hypotenusan och beräkna arean med , men i de flesta fall tar detta bara extra tid. Det är därför formeln för arean av en rätvinklig triangel ser ut så här:

Arean av en rätvinklig triangel är lika med halva produkten av benen.

Ett exempel på att beräkna arean av en rätvinklig triangel.
Givet en rätvinklig triangel med ben a= 8 cm, b= 6 cm.
Vi beräknar arean:
Ytan är: 24 cm 2

Pythagoras sats gäller även för en rätvinklig triangel. – summan av kvadraterna på de två benen är lika med kvadraten på hypotenusan.
Formeln för arean av en likbent rätvinklig triangel beräknas på samma sätt som för en vanlig rätvinklig triangel.

Ett exempel på att beräkna arean av en likbent rätvinklig triangel:
Givet en triangel med ben a= 4 cm, b= 4 cm. Beräkna arean:
Beräkna arean: = 8 cm 2

Formeln för arean av en rätvinklig triangel vid hypotenusan kan användas om tillståndet ges ett ben. Från Pythagoras sats finner vi längden på det okända benet. Till exempel med tanke på hypotenusan c och ben a, ben b kommer att vara lika med:
Beräkna sedan arean med den vanliga formeln. Ett exempel på beräkning av formeln för arean av en rätvinklig triangel baserat på hypotenusan är identisk med det som beskrivs ovan.

Låt oss överväga ett intressant problem som hjälper till att konsolidera kunskapen om formler för att lösa en triangel.
Uppgift: Arean av en rätvinklig triangel är 180 kvadratmeter. se, hitta det mindre benet i triangeln om det är 31 cm mindre än det andra.
Lösning: låt oss beteckna benen a Och b. Låt oss nu ersätta data med areaformeln: vi vet också att ett ben är mindre än det andra a – b= 31 cm
Från det första villkoret får vi det
Vi ersätter detta villkor i den andra ekvationen: