Stopnie oznaczają ostry trójkąt. Rodzaje trójkątów: prostokątne, ostrokątne, rozwarte

Z reguły dwa trójkąty są uważane za podobne, jeśli mają ten sam kształt, nawet jeśli mają różne rozmiary, są obrócone lub nawet do góry nogami.

Matematyczna reprezentacja dwóch podobnych trójkątów A 1 B 1 C 1 i A 2 B 2 C 2 pokazanych na rysunku jest zapisana w następujący sposób:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Dwa trójkąty są podobne, jeśli:

1. Każdy kąt jednego trójkąta jest równy odpowiadającemu kątowi innego trójkąta:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 oraz ∠C1 = ∠C2

2. Stosunki boków jednego trójkąta do odpowiednich boków innego trójkąta są sobie równe:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Relacje dwie strony jednego trójkąta do odpowiednich boków innego trójkąta są sobie równe i jednocześnie
kąty między tymi bokami są równe:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ i $\kąt A_1 = \kąt A_2$
lub
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ i $\angle B_1 = \angle B_2$
lub
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ i $\angle C_1 = \angle C_2$

Podobnych trójkątów nie należy mylić z trójkątami równymi. Trójkąty przystające mają odpowiednie długości boków. Tak więc dla trójkątów równych:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Wynika z tego, że wszystkie trójkąty równe są do siebie podobne. Jednak nie wszystkie podobne trójkąty są sobie równe.

Chociaż z powyższego zapisu wynika, że ​​aby dowiedzieć się, czy dwa trójkąty są podobne, czy nie, musimy znać wartości trzech kątów lub długości trzech boków każdego trójkąta, aby rozwiązać problemy z trójkątami podobnymi, to wystarczy znać dowolne trzy wartości z powyższych dla każdego trójkąta. Wartości te mogą występować w różnych kombinacjach:

1) trzy kąty każdego trójkąta (długości boków trójkątów nie muszą być znane).

Lub przynajmniej 2 kąty jednego trójkąta muszą być równe 2 kątom innego trójkąta.
Ponieważ jeśli 2 kąty są równe, to trzeci kąt również będzie równy (wartość trzeciego kąta to 180 - kąt1 - kąt2)

2) długości boków każdego trójkąta (nie trzeba znać kątów);

3) długości obu boków i kąt między nimi.

Następnie rozważymy rozwiązanie niektórych problemów z podobnymi trójkątami. Najpierw przyjrzymy się problemom, które można rozwiązać bezpośrednio przy użyciu powyższych reguł, a następnie omówimy kilka praktycznych problemów, które można rozwiązać za pomocą metody podobnych trójkątów.

Praktyczne problemy z podobnymi trójkątami

Przykład 1: Pokaż, że dwa trójkąty na poniższym rysunku są podobne.

Decyzja:
Ponieważ znane są długości boków obu trójkątów, można tu zastosować drugą zasadę:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Przykład #2: Pokaż, że dwa podane trójkąty są podobne i znajdź długości boków PQ oraz PR.

Decyzja:
∠A = ∠P oraz ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(ponieważ ∠C = 180 - ∠A - ∠B i ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Wynika z tego, że trójkąty ∆ABC i ∆PQR są podobne. Stąd:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ i
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Przykład #3: Określ długość AB w tym trójkącie.

Decyzja:

∠ABC = ADE, ∠ACB = AED oraz A wspólne => trójkąty ABC oraz ΔADE są podobne.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Przykład #4: Określ długość AD(x) figura geometryczna na rysunku.

Trójkąty ∆ABC i ∆CDE są podobne, ponieważ AB || DE i mają wspólne górny róg C.
Widzimy, że jeden trójkąt jest skalowaną wersją drugiego. Musimy to jednak udowodnić matematycznie.

AB || Niemcy, CD || AC i BC || UE
∠BAC = ∠EDC i ∠ABC = DEC

Na podstawie powyższego i biorąc pod uwagę obecność wspólnego kąta C, możemy stwierdzić, że trójkąty ∆ABC i ∆CDE są podobne.

Stąd:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 USD
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Praktyczne przykłady

Przykład #5: Fabryka wykorzystuje pochyły przenośnik taśmowy do transportu produktów z poziomu 1 do poziomu 2, czyli 3 metry nad poziomem 1, jak pokazano na rysunku. Przenośnik skośny obsługiwany jest z jednego końca do poziomu 1, az drugiego do stanowiska roboczego znajdującego się w odległości 8 metrów od punktu pracy poziomu 1.

Fabryka chce zmodernizować przenośnik, aby uzyskać dostęp do nowego poziomu, który znajduje się 9 metrów nad poziomem 1, przy zachowaniu kąta nachylenia przenośnika.

Określ odległość, na jaką musisz skonfigurować nowe stanowisko pracy, aby zapewnić, że przenośnik będzie działał na nowym końcu na poziomie 2. Oblicz także dodatkową odległość, jaką produkt przejedzie po przejściu na nowy poziom.

Decyzja:

Najpierw oznaczmy każdy punkt przecięcia konkretną literą, jak pokazano na rysunku.

Na podstawie rozumowania podanego powyżej w poprzednich przykładach możemy stwierdzić, że trójkąty ∆ABC i ∆ADE są podobne. Stąd,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 mln $
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

W związku z tym nowy punkt musi być zainstalowany w odległości 16 metrów od istniejącego punktu.

A ponieważ struktura składa się z trójkątów prostokątnych, odległość przebycia produktu możemy obliczyć w następujący sposób:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Podobnie $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
na jaką odległość pokonuje produkt ten moment po wejściu na istniejący poziom.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Jest to dodatkowa odległość, którą produkt musi pokonać, aby osiągnąć nowy poziom.

Przykład #6: Steve chce odwiedzić swojego przyjaciela, który niedawno przeniósł się do nowy dom. Mapa drogowa dotarcia do domu Steve'a i jego przyjaciela, wraz ze znanymi Steve'owi odległościami, jest pokazana na rysunku. Pomóż Steve'owi w jak najkrótszym czasie dostać się do domu jego przyjaciela.

Decyzja:

Mapa drogowa może być przedstawiona geometrycznie w następującej formie, jak pokazano na rysunku.

Widzimy, że trójkąty ∆ABC i ∆CDE są podobne, dlatego:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

W zestawieniu zadań stwierdza się, że:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km i DE = 5 km

Korzystając z tych informacji, możemy obliczyć następujące odległości:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \times 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve może dostać się do domu przyjaciela, korzystając z następujących tras:

A -> B -> C -> E -> G, całkowity dystans to 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, całkowity dystans to 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, całkowity dystans to 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, całkowity dystans to 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Dlatego trasa nr 3 jest najkrótsza i można ją zaproponować Steve'owi.

Przykład 7:
Trisha chce zmierzyć wysokość domu, ale nie ma odpowiednie narzędzia. Zauważyła, że ​​przed domem rośnie drzewo i postanowiła wykorzystać zdobytą w szkole zaradność i znajomość geometrii do określenia wysokości budynku. Zmierzyła odległość od drzewa do domu, wynik wyniósł 30 m. Następnie stanęła przed drzewem i zaczęła się wycofywać, aż górna krawędź budynku była widoczna nad wierzchołkiem drzewa. Trisha zaznaczyła miejsce i zmierzyła odległość od niego do drzewa. Odległość ta wynosiła 5 m.

Wysokość drzewa wynosi 2,8 m, a wysokość oczu Trishy to 1,6 m. Pomóż Trishy określić wysokość budynku.

Decyzja:

Geometryczne przedstawienie problemu pokazano na rysunku.

Najpierw używamy podobieństwa trójkątów ∆ABC i ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \razy AC$

$(2,8 - 1,6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1.2) = 6,67$

Możemy wtedy wykorzystać podobieństwo trójkątów ∆ACB i ∆AFG lub ∆ADE i ∆AFG. Wybierzmy pierwszą opcję.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 mln $

Mówi się, że dwa trójkąty są przystające, jeśli można je nakładać. Rysunek 1 pokazuje trójkąty równe ABC i A 1 B 1 C 1. Każdy z tych trójkątów można nakładać na siebie, aby były całkowicie kompatybilne, to znaczy, że ich wierzchołki i boki są ze sobą sparowane. Oczywiste jest, że w tym przypadku kąty tych trójkątów zostaną połączone parami.

Tak więc, jeśli dwa trójkąty są równe, to elementy (tj. boki i kąty) jednego trójkąta są odpowiednio równe elementom drugiego trójkąta. Zauważ, że w równych trójkątach o odpowiednio równych bokach(tj. nakładanie się po nałożeniu) leżeć pod równymi kątami i z powrotem: przeciwległe odpowiednio równe kąty leżą jednakowe boki.

Na przykład, w trójkątach równych ABC i A 1 B 1 C 1, pokazanych na rysunku 1, kąty równe C i C 1 leżą naprzeciw odpowiednio równych boków AB i A 1 B 1. Równość trójkątów ABC i A 1 B 1 C 1 będziemy oznaczać następująco: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Okazuje się, że równość dwóch trójkątów można ustalić porównując niektóre ich elementy.

Twierdzenie 1. Pierwszy znak równości trójkątów. Jeżeli dwa boki i kąt między nimi jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi innego trójkąta, to takie trójkąty są równe (rys. 2).

Dowód. Rozważ trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1, w których AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (patrz ryc. 2). Udowodnijmy, że Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Ponieważ ∠ A \u003d ∠ A 1, trójkąt ABC można nałożyć na trójkąt A 1 B 1 C 1 tak, że wierzchołek A jest wyrównany z wierzchołkiem A 1, a boki AB i AC nakładają się odpowiednio na promienie A 1 B 1 i A 1 C jeden . Ponieważ AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, wówczas strona AB zostanie połączona ze stroną A 1 B 1 i stroną AC - ze stroną A 1 C 1; w szczególności punkty B i B1, C i C1 będą się pokrywać. Dlatego boki BC i B 1 C 1 zostaną wyrównane. Zatem trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 są całkowicie kompatybilne, co oznacza, że ​​są równe.

Twierdzenie 2 jest podobnie udowodnione metodą superpozycji.

Twierdzenie 2. Drugi znak równości trójkątów. Jeżeli bok i dwa sąsiadujące z nim kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe bokowi i dwa sąsiadujące z nim kąty innego trójkąta, to takie trójkąty są równe (ryc. 34).

Komentarz. Na podstawie Twierdzenia 2 ustala się Twierdzenie 3.

Twierdzenie 3. Suma dowolnych dwóch kątów wewnętrznych trójkąta jest mniejsza niż 180°.

Twierdzenie 4 wynika z ostatniego twierdzenia.

Twierdzenie 4. Kąt zewnętrzny trójkąta jest większy niż dowolny wewnętrzny narożnik, nie przylega do niego.

Twierdzenie 5. Trzeci znak równości trójkątów. Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom innego trójkąta, to takie trójkąty są równe ().

Przykład 1 W trójkątach ABC i DEF (rys. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Porównaj trójkąty ABC i DEF. Jaki kąt w trójkącie DEF jest równy kątowi B?

Decyzja. Te trójkąty są równe w pierwszym znaku. Kąt F trójkąta DEF jest równy kątowi B trójkąta ABC, ponieważ kąty te leżą naprzeciw odpowiednich równych boków DE i AC.

Przykład 2 Odcinki AB i CD (rys. 5) przecinają się w punkcie O, który jest środkiem każdego z nich. Ile wynosi odcinek BD, jeśli odcinek AC ma 6 m?

Decyzja. Trójkąty AOC i BOD są równe (według pierwszego kryterium): ∠ AOC = ∠ BOD (pion), AO = OB, CO = OD (według warunku).
Z równości tych trójkątów wynika równość ich boków, czyli AC = BD. Ale skoro zgodnie z warunkiem AC = 6 m, to BD = 6 m.

Notacja standardowa

Trójkąt z wierzchołkami A, B oraz C oznaczony jako (patrz ryc.). Trójkąt ma trzy boki:

Długości boków trójkąta są oznaczone małymi literami z literami łacińskimi(ABC):

Trójkąt ma następujące kąty:

Wartości kątów na odpowiednich wierzchołkach są tradycyjnie oznaczane litery greckie (α, β, γ).

Znaki równości trójkątów

Trójkąt na płaszczyźnie euklidesowej można jednoznacznie (aż do kongruencji) zdefiniować za pomocą następujących trójek podstawowych elementów:

1. a, b, γ (równość z dwóch stron i kąt leżący między nimi);
2. a, β, γ (równość w bokach i dwóch sąsiednich kątach);
3. a, b, c (równość z trzech stron).

Znaki równości trójkątów prostokątnych:

1. wzdłuż nogi i przeciwprostokątnej;
2. na dwóch nogach;
3. wzdłuż nogi i kąt ostry;
4. przeciwprostokątna i kąt ostry.

Niektóre punkty w trójkącie są „sparowane”. Na przykład istnieją dwa punkty, z których wszystkie boki są widoczne pod kątem 60° lub pod kątem 120°. Nazywają się kropki Torricelli. Istnieją również dwa punkty, których rzuty na boki leżą na wierzchołkach trójkąta foremnego. To jest - punkty Apoloniusza. Punkty i takie jak się nazywa Punkty Brocard.

Bezpośredni

W dowolnym trójkącie środek ciężkości, ortocentrum i środek koła opisanego leżą na tej samej linii prostej, zwanej linia Eulera.

Linia przechodząca przez środek opisanego okręgu i punkt Lemoine nazywa się Oś Brokara. Na nim leżą punkty Apoloniusza. Punkty Torricellego i punkt Lemoine również leżą na tej samej linii prostej. Podstawy zewnętrznych dwusiecznych kątów trójkąta leżą na tej samej linii prostej, zwanej oś zewnętrznych dwusiecznych. Na tej samej linii leżą również punkty przecięcia linii zawierających boki ortotrójkąta z liniami zawierającymi boki trójkąta. Ta linia nazywa się oś ortocentryczna, jest prostopadła do linii Eulera.

Jeśli weźmiemy punkt na opisanym okręgu trójkąta, to jego rzuty na boki trójkąta będą leżeć na jednej linii prostej, zwanej Prosta linia Simsona danego punktu. Linie Simsona diametralnie przeciwnych punktów są prostopadłe.

trójkąty

• Trójkąt z wierzchołkami u podstawy cevian przeciągnięty przez dany punkt nazywa się trójkąt cewiański ten punkt.
• Nazywa się trójkąt z wierzchołkami w rzutach danego punktu na boki pod skórą lub trójkąt pedałów ten punkt.
• Trójkąt z wierzchołkami w drugich punktach przecięcia linii przeciągniętych przez wierzchołki i dany punkt, z okręgiem opisanym, nazywa się trójkąt cewiański. Trójkąt cewiański jest podobny do trójkąta podskórnego.

kręgi

• Wpisany okrąg jest okręgiem stycznym do wszystkich trzech boków trójkąta. Ona jest jedyna. Środek wpisanego koła nazywa się w centrum.
• Zakreślony okrąg- okrąg przechodzący przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta. Zakreślony okrąg jest również wyjątkowy.
• Excircle- okrąg styczny do jednego boku trójkąta i przedłużenie pozostałych dwóch boków. W trójkącie są trzy takie koła. Ich radykalne centrum to środek wpisanego okręgu trójkąta pośrodkowego, zwanego Punkt Spiekera.

Punkty środkowe trzech boków trójkąta, podstawy jego trzech wysokości i punkty środkowe trzech odcinków linii łączących jego wierzchołki z ortocentrum leżą na jednym okręgu zwanym koło dziewięciu punktów lub Koło Eulera. Środek dziewięciopunktowego koła leży na linii Eulera. Okrąg składający się z dziewięciu punktów styka się z wpisanym okręgiem i trzema eksokrągami. Nazywa się punkt styku okręgu wpisanego z okręgiem składającym się z dziewięciu punktów Punkt Feuerbacha. Jeżeli z każdego wierzchołka ułożymy trójkąty na liniach prostych zawierających boki, ortezy równe długości do przeciwległych boków, to powstałe sześć punktów leżą na jednym okręgu - Kręgi Conwaya. W dowolnym trójkącie można wpisać trzy koła w taki sposób, aby każde z nich stykało się z dwoma bokami trójkąta i dwoma innymi kołami. Takie kręgi nazywają się Kręgi Malfatti. Środki opisanych okręgów sześciu trójkątów, na które trójkąt jest podzielony medianami, leżą na jednym okręgu, który nazywa się Koło Lamun.

Trójkąt ma trzy koła, które dotykają dwóch boków trójkąta i koła opisanego. Takie kręgi nazywają się częściowo wpisany lub Kręgi Verrier. Odcinki łączące punkty styku okręgów Verriera z okręgiem opisanym przecinają się w jednym punkcie, zwanym Punkt Verrier. Służy jako centrum jednorodności, które przenosi ograniczone koło do kręgu. Punkty styczności okręgów Verriera z bokami leżą na linii prostej przechodzącej przez środek okręgu wpisanego.

Odcinki linii łączące punkty styczności wpisanego okręgu z wierzchołkami przecinają się w jednym punkcie, zwanym Punkt Gergonne, a odcinki łączące wierzchołki z punktami styku eksokrętów - in Punkt Nagel.

Elipsy, parabole i hiperbole

Wpisany stożek (elipsa) i jego perspektywa

W trójkąt można wpisać nieskończoną liczbę stożków (elipsy, parabole lub hiperbole). Jeśli wpiszemy dowolny stożek w trójkąt i połączymy punkty styczności z przeciwległymi wierzchołkami, to powstałe proste przecinają się w jednym punkcie, zwanym perspektywiczny stożki. Dla każdego punktu płaszczyzny, który nie leży na boku lub na jego przedłużeniu, istnieje wpisana stożek z perspektywą w tym punkcie.

Zakreślona elipsa Steinera i cevians przechodzące przez jej ognisko

Elipsę można wpisać w trójkąt, który dotyka boków w punktach środkowych. Taka elipsa nazywa się Elipsa wpisana przez Steinera(jej perspektywa będzie środkiem ciężkości trójkąta). Opisana elipsa, która jest styczna do linii przechodzących przez wierzchołki równoległe do boków, nazywa się otoczona elipsą Steinera. Jeśli transformacja afiniczna („skośna”) przełoży trójkąt na regularny, to jego wpisana i opisana elipsa Steinera przejdzie w wpisany i opisany okrąg. Cewianie przeciągnięte przez ogniska opisywanej elipsy Steinera (punkty Skutina) są równe (twierdzenie Skutina). Ze wszystkich ograniczonych elips, ograniczona elipsa Steinera ma: najmniejszy obszar, a ze wszystkich wpisanych elips elipsa wpisana przez Steinera ma największą powierzchnię.

Elipsa Brocarda i jej obserwator - punkt Lemoine

Elipsa z ogniskami w punktach Brokara nazywa się Elipsa Brocarda. Jego perspektywa to punkt Lemoine.

Właściwości wpisanej paraboli

Parabola Kieperta

Perspektywy wpisanych parabol leżą na ograniczonej elipsie Steinera. Ognisko wpisanej paraboli leży na ograniczonym okręgu, a kierownica przechodzi przez ortocentrum. Parabola wpisana w trójkąt, którego kierownicą jest linia Eulera, nazywa się Parabola Kieperta. Jej perspektywą jest czwarty punkt przecięcia się koła opisanego i ograniczonej elipsy Steinera, zwany Punkt Steinera.

Hiperbola Cyperta

Jeśli opisana hiperbola przechodzi przez punkt przecięcia wysokości, to jest równoboczna (czyli jej asymptoty są prostopadłe). Punkt przecięcia asymptot równobocznej hiperboli leży na okręgu dziewięciu punktów.

Transformacje

Jeśli linie przechodzące przez wierzchołki i jakiś punkt nie leżący po bokach i ich przedłużenia są odbijane względem odpowiednich dwusiecznych, to ich obrazy również przecinają się w jednym punkcie, który nazywa się sprzężona izogonalnie oryginalny (jeśli punkt leżał na ograniczonym okręgu, to wynikowe linie będą równoległe). Wiele par niezwykłych punktów jest sprzężonych izogonalnie: środek koła opisanego i ortocentrum, środek ciężkości i punkt Lemoine'a, punkty Brocarda. Punkty Apoloniusza są izogonalnie sprzężone z punktami Torricellego, a środek okręgu jest izogonalnie sprzężony ze sobą. Pod wpływem koniugacji izogonalnej linie proste przechodzą w ograniczone stożki, a ograniczone stożki w linie proste. Zatem hiperbola Kieperta i oś Brocarda, hiperbola Enzhabka i linia Eulera, hiperbola Feuerbacha i linia środków wpisanego koła są sprzężone izogonalnie. Zakreślone okręgi trójkątów podskórnych z izogonalnie sprzężonymi punktami pokrywają się. Ogniska wpisanych elips są sprzężone izogonalnie.

Jeśli zamiast symetrycznego cewiana weźmiemy cewiana, którego podstawa znajduje się tak daleko od środka boku jak podstawa oryginalnego, to takie cewiany również będą się przecinać w jednym punkcie. Powstała transformacja nazywa się koniugacja izotomiczna. Odwzorowuje również linie na ograniczone stożki. Punkty Gergonne i Nagel są sprzężone izotomicznie. W wyniku przekształceń afinicznych, punkty sprzężone izotomicznie przechodzą w punkty sprzężone izotomicznie. W koniugacji izotomicznej opisana elipsa Steinera przechodzi w linię prostą w nieskończoności.

Jeżeli w segmentach odciętych bokami trójkąta od opisanego koła wpisane są koła, które dotykają boków u podstawy cevian przeciągniętych przez pewien punkt, a następnie punkty styku tych kół są połączone z opisanym okrąg z przeciwległymi wierzchołkami, wtedy takie linie przecinają się w jednym punkcie. Transformacja płaszczyzny, dopasowująca pierwotny punkt do wynikowego, nazywa się transformacja izocykliczna. Skład koniugacji izogonalnych i izotomicznych jest składem przemiany izokołowej z samym sobą. Ta kompozycja jest transformacją projekcyjną, która pozostawia boki trójkąta na miejscu i przekłada oś zewnętrznych dwusiecznych na linię prostą w nieskończoności.

Jeśli będziemy kontynuować boki trójkąta cewiańskiego jakiegoś punktu i weźmiemy ich punkty przecięcia z odpowiednimi bokami, to powstałe punkty przecięcia będą leżeć na jednej linii prostej, zwanej trójliniowy biegunowy punkt wyjścia. Oś ortocentryczna - trójliniowa biegunowa ortocentrum; trójliniowy biegun środka wpisanego koła jest osią zewnętrznych dwusiecznych. Trójliniowe bieguny punktów leżących na opisanej stożku przecinają się w jednym punkcie (dla opisanego koła jest to punkt Lemoine'a, dla opisanej elipsy Steinera jest to środek ciężkości). Skład sprzężenia izogonalnego (lub izotomicznego) i trójliniowego jest transformacją dualną (jeśli punkt izogonalnie (izotomicznie) sprzężony z punktem leży na trójliniowej biegunowej punktu, to trójliniowy biegunowy punktu izogonalnie (izotomicznie) sprzężona z punktem leży na trójliniowej biegunowości punktu ).

Kostki

Związki w trójkącie

Notatka: w tej sekcji , , to długości trzech boków trójkąta, a , , to kąty leżące odpowiednio naprzeciw tych trzech boków (kąty przeciwstawne).

nierówność trójkąta

W niezdegenerowanym trójkącie suma długości jego dwóch boków jest większa niż długość trzeciego boku, w zdegenerowanym jest równa. Innymi słowy, długości boków trójkąta są powiązane następującymi nierównościami:

Nierówność trójkąta jest jednym z aksjomatów metryk.

Twierdzenie o sumie trójkątów o kątach

Twierdzenie sinus

,

gdzie R jest promieniem okręgu opisanego wokół trójkąta. Z twierdzenia wynika, że ​​jeśli a< b < c, то α < β < γ.

twierdzenie cosinus

Twierdzenie styczne

Inne wskaźniki

Stosunki metryczne w trójkącie podano dla:

Rozwiązywanie trójkątów

Obliczanie nieznanych boków i kątów trójkąta, oparte na znanych, było historycznie nazywane „rozwiązaniami trójkątnymi”. W tym przypadku stosuje się powyższe ogólne twierdzenia trygonometryczne.

Obszar trójkąta

Przypadki szczególne Notacja

Na obszarze panują następujące nierówności:

Obliczanie pola trójkąta w przestrzeni za pomocą wektorów

Niech wierzchołki trójkąta będą w punktach , , .

Wprowadźmy wektor powierzchniowy . Długość tego wektora jest równa powierzchni trójkąta i jest skierowana wzdłuż normalnej do płaszczyzny trójkąta:

Niech , gdzie , , są rzutami trójkąta na płaszczyzny współrzędnych. W której

I podobnie

Obszar trójkąta to .

Alternatywą jest obliczenie długości boków (przy użyciu twierdzenia Pitagorasa), a następnie wykorzystanie wzoru Herona.

Twierdzenia o trójkątach

Twierdzenie Desarguesa: jeśli dwa trójkąty są perspektywiczne (linie przechodzące przez odpowiednie wierzchołki trójkątów przecinają się w jednym punkcie), to ich odpowiednie boki przecinają się na jednej linii prostej.

Twierdzenie Sonda: jeśli dwa trójkąty są perspektywiczne i ortologiczne (prostopadłe opadają z wierzchołków jednego trójkąta na boki przeciwne do odpowiednich wierzchołków trójkąta i odwrotnie), to oba centra ortologii (punkty przecięcia tych prostopadłych) i środek perspektywy leżą na jednej linii prostej prostopadłej do osi perspektywy (linia prosta z twierdzenia Desarguesa).

Dziś jedziemy do kraju Geometrii, gdzie się zapoznamy różne rodzaje trójkąty.

Rozważać figury geometryczne i znajdź wśród nich „dodatkowe” (ryc. 1).

Ryż. 1. Ilustracja na przykład

Widzimy, że figury nr 1, 2, 3, 5 są czworokątami. Każdy z nich ma swoją nazwę (ryc. 2).

Ryż. 2. Czworokąty

Oznacza to, że figura „dodatkowa” to trójkąt (ryc. 3).

Ryż. 3. Ilustracja na przykład

Trójkąt to figura składająca się z trzech punktów, które nie leżą na tej samej linii prostej oraz trzech odcinków łączących te punkty parami.

Punkty nazywają się wierzchołki trójkąta, segmenty - jego imprezy. Boki trójkąta tworzą Na wierzchołkach trójkąta znajdują się trzy kąty.

Główne cechy trójkąta to trzy boki i trzy rogi. Trójkąty są klasyfikowane według kąta ostry, prostokątny i tępy.

Trójkąt nazywa się ostrym, jeśli wszystkie trzy jego kąty są ostre, to znaczy mniej niż 90 ° (ryc. 4).

Ryż. 4. Ostry trójkąt

Trójkąt nazywamy prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów wynosi 90° (ryc. 5).

Ryż. 5. Prawy trójkąt

Trójkąt nazywamy rozwartym, jeśli jeden z jego kątów jest rozwarty, tj. większy niż 90° (ryc. 6).

Ryż. 6. Rozwarty trójkąt

Zgodnie z liczbą równych boków trójkąty są równoboczne, równoramienne, pochyłe.

Trójkąt równoramienny to trójkąt, w którym dwa boki są równe (ryc. 7).

Ryż. 7. Trójkąt równoramienny

Te strony nazywają się boczny, trzecia strona - podstawa. W trójkącie równoramiennym kąty u podstawy są równe.

Trójkąty równoramienne są ostry i tępy(rys. 8) .

Ryż. 8. Ostre i rozwarte trójkąty równoramienne

Nazywa się trójkąt równoboczny, w którym wszystkie trzy boki są równe (ryc. 9).

Ryż. 9. Trójkąt równoboczny

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe. Trójkąty równoboczne zawsze ostrokątny.

Trójkąt nazywa się uniwersalnym, w którym wszystkie trzy boki mają różne długości (ryc. 10).

Ryż. 10. Trójkąt skali

Wykonać zadanie. Podziel te trójkąty na trzy grupy (ryc. 11).

Ryż. 11. Ilustracja do zadania

Najpierw rozłóżmy zgodnie z rozmiarem kątów.

Ostre trójkąty: nr 1, nr 3.

Trójkąty prawe: #2, #6.

Trójkąty rozwarte: #4, #5.

Te trójkąty są podzielone na grupy według liczby równych boków.

Trójkąty pochyłe: nr 4, nr 6.

Trójkąty równoramienne: nr 2, nr 3, nr 5.

Trójkąt równoboczny: nr 1.

Przejrzyj rysunki.

Zastanów się, z jakiego kawałka drutu wykonany jest każdy trójkąt (rys. 12).

Ryż. 12. Ilustracja do zadania

Możesz się tak spierać.

Pierwszy kawałek drutu jest podzielony na trzy równe części, dzięki czemu można z niego zrobić trójkąt równoboczny. Jest to pokazane jako trzecie na rysunku.

Drugi kawałek drutu jest podzielony na trzy różne części, dzięki czemu można z niego zrobić trójkąt łuskowy. Jest pokazany jako pierwszy na obrazku.

Trzeci kawałek drutu jest podzielony na trzy części, z których dwie są tej samej długości, dzięki czemu można z niego zrobić trójkąt równoramienny. Jest to pokazane jako drugie na rysunku.

Dzisiaj na lekcji zapoznaliśmy się z różnymi rodzajami trójkątów.

Bibliografia

1. MI. Moro, mgr Bantova i inni Matematyka: Podręcznik. Ocena 3: w 2 częściach, część 1. - M .: "Oświecenie", 2012.
2. MI. Moro, mgr Bantova i inni Matematyka: Podręcznik. Klasa 3: w 2 częściach, część 2. - M .: "Oświecenie", 2012.
3. MI. Moreau. Lekcje matematyki: Wytyczne dla nauczyciela. Ocena 3 - M.: Edukacja, 2012.
4. Dokument prawny. Monitorowanie i ocena efektów uczenia się. - M.: "Oświecenie", 2011.
5. "Szkoła Rosji": Programy dla Szkoła Podstawowa. - M.: "Oświecenie", 2011.
6. SI. Wołkow. Matematyka: Prace weryfikacyjne. Ocena 3 - M.: Edukacja, 2012.
7. V.N. Rudnickiej. Testy. - M.: "Egzamin", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Zadanie domowe

1. Dokończ frazy.

a) Trójkąt to figura składająca się z ..., nie leżącego na tej samej linii prostej, i ..., łączącej te punkty parami.

b) Punkty nazywane są … , segmenty - jego … . Boki trójkąta tworzą wierzchołki trójkąta ….

c) W zależności od wielkości kąta trójkąty to ..., ..., ....

d) Zgodnie z liczbą równych boków trójkąty to ..., ..., ....

2. Remis

a) trójkąt prostokątny

b) ostry trójkąt;

c) trójkąt rozwarty;

d) trójkąt równoboczny;

e) trójkąt pochyły;

e) trójkąt równoramienny.

3. Zrób zadanie na temat lekcji dla swoich towarzyszy.

Nauka o geometrii mówi nam, czym jest trójkąt, kwadrat, sześcian. W nowoczesny świat studiują go w szkołach wszyscy bez wyjątku. Ponadto nauką, która bezpośrednio bada, czym jest trójkąt i jakie ma właściwości, jest trygonometria. Szczegółowo bada wszystkie zjawiska związane z danymi, a o tym, czym jest dziś trójkąt, porozmawiamy w naszym artykule. Ich rodzaje zostaną opisane poniżej, a także niektóre twierdzenia z nimi związane.

Czym jest trójkąt? Definicja

To jest płaski wielokąt. Ma trzy rogi, co wynika z jego nazwy. Ma również trzy boki i trzy wierzchołki, z których pierwszy to segmenty, a drugi to punkty. Wiedząc, jakie są dwa kąty, możesz znaleźć trzeci, odejmując sumę pierwszych dwóch od liczby 180.

Czym są trójkąty?

Można je klasyfikować według różnych kryteriów.

Przede wszystkim dzielą się na ostrokątne, rozwarte i prostokątne. Te pierwsze mają kąty ostre, czyli mniejsze niż 90 stopni. W kątach rozwartych jeden z kątów jest rozwarty, to znaczy jeden jest równy więcej niż 90 stopni, pozostałe dwa są ostre. Ostre trójkąty obejmują również trójkąty równoboczne. Takie trójkąty mają równe wszystkie boki i kąty. Wszystkie są równe 60 stopniom, można to łatwo obliczyć, dzieląc sumę wszystkich kątów (180) przez trzy.

Trójkąt prostokątny

Nie da się nie mówić o tym, czym jest trójkąt prostokątny.

Taka figura ma jeden kąt równy 90 stopni (prosty), czyli dwa jej boki są prostopadłe. Pozostałe dwa kąty są ostre. Mogą być równe, wtedy będą równoramienne. Twierdzenie Pitagorasa jest związane z trójkątem prostokątnym. Z jego pomocą możesz znaleźć trzecią stronę, znając dwie pierwsze. Zgodnie z tym twierdzeniem, jeśli dodasz kwadrat jednej nogi do kwadratu drugiej, otrzymasz kwadrat przeciwprostokątnej. Kwadrat nogi można obliczyć, odejmując kwadrat znanej nogi od kwadratu przeciwprostokątnej. Mówiąc o tym, czym jest trójkąt, możemy przypomnieć sobie równoramienne. Jest to taki, w którym dwa boki są równe, a dwa kąty są również równe.

Co to jest noga i przeciwprostokątna?

Noga jest jednym z boków trójkąta, które tworzą kąt 90 stopni. Przeciwprostokątna to druga strona przeciwna prosty kąt. Z niego prostopadle można opuścić na nogę. Stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej nazywany jest cosinusem, a przeciwny to sinus.

- jakie są jego cechy?

Jest prostokątny. Jego nogi mają trzy i cztery, a przeciwprostokątna pięć. Jeśli widziałeś, że ramiona tego trójkąta są równe trzy i cztery, możesz być pewien, że przeciwprostokątna będzie równa pięciu. Również zgodnie z tą zasadą można łatwo określić, że noga będzie równa trzy, jeśli druga będzie równa czterem, a przeciwprostokątna pięć. Aby udowodnić to stwierdzenie, możesz zastosować twierdzenie Pitagorasa. Jeśli dwie nogi to 3 i 4, to 9 + 16 \u003d 25, korzeń 25 to 5, to znaczy przeciwprostokątna to 5. Również trójkąt egipski nazywa się trójkątem prostokątnym, którego boki to 6, 8 i 10 ; 9, 12 i 15 oraz inne liczby w proporcji 3:4:5.

Co jeszcze może być trójkątem?

Trójkąty można również wpisywać i opisywać. Figura, wokół której opisane jest koło, nazywana jest wpisaną, wszystkie jej wierzchołki są punktami leżącymi na okręgu. Trójkąt opisany to taki, w który wpisany jest okrąg. Wszystkie jego boki stykają się z nim w pewnych punktach.

Jak jest

Powierzchnia dowolnej figury jest mierzona w jednostki kwadratowe(metry kwadratowe, milimetry kwadratowe, centymetry kwadratowe, decymetry kwadratowe itp.) Wartość tę można obliczyć na różne sposoby, w zależności od typu trójkąta. Powierzchnię dowolnej figury z kątami można znaleźć mnożąc jej bok przez prostopadłą rzuconą na nią z przeciwległy róg i dzieląc tę ​​liczbę przez dwa. Możesz również znaleźć tę wartość, mnożąc dwie strony. Następnie pomnóż tę liczbę przez sinus kąta między tymi bokami i podziel przez dwa. Znając wszystkie boki trójkąta, ale nie znając jego kątów, możesz znaleźć obszar w inny sposób. Aby to zrobić, musisz znaleźć połowę obwodu. Następnie na przemian odejmij różne boki od tej liczby i pomnóż cztery uzyskane wartości. Następnie znajdź numer, który wyszedł. Obszar wpisanego trójkąta można znaleźć, mnożąc wszystkie boki i dzieląc wynikową liczbę, przez którą jest zapisany wokół niego przez cztery.

Obszar opisywanego trójkąta znajduje się w ten sposób: połowę obwodu mnożymy przez promień okręgu, który jest w nim wpisany. Jeśli więc jego powierzchnię można znaleźć w następujący sposób: podwajamy bok, otrzymaną liczbę mnożymy przez pierwiastek z trzech, a następnie dzielimy tę liczbę przez cztery. Podobnie możesz obliczyć wysokość trójkąta, w którym wszystkie boki są równe, w tym celu musisz pomnożyć jeden z nich przez pierwiastek z trzech, a następnie podzielić tę liczbę przez dwa.

Twierdzenia o trójkątach

Główne twierdzenia związane z tą figurą to twierdzenie Pitagorasa opisane powyżej i cosinusy. Drugi (sinus) polega na tym, że jeśli podzielisz dowolny bok przez sinus kąta przeciwnego do niego, otrzymasz promień okręgu opisanego wokół niego pomnożony przez dwa. Trzeci (cosinus) polega na tym, że jeśli suma kwadratów dwóch boków zostanie odjęta od ich iloczynu pomnożona przez dwa i cosinus kąta znajdującego się między nimi, to otrzymamy kwadrat trzeciego boku.

Trójkąt Dali - co to jest?

Wielu, w obliczu tej koncepcji, początkowo myśli, że jest to jakaś definicja geometrii, ale wcale tak nie jest. Trójkąt Dali to Nazwa zwyczajowa trzy miejsca ściśle związane z życiem słynnego artysty. Jej „szczytami” są dom, w którym mieszkał Salvador Dali, zamek, który podarował swojej żonie oraz muzeum malarstwa surrealistycznego. Podczas zwiedzania tych miejsc można się wiele nauczyć. interesujące fakty o tym niezwykłym, twórczym artyście, znanym na całym świecie.