Sinusni izrek je enak dvema polmeroma. Dokaz sinusnega izreka

Sestavimo poljuben trikotnik, vpisan v krog. Označimo ga kot ABC.
Za dokaz celotnega izreka, ker so dimenzije trikotnika izbrane poljubno, zadostuje dokazati, da je razmerje ene poljubne strani in nasprotnega kota enako 2R. Naj bo 2R = a / sin α, torej če vzamemo 2R = BC / sin A po risbi.

Nariši premer BD za opisani krog. Nastali trikotnik BCD je pravokoten, ker njegova hipotenuza leži na premeru opisanega kroga (lastnost vpisanih kotov v krogu).

Ker so koti, vpisani v krog, na podlagi istega loka, enaki, je kot CDB bodisi enak kotu CAB (če točki A in D ležita na isti strani premice BC) ali enak π - CAB (sicer) .

Poglejmo lastnosti trigonometrične funkcije. Ker je sin(π − α) = sin α, bodo navedene možnosti za konstruiranje trikotnika še vedno vodile do enakega rezultata.

Izračunajte vrednost 2R = a / sin α, glede na risbo 2R = BC / sin A. Če želite to narediti, zamenjajte sin A z razmerjem ustreznih stranic pravokotnega trikotnika.

2R=BC/greh A
2R=BC/(BC/DB)
2R=DB

In ker je bil DB zgrajen kot premer kroga, potem je enakost resnična.
Če ponovimo enako sklepanje za drugi dve strani trikotnika, dobimo:

Sinusni izrek je bil dokazan.

Sinusni izrek

Opomba. To je del lekcije s problemi iz geometrije (odsek izreka o sinusih). Če morate rešiti problem v geometriji, ki ga tukaj ni - pišite o tem na forumu. Pri opravilih se namesto simbola "kvadratni koren" uporablja funkcija sqrt (), v kateri je sqrt simbol kvadratni koren, v oklepaju pa je korenski izraz.

Sinusni izrek:
Stranice trikotnika so sorazmerne s sinusi nasprotnih kotov ali, v razširjeni formulaciji:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
kjer je R polmer opisanega kroga

Teorija - za formulacijo in dokaz izreka glej podrobneje poglavje "Izrek sinusov" .

Naloga

V trikotniku XYZ kot X=30 kot Z=15. Pravica YQ na ZY deli stran XZ na dele XQ in QZ. Poiščite XY, če je QZ=1,5 m

Odločitev.
Višina je tvorila dva pravokotna trikotnika XYQ in ZYQ.
Za rešitev problema uporabimo sinusni izrek.
QZ / sin(QYZ) = QY / sin(QZY)

QZY = 15 stopinj, torej QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

Ker je dolžina višine trikotnika zdaj znana, najdemo XY z uporabo istega sinusnega izreka.

QY / sin (30) = XY / sin (90)

Upoštevajmo tabelarične vrednosti nekaterih trigonometričnih funkcij:

sinus 30 stopinj je sin(30) = 1 / 2
sinus 90 stopinj je sin(90) = 1

QY = XY sin(30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0,8 m

Odgovori: 0,8 m ali 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)

Sinusni izrek (2. del)

Opomba. To je del lekcije s problemi iz geometrije (odsek izreka o sinusih). Če morate rešiti problem v geometriji, ki ga tukaj ni - pišite o tem na forumu .

Podrobno si oglejte teorijo v poglavju "Izrek sinusov" .

Naloga

Stran AB trikotnika ABC je 16 cm. Kot A je 30 stopinj. Kot B je 105 stopinj. Izračunaj dolžino stranice BC.

Odločitev.
Po sinusnem izreku so stranice trikotnika sorazmerne s sinusi nasprotnih kotov:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ

Tako
BC / sin α = AB / sin γ

Vrednost kota C najdemo na podlagi dejstva, da je vsota kotov trikotnika 180 stopinj.
C \u003d 180 - 30 -105 \u003d 45 stopinj.

Kje:
BC / sin 30° = 16 / sin 45°

BC = 16 greh 30° / sin 45°

Glede na tabelo trigonometričnih funkcij najdemo:

BC = (16 * 1 / 2) / √2/2 = 16 / √2 ≈ 11,3 cm

Odgovori: 16 / √2

Naloga.
V trikotniku ABC, kot A = α, kot C = β, BC = 7 cm, BH je višina trikotnika.
Poiščite AN

Prvi del izreka: stranice poljubnega trikotnika, sorazmerne s sinusi nasprotnih kotih, tj.:

Drugi del izreka: vsak ulomek je enak premeru kroga, opisanega okoli danega trikotnika, to je: .

Komentar mentorja matematike: uporaba drugega dela sinusnega izreka je položena v skoraj vsako drugo tekmovalno nalogo za krog. zakaj? Dejstvo je, da vam enakost omogoča, da najdete polmer kroga, ki ima samo dva elementa trikotnika. To zelo pogosto uporabljajo prevajalci močnih problemov, ki posebej izberejo pogoj tako, da se noben drugi element trikotnika (in celotne slike) sploh ne nahaja! "Slika" bo lebdela. Ta okoliščina močno otežuje delo na izpitu, saj ne omogoča zaokrožitve inherentne lastnosti.

Dokaz sinusnega izreka:

po Atanasjanovem učbeniku
Dokažimo, da za vsak trikotnik s stranicami a, b, c in nasprotnimi koti A, B in C velja enakost: .
Narišite višino BH iz oglišča B. Možna sta dva primera:
1) Točka H leži na strani AC (to je možno, ko sta in akutna).
Po definiciji sinusa akutnega kota v pravokotni trikotnik ABH pišemo

Podobno imamo v trikotniku CBH . Če med seboj izenačimo izraze za BH, dobimo:
2)Naj H leži na podaljšku stranic AC (na primer levo od A). To se bo zgodilo, če - neumno. Podobno glede na definicijo sinusa akutnega kota A v trikotniku ABH zapišemo enakost , Ker pa so sinusi sosednjih kotov enaki in to enakost nadomestimo z , dobimo kot v prvem primeru. Zato je ne glede na kota A in C enakost resnična.
Ko delimo oba njegova dela s, dobimo . Enakost drugega para ulomkov se dokaže podobno

Dokaz sinusnega izreka po Pogorelovem učbeniku:

Uporabite formulo površine trikotnika za dva kota A in C:

Ko izenačimo prave dele in zmanjšamo na, dobimo enako enakost kot pri dokazu s prvo metodo. Iz nje na enak način dobimo enakost ulomkov.

Dokaz drugega dela sinusnega izreka:

Opišimo krog okoli danega trikotnika in narišemo njegov premer BD skozi B. Ker kota D in C temeljita na istem loku, sta enaka (posledica izreka o vpisanih kotih). Potem . Uporabimo definicijo sinusa kota D v trikotniku ABD: To je bilo potrebno dokazati.

Naloge za drugi del sinusnega izreka:
1) Trapez je vpisan v krog s polmerom 15. Dolžini diagonale in višine trapeza sta 20 oziroma 6. Poiščite stran.
2) Polmer opisanega kroga okoli trapeza je 25, kosinus njegovega topega kota pa -0,28 (minus!!!). Diagonala trapeza tvori kot z osnovo. Poiščite višino trapeza.
3) Trapez je vpisan v krog s polmerom 10. Dolžini diagonale in srednje črte trapeza sta 15 oziroma 12. Poiščite dolžino stranske stranice trapeza.
4) Olimpijske igre v Finančna akademija 2009 Tetive kroga se sekata v točki Q. Znano je, da je polmer kroga 4cm. Poiščite dolžino tetive PN. Olimpijada na Finančni akademiji 2009
5) V trikotniku PST. Krog s polmerom 8 cm je opisan okoli presečišča njegovih simetral ter oglišč P in T. Poišči polmer kroga, opisanega okoli trikotnika PST (avtorjev problem).

Učitelj matematike vam bo vedno pomagal podrobno analizirati sinusni izrek in pridobiti potrebno prakso za njegovo uporabo pri nalogah. Njen načrtovani šolski študij poteka pri predmetu geometrija 9. razreda na temo reševanje trikotnikov (za vse programe). Če se morate pripraviti na izpit iz matematike, da boste izpit opravili z najmanj 70 točkami, se boste morali usposobiti za reševanje močnih planimetričnih nalog iz številk C4. V njih se sinusni izrek pogosto uporablja za vpisane trikotnike glede na relacijo. Zapomni si to!

S spoštovanjem, Kolpakov Alexander Nikolaevich,
mentor matematike

Diplomanti, ki se pripravljajo na izpit iz matematike in želijo dobiti dokaj visoke ocene, morajo vsekakor obvladati načelo reševanja nalog z uporabo izreka sinusov in kosinusov. Dolgoletna praksa kaže, da so tovrstne naloge iz poglavja »Geometrija na ravnini« obvezen del certifikacijskega preizkusnega programa. Zato, če eden od vaših slabosti so naloge na izrek kosinusov in sinusov, priporočamo, da osnovno teorijo na to temo vsekakor ponovite.

Pripravite se na izpit z izobraževalnim portalom "Shkolkovo"

Dohitevanje prej opraviti izpit, se mnogi diplomanti soočajo s problemom iskanja osnovne teorije, potrebne za reševanje praktičnih problemov o uporabi izreka sinusov in kosinusov.

Učbenik ni vedno pri roki ob pravem času. In iskanje potrebnih formul je včasih precej problematično tudi na internetu.

Priprava na certifikacijski preizkus z izobraževalni portal Shkolkovo bo najvišje kakovosti in učinkovitosti. Za lažjo nalogo pri izreku sinusov in kosinusov priporočamo osvežitev spomina na celotno teorijo na to temo. Naši strokovnjaki so to gradivo pripravili na podlagi bogatih izkušenj in ga predstavili v razumljivi obliki. Najdete ga v razdelku "Teoretični referenci".

Poznavanje osnovnih izrekov in definicij je polovica uspeha pri opravljenem certifikacijskem testu. Ustrezne vaje vam omogočajo, da izpopolnite spretnost reševanja primerov. Če jih želite najti, pojdite v razdelek Katalog na izobraževalnem spletnem mestu Shkolkovo. Obstaja velik seznam nalog. različnih ravneh kompleksnost, ki se nenehno dopolnjuje in posodablja.

Naloge o izrekih sinusov in kosinusov, podobne tistim, ki jih najdemo na enotnem državnem izpitu iz matematike, lahko študenti izvajajo na spletu, medtem ko so v Moskvi ali katerem koli drugem ruskem mestu.

Po potrebi lahko katero koli vajo, na primer, shranite v razdelek »Priljubljene«. To vam bo omogočilo, da se v prihodnosti vrnete nanj, da še enkrat analizirate algoritem za iskanje pravilnega odgovora in se o njem pogovorite z učiteljem v šoli ali mentorjem.

Trigonometrija se pogosto uporablja ne le v oddelku algebre - začetek analize, ampak tudi v geometriji. V zvezi s tem je smiselno domnevati obstoj izrekov in njihovih dokazov, povezanih s trigonometričnimi funkcijami. Dejansko kosinusni in sinusni izreki izpeljejo zelo zanimive in kar je najpomembnejše, uporabne odnose med stranicami in koti trikotnikov.

S to formulo lahko izpeljete katero koli stran trikotnika:

Dokaz trditve je izpeljan na podlagi Pitagorejskega izreka: kvadrat hipotenuze je enak vsoti kvadratov katete.

Razmislite o poljubnem trikotniku ABC. Z vrha C spustimo višino h na osnovo figure, v tem primeru njena dolžina absolutno ni pomembna. Zdaj, če upoštevamo poljuben trikotnik ACB, lahko koordinate točke C izrazimo s trigonometričnim cos funkcije in greh.

Spomnimo se definicije kosinusa in zapiši razmerje med stranicami trikotnika ACD: cos α = AD/AC | pomnožimo obe strani enakosti z AC; AD = AC * cos α.

Vzemimo dolžino AC kot b in dobimo izraz za prvo koordinato točke C:
x = b * cos⁡α. Podobno najdemo vrednost ordinate C: y = b * sin α. Nato uporabimo Pitagorov izrek in izmenično izrazimo h za trikotnik ACD in DCB:

Očitno sta oba izraza (1) in (2) med seboj enaka. Desne strani izenačimo in damo podobne:

Na praksi dano formulo vam omogoča, da poiščete dolžino neznane stranice trikotnika danih kotov. Kosinusni izrek ima tri posledice: za pravi, oster in topo kot trikotnika.

Zamenjajmo vrednost cos α z običajno spremenljivko x, nato pa za ostri kot trikotnika ABC dobimo:

Če se izkaže, da je kot pravilen, bo 2bx izginil iz izraza, saj je cos 90 ° \u003d 0. Grafično lahko drugo posledico predstavimo na naslednji način:

V primeru toplega kota se bo znak "-" pred dvojnim argumentom v formuli spremenil v "+":

Kot lahko vidite iz razlage, v razmerjih ni nič zapletenega. Kosinusni izrek ni nič drugega kot razporeditev pitagorejskega izreka v trigonometričnih količinah.

Praktična uporaba izreka

vaja 1. Podan trikotnik ABC s stranico BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm in cos α = ½. Poiščite dolžino stranice AB.

Za pravilen izračun morate določiti kot α. Če želite to narediti, glejte tabelo vrednosti za trigonometrične funkcije, po kateri je lok kosinus 1/2 za kot 60 °. Na podlagi tega uporabimo formulo prve posledice izreka:

2. naloga. Za trikotnik ABC so znane vse stranice: AB =4√2,BC=5,AC=7. Treba je najti vse kote slike.

V tem primeru ne morete brez risbe pogojev problema.

Ker vrednosti kotov ostajajo neznane, jih je treba uporabiti popolna formula za akutni kot.

Po analogiji ni težko oblikovati in izračunati vrednosti drugih kotov:

Če povzamemo, bi morali biti trije koti trikotnika 180 °: 53 + 82 + 45 = 180, zato je rešitev najdena.

Sinusni izrek

Izrek pravi, da so vse stranice poljubnega trikotnika sorazmerne s sinusi nasprotnih kotov. Razmerja so zapisana v obliki trojne enakosti:

Klasični dokaz trditve je izveden na primeru figure, vpisane v krog.

Da bi preverili verodostojnost trditve na primeru trikotnika ABC na sliki, je treba potrditi dejstvo, da je 2R = BC / sin A. Nato dokazati, da tudi druge stranice ustrezajo sinusom nasprotnih kotov, kot je 2R oz. D kroga.

Za to narišemo premer kroga iz oglišča B. Iz lastnosti kotov, vpisanih v krog, je ∠GCB ravna črta, ∠CGB pa je bodisi enak ∠CAB ali (π - ∠CAB). V primeru sinusa slednja okoliščina ni pomembna, saj sin (π -α) \u003d sin α. Na podlagi zgornjih zaključkov je mogoče trditi, da:

sin ∠CGB = BC/ BG ali sin A = BC/2R,

Če upoštevamo druge kote slike, dobimo razširjeno formulo sinusnega izreka: