Prva stopnja

opisan krog. Vizualni vodnik (2019)

Prvo vprašanje, ki se lahko pojavi, je: opisano – okoli česa?

No, pravzaprav se včasih zgodi okoli česar koli in govorili bomo o krogu, ki je opisan okoli (včasih pravijo »približno«) trikotnika. Kaj je to?

In zdaj si predstavljajte, da se zgodi neverjetno dejstvo:

Zakaj je to dejstvo neverjetno?

Toda trikotniki so različni!

In za vsakogar obstaja krog, ki bo minil skozi vse tri vrhove, to je opisani krog.

Dokaz tega neverjetnega dejstva je mogoče najti v naslednjih ravneh teorije, vendar tukaj samo ugotavljamo, da če vzamemo na primer štirikotnik, potem sploh ne za vsakogar obstaja krog, ki poteka skozi štiri oglišča. Tu je recimo paralelogram odličen štirikotnik, a krog, ki poteka skozi vsa njegova štiri oglišča, ni!

In obstaja samo za pravokotnik:

Izvoli, in vsak trikotnik ima vedno svoj opisani krog! In celo vedno je zelo enostavno najti središče tega kroga.

Ali veš kaj je sredinsko pravokotno?

Zdaj pa poglejmo, kaj se zgodi, če upoštevamo kar tri pravokotne simetrale na stranice trikotnika.

Izkazalo se je (in prav to je treba dokazati, čeprav ne bomo), da Vse tri pravokotnice se sekajo v eni točki. Poglejte sliko – vse tri sredinske navpičnice se sekajo v eni točki.

Ali menite, da središče opisanega kroga vedno leži znotraj trikotnika? Predstavljajte si - ne vedno!

Ampak če oster kot, nato - znotraj:

Kaj storiti s pravokotnim trikotnikom?

In z dodatnim bonusom:

Ker govorimo o polmeru opisanega kroga: koliko je enak za poljuben trikotnik? In na to vprašanje obstaja odgovor: t.i.

in sicer:

In seveda,

1. Obstoj in središče opisanega kroga

Tu se postavlja vprašanje: ali tak krog obstaja za kateri koli trikotnik? Izkazalo se je, da ja, za vse. Poleg tega bomo zdaj oblikovali izrek, ki odgovarja tudi na vprašanje, kje je središče opisanega kroga.

Poglej, takole:

Zberimo se pogum in dokažimo ta izrek. Če ste že prebrali temo "", ugotovili, zakaj se tri simetrale sekajo v eni točki, potem vam bo lažje, če pa je še niste prebrali, ne skrbite: zdaj bomo ugotovili vse ven.

Dokaz bomo izvedli s konceptom lokusa točk (LPT).

No, na primer, ali je niz kroglic "geometrijsko mesto" okroglih predmetov? Ne, seveda, ker obstajajo okrogle ... lubenice. Toda ali je skupek ljudi, »geometrijsko mesto«, sposoben govoriti? Niti ne, ker obstajajo dojenčki, ki ne znajo govoriti. V življenju je na splošno težko najti primer pravega "geometrijskega mesta točk". Geometrija je lažja. Tukaj je na primer tisto, kar potrebujemo:

Tukaj je množica srednja pravokotnica, lastnost "" pa je "enako oddaljena (točka) od koncev segmenta."

da preverimo? Torej se morate prepričati o dveh stvareh:

1. Vsaka točka, ki je enako oddaljena od koncev segmenta, je na pravokotni simetrali nanjo.

Povežite se z in z. Potem je črta mediana in višina znotraj. Torej, - enakokraki, - smo poskrbeli, da je katera koli točka, ki leži na pravokotni simetrali, enako oddaljena od točk in.

Vzemite - sredino in povežite in. Dobil mediano. Toda - enakokraki po pogoju, ne le mediana, ampak tudi višina, torej srednja pravokotnica. To pomeni, da točka leži točno na pravokotni simetrali.

Vse! To dejstvo smo v celoti preverili pravokotna simetrala na segment je lokus točk, enako oddaljenih od koncev segmenta.

To je vse lepo in prav, a smo pozabili na omejen krog? Sploh ne, samo pripravili smo si »mostišče za napad«.

Razmislite o trikotniku. Narišimo dve srednji pravokotnici in recimo na odseke in. Na neki točki se bodo križali, kar bomo poimenovali.

In zdaj, pozornost!

Točka leži na pravokotni simetrali;
točka leži na pravokotni simetrali.
In to pomeni in.

Iz tega sledi več stvari:

Najprej mora točka ležati na tretji pravokotni simetrali, na segment.

To pomeni, da mora pravokotna simetrala potekati tudi skozi točko, vse tri pravokotne simetrale pa se sekajo v eni točki.

Drugič: če narišemo krog s središčem v točki in polmerom, bo ta krog šel tudi skozi točko in skozi točko, torej bo opisani krog. To pomeni, da že obstaja, da je presečišče treh pravokotnih simetral središče opisanega kroga za kateri koli trikotnik.

In zadnja stvar: o edinstvenosti. Jasno je (skoraj) da je točko mogoče dobiti na edinstven način, zato je krog edinstven. No, "skoraj" - to bomo prepustili vam. Tu smo dokazali izrek. Lahko zavpijete "Hura!".

In če je problem vprašanje "poišči polmer opisanega kroga"? Ali obratno, polmer je podan, vendar želite najti nekaj drugega? Ali obstaja formula, ki povezuje polmer opisanega kroga z drugimi elementi trikotnika?

Upoštevajte, da to pravi sinusni izrek da bi našli polmer opisanega kroga, potrebujete eno stran (kakršno koli!) in kot nasproti njej. In to je to!

3. Središče kroga - znotraj ali zunaj

In zdaj je vprašanje: ali lahko središče opisanega kroga leži zunaj trikotnika.
Odgovor: kolikor je mogoče. Poleg tega je to vedno tako v tupokotnem trikotniku.

In na splošno:

KROG. NAKRATKO O GLAVNEM

1. Krog, opisan okoli trikotnika

To je krog, ki poteka skozi vsa tri oglišča tega trikotnika.

2. Obstoj in središče opisanega kroga

No, tema je končana. Če berete te vrstice, potem ste zelo kul.

Ker le 5 % ljudi je sposobno nekaj obvladati sam. In če ste prebrali do konca, potem ste v 5%!

Zdaj najpomembnejša stvar.

Ugotovili ste teorijo na to temo. In, ponavljam, je ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.

Težava je v tem, da to morda ne bo dovolj ...

Za kaj?

Za uspešno opravljen izpit, za sprejem na inštitut na proračun in, kar je najpomembneje, za življenje.

Ne bom vas v nič prepričeval, povedal bom samo eno stvar ...

Ljudje, ki so prejeli dobro izobrazbo, zaslužijo veliko več kot tisti, ki je niso prejeli. To je statistika.

Ampak to ni glavna stvar.

Glavna stvar je, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem...

Ampak pomislite sami ...

Kaj je potrebno, da si na izpitu zagotovo boljši od drugih in na koncu ... srečnejši?

NAPOLNI ROKO, REŠUJTE TEŽAVE NA TO TEMO.

Na izpitu te teorije ne bodo vprašali.

Boste potrebovali pravočasno rešiti težave.

In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali pa je preprosto ne boste storili pravočasno.

To je kot v športu – za zanesljivo zmago moraš večkrat ponoviti.

Poiščite zbirko kjer koli želite nujno z rešitvami, podrobno analizo in se odloči, odloči, odloči!

Lahko uporabite naše naloge (ni nujno) in jih vsekakor priporočamo.

Če želite priskočiti na pomoč s pomočjo naših nalog, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.

Kako? Obstajata dve možnosti:

1. Odklenite dostop do vseh skritih opravil v tem članku - 299 rubljev.
2. Odklenite dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 člankih vadnice - 499 rubljev.

Da, v učbeniku imamo 99 takih člankov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih je mogoče takoj odpreti.

Dostop do vseh skritih opravil je omogočen za celotno življenjsko dobo spletnega mesta.

V zaključku...

Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne prenehajte s teorijo.

"Razumem" in "Vem, kako rešiti" sta popolnoma različni veščini. Potrebuješ oboje.

Poiščite težave in jih rešite!

Vidi se, da vsaka stran trikotnik, navpičnica, potegnjena iz njegove sredine, in segmenti, ki povezujejo točko presečišča navpičnic z oglišči, tvorijo dva enaka pravokotnika trikotnik. Segmenti MA, MB, MS so enaki.

Podan vam je trikotnik. Poiščite sredino vsake strani - vzemite ravnilo in izmerite njegove stranice. Dobljene dimenzije razdelite na polovico. Odstavite od vrhov na vsako polovico njegove velikosti. Rezultate označite s pikami.

Od vsake točke položite pravokotno na stran. Točka presečišča teh pravokotnic bo središče opisanega kroga. Dve pravokotnici sta dovolj, da najdemo središče kroga. Tretji je zgrajen za samotestiranje.

Bodite pozorni - v trikotniku, kjer so vsi koti ostri, znotraj sečišča trikotnik. V pravokotnem trikotniku leži na hipotenuzi. B je zunaj njega. Poleg tega pravokotnica na stran nasproti topemu kotu ni na sredino trikotnik, ampak zunaj.

Opomba

Obstaja sinusni izrek, ki določa razmerje med stranicami trikotnika, njegovimi koti in polmeri opisanega kroga. Ta odvisnost je izražena s formulo: a/sina = b/sinb = с/sinc = 2R, kjer so a, b, c stranice trikotnika; sina, sinb, sinc so sinusi kotov nasproti teh stranic; R je polmer kroga, ki ga lahko obpišemo okoli trikotnika.

Viri:

• kako opisati obseg štirikotnika

Po definiciji opisano krog mora potekati skozi vsa kotna oglišča danega mnogokotnika. Sploh ni pomembno, kakšen poligon je - trikotnik, kvadrat, pravokotnik, trapez ali kaj drugega. Prav tako ni pomembno, ali gre za pravilen ali nepravilen mnogokotnik. Upoštevati je treba le, da so poligoni okoli katerih krog ni mogoče opisati. vedno je mogoče opisati krog okoli trikotnika. Kar se tiče štirikotnikov, krog lahko opišemo o kvadratu ali pravokotniku ali enakokrakem trapezu.

Boste potrebovali

• Podan poligon
• Ravnalo
• kvadratni
• Svinčnik
• Kompas
• Protraktor
• Tabele sinusov in kosinusov
• Matematični koncepti in formule
• Pitagorejev izrek
• Sinusni izrek
• Kosinusni izrek
• Znaki podobnosti trikotnikov

Navodilo

Konstruirajte poligon z danimi parametri in ali ga je mogoče obkrožiti krog. Če imate štirikotnik, izračunajte vsoto njegovih nasprotnih kotov. Vsak od njih mora biti enak 180 °.

Opisati krog, morate izračunati njegov polmer. Zapomnite si, kje leži središče kroga v različnih poligonih. V trikotniku je na presečišču vseh višin danega trikotnika. V kvadratu in pravokotniku - na presečišču diagonal, za trapez - na presečišču osi simetrije s črto, ki povezuje središča stranic, in za kateri koli drugi konveksni mnogokotnik - na presečišču pravokotne simetrale na stranice.

Izračunajte premer kroga, opisanega okrog kvadrata in pravokotnika, s pomočjo Pitagorejskega izreka. To bo enako kvadratnemu korenu vsote kvadratov stranic pravokotnika. Za kvadrat z enakimi stranicami je diagonala enaka kvadratnemu korenu dvakratnega kvadrata stranice. Premer delite z 2, da dobite polmer.

Izračunajte polmer opisanega kroga za trikotnik. Ker so parametri trikotnika podani v pogojih, izračunajte polmer po formuli R = a/(2 sinA), kjer je a ena od stranic trikotnika, ? je nasprotni kot. Namesto te strani lahko vzamete stran in kot nasproti njej.

Izračunaj polmer kroga, opisanega okoli trapeza. R = a*d*c / 4 v(p*(pa)*(pd)*(pc)) 2*(a+d+c) . Izračunajte manjkajoče vrednosti. Višino lahko izračunamo s pomočjo sinusnega ali kosinusnega izreka, dolžine stranic trapeza in koti so podani v pogojih. Če poznate višino in upoštevajte podobnosti trikotnikov, izračunajte diagonalo. Po tem ostane še izračunati polmer z zgornjo formulo.

Povezani videoposnetki

Koristni nasveti

Če želite izračunati polmer kroga, opisanega okoli drugega mnogokotnika, izvedite vrsto dodatnih konstrukcij. Pridobite enostavnejše številke, katerih parametre poznate.

Nasvet 3: Kako narisati pravokoten trikotnik iz ostrega kota in hipotenuze

Pravokotni trikotnik je trikotnik, katerega kot na enem od oglišč je 90°. Stran nasproti tega kota se imenuje hipotenuza, stranice nasproti obeh ostrih kotov trikotnika pa se imenujejo kraki. Če sta znani dolžina hipotenuze in vrednost enega od ostrih kotov, potem ti podatki zadostujejo za konstruiranje trikotnika na vsaj dva načina.

Tema "Vpisani in opisani krogi v trikotniku" je ena najtežjih pri predmetu geometrije. V razredu preživi zelo malo časa.

Geometrijski problemi te teme so vključeni v drugi del izpitne naloge USE za srednješolski predmet. Za uspešno opravljanje teh nalog je potrebno dobro poznavanje osnovnih geometrijskih dejstev in nekaj izkušenj pri reševanju geometrijskih problemov.
Za vsak trikotnik je samo en opisan krog. To je krog, na katerem ležijo vsa tri oglišča trikotnika z danimi parametri. Iskanje njegovega polmera bo morda potrebno ne le pri lekciji geometrije. S tem se morajo nenehno ukvarjati oblikovalci, rezkarji, ključavničarji in predstavniki številnih drugih poklicev. Če želite najti njegov polmer, morate poznati parametre trikotnika in njegove lastnosti. Središče opisanega kroga je na presečišču pravokotnih simetral trikotnika.
Predstavljam vam vse formule za iskanje polmera opisanega kroga in ne samo trikotnika. Formule za vpisan krog si lahko ogledate.

a, b od - stranice trikotnika

α - kot nasprotne strania,
S-površina trikotnika,

p- semiperimeter.

Nato najti polmer ( R) opisanega kroga uporabite formule:

Po drugi strani lahko površino trikotnika izračunamo z eno od naslednjih formul:

In tukaj je še nekaj formul.

1. Polmer opisane krožnice okoli pravilnega trikotnika. Če a stran trikotnika, torej

2. Polmer opisanega kroga okoli enakokrakega trikotnika. Naj bo a, b so stranice trikotnika, torej

Dokazi izrekov o lastnostih kroga, opisanega okoli trikotnika

Sredi pravokotno na segment

Opredelitev 1. Sredi pravokotno na segment imenujemo ravna črta, pravokotna na ta segment in poteka skozi njegovo sredino (slika 1).

Izrek 1. Vsaka točka pravokotne simetrale na segment je na enaki razdalji od koncev ta segment.

Dokaz . Razmislite o poljubni točki D, ki leži na pravokotni simetrali na odsek AB (slika 2), in dokažite, da sta trikotnika ADC in BDC enaka.

Dejansko so ti trikotniki pravokotni trikotniki, katerih kraki AC in BC sta enaki, medtem ko sta kraki DC skupni. Iz enakosti trikotnikov ADC in BDC sledi enakost odsekov AD in DB. Izrek 1 je dokazan.

2. izrek (obrnjeno k izreku 1). Če je točka na enaki razdalji od koncev segmenta, potem leži na pravokotni simetrali na ta segment.

Dokaz . Dokažimo izrek 2 z metodo »s protislovjem«. V ta namen predpostavimo, da je neka točka E na enaki razdalji od koncev segmenta, vendar ne leži na pravokotni simetrali na ta odsek. Pripeljemo to predpostavko v protislovje. Najprej si oglejmo primer, ko točki E in A ležita na nasprotnih straneh pravokotne simetrale (slika 3). V tem primeru odsek EA v neki točki seka pravokotno simetralo, ki jo bomo označili s črko D.

Dokažimo, da je odsek AE daljši od segmenta EB. res,

Tako smo v primeru, ko točki E in A ležita na nasprotnih straneh pravokotne simetrale, dobili protislovje.

Zdaj si oglejmo primer, ko točki E in A ležita na isti strani pravokotne simetrale (slika 4). Dokažimo, da je odsek EB daljši od segmenta AE. res,

Nastalo protislovje zaključi dokaz izreka 2

Krog, ki opisuje trikotnik

Opredelitev 2. Krog, ki opisuje trikotnik, pokličemo krog, ki poteka skozi vsa tri oglišča trikotnika (slika 5). V tem primeru se imenuje trikotnik trikotnik, vpisan v krog oz vpisan trikotnik.

Lastnosti kroga, opisanega okoli trikotnika. Sinusni izrek

Slika	Slika	Lastnina
Srednji navpičnici na stranice trikotnika		sekajo na eni točki .
Center opisano okoli ostrega trikotnika kroga		Center opisano o ostrokotna znotraj trikotnik.
Center krog, opisan okoli pravokotnega trikotnika		Središče opisanega o pravokotna središče hipotenuze .
Center opisano okrog topokotnega trikotnika kroga		Center opisano o topo krog trikotnik leži zunaj trikotnik.
		,
Območje trikotnik		S= 2R 2 greh A greh B greh C ,
Polmer opisanega kroga		Za kateri koli trikotnik velja enakost:

Srednji pravokotnici na stranice trikotnika

Vse pravokotne simetrale narisani na stranice poljubnega trikotnika, sekajo na eni točki .

Krog, ki opisuje trikotnik

Vsak trikotnik lahko opišemo s krogom. . Središče kroga, opisanega okoli trikotnika, je točka, kjer se sekajo vse pravokotne simetrale, narisane na stranice trikotnika.

Središče kroga, opisanega okoli ostrega trikotnika

Center opisano o ostrokotna krog trikotnik leži znotraj trikotnik.

Središče kroga, opisanega okoli pravokotnega trikotnika

Središče opisanega o pravokotna krog trikotnik je središče hipotenuze .

Središče kroga, opisanega okoli topokotnega trikotnika

Center opisano o topo krog trikotnik leži zunaj trikotnik.

Za kateri koli trikotnik veljajo enakosti (sinusni izrek): , kjer so a, b, c stranice trikotnika, A, B, C so koti trikotnika, R je polmer opisanega kroga.

Območje trikotnika

Za kateri koli trikotnik velja enakost: S= 2R 2 greh A greh B greh C , kjer so A, B, C koti trikotnika, S je površina trikotnika, R je polmer opisanega kroga.

Polmer opisanega kroga

Za kateri koli trikotnik velja enakost: kjer so a, b, c stranice trikotnika, S je površina trikotnika, R je polmer opisanega kroga.

Dokazi izrekov o lastnostih kroga, opisanega okoli trikotnika

3. izrek. Vse sredinske pravokotnice, narisane na stranice poljubnega trikotnika, se sekajo v eni točki.

Dokaz . Oglejmo si dve pravokotni simetrali, narisani na stranici AC in AB trikotnika ABC , in označimo točko njunega presečišča s črko O (slika 6).

Ker točka O leži na pravokotni simetrali na odsek AC , potem na podlagi izreka 1 velja naslednja enakost:

Ker točka O leži na pravokotni simetrali na odsek AB , potem na podlagi izreka 1 velja naslednja enakost:

Torej velja enakost:

od koder z uporabo izreka 2 sklepamo, da točka O leži na pravokotni simetrali na odsek BC. Tako gredo vse tri pravokotne simetrale skozi isto točko, kar je bilo treba dokazati.

Posledica. Vsak trikotnik lahko opišemo s krogom. . Središče kroga, opisanega okoli trikotnika, je točka, kjer se sekajo vse pravokotne simetrale, narisane na stranice trikotnika.

Dokaz . Poglejmo točko O, v kateri se sekajo vse pravokotne simetrale, narisane na stranice trikotnika ABC (slika 6).

Pri dokazovanju izreka 3 smo dobili naslednjo enakost:

iz katerega sledi, da krožnica s središčem v točki O in polmeri OA , OB , OC poteka skozi vsa tri oglišča trikotnika ABC , kar je bilo treba dokazati.

Prva stopnja

opisan krog. Vizualni vodnik (2019)

Prvo vprašanje, ki se lahko pojavi, je: opisano – okoli česa?

No, pravzaprav se včasih zgodi okoli česar koli in govorili bomo o krogu, ki je opisan okoli (včasih pravijo »približno«) trikotnika. Kaj je to?

In zdaj si predstavljajte, da se zgodi neverjetno dejstvo:

Zakaj je to dejstvo neverjetno?

Toda trikotniki so različni!

In za vsakogar obstaja krog, ki bo minil skozi vse tri vrhove, to je opisani krog.

Dokaz tega neverjetnega dejstva je mogoče najti v naslednjih ravneh teorije, vendar tukaj samo ugotavljamo, da če vzamemo na primer štirikotnik, potem sploh ne za vsakogar obstaja krog, ki poteka skozi štiri oglišča. Tu je recimo paralelogram odličen štirikotnik, a krog, ki poteka skozi vsa njegova štiri oglišča, ni!

In obstaja samo za pravokotnik:

Izvoli, in vsak trikotnik ima vedno svoj opisani krog! In celo vedno je zelo enostavno najti središče tega kroga.

Ali veš kaj je sredinsko pravokotno?

Zdaj pa poglejmo, kaj se zgodi, če upoštevamo kar tri pravokotne simetrale na stranice trikotnika.

Izkazalo se je (in prav to je treba dokazati, čeprav ne bomo), da Vse tri pravokotnice se sekajo v eni točki. Poglejte sliko – vse tri sredinske navpičnice se sekajo v eni točki.

Ali menite, da središče opisanega kroga vedno leži znotraj trikotnika? Predstavljajte si - ne vedno!

Ampak če oster kot, nato - znotraj:

Kaj storiti s pravokotnim trikotnikom?

In z dodatnim bonusom:

Ker govorimo o polmeru opisanega kroga: koliko je enak za poljuben trikotnik? In na to vprašanje obstaja odgovor: t.i.

in sicer:

In seveda,

1. Obstoj in središče opisanega kroga

Tu se postavlja vprašanje: ali tak krog obstaja za kateri koli trikotnik? Izkazalo se je, da ja, za vse. Poleg tega bomo zdaj oblikovali izrek, ki odgovarja tudi na vprašanje, kje je središče opisanega kroga.

Poglej, takole:

Zberimo se pogum in dokažimo ta izrek. Če ste že prebrali temo "", ugotovili, zakaj se tri simetrale sekajo v eni točki, potem vam bo lažje, če pa je še niste prebrali, ne skrbite: zdaj bomo ugotovili vse ven.

Dokaz bomo izvedli s konceptom lokusa točk (LPT).

No, na primer, ali je niz kroglic "geometrijsko mesto" okroglih predmetov? Ne, seveda, ker obstajajo okrogle ... lubenice. Toda ali je skupek ljudi, »geometrijsko mesto«, sposoben govoriti? Niti ne, ker obstajajo dojenčki, ki ne znajo govoriti. V življenju je na splošno težko najti primer pravega "geometrijskega mesta točk". Geometrija je lažja. Tukaj je na primer tisto, kar potrebujemo:

Tukaj je množica srednja pravokotnica, lastnost "" pa je "enako oddaljena (točka) od koncev segmenta."

da preverimo? Torej se morate prepričati o dveh stvareh:

1. Vsaka točka, ki je enako oddaljena od koncev segmenta, je na pravokotni simetrali nanjo.

Povežite se z in z. Potem je črta mediana in višina znotraj. Torej, - enakokraki, - smo poskrbeli, da je katera koli točka, ki leži na pravokotni simetrali, enako oddaljena od točk in.

Vzemite - sredino in povežite in. Dobil mediano. Toda - enakokraki po pogoju, ne le mediana, ampak tudi višina, torej srednja pravokotnica. To pomeni, da točka leži točno na pravokotni simetrali.

Vse! To dejstvo smo v celoti preverili pravokotna simetrala na segment je lokus točk, enako oddaljenih od koncev segmenta.

To je vse lepo in prav, a smo pozabili na omejen krog? Sploh ne, samo pripravili smo si »mostišče za napad«.

Razmislite o trikotniku. Narišimo dve srednji pravokotnici in recimo na odseke in. Na neki točki se bodo križali, kar bomo poimenovali.

In zdaj, pozornost!

Točka leži na pravokotni simetrali;
točka leži na pravokotni simetrali.
In to pomeni in.

Iz tega sledi več stvari:

Najprej mora točka ležati na tretji pravokotni simetrali, na segment.

To pomeni, da mora pravokotna simetrala potekati tudi skozi točko, vse tri pravokotne simetrale pa se sekajo v eni točki.

Drugič: če narišemo krog s središčem v točki in polmerom, bo ta krog šel tudi skozi točko in skozi točko, torej bo opisani krog. To pomeni, da že obstaja, da je presečišče treh pravokotnih simetral središče opisanega kroga za kateri koli trikotnik.

In zadnja stvar: o edinstvenosti. Jasno je (skoraj) da je točko mogoče dobiti na edinstven način, zato je krog edinstven. No, "skoraj" - to bomo prepustili vam. Tu smo dokazali izrek. Lahko zavpijete "Hura!".

In če je problem vprašanje "poišči polmer opisanega kroga"? Ali obratno, polmer je podan, vendar želite najti nekaj drugega? Ali obstaja formula, ki povezuje polmer opisanega kroga z drugimi elementi trikotnika?

Upoštevajte, da to pravi sinusni izrek da bi našli polmer opisanega kroga, potrebujete eno stran (kakršno koli!) in kot nasproti njej. In to je to!

3. Središče kroga - znotraj ali zunaj

In zdaj je vprašanje: ali lahko središče opisanega kroga leži zunaj trikotnika.
Odgovor: kolikor je mogoče. Poleg tega je to vedno tako v tupokotnem trikotniku.

In na splošno:

KROG. NAKRATKO O GLAVNEM

1. Krog, opisan okoli trikotnika

To je krog, ki poteka skozi vsa tri oglišča tega trikotnika.

2. Obstoj in središče opisanega kroga

No, tema je končana. Če berete te vrstice, potem ste zelo kul.

Ker le 5 % ljudi je sposobno nekaj obvladati sam. In če ste prebrali do konca, potem ste v 5%!

Zdaj najpomembnejša stvar.

Ugotovili ste teorijo na to temo. In, ponavljam, je ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.

Težava je v tem, da to morda ne bo dovolj ...

Za kaj?

Za uspešno opravljen izpit, za sprejem na inštitut na proračun in, kar je najpomembneje, za življenje.

Ne bom vas v nič prepričeval, povedal bom samo eno stvar ...

Ljudje, ki so prejeli dobro izobrazbo, zaslužijo veliko več kot tisti, ki je niso prejeli. To je statistika.

Ampak to ni glavna stvar.

Glavna stvar je, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem...

Ampak pomislite sami ...

Kaj je potrebno, da si na izpitu zagotovo boljši od drugih in na koncu ... srečnejši?

NAPOLNI ROKO, REŠUJTE TEŽAVE NA TO TEMO.

Na izpitu te teorije ne bodo vprašali.

Boste potrebovali pravočasno rešiti težave.

In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali pa je preprosto ne boste storili pravočasno.

To je kot v športu – za zanesljivo zmago moraš večkrat ponoviti.

Poiščite zbirko kjer koli želite nujno z rešitvami, podrobno analizo in se odloči, odloči, odloči!

Lahko uporabite naše naloge (ni nujno) in jih vsekakor priporočamo.

Če želite priskočiti na pomoč s pomočjo naših nalog, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.

Kako? Obstajata dve možnosti:

1. Odklenite dostop do vseh skritih opravil v tem članku - 299 rubljev.
2. Odklenite dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 člankih vadnice - 499 rubljev.

Da, v učbeniku imamo 99 takih člankov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih je mogoče takoj odpreti.

Dostop do vseh skritih opravil je omogočen za celotno življenjsko dobo spletnega mesta.

V zaključku...

Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne prenehajte s teorijo.

"Razumem" in "Vem, kako rešiti" sta popolnoma različni veščini. Potrebuješ oboje.

Poiščite težave in jih rešite!