Diagram sinusov in kosinusov. Lastnosti tangentoida in kotangtoida

Trigonometrija je veja matematike, ki proučuje trigonometrične funkcije in njihovo uporabo v geometriji. Razvoj trigonometrije se je začel v času stare Grčije. V srednjem veku so k razvoju te znanosti pomembno prispevali znanstveniki z Bližnjega vzhoda in Indije.

Ta članek je posvečen osnovnim pojmom in definicijam trigonometrije. Razpravlja o definicijah glavnega trigonometrične funkcije: sinus, kosinus, tangent in kotangens. Njihov pomen v kontekstu geometrije je pojasnjen in ilustriran.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sprva so bile definicije trigonometričnih funkcij, katerih argument je kot, izražene z razmerjem stranic pravokotnega trikotnika.

Definicije trigonometričnih funkcij

Sinus kota (sin α) je razmerje med krakom nasproti tega kota in hipotenuzo.

Kosinus kota (cos α) je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo.

Tangent kota (t g α) je razmerje med nasprotnim krakom in sosednjim.

Kotangens kota (c t g α) je razmerje med sosednjim krakom in nasprotnim.

Te definicije so podane za ostri kot pravokotnega trikotnika!

Dajmo ilustracijo.

V trikotniku ABC s pravim kotom C je sinus kota A enak razmerju med krakom BC in hipotenuzo AB.

Definicije sinusa, kosinusa, tangenta in kotangensa omogočajo izračun vrednosti teh funkcij iz znanih dolžin stranic trikotnika.

Pomembno si je zapomniti!

Razpon vrednosti sinusa in kosinusa: od -1 do 1. Z drugimi besedami, sinus in kosinus imata vrednosti od -1 do 1. Območje vrednosti tangenta in kotangensa je celotna številska črta, tj. funkcije imajo lahko poljubno vrednost.

Zgoraj podane definicije se nanašajo na ostre kote. V trigonometriji je uveden koncept kota vrtenja, katerega vrednost za razliko od akutnega kota ni omejena z okvirji od 0 do 90 stopinj. Kot vrtenja v stopinjah ali radianih je izražen s katerim koli realnim številom od - ∞ do + ∞.

V tem kontekstu lahko definiramo sinus, kosinus, tangent in kotangens kota poljubne velikosti. Predstavljajte si enotni krog s središčem v izhodišču kartezijanskega koordinatnega sistema.

Začetna točka A s koordinatami (1 , 0) se zavrti okoli središča enotnega kroga za nek kot α in gre v točko A 1 . Definicija je podana skozi koordinate točke A 1 (x, y).

Sinus (sin) kota vrtenja

Sinus rotacijskega kota α je ordinata točke A 1 (x, y). sinα = y

Kosinus (cos) kota vrtenja

Kosinus kota vrtenja α je abscisa točke A 1 (x, y). cos α = x

Tangenta (tg) kota vrtenja

Tangent kota vrtenja α je razmerje med ordinato točke A 1 (x, y) in njeno absciso. t g α = y x

Kotangens (ctg) kota vrtenja

Kotangens kota vrtenja α je razmerje med absciso točke A 1 (x, y) in njeno ordinato. c t g α = x y

Sinus in kosinus sta definirana za kateri koli kot vrtenja. To je logično, saj je absciso in ordinato točke po rotaciji mogoče določiti pod katerim koli kotom. Pri tangenti in kotangensu je situacija drugačna. Tangenta ni definirana, ko gre točka po rotaciji v točko z nič absciso (0 , 1) in (0 , - 1). V takih primerih izraz za tangento t g α = y x preprosto nima smisla, saj vsebuje deljenje z nič. Podobno je s kotangensom. Razlika je v tem, da kotangens ni definiran v primerih, ko ordinata točke izgine.

Pomembno si je zapomniti!

Sinus in kosinus sta definirana za vse kote α.

Tangenta je definirana za vse kote razen α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Kotangens je definiran za vse kote razen α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Pri odločanju praktični primeri ne recite "sinus kota vrtenja α". Besede "kot rotacije" so preprosto izpuščene, kar pomeni, da je iz konteksta že jasno, kaj je na kocki.

Številke

Kaj pa definicija sinusa, kosinusa, tangenta in kotangensa števila in ne kota vrtenja?

Sinus, kosinus, tangent, kotangens števila

Sinus, kosinus, tangent in kotangens števila t imenuje se število, ki je enako sinus, kosinus, tangent in kotangens v t radian.

Na primer, sinus 10 π enak sinusu rotacijski kot 10 π rad.

Obstaja še en pristop k definiciji sinusa, kosinusa, tangenta in kotangensa števila. Razmislimo o tem podrobneje.

kdorkoli pravo število t točka na enotnem krogu je postavljena v korespondenco s središčem v izhodišču pravokotnega kartezijanskega koordinatnega sistema. Sinus, kosinus, tangent in kotangens so opredeljeni v smislu koordinat te točke.

Začetna točka na krogu je točka A s koordinatami (1 , 0).

pozitivno število t

Negativno število t ustreza točki, do katere se bo premaknila izhodiščna točka, če se po krogu premika v nasprotni smeri urinega kazalca in preide pot t.

Zdaj, ko je povezava med številom in točko na krogu vzpostavljena, nadaljujemo z definicijo sinusa, kosinusa, tangente in kotangensa.

Sinus (sin) števila t

Sinus števila t- ordinata točke enotnega kroga, ki ustreza številu t. sin t = y

Kosinus (cos) od t

Kosinus števila t- abscisa točke enotnega kroga, ki ustreza številu t. cos t = x

Tangenta (tg) od t

Tangent števila t- razmerje med ordinato in absciso točke enotnega kroga, ki ustreza številu t. t g t = y x = sin t cos t

Slednje opredelitve so skladne z definicijo, podano na začetku tega razdelka, in ne nasprotujejo. Točka na krogu, ki ustreza številki t, sovpada s točko, do katere preide izhodiščna točka po obračanju skozi kot t radian.

Trigonometrične funkcije kotnega in številčnega argumenta

Vsaka vrednost kota α ustreza določeno vrednost sinus in kosinus tega kota. Tako kot vsi koti α, razen α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) ustreza določeni vrednosti tangente. Kotangens, kot je omenjeno zgoraj, je definiran za vse α, razen za α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Lahko rečemo, da so sin α , cos α , t g α , c t g α funkcije kota alfa ali funkcije kotnega argumenta.

Podobno lahko govorimo o sinusih, kosinusih, tangentih in kotangensih kot funkcijah številčnega argumenta. Vsako pravo število t ustreza določeni vrednosti sinusa ali kosinusa števila t. Vsa števila, razen π 2 + π · k , k ∈ Z, ustrezajo vrednosti tangente. Kotangens je podobno definiran za vsa števila razen π · k , k ∈ Z.

Osnovne funkcije trigonometrije

Sinus, kosinus, tangent in kotangens so osnovne trigonometrične funkcije.

Iz konteksta je običajno jasno, s katerim argumentom trigonometrične funkcije (kotni argument ali številčni argument) imamo opravka.

Vrnimo se k podatkom na samem začetku definicij in kotu alfa, ki leži v območju od 0 do 90 stopinj. Trigonometrične definicije sinusa, kosinusa, tangente in kotangensa se popolnoma ujemajo z geometrijskimi definicijami, ki jih dajejo razmerja stranic pravokotnega trikotnika. Pokažimo.

Vzemite enotni krog s središčem pravokotnega kartezijanskega koordinatnega sistema. Zavrtimo začetno točko A (1, 0) za kot do 90 stopinj in iz nastale točke A 1 (x, y) potegnemo pravokotno na os x. V nastalem pravokotnem trikotniku je kot A 1 O H enak kotu vrtenja α, dolžina kraka O H je enaka abscisi točke A 1 (x, y) . Dolžina kraka nasproti vogala je enaka ordinati točke A 1 (x, y), dolžina hipotenuze pa je enaka eni, saj je polmer enotnega kroga.

V skladu z definicijo iz geometrije je sinus kota α enak razmerju med nasprotnim krakom in hipotenuzo.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 = y

To pomeni, da je definicija sinusa ostrega kota v pravokotnem trikotniku skozi razmerje stranic enaka definiciji sinusa vrtilnega kota α, pri čemer alfa leži v območju od 0 do 90 stopinj.

Podobno je mogoče prikazati ujemanje definicij za kosinus, tangent in kotangens.

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Kjer so bile obravnavane naloge za reševanje pravokotnega trikotnika, sem obljubil, da bom predstavil tehniko zapomnitve definicij sinusa in kosinusa. Z njegovo uporabo se boste vedno hitro spomnili, kateri krak pripada hipotenuzi (sosednji ali nasprotni). Odločil sem se, da tega ne bom odlašal v nedogled, potrebnega materiala spodaj, si oglejte

Dejstvo je, da sem večkrat opazil, kako si učenci od 10. do 11. razreda težko zapomnijo te definicije. Zelo dobro se spomnijo, da se noga nanaša na hipotenuzo, a katero- pozabi in zmeden. Cena napake, kot veste na izpitu, je izgubljen rezultat.

Podatki, ki jih bom neposredno predstavil matematiki, nimajo nobene povezave. Povezan je s figurativnim mišljenjem in z metodami verbalno-logične povezave. Tako je, tudi sam sem se enkrat za vselej spomnildefinicijskih podatkov. Če jih še vedno pozabite, si jih je s pomočjo predstavljenih tehnik vedno enostavno zapomniti.

Naj vas spomnim na definicije sinusa in kosinusa v pravokotnem trikotniku:

kosinus ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo:

Sinus ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotnim krakom in hipotenuzo:

Kakšne asociacije torej v vas vzbuja beseda kosinus?

Verjetno ima vsak svojeZapomni si povezavo:

Tako boste takoj imeli v spominu izraz -

«… razmerje sosednje noge proti hipotenuzi».

Problem z definicijo kosinusa je rešen.

Če se morate spomniti definicije sinusa v pravokotnem trikotniku, potem ko se spomnite definicije kosinusa, lahko zlahka ugotovite, da je sinus akutnega kota v pravokotnem trikotniku razmerje med nasprotnim krakom in hipotenuzo. Navsezadnje obstajata samo dve nogi, če sosednjo nogo "zasede" kosinus, potem za sinus ostane le nasprotna stran.

Kaj pa tangenta in kotangensa? Ista zmeda. Učenci vedo, da je to razmerje med nogami, vendar je težava, da si zapomnijo, katera se nanaša na katero – nasprotno od sosednje ali obratno.

Definicije:

Tangenta ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotnim krakom in sosednjim:

Kotangens ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med sosednjim krakom in nasprotnim:

Kako se spomniti? Obstajata dva načina. Ena uporablja tudi besedno-logično povezavo, druga pa matematično.

MATEMATIČNA METODA

Obstaja taka definicija - tangent akutnega kota je razmerje med sinusom kota in njegovim kosinusom:

* Če se spomnite formule, lahko vedno ugotovite, da je tangenta akutnega kota v pravokotnem trikotniku razmerje med nasprotno nogo in sosednjo.

Prav tako.Kotangens akutnega kota je razmerje med kosinusom kota in njegovim sinusom:

Torej! Če se spomnite teh formul, lahko vedno ugotovite, da:

- tangenta ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotnim krakom in sosednjim

- kotangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med sosednjim krakom in nasprotnim.

VERBALNO-LOGIČNA METODA

Glede tangente. Zapomni si povezavo:

Se pravi, če se morate spomniti definicije tangente, se z uporabo te logične povezave zlahka spomnite, kaj je

"... razmerje med nasprotno nogo in sosednjo"

Če gre za kotangens, potem, če se spomnite definicije tangente, lahko preprosto izrazite definicijo kotangensa -

"... razmerje med sosednjo in nasprotno nogo"

Na mestu je zanimiva tehnika zapomnitve tangente in kotangensa " Matematični tandem " , glej.

METODA UNIVERZALNA

Lahko samo zmelješ.A kot kaže praksa, si človek zahvaljujoč verbalno-logičnim povezavam dolgo zapomni informacije in ne le matematične.

Upam, da vam je bilo gradivo koristno.

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Hvaležen bi bil, če bi o spletnem mestu povedali na družbenih omrežjih.

Trigonometrija kot znanost izvira iz starodavnega vzhoda. Prva trigonometrična razmerja so razvili astronomi, da bi ustvarili natančen koledar in orientirali po zvezdah. Ti izračuni so se nanašali na sferično trigonometrijo, medtem ko v šolskem tečaju preučujejo razmerje med stranicami in kotom ravnega trikotnika.

Trigonometrija je veja matematike, ki se ukvarja z lastnostmi trigonometričnih funkcij ter razmerjem med stranicami in koti trikotnikov.

V času razcveta kulture in znanosti v 1. tisočletju našega štetja se je znanje razširilo od starodavnega vzhoda do Grčije. Toda glavna odkritja trigonometrije so zasluge mož Arabski kalifat. Zlasti turkmenski znanstvenik al-Marazvi je uvedel funkcije, kot sta tangenta in kotangens, sestavil prve tabele vrednosti za sinuse, tangente in kotangense. Koncept sinusa in kosinusa so uvedli indijski znanstveniki. Veliko pozornosti je namenjeno trigonometriji v delih tako velikih antičnih osebnosti, kot so Evklid, Arhimed in Eratosten.

Osnovne količine trigonometrije

Osnovne trigonometrične funkcije numeričnega argumenta so sinus, kosinus, tangent in kotangens. Vsak od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangent in kotangens.

Formule za izračun vrednosti teh količin temeljijo na Pitagorejevem izreku. Šolarjem je bolj znana formulacija: "Pitagorejske hlače, enake v vseh smereh", saj je dokaz podan na primeru enakokrakega pravokotnega trikotnika.

Sinus, kosinus in druge odvisnosti vzpostavljajo razmerje med ostrimi koti in stranicami katerega koli pravokotnega trikotnika. Podamo formule za izračun teh količin za kot A in sledimo razmerju trigonometričnih funkcij:

Kot lahko vidite, sta tg in ctg inverzne funkcije. Če predstavljamo krak a kot produkt sin A in hipotenuzo c, krak b pa kot cos A * c, dobimo naslednji formuli za tangento in kotangens:

trigonometrični krog

Grafično lahko razmerje omenjenih količin predstavimo na naslednji način:

Krog je v tem primeru vse možne vrednosti kot α — od 0° do 360°. Kot je razvidno iz slike, ima vsaka funkcija negativno ali pozitivno vrednost, odvisno od kota. Na primer, sin α bo z znakom "+", če α pripada I in II četrtini kroga, torej je v območju od 0 ° do 180 °. Pri α od 180° do 360° (III in IV četrtina) je sin α lahko le negativna vrednost.

Poskusimo sestaviti trigonometrične tabele za določene kote in ugotoviti pomen količin.

Vrednosti α, ki so enake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° in tako naprej, se imenujejo posebni primeri. Vrednosti trigonometričnih funkcij zanje so izračunane in predstavljene v obliki posebnih tabel.

Ti koti niso bili izbrani naključno. Oznaka π v tabelah je za radiane. Rad je kot, pri katerem dolžina krožnega loka ustreza njegovemu polmeru. Ta vrednost je bila uvedena, da bi vzpostavili univerzalno razmerje; pri izračunu v radianih dejanska dolžina polmera v cm ni pomembna.

Koti v tabelah za trigonometrične funkcije ustrezajo radianskim vrednostim:

Torej ni težko uganiti, da je 2π polni krog ali 360°.

Lastnosti trigonometričnih funkcij: sinus in kosinus

Za upoštevanje in primerjavo osnovnih lastnosti sinusa in kosinusa, tangenta in kotangensa je treba narisati njihove funkcije. To je mogoče narediti v obliki krivulje, ki se nahaja v dvodimenzionalnem koordinatnem sistemu.

Razmislite primerjalna tabela Lastnosti sinusoidnega in kosinusnega vala:

sinusoida	kosinusni val
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; ena]	ODZ [-1; ena]
sin x = 0, za x = πk, kjer je k ϵ Z	cos x = 0, za x = π/2 + πk, kjer je k ϵ Z
sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, kjer je k ϵ Z	cos x = 1, za x = 2πk, kjer je k ϵ Z
sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, kjer je k ϵ Z	cos x = - 1, za x = π + 2πk, kjer je k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, torej liha funkcija	cos (-x) = cos x, torej funkcija je soda
	funkcija je periodična, najmanjša perioda je 2π
sin x › 0, pri čemer x pripada četrti I in II ali od 0° do 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, pri čemer x pripada četrti I in IV ali od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, pri čemer x pripada četrti III in IV ali od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, pri čemer x pripada četrti II in III ali od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
narašča na intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	narašča na intervalu [-π + 2πk, 2πk]
pada na intervalih [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	v intervalih se zmanjšuje
izpeljanka (sin x)' = cos x	izpeljanka (cos x)’ = - sin x

Ugotavljanje, ali je funkcija soda ali ne, je zelo preprosto. Dovolj je, da si zamislimo trigonometrični krog z znaki trigonometričnih količin in miselno "zložimo" graf glede na os OX. Če so predznaki enaki, je funkcija soda, sicer pa liha.

Uvedba radianov in naštevanje glavnih lastnosti sinusoidnega in kosinusnega vala nam omogočata naslednjo pravilnost:

Zelo enostavno je preveriti pravilnost formule. Na primer, za x = π/2 je sinus enak 1, prav tako kosinus x = 0. Preverjanje se lahko izvede s pregledovanjem tabel ali s sledenjem funkcijskih krivulj za dane vrednosti.

Lastnosti tangentoida in kotangtoida

Grafi tangentne in kotangensne funkcije se bistveno razlikujejo od sinusoidnega in kosinusnega vala. Vrednosti tg in ctg sta med seboj inverzni.

1. Y = tgx.
2. Tangenta teži k vrednostim y pri x = π/2 + πk, vendar jih nikoli ne doseže.
3. Najmanjša pozitivna obdobja tangentoida je π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, torej funkcija je liha.
5. Tg x = 0, za x = πk.
6. Funkcija se povečuje.
7. Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Izpeljanka (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Oglejte si grafični prikaz kotangtoida spodaj v besedilu.

Glavne lastnosti kotangtoida:

1. Y = ctgx.
2. Za razliko od sinusnih in kosinusnih funkcij lahko tangentoid Y prevzame vrednosti množice vseh realnih števil.
3. Kotangentoid se nagiba k vrednostim y pri x = πk, vendar jih nikoli ne doseže.
4. Najmanjša pozitivna obdobja kotangentoida je π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, torej funkcija je liha.
6. Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
7. Funkcija se zmanjšuje.
8. Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Izpeljanka (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Popravi

Podana so razmerja med glavnimi trigonometričnimi funkcijami - sinusom, kosinusom, tangentom in kotangensom. trigonometrične formule. In ker je med trigonometričnimi funkcijami precej povezav, to pojasnjuje tudi obilico trigonometričnih formul. Nekatere formule povezujejo trigonometrične funkcije istega kota, druge - funkcije večkratnega kota, druge - omogočajo znižanje stopnje, četrte - izražanje vseh funkcij skozi tangento polovičnega kota itd.

V tem članku po vrsti navajamo vse osnovne trigonometrične formule, ki zadostujejo za reševanje velike večine trigonometrijskih problemov. Zaradi lažjega pomnjenja in uporabe jih bomo združili glede na njihov namen in jih vnesli v tabele.

Navigacija po straneh.

Osnovne trigonometrične identitete

Glavni trigonometrične identitete nastavite razmerje med sinusom, kosinusom, tangentom in kotangensom enega kota. Izhajajo iz definicije sinusa, kosinusa, tangente in kotangensa ter koncepta enotnega kroga. Omogočajo vam, da izrazite eno trigonometrično funkcijo skozi katero koli drugo.

Za podroben opis teh trigonometrijskih formul, njihovo izpeljavo in primere uporabe glejte članek.

Formule za oddajanje

Formule za oddajanje izhajajo iz lastnosti sinusa, kosinusa, tangenta in kotangensa, torej odražajo lastnost periodičnosti trigonometričnih funkcij, lastnost simetrije in tudi lastnost premika za dani kot. Te trigonometrične formule vam omogočajo prehod z dela s poljubnimi koti na delo s koti od nič do 90 stopinj.

Utemeljitev teh formul, mnemonično pravilo za njihovo pomnjenje in primere njihove uporabe lahko preučite v članku.

Formule seštevanja

Trigonometrične formule seštevanja pokažejo, kako so trigonometrične funkcije vsote ali razlike dveh kotov izražene s trigonometričnimi funkcijami teh kotov. Te formule služijo kot osnova za izpeljavo naslednjih trigonometričnih formul.

Formule za dvojno, trojno itd. kota

Formule za dvojno, trojno itd. kota (ime jih tudi formule za več kotov) prikazujejo, kako so trigonometrične funkcije dvojne, trojne itd. koti () so izraženi s trigonometričnimi funkcijami posameznega kota. Njihova izpeljava temelji na formulah za seštevanje.

Podrobnejše informacije so zbrane v formulah članka za dvojno, trojno itd. kot .

Formule polovičnega kota

Formule polovičnega kota pokažejo, kako so trigonometrične funkcije polovičnega kota izražene s kosinusom celega kota. Te trigonometrične formule izhajajo iz formul dvojnega kota.

Njihov zaključek in primere uporabe najdete v članku.

Formule redukcije

Trigonometrične formule za padajoče stopnje so zasnovani tako, da olajšajo prehod od naravnih moči trigonometričnih funkcij do sinusov in kosinusov prve stopnje, vendar več kotov. Z drugimi besedami, omogočajo, da zmanjšamo moči trigonometričnih funkcij na prvo.

Formule za vsoto in razliko trigonometričnih funkcij

Glavni namen formule vsote in razlike za trigonometrične funkcije sestoji iz prehoda na produkt funkcij, kar je zelo uporabno pri poenostavitvi trigonometričnih izrazov. Te formule se pogosto uporabljajo tudi pri reševanju trigonometrične enačbe, saj omogočajo faktorizacijo vsote in razlike sinusov in kosinusov.

Formule za zmnožek sinusov, kosinusov in sinusov za kosinusom

Prehod iz produkta trigonometričnih funkcij na vsoto ali razliko se izvede preko formul za produkt sinusov, kosinusov in sinusov za kosinusom.

Bašmakov M.I. Algebra in začetek analize: Zbornik. za 10-11 celic. povpreč. šola - 3. izd. - M.: Razsvetljenje, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.

algebra in začetek analize: Proc. za 10-11 celic. Splošna izobrazba ustanove / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnicin in drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Razsvetljenje, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole): Proc. dodatek.- M.; višje šola, 1984.-351 str., ilustr.

Avtorske pravice pametnih študentov

Vse pravice pridržane.
Zaščiteno z zakonom o avtorskih pravicah. Noben del www.website, vključno z notranji materiali in zunanji dizajn, ni dovoljeno reproducirati v kakršni koli obliki ali uporabljati brez predhodnega pisnega dovoljenja imetnika avtorskih pravic.

1. Trigonometrične funkcije so osnovne funkcije, katerih argument je injekcija. Trigonometrične funkcije opisujejo razmerja med stranicami in ostrimi koti v pravokotnem trikotniku. Področja uporabe trigonometričnih funkcij so izjemno raznolika. Tako je na primer vse periodične procese mogoče predstaviti kot vsoto trigonometričnih funkcij (Fourierjev niz). Te funkcije se pogosto pojavljajo pri reševanju diferencialnih in funkcionalnih enačb.

2. Trigonometrične funkcije vključujejo naslednjih 6 funkcij: sinus, kosinus, tangenta,kotangens, sekansa in kosekans. Za vsako od teh funkcij obstaja inverzna trigonometrična funkcija.

3. Geometrijska definicija trigonometrične funkcije so priročno predstavljene z uporabo enotni krog. Spodnja slika prikazuje krog s polmerom r=1. Točka M(x,y) je označena na krogu. Kot med vektorjem polmera OM in pozitivno smerjo osi Ox je α.

4. sinus kot α je razmerje med ordinato y točke M(x,y) in polmerom r:
sinα=y/r.
Ker je r=1, je sinus enak ordinati točke M(x,y).

5. kosinus kot α je razmerje med absciso x točke M(x,y) in polmerom r:
cosα=x/r

6. tangenta kot α je razmerje med ordinato y točke M(x,y) in njeno absciso x:
tanα=y/x,x≠0

7. Kotangens kot α je razmerje med absciso x točke M(x,y) in njeno ordinato y:
cotα=x/y,y≠0

8. Sekansa kot α je razmerje med polmerom r in absciso x točke M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. kosekant kot α je razmerje med polmerom r in ordinato y točke M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. V enotnem krogu projekcije x, y točki M(x,y) in polmer r tvorita pravokoten trikotnik, v katerem sta x,y kraka in r hipotenuza. Zato se zgornje definicije trigonometričnih funkcij uporabljajo za pravokotni trikotnik so oblikovane na ta način:
sinus kot α je razmerje med nasprotnim krakom in hipotenuzo.
kosinus kot α je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo.
tangenta kot α imenujemo nasprotni krak od sosednjega.
Kotangens kot α imenujemo sosednji krak nasproti.
Sekansa kot α je razmerje med hipotenuzo in sosednjo nogo.
kosekant kot α je razmerje med hipotenuzo in nasprotnim krakom.

11. graf sinusne funkcije
y=sinx, domena: x∈R, domena: −1≤sinx≤1

12. Graf kosinusne funkcije
y=cosx, domena: x∈R, obseg: −1≤cosx≤1

13. graf tangentne funkcije
y=tanx, domena: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domena: −∞

14. Graf kotangensne funkcije
y=cotx, domena: x∈R,x≠kπ, domena: −∞

15. Graf sekantne funkcije
y=secx, domena: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domena: secx∈(−∞,−1]∪∪)