Tema "aritmetična progresija" se obravnava v splošnem tečaju algebre v šolah v 9. razredu. Ta tema je pomembna za nadaljnji poglobljeni študij matematike številskih vrst. V tem članku se bomo seznanili z aritmetično progresijo, njeno razliko, pa tudi s tipičnimi nalogami, s katerimi se lahko soočajo šolarji.

Koncept algebraične progresije

Številčna progresija je zaporedje številk, v katerem je vsak naslednji element mogoče dobiti iz prejšnjega, če uporabimo kakšen matematični zakon. Obstajata dve preprosti vrsti progresije: geometrijska in aritmetična, ki ji pravimo tudi algebraična. Osredotočimo se na to podrobneje.

Predstavljajte si neko racionalno število, ga označite s simbolom a 1 , kjer indeks označuje njegovo redno številko v obravnavanem nizu. 1 dodajmo še kakšno drugo številko, označimo jo z d. Potem se lahko drugi element serije odraža na naslednji način: a 2 = a 1 + d. Sedaj še enkrat dodaj d, dobimo: a 3 = a 2 + d. Če nadaljujete s to matematično operacijo, lahko dobite celo vrsto številk, ki jih bomo imenovali aritmetična progresija.

Kot je razvidno iz zgornjega, morate za iskanje n-tega elementa tega zaporedja uporabiti formulo: a n = a 1 + (n-1) * d. Dejansko, če v izraz nadomestimo n=1, dobimo a 1 = a 1, če je n = 2, potem formula pomeni: a 2 = a 1 + 1*d itd.

Na primer, če je razlika v aritmetičnem napredovanju 5 in 1 \u003d 1, potem to pomeni, da je vrsta številk zadevne vrste videti tako: 1, 6, 11, 16, 21, ... lahko vidite, vsak od njegovih članov je 5 več od prejšnjega.

Formule razlike aritmetične progresije

Iz zgornje definicije obravnavane serije številk sledi, da morate za njeno določitev poznati dve številki: a 1 in d. Slednje se imenuje razlika tega napredovanja. Edinstveno določa obnašanje celotne serije. Dejansko, če je d pozitiven, se bo vrsta številk nenehno povečevala, nasprotno, v primeru negativnega d se bodo števila v nizu povečevala le po modulu, medtem ko se bo njihova absolutna vrednost z naraščanjem števila n zmanjšala.

Kakšna je razlika med aritmetično progresijo? Upoštevajte dve glavni formuli, ki se uporabljata za izračun te vrednosti:

1. d = a n+1 -a n , ta formula izhaja neposredno iz definicije obravnavane serije števil.
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), ta izraz dobimo z izražanjem d iz formule, podane v prejšnjem odstavku članka. Upoštevajte, da ta izraz postane nedoločen (0/0), če je n=1. To je posledica dejstva, da je za določitev njegove razlike potrebno poznati vsaj 2 elementa serije.

Ti dve osnovni formuli se uporabljata za reševanje kakršne koli težave pri iskanju razlike v napredovanju. Vendar pa obstaja še ena formula, ki jo morate vedeti.

Vsota prvih elementov

Formulo, s katero je mogoče določiti vsoto poljubnega števila članov algebraične progresije, glede na zgodovinske dokaze, je prvi pridobil "princ" matematike XVIII stoletja Carl Gauss. Nemški znanstvenik, ko je bil še deček v osnovnih razredih vaške šole, je opazil, da je treba za seštevanje naravnih števil v nizu od 1 do 100 najprej sešteti prvi in ​​zadnji element (nastala vrednost bo enaka na vsoto predzadnjega in drugega, predzadnjega in tretjega elementa in tako naprej), nato pa je treba to število pomnožiti s številom teh vsot, to je s 50.

Formulo, ki odraža navedeni rezultat na določenem primeru, lahko posplošimo na poljuben primer. Videti bo tako: S n = n/2*(a n + a 1). Upoštevajte, da za iskanje določene vrednosti poznavanje razlike d ni potrebno, če sta znana dva člana progresije (a n in a 1).

Primer #1. Določite razliko, če poznate dva člana niza a1 in an

V članku bomo pokazali, kako uporabiti zgoraj navedene formule. Dajmo preprost primer: razlika aritmetične progresije je neznana, treba je določiti, čemu bo enaka, če je 13 = -5,6 in 1 = -12,1.

Ker poznamo vrednosti dveh elementov številskega zaporedja in je eden od njih prvo število, lahko uporabimo formulo št. 2 za določitev razlike d. Imamo: d = (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 \u003d 0,54167. V izrazu smo uporabili vrednost n=13, saj je član s to redno številko znan.

Nastala razlika kaže, da se napredovanje povečuje, kljub dejstvu, da imajo elementi, podani v pogoju problema, negativno vrednost. Vidi se, da je a 13 >a 1, čeprav |a 13 |<|a 1 |.

Primer #2. Pozitivni izrazi napredovanja v primeru #1

Uporabimo rezultat, pridobljen v prejšnjem primeru, da rešimo nov problem. Formulira se takole: od katere redne številke začnejo elementi napredovanja v primeru št. 1 jemati pozitivne vrednosti?

Kot je bilo prikazano, se progresija, v kateri je a 1 = -12,1 in d = 0,54167, povečuje, zato bodo od določenega števila števila dobila le pozitivne vrednosti. Za določitev tega števila n je treba rešiti preprosto neenakost, ki jo matematično zapišemo takole: a n>0 ali pa z ustrezno formulo neenakost prepišemo: a 1 + (n-1)*d>0. Treba je najti neznano n, izrazimo jo: n>-1*a 1 /d + 1. Zdaj je treba zamenjati znane vrednosti razlike in prvega člana zaporedja. Dobimo: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 ali n>23,338. Ker lahko n prevzame samo cele vrednosti, iz dobljene neenakosti sledi, da bodo vsi členi niza, ki imajo število večje od 23, pozitivni.

Preverimo naš odgovor z uporabo zgornje formule za izračun 23. in 24. elementa te aritmetične progresije. Imamo: a 23 \u003d -12,1 + 22 * ​​0,54167 \u003d -0,18326 (negativno število); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (pozitivna vrednost). Tako je dobljeni rezultat pravilen: od n=24 bodo vsi člani številskega niza večji od nič.

Primer #3. Koliko hlodov bo ustrezalo?

Tu je ena zanimiva težava: med sečnjo je bilo odločeno, da žagane hlode zložimo eno na drugo, kot je prikazano na spodnji sliki. Koliko hlodov je mogoče zložiti na ta način, če vemo, da bo skupno 10 vrstic?

Pri tem načinu zlaganja hlodov je mogoče opaziti eno zanimivost: vsaka naslednja vrstica bo vsebovala en dnevnik manj kot prejšnja, torej obstaja algebraična progresija, katere razlika je d=1. Ob predpostavki, da je število hlodov v vsaki vrstici član te progresije, in ob upoštevanju, da je a 1 = 1 (samo en dnevnik se bo prilegal na sam vrh), najdemo število a 10 . Imamo: 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. To pomeni, da bo v 10. vrstici, ki leži na tleh, 10 hlodov.

Skupno količino te "piramidalne" konstrukcije lahko dobimo z uporabo Gaussove formule. Dobimo: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 dnevnikov.

Tema "aritmetična progresija" se obravnava v splošnem tečaju algebre v šolah v 9. razredu. Ta tema je pomembna za nadaljnji poglobljeni študij matematike številskih vrst. V tem članku se bomo seznanili z aritmetično progresijo, njeno razliko, pa tudi s tipičnimi nalogami, s katerimi se lahko soočajo šolarji.

Koncept algebraične progresije

Številčna progresija je zaporedje številk, v katerem je vsak naslednji element mogoče dobiti iz prejšnjega, če uporabimo kakšen matematični zakon. Obstajata dve preprosti vrsti progresije: geometrijska in aritmetična, ki ji pravimo tudi algebraična. Osredotočimo se na to podrobneje.

Predstavljajte si neko racionalno število, označite ga s simbolom a1, kjer indeks označuje njegovo redno številko v obravnavanem nizu. A1 dodajmo še kakšno drugo število, označimo ga z d. Nato lahko drugi element serije odražamo takole: a2 = a1+d. Sedaj še enkrat dodamo d, dobimo: a3 = a2+d. Če nadaljujete s to matematično operacijo, lahko dobite celo vrsto številk, ki jih bomo imenovali aritmetična progresija.

Kot je razvidno iz zgornjega, morate za iskanje n-tega elementa tega zaporedja uporabiti formulo: an = a1 + (n-1) * d. Dejansko, če v izraz nadomestimo n=1, dobimo a1 = a1, če je n = 2, potem sledi iz formule: a2 = a1 + 1*d itd.

Na primer, če je razlika aritmetične progresije 5 in a1 = 1, potem to pomeni, da je vrsta številk obravnavane vrste videti tako: 1, 6, 11, 16, 21, ... Kot lahko vidite , je vsak njen član 5 več od prejšnjega.

Formule razlike aritmetične progresije

Iz zgornje definicije obravnavanega niza številk sledi, da je za njegovo določitev potrebno poznati dve številki: a1 in d. Slednje se imenuje razlika tega napredovanja. Edinstveno določa obnašanje celotne serije. Dejansko, če je d pozitiven, se bo vrsta številk nenehno povečevala, nasprotno, v primeru negativnega d se bodo števila v nizu povečevala le po modulu, medtem ko se bo njihova absolutna vrednost z naraščanjem števila n zmanjšala.

Kakšna je razlika med aritmetično progresijo? Upoštevajte dve glavni formuli, ki se uporabljata za izračun te vrednosti:

d = an+1-an, ta formula izhaja neposredno iz definicije obravnavane serije števil.

d = (-a1+an)/(n-1), ta izraz dobimo tako, da izrazimo d iz formule, podane v prejšnjem odstavku člena. Upoštevajte, da ta izraz postane nedoločen (0/0), če je n=1. To je posledica dejstva, da je za določitev njegove razlike potrebno poznati vsaj 2 elementa serije.

Ti dve osnovni formuli se uporabljata za reševanje kakršne koli težave pri iskanju razlike v napredovanju. Vendar pa obstaja še ena formula, ki jo morate vedeti.

Vsota prvih elementov

Formulo, s katero je mogoče določiti vsoto poljubnega števila članov algebraične progresije, glede na zgodovinske dokaze, je prvi dobil »princ« matematike 18. stoletja Carl Gauss. Nemški znanstvenik, ko je bil še deček v osnovnih razredih vaške šole, je opazil, da je treba za seštevanje naravnih števil v nizu od 1 do 100 najprej sešteti prvi in ​​zadnji element (nastala vrednost bo enaka na vsoto predzadnjega in drugega, predzadnjega in tretjega elementa in tako naprej), nato pa je treba to število pomnožiti s številom teh vsot, to je s 50.

Formulo, ki odraža navedeni rezultat na določenem primeru, lahko posplošimo na poljuben primer. Videti bo tako: Sn = n/2*(an+a1). Upoštevajte, da za iskanje določene vrednosti poznavanje razlike d ni potrebno, če sta znana dva člana progresije (an in a1).

Primer #1. Določite razliko, če poznate dva člana niza a1 in an

V članku bomo pokazali, kako uporabiti zgoraj navedene formule. Dajmo preprost primer: razlika aritmetične progresije je neznana, treba je določiti, čemu bo enaka, če je a13 = -5,6 in a1 = -12,1.

Ker poznamo vrednosti dveh elementov številskega zaporedja in je eden od njih prvo število, lahko uporabimo formulo št. 2 za določitev razlike d. Imamo: d = (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 \u003d 0,54167. V izrazu smo uporabili vrednost n=13, saj je član s to redno številko znan.

Nastala razlika kaže, da se napredovanje povečuje, kljub dejstvu, da imajo elementi, podani v pogoju problema, negativno vrednost. Vidimo, da je a13>a1, čeprav |a13|<|a1|.

Primer #2. Pozitivni izrazi napredovanja v primeru #1

Uporabimo rezultat, pridobljen v prejšnjem primeru, da rešimo nov problem. Formulira se takole: od katere redne številke začnejo elementi napredovanja v primeru št. 1 jemati pozitivne vrednosti?

Kot je bilo prikazano, se progresija, v kateri je a1 = -12,1 in d = 0,54167, povečuje, zato bodo od nekega števila števila začela jemati samo pozitivne vrednosti. Za določitev tega števila n je treba rešiti preprosto neenakost, ki jo matematično zapišemo takole: an>0 ali pa z ustrezno formulo neenakost prepišemo: a1 + (n-1)*d>0. Treba je najti neznano n, izrazimo jo: n>-1*a1/d + 1. Zdaj je treba zamenjati znane vrednosti razlike in prvega člana zaporedja. Dobimo: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 ali n>23,338. Ker lahko n prevzame samo cele vrednosti, iz dobljene neenakosti sledi, da bodo vsi členi niza, ki imajo število večje od 23, pozitivni.

Preverimo naš odgovor z uporabo zgornje formule za izračun 23. in 24. elementa te aritmetične progresije. Imamo: a23=-12,1 + 22*0,54167 = -0,18326 (negativno število); a24=-12,1 + 23*0,54167 =0,3584 (pozitivna vrednost). Tako je dobljeni rezultat pravilen: od n=24 bodo vsi člani številskega niza večji od nič.

Primer #3. Koliko hlodov bo ustrezalo?

Tu je ena zanimiva težava: med sečnjo je bilo odločeno, da žagane hlode zložimo eno na drugo, kot je prikazano na spodnji sliki. Koliko hlodov je mogoče zložiti na ta način, če vemo, da bo skupno 10 vrstic?

Pri tem načinu zlaganja hlodov je mogoče opaziti eno zanimivost: vsaka naslednja vrstica bo vsebovala en dnevnik manj kot prejšnja, torej obstaja algebraična progresija, katere razlika je d=1. Ob predpostavki, da je število hlodov v vsaki vrstici član te progresije, in tudi ob upoštevanju, da je a1 = 1 (samo en dnevnik se bo prilegal na sam vrh), najdemo število a10. Imamo: a10 = 1 + 1*(10-1) = 10. To pomeni, da bo v 10. vrstici, ki leži na tleh, 10 hlodov.

Skupno količino te "piramidalne" konstrukcije lahko dobimo z uporabo Gaussove formule. Dobimo: S10 = 10/2*(10+1) = 55 hlodov.

Prva stopnja

Aritmetično napredovanje. Podrobna teorija s primeri (2019)

Številčno zaporedje

Zato se usedimo in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:
Napišete lahko poljubne številke in jih je lahko kolikor želite (v našem primeru jih). Ne glede na to, koliko števil zapišemo, lahko vedno rečemo, katero od njih je prvo, katero drugo in tako naprej do zadnjega, torej jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja:

Številčno zaporedje
Na primer za naše zaporedje:

Dodeljena številka je specifična samo za eno zaporedno številko. Z drugimi besedami, v zaporedju ni treh drugih številk. Druga številka (tako kot -ta številka) je vedno enaka.
Število s številko se imenuje --ti član zaporedja.

Celotno zaporedje običajno imenujemo neka črka (na primer), in vsak član tega zaporedja - ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člana: .

v našem primeru:

Recimo, da imamo številčno zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi števili enaka in enaka.
Na primer:

itd.
Takšno številčno zaporedje imenujemo aritmetična progresija.
Izraz "napredovanje" je uvedel rimski avtor Boecij že v 6. stoletju in je bil v širšem smislu razumljen kot neskončno številčno zaporedje. Ime "aritmetika" je bilo preneseno iz teorije neprekinjenih razmerij, s katero so se ukvarjali stari Grki.

To je številčno zaporedje, katerega vsak član je enak prejšnjemu, dodanemu z istim številom. To število se imenuje razlika aritmetične progresije in je označeno.

Poskusite ugotoviti, katera številska zaporedja so aritmetična progresija in katera niso:

a)
b)
c)
d)

Razumem? Primerjaj naše odgovore:
Je aritmetična progresija - b, c.
Ni aritmetična progresija - a, d.

Vrnimo se na dano progresijo () in poskusimo najti vrednost njenega th člana. Obstajati dve način, da ga najdeš.

1. Metoda

Prejšnji vrednosti števila napredovanja lahko dodajamo, dokler ne dosežemo th člena napredovanja. Dobro je, da nimamo veliko za povzeti - samo tri vrednote:

Torej je --ti član opisane aritmetične progresije enak.

2. Način

Kaj pa, če bi morali najti vrednost th člena napredovanja? Seštevanje bi nam vzelo več kot eno uro in ni dejstvo, da se pri seštevanju številk ne bi zmotili.
Seveda so matematiki izmislili način, da vam prejšnji vrednosti ni treba dodati razlike aritmetične progresije. Pozorno poglejte narisano sliko ... Gotovo ste že opazili določen vzorec, in sicer:

Na primer, poglejmo, kaj sestavlja vrednost --ega člana te aritmetične progresije:


Z drugimi besedami:

Poskusite na ta način samostojno najti vrednost člana te aritmetične progresije.

Izračunano? Primerjaj svoje vnose z odgovorom:

Bodite pozorni, da ste dobili popolnoma enako število kot pri prejšnji metodi, ko smo prejšnji vrednosti zaporedno dodajali člane aritmetične progresije.
Poskusimo "depersonalizirati" to formulo - spravimo jo v splošno obliko in dobimo:

Enačba aritmetične progresije.

Aritmetične progresije se povečujejo ali zmanjšujejo.

Povečanje- napredovanja, v katerih je vsaka naslednja vrednost izrazov večja od prejšnje.
Na primer:

Padajoče- napredovanja, v katerih je vsaka naslednja vrednost pogojev manjša od prejšnje.
Na primer:

Izpeljana formula se uporablja pri izračunu izrazov v naraščajočih in padajočih izrazih aritmetične progresije.
Preverimo v praksi.
Dobimo aritmetično progresijo, sestavljeno iz naslednjih številk:

Od takrat:

Tako smo bili prepričani, da formula deluje tako pri padajoči kot pri naraščajoči aritmetični progresiji.
Poskusite sami poiskati -th in -th člana te aritmetične progresije.

Primerjajmo rezultate:

Lastnost aritmetične progresije

Zapletemo nalogo – izpeljemo lastnost aritmetične progresije.
Recimo, da imamo naslednji pogoj:
- aritmetična progresija, poiščite vrednost.
Preprosto je, pravite, in začnite šteti po formuli, ki jo že poznate:

Naj, a, potem:

Popolnoma prav. Izkazalo se je, da najprej najdemo, nato jo dodamo prvi številki in dobimo, kar iščemo. Če je napredovanje predstavljeno z majhnimi vrednostmi, potem v tem ni nič zapletenega, kaj pa, če so nam v pogoju podane številke? Strinjam se, obstaja možnost napak pri izračunih.
Zdaj pomislite, ali je mogoče ta problem rešiti v enem koraku s katero koli formulo? Seveda, da, in zdaj ga bomo poskušali razkriti.

Označimo želeni člen aritmetične progresije, saj poznamo formulo za iskanje - to je ista formula, ki smo jo izpeljali na začetku:
, potem:

• prejšnji član napredovanja je:
• naslednji termin napredovanja je:

Seštejmo prejšnje in naslednje člane napredovanja:

Izkazalo se je, da je vsota prejšnjega in naslednjih članov progresije dvakrat večja od vrednosti člana napredovanja, ki se nahaja med njima. Z drugimi besedami, da bi našli vrednost napredovalnega člana z znanimi prejšnjimi in zaporednimi vrednostmi, jih je treba sešteti in deliti.

Tako je, dobili smo isto številko. Popravimo material. Vrednost za napredovanje si izračunajte sami, saj to sploh ni težko.

Dobro opravljeno! O napredovanju veste skoraj vse! Ostaja še ugotoviti samo eno formulo, ki jo je, po legendi, eden največjih matematikov vseh časov, "kralj matematikov" - Karl Gauss, zlahka sklepal zase ...

Ko je bil Carl Gauss star 9 let, je učitelj, zaposlen s preverjanjem dela učencev iz drugih razredov, pri pouku zastavil naslednjo nalogo: "Izračunaj vsoto vseh naravnih števil od do (po drugih virih do) vključno. " Kakšno je bilo presenečenje učitelja, ko je eden od njegovih učencev (to je bil Karl Gauss) po minuti dal pravilen odgovor na nalogo, medtem ko je večina sošolcev drznika po dolgih izračunih prejela napačen rezultat ...

Mladi Carl Gauss je opazil vzorec, ki ga zlahka opazite.
Recimo, da imamo aritmetično progresijo, sestavljeno iz -ti članov: Najti moramo vsoto danih članov aritmetične progresije. Seveda lahko ročno seštejemo vse vrednosti, a kaj, če moramo v nalogi najti vsoto njenih členov, kot je iskal Gauss?

Opišimo napredovanje, ki nam je dano. Pozorno si oglejte označene številke in poskusite z njimi izvesti različne matematične operacije.


Poskušal? Kaj ste opazili? Pravilno! Njihove vsote so enake

Zdaj pa odgovori, koliko takih parov bo v napredovanju, ki nam je dano? Seveda točno polovica vseh številk, tj.
Na podlagi dejstva, da je vsota dveh članov aritmetične progresije enaka in podobnih enakih parov, dobimo, da je skupna vsota enaka:
.
Tako bo formula za vsoto prvih členov katere koli aritmetične progresije:

Pri nekaterih težavah ne poznamo th izraza, poznamo pa razliko v napredovanju. Poskusite v formulo vsote nadomestiti formulo th člana.
kaj si dobil?

Dobro opravljeno! Zdaj pa se vrnimo k problemu, ki ga je dobil Carl Gauss: sami izračunajte, kolikšna je vsota števil, ki se začnejo od -th, in vsota števil, ki se začnejo od -th.

koliko si dobil?
Gauss se je izkazal, da je vsota členov enaka in vsota členov. Ste se tako odločili?

Pravzaprav je formulo za vsoto članov aritmetične progresije dokazal starogrški znanstvenik Diofant že v 3. stoletju in ves ta čas so duhoviti ljudje z vso močjo uporabljali lastnosti aritmetične progresije.
Predstavljajte si na primer stari Egipt in največje gradbišče tistega časa - gradnjo piramide ... Slika prikazuje eno stran le-te.

Kje je tukaj napredek, pravite? Pozorno poglejte in poiščite vzorec v številu peščenih blokov v vsaki vrsti stene piramide.


Zakaj ne aritmetična progresija? Preštejte, koliko blokov je potrebnih za izgradnjo ene stene, če so opeke iz blokov postavljene v podlago. Upam, da ne boste šteli s premikanjem prsta po monitorju, se spomnite zadnje formule in vsega, kar smo rekli o aritmetični progresiji?

V tem primeru je napredovanje videti takole:
Razlika v aritmetičnem napredovanju.
Število članov aritmetične progresije.
Zamenjajmo naše podatke v zadnje formule (število blokov štejemo na 2 načina).

1. metoda.

2. metoda.

In zdaj lahko izračunate tudi na monitorju: primerjajte pridobljene vrednosti s številom blokov, ki so v naši piramidi. Se je strinjalo? Bravo, osvojili ste vsoto th členov aritmetične progresije.
Seveda ne morete zgraditi piramide iz blokov na dnu, ampak iz? Poskusite izračunati, koliko peščenih opek je potrebnih za gradnjo stene s tem pogojem.
Vam je uspelo?
Pravilen odgovor so bloki:

Telovaditi

Naloge:

1. Maša prihaja v formo za poletje. Vsak dan poveča število počepov. Kolikokrat bo Maša počepnila v tednih, če je počepe naredila na prvem treningu.
2. Kolikšna je vsota vseh lihih števil, ki jih vsebuje.
3. Pri shranjevanju hlodovine jih drvarji zlagajo tako, da je v vsaki zgornji plasti en polen manj kot v prejšnjem. Koliko hlodov je v enem zidu, če je osnova zidane hlode.

odgovori:

1. Določimo parametre aritmetične progresije. V tem primeru
   (tedni = dnevi).

   odgovor:Čez dva tedna naj Maša počepne enkrat na dan.

2. Prva liha številka, zadnja številka.
   Razlika v aritmetičnem napredovanju.
   Število lihih števil na polovico pa preverite to dejstvo s formulo za iskanje --toga člana aritmetične progresije:

   Številke vsebujejo liha števila.
   Razpoložljive podatke nadomestimo v formulo:

   odgovor: Vsota vseh lihih števil, ki jih vsebuje, je enaka.

3. Spomnimo se problema s piramidami. V našem primeru a , ker je vsak zgornji sloj zmanjšan za en dnevnik, obstaja le kup plasti, tj.
   Zamenjajte podatke v formuli:

   odgovor: V zidu so hlodi.

Povzetek

1. - številčno zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi števili enaka in enaka. Povečuje se in upada.
2. Iskanje formule th član aritmetične progresije je zapisan s formulo - , kjer je število števil v progresiji.
3. Lastnost članov aritmetične progresije- - kjer - število številk v napredovanju.
4. Vsota članov aritmetične progresije najdemo na dva načina:
   
   , kjer je število vrednosti.

ARITHMETIČNI NAPREDEK. SREDNJA STOPNJA

Številčno zaporedje

Usedimo se in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:

Napišete lahko poljubne številke in jih je lahko kolikor želite. Vedno pa lahko poveš, kateri od njih je prvi, kateri drugi in tako naprej, torej jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja.

Številčno zaporedje je niz številk, od katerih je vsakemu mogoče dodeliti edinstveno številko.

Z drugimi besedami, vsako število je lahko povezano z določenim naravnim številom in samo z enim. In te številke ne bomo dodelili nobeni drugi številki iz tega niza.

Število s številko se imenuje --ti član zaporedja.

Celotno zaporedje običajno imenujemo neka črka (na primer), in vsak član tega zaporedja - ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člana: .

Zelo priročno je, če lahko --ti član zaporedja podamo z neko formulo. Na primer formula

nastavi zaporedje:

In formula je naslednje zaporedje:

Na primer, aritmetična progresija je zaporedje (prvi člen je tukaj enak in razlika). Ali (, razlika).

formula za n-ti izraz

Ponavljajoča se imenuje formula, v kateri morate, da bi ugotovili --ti člen, poznati prejšnji ali več prejšnjih:

Da bi na primer našli th člen napredovanja s takšno formulo, moramo izračunati prejšnjih devet. Na primer, naj. Nato:

No, zdaj je jasno, kakšna je formula?

V vsaki vrstici dodamo do, pomnoženo z neko številko. Za kaj? Zelo preprosto: to je številka trenutnega člana minus:

Zdaj je veliko bolj udobno, kajne? Preverimo:

Odločite se sami:

V aritmetični progresiji poiščite formulo za n-ti člen in poiščite stoti člen.

Odločitev:

Prvi član je enak. In kakšna je razlika? In tukaj:

(navsezadnje se imenuje razlika, ker je enaka razliki zaporednih članov progresije).

Torej je formula:

Potem je stoti člen:

Kolikšna je vsota vseh naravnih števil od do?

Po legendi je veliki matematik Carl Gauss, ki je bil 9-letni deček, to količino izračunal v nekaj minutah. Opazil je, da je vsota prvega in zadnjega števila enaka, vsota drugega in predzadnjega enaka, vsota tretjega in 3. s konca enaka itd. Koliko je takih parov? Tako je, točno polovica vseh številk, tj. torej

Splošna formula za vsoto prvih členov katere koli aritmetične progresije bo:

Primer:
Poiščite vsoto vseh dvomestnih večkratnikov.

Odločitev:

Prva taka številka je ta. Vsako naslednjo dobimo tako, da prejšnjemu dodamo številko. Tako številke, ki nas zanimajo, tvorijo aritmetično progresijo s prvim členom in razliko.

Formula za th izraz za to napredovanje je:

Koliko členov je v napredovanju, če morajo biti vsi dvomestni?

Zelo enostavno: .

Zadnji člen napredovanja bo enak. Nato vsota:

Odgovor: .

Zdaj pa se odločite sami:

1. Vsak dan športnik teče 1 m več kot prejšnji dan. Koliko kilometrov bo pretekel v tednih, če je prvi dan pretekel km m?
2. Kolesar vsak dan prevozi več kilometrov kot prejšnji. Prvi dan je prevozil km. Koliko dni mora voziti, da prevozi kilometer? Koliko kilometrov bo prepotoval zadnji dan potovanja?
3. Cena hladilnika v trgovini se vsako leto zniža za enak znesek. Ugotovite, za koliko se je vsako leto znižala cena hladilnika, če bi ga, dali na prodajo za rublje, šest let pozneje prodali za rublje.

odgovori:

1. Najpomembnejše pri tem je prepoznati aritmetično progresijo in določiti njene parametre. V tem primeru (tedni = dnevi). Določiti morate vsoto prvih členov tega napredovanja:
   .
   odgovor:
2. Tukaj je podano:, to je treba najti.
   Očitno morate uporabiti isto formulo vsote kot v prejšnji težavi:
   .
   Zamenjaj vrednosti:

   Koren očitno ne ustreza, zato odgovor.
   Izračunajmo prevoženo razdaljo v zadnjem dnevu s formulo --tega člena:
   (km).
   odgovor:

3. Podano: . Najti: .
   Ne bo lažje:
   (drgni).
   odgovor:

ARITHMETIČNI NAPREDEK. NAKRATKO O GLAVNEM

To je številčno zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi števili enaka in enaka.

Aritmetična progresija narašča () in pada ().

Na primer:

Formula za iskanje n-tega člana aritmetične progresije

je zapisana kot formula, kjer je število številk v progresiji.

Lastnost članov aritmetične progresije

Omogoča enostavno iskanje člana progresije, če so znani njegovi sosednji člani – kje je število številk v napredovanju.

Vsota članov aritmetične progresije

Obstajata dva načina za iskanje vsote:

Kje je število vrednosti.

Kje je število vrednosti.

Navodilo

Aritmetična progresija je zaporedje v obliki a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Številka d korak napredovanja.Očitno je vsota poljubnega n-ega člena aritmetike napredovanja ima obliko: An = A1+(n-1)d. Potem pa poznavanje enega od članov napredovanja, član napredovanja in korak napredovanja, je lahko , to je številka napredovanja. Očitno bo določena s formulo n = (An-A1+d)/d.

Naj bo zdaj znan m. izraz napredovanja in še kakšen član napredovanja- n-ti, vendar n , kot v prejšnjem primeru, vendar je znano, da se n in m ne ujemata. Korak napredovanja se lahko izračuna po formuli: d = (An-Am)/(n-m). Potem je n = (An-Am+md)/d.

Če je vsota več elementov aritmetike napredovanja, pa tudi njegov prvi in ​​zadnji , potem je mogoče določiti tudi število teh elementov. Vsota aritmetike napredovanja bo enako: S = ((A1+An)/2)n. Potem so n = 2S/(A1+An) chdenov napredovanja. Z uporabo dejstva, da je An = A1+(n-1)d, lahko to formulo prepišemo kot: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Iz tega lahko izrazimo n z reševanjem kvadratne enačbe.

Aritmetično zaporedje je takšen urejen niz številk, katerega vsak član se, razen prvega, razlikuje od prejšnjega za enako količino. Ta konstanta se imenuje razlika progresije ali njen korak in jo je mogoče izračunati iz znanih članov aritmetične progresije.

Navodilo

Če so vrednosti prvega in drugega ali katerega koli drugega para sosednjih členov znane iz pogojev problema, za izračun razlike (d) preprosto odštejte prejšnji člen od naslednjega. Dobljena vrednost je lahko pozitivna ali negativna – odvisno je od tega, ali se napredovanje povečuje. V splošni obliki zapišite rešitev za poljuben par (aᵢ in aᵢ₊₁) sosednjih članov progresije, kot sledi: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Za par članov takšne progresije, od katerih je eden prvi (a₁), drugi pa kateri koli drug poljubno izbran, lahko naredimo tudi formulo za iskanje razlike (d). Vendar mora biti v tem primeru znana serijska številka (i) poljubno izbranega člana zaporedja. Če želite izračunati razliko, seštejte obe številki in rezultat delite z redno številko poljubnega izraza, zmanjšano za eno. Na splošno zapišite to formulo, kot sledi: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Če je poleg poljubnega člana aritmetične progresije z redno številko i znan še en član z redno številko u, ustrezno spremenite formulo iz prejšnjega koraka. V tem primeru bo razlika (d) napredovanja vsota teh dveh členov, deljena z razliko v njunih rednih številkah: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formula za izračun razlike (d) postane nekoliko bolj zapletena, če je v pogojih problema vrednost njenega prvega člana (a₁) in vsota (Sᵢ) danega števila (i) prvih členov podano aritmetično zaporedje. Če želite dobiti želeno vrednost, vsoto delite s številom izrazov, ki so jo sestavili, odštejte vrednost prvega števila v zaporedju in podvojite rezultat. Dobljeno vrednost delite s številom členov, ki sestavljajo vsoto, zmanjšano za eno. Na splošno zapišite formulo za izračun diskriminanta, kot sledi: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Na primer, zaporedje \(2\); \(5\); \(osem\); \(enajst\); \(14\)… je aritmetična progresija, ker se vsak naslednji element razlikuje od prejšnjega za tri (od prejšnjega lahko dobimo tako, da dodamo tri):

V tem napredovanju je razlika \(d\) pozitivna (enaka \(3\)), zato je vsak naslednji člen večji od prejšnjega. Takšna napredovanja se imenujejo naraščajoče.

Vendar pa je \(d\) lahko tudi negativno število. na primer, v aritmetični progresiji \(16\); \(deset\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… razlika v napredovanju \(d\) je enaka minus šest.

In v tem primeru bo vsak naslednji element manjši od prejšnjega. Ta napredovanja se imenujejo zmanjševanje.

Zapis aritmetičnega napredovanja

Napredovanje je označeno z malo latinično črko.

Številke, ki tvorijo napredovanje, se imenujejo člani(ali elementi).

Označeni so z isto črko kot aritmetična progresija, vendar s številčnim indeksom, ki je po vrstnem redu enak številki elementa.

Na primer, aritmetična progresija \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\) je sestavljena iz elementov \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) in tako naprej.

Z drugimi besedami, za napredovanje \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\)

Reševanje nalog v aritmetični progresiji

Načeloma so zgornji podatki že dovolj za rešitev skoraj vsake težave z aritmetično progresijo (vključno s tistimi, ki jih ponuja OGE).

Primer (OGE). Aritmetična progresija je podana s pogoji \(b_1=7; d=4\). Poiščite \(b_5\).
Odločitev:

odgovor: \(b_5=23\)

Primer (OGE). Podani so prvi trije členi aritmetične progresije: \(62; 49; 36…\) Poiščite vrednost prvega negativnega člena te progresije.
Odločitev:

	Dani so nam prvi elementi zaporedja in vemo, da je to aritmetična progresija. To pomeni, da se vsak element razlikuje od sosednjega za isto število. Ugotovite katerega tako, da prejšnjega odštejete od naslednjega elementa: \(d=49-62=-13\).
	Zdaj lahko obnovimo naš napredek na želeni (prvi negativni) element.
	Pripravljen. Lahko napišeš odgovor.

odgovor: \(-3\)

Primer (OGE). Podanih je več zaporednih elementov aritmetične progresije: \(...5; x; 10; 12,5...\) Poiščite vrednost elementa, označenega s črko \(x\).
Odločitev:

	Da bi našli \(x\), moramo vedeti, koliko se naslednji element razlikuje od prejšnjega, z drugimi besedami, razlika v napredovanju. Poiščimo ga iz dveh znanih sosednjih elementov: \(d=12,5-10=2,5\).
	In zdaj brez težav najdemo tisto, kar iščemo: \(x=5+2,5=7,5\).
	Pripravljen. Lahko napišeš odgovor.

odgovor: \(7,5\).

Primer (OGE). Aritmetična progresija je podana z naslednjimi pogoji: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Poiščite vsoto prvih šestih členov te progresije.
Odločitev:

	Najti moramo vsoto prvih šestih členov napredovanja. Toda ne poznamo njihovih pomenov, podan nam je le prvi element. Zato najprej izračunamo vrednosti po vrsti, pri čemer uporabimo dano: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) In ko izračunamo šest elementov, ki jih potrebujemo, najdemo njihovo vsoto.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Zahtevani znesek je bil najden.

odgovor: \(S_6=9\).

Primer (OGE). V aritmetični progresiji \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Poiščite razliko tega napredovanja.
Odločitev:

odgovor: \(d=7\).

Pomembne formule za aritmetično napredovanje

Kot lahko vidite, je veliko težav z aritmetično progresijo mogoče rešiti preprosto z razumevanjem glavne stvari - da je aritmetična progresija veriga številk in vsak naslednji element v tej verigi dobimo tako, da prejšnjemu dodamo isto število (razlika napredovanja).

Vendar pa včasih obstajajo situacije, ko je zelo neprijetno reševati "na čelu". Predstavljajte si na primer, da v prvem primeru ne moramo najti petega elementa \(b_5\), ampak tristo šestinosemdesetega \(b_(386)\). Kaj je to, moramo \ (385 \) krat sešteti štiri? Ali pa si predstavljajte, da morate v predzadnjem primeru najti vsoto prvih triinsedemdeset elementov. Štetje je zmedeno ...

Zato v takih primerih ne rešujejo "na čelu", ampak uporabljajo posebne formule, izpeljane za aritmetično napredovanje. In glavni sta formula za n-ti člen progresije in formula za vsoto \(n\) prvih členov.

Formula za \(n\)-ti član: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kjer je \(a_1\) prvi član napredovanja;
\(n\) – številka zahtevanega elementa;
\(a_n\) je član napredovanja s številko \(n\).

Ta formula nam omogoča, da hitro najdemo vsaj tristoti, celo milijonti element, pri čemer poznamo samo prvi in ​​progresivno razliko.

Primer. Aritmetična progresija je podana s pogoji: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Poiščite \(b_(246)\).
Odločitev:

odgovor: \(b_(246)=1850\).

Formula za vsoto prvih n členov je: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kjer je

\(a_n\) je zadnji seštevek;

Primer (OGE). Aritmetična progresija je podana s pogoji \(a_n=3,4n-0,6\). Poiščite vsoto prvih \(25\) členov te progresije.
Odločitev:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		Za izračun vsote prvih petindvajset elementov moramo poznati vrednost prvega in petindvajsetega člena. Naše napredovanje je podano s formulo n-ega člena, odvisno od njegovega števila (glej podrobnosti). Izračunajmo prvi element tako, da zamenjamo \(n\) z eno.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Zdaj pa poiščimo petindvajseti člen tako, da namesto \(n\) nadomestimo petindvajset.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		No, zdaj brez težav izračunamo zahtevano količino.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odgovor je pripravljen.

odgovor: \(S_(25)=1090\).

Za vsoto \(n\) prvih členov lahko dobite drugo formulo: samo morate \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) namesto \(a_n\) nadomestite s formulo \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dobimo:

Formula za vsoto prvih n členov je: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kjer je

\(S_n\) – zahtevana vsota \(n\) prvih elementov;
\(a_1\) je prvi člen, ki ga je treba sešteti;
\(d\) – razlika v napredovanju;
\(n\) - število elementov v vsoti.

Primer. Poiščite vsoto prvih \(33\)-ex členov aritmetične progresije: \(17\); \(15,5\); \(štirinajst\)…
Odločitev:

odgovor: \(S_(33)=-231\).

Kompleksnejši problemi aritmetičnega napredovanja

Zdaj imate vse informacije, ki jih potrebujete za rešitev skoraj vsakega problema aritmetičnega napredovanja. Naj zaključimo temo z obravnavanjem problemov, pri katerih morate ne le uporabiti formule, ampak tudi malo razmisliti (pri matematiki je to lahko koristno ☺)

Primer (OGE). Poiščite vsoto vseh negativnih členov napredovanja: \(-19,3\); \(-devetnajst\); \(-18,7\)…
Odločitev:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Naloga je zelo podobna prejšnji. Začnemo reševati na enak način: najprej poiščemo \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Zdaj bi v formulo za vsoto nadomestili \(d\) ... in tukaj se pojavi majhen odtenek - ne vemo \(n\). Z drugimi besedami, ne vemo, koliko izrazov bo treba dodati. Kako ugotoviti? pomislimo. Ko pridemo do prvega pozitivnega elementa, bomo nehali dodajati elemente. To pomeni, da morate ugotoviti številko tega elementa. Kako? Zapišimo formulo za izračun katerega koli elementa aritmetične progresije: \(a_n=a_1+(n-1)d\) za naš primer.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		\(a_n\) moramo biti večji od nič. Ugotovimo, zakaj \(n\) se bo to zgodilo.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obe strani neenakosti delimo z \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Prenesemo minus eno, ne pozabimo spremeniti znakov
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Računalništvo ...
\(n>65,333…\)		…in izkaže se, da bo prvi pozitivni element imel številko \(66\). V skladu s tem ima zadnji negativni \(n=65\). Za vsak slučaj preverimo.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Tako moramo dodati prvih \(65\) elementov.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odgovor je pripravljen.

odgovor: \(S_(65)=-630,5\).

Primer (OGE). Aritmetična progresija je podana s pogoji: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Poiščite vsoto od \(26\)th do vključno \(42\).
Odločitev:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	V tem problemu morate poiskati tudi vsoto elementov, vendar ne od prvega, ampak od \(26\)th. Nimamo formule za to. Kako se odločiti? Enostavno - da dobite vsoto od \(26\)th do \(42\)th, morate najprej poiskati vsoto od \(1\)th do \(42\)th, nato pa od nje odšteti vsoto iz prvi do \ (25 \) th (glej sliko).
	Za našo napredovanje \(a_1=-33\) in razliko \(d=4\) (navsezadnje prejšnjemu elementu dodamo štiri, da najdemo naslednjega). Če to poznamo, najdemo vsoto prvih \(42\)-uh elementov.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Zdaj vsota prvih \(25\)-tih elementov.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	In končno izračunamo odgovor.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

odgovor: \(S=1683\).

Za aritmetično progresijo obstaja še nekaj formul, ki jih v tem članku nismo upoštevali zaradi njihove nizke praktične uporabnosti. Vendar jih zlahka najdete.