Zadanie. Zbuduj diagramy Q i M dla belki statycznie niewyznaczalnej. Belki obliczamy według wzoru:

n= Σ R- W— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Belka raz jest statycznie nieokreślony, co oznacza jeden reakcji jest „dodatkowe” nieznane. Za „dodatkowe” nieznane przyjmiemy reakcję wsparcia W — R B.

Belka statycznie wyznaczalna, którą uzyskuje się z danej poprzez usunięcie „dodatkowego” połączenia nazywamy układem głównym. (b).

Teraz ten system powinien zostać zaprezentowany równowartość dany. Aby to zrobić, załaduj główny system dany obciążenie i w punkcie W stosować "dodatkowa" reakcja R B(Ryż. w).

Jednak dla równorzędność ten niewystarczająco, skoro w takiej belce punkt W być może poruszaj się w pionie i w danej belce (ryc. a ), to nie może się zdarzyć. Dlatego dodajemy stan, Co ugięcie t. W w systemie głównym musi być równa 0. Ugięcie t. W składać się z odchylenie od działającego obciążenia Δ F i od odchylenie od „dodatkowej” reakcji Δ R.

Potem komponujemy warunek zgodności przemieszczeń:

Δ F + Δ R=0 (1)

Teraz pozostaje je obliczyć ruchy (ugięcia)).

Ładowanie podstawowy system podany ładunek(Ryż .G) i buduj schemat ładunkuM F (Ryż. d ).

W t. W zastosuj i zbuduj ep. (Ryż. jeż ).

Za pomocą wzoru Simpsona definiujemy ugięcie ładunku.

Teraz zdefiniujmy odchylenie od działania „dodatkowej” reakcji R B , w tym celu ładujemy główny system R B (Ryż. h ) i wykreśl momenty z jego akcji PAN (Ryż. oraz ).

Komponuj i decyduj równanie (1):

Zbudujmy odc. Q oraz M (Ryż. do, ja ).

Budowanie diagramu Q.

Zbudujmy działkę M metoda punkty charakterystyczne. Rozmieszczamy punkty na belce - są to punkty początku i końca belki ( D, A ), moment skupiony ( B ), a także odnotować jako punkt charakterystyczny środek równomiernie rozłożonego obciążenia ( K ) jest dodatkowym punktem do konstruowania krzywej parabolicznej.

Wyznacz momenty zginające w punktach. Zasada znaków cm. - .

Chwila w W zostaną zdefiniowane w następujący sposób. Najpierw zdefiniujmy:

punkt Do weźmy się środek obszar z równomiernie rozłożonym obciążeniem.

Budowanie diagramu M . Intrygować AB – krzywa paraboliczna(zasada „parasol”), fabuła BD – prosta ukośna linia.

Dla belki określ reakcje podporowe i wykreśl wykresy momentu zginającego ( M) i siły ścinające ( Q).

1. Wyznaczamy obsługuje listy ALE oraz W i kieruj reakcjami podporowymi R A oraz R B .

Kompilacja równania równowagi.

Badanie

Zapisz wartości R A oraz R B na schemat obliczeniowy.

2. Wykreślanie siły poprzeczne metoda Sekcje. Sekcje umieszczamy na charakterystyczne obszary(między zmianami). Zgodnie z wymiarowym gwintem - 4 sekcje, 4 sekcje.

ust. 1-1 ruszaj się lewy.

Sekcja przechodzi przez sekcję z równomiernie rozłożony ładunek, zwróć uwagę na rozmiar! z 1 po lewej stronie sekcji przed początkiem sekcji. Długość działki 2m. Zasada znaków dla Q - cm.

Budujemy na znalezionej wartości diagramQ.

ust. 2-2 ruch w prawo.

Sekcja ponownie przechodzi przez obszar z równomiernie rozłożonym obciążeniem, zwróć uwagę na rozmiar z 2 z prawej strony sekcji na początek sekcji. Długość działki 6m.

Budowanie diagramu Q.

ust. 3-3 ruch w prawo.

ust. 4-4 przesuń się w prawo.

Budujemy diagramQ.

3. Budowa diagramy M metoda punkty charakterystyczne.

punkt charakterystyczny- punkt, dowolny zauważalny na belce. To są kropki ALE, W, Z, D , a także punkt Do , w którym Q=0 oraz moment zginający ma ekstremum. także w środek konsola postawiła dodatkowy punkt mi, ponieważ w tym obszarze pod równomiernie rozłożonym obciążeniem wykres M opisane krzywy linia i jest zbudowana przynajmniej według 3 zwrotnica.

Tak więc punkty są umieszczone, przystępujemy do określenia w nich wartości ​​ momenty zginające. Zasada znaków – zob..

Działki NA, AD – krzywa paraboliczna(zasada „parasol” dla specjalności mechanicznych lub „zasada żagla” dla budownictwa), sekcje DC, SW – proste ukośne linie.

Chwila w punkcie D należy określić zarówno lewy, jak i prawy Z punktu D . Sam moment w tych wyrażeniach Wyłączony. W punkcie D dostajemy dwa wartości od różnica według kwoty m – skok do jego rozmiaru.

Teraz musimy określić moment w punkcie Do (Q=0). Jednak najpierw definiujemy pozycja punktowa Do , oznaczający odległość od niego do początku odcinka przez niewiadomą X .

T. Do należy druga charakterystyczny obszar, równanie siły ścinającej(patrz wyżej)

Ale siła poprzeczna w t. Do jest równe 0 , a z 2 równa się nieznany X .

Otrzymujemy równanie:

Teraz wiedząc X, określić moment w punkcie Do po prawej stronie.

Budowanie diagramu M . Budowa jest wykonalna dla mechaniczny specjalności, odkładanie pozytywnych wartości w górę od linii zerowej i stosując zasadę „parasol”.

Dla danego schematu belki wspornikowej należy wykreślić wykresy siły poprzecznej Q i momentu zginającego M, wykonać obliczenia projektowe wybierając przekrój kołowy.

Materiał - drewno, wytrzymałość obliczeniowa materiału R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Istnieją dwa sposoby budowania wykresów w belce wspornikowej ze sztywnym zakończeniem - zwykłym, po wcześniejszym określeniu reakcji podporowych i bez określania reakcji podporowych, jeśli weźmiemy pod uwagę przekroje, wychodząc od wolnego końca belki i odrzucając lewa część z zakończeniem. Zbudujmy diagramy zwykły droga.

1. Zdefiniuj wspierać reakcje.

Obciążenie równomiernie rozłożone q zastąpić siłę warunkową Q= q 0,84=6,72 kN

W osadzeniu sztywnym występują trzy reakcje podporowe - pionowa, pozioma i moment, w naszym przypadku reakcja pozioma wynosi 0.

Znajdźmy pionowy wsparcie reakcji R A oraz moment odniesienia M A z równań równowagi.

W pierwszych dwóch sekcjach po prawej stronie nie ma siły poprzecznej. Na początku odcinka z równomiernie rozłożonym obciążeniem (po prawej) Q=0, z tyłu - wielkość reakcji RA
3. Aby zbudować, skomponujemy wyrażenia dla ich definicji na sekcjach. Wykreślamy wykres momentu na włóknach, tj. droga w dół.

(fabuła pojedynczych momentów została już zbudowana wcześniej)

Rozwiązujemy równanie (1), pomniejszamy o EI

Ujawniono statyczną nieoznaczoność, zostaje znaleziona wartość „dodatkowej” reakcji. Możesz zacząć kreślić wykresy Q i M dla belki statycznie niewyznaczalnej... Szkicujemy dany schemat belki i wskazujemy wartość reakcji Rb. W tej wiązce nie można określić reakcji na zakończenie, jeśli pójdziesz w prawo.

Budynek działki Q dla belki statycznie niewyznaczalnej

Działka Q.

kreślenie M

Definiujemy M w punkcie ekstremum - w punkcie Do. Najpierw określmy jego pozycję. Odległość do niego oznaczamy jako nieznaną ” X”. Następnie

Planujemy M.

Wyznaczanie naprężeń ścinających w dwuteowniku. Rozważ sekcję Promiennie się uśmiecham. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm 4; Q=200 kN

Do określenia naprężenia ścinającego służy formuła, gdzie Q jest siłą poprzeczną w przekroju, S x 0 jest momentem statycznym części przekroju znajdującej się po jednej stronie warstwy, w której wyznaczane są naprężenia ścinające, I x jest momentem bezwładności całego krzyża przekrój, b szerokość przekroju w miejscu wyznaczania naprężenia ścinającego

Obliczać maksymalny naprężenie ścinające:

Obliczmy moment statyczny dla Górna półka:

Teraz policzmy naprężenia ścinające:

Budujemy wykres naprężeń ścinających:

Obliczenia projektowe i weryfikacyjne. Dla belki ze skonstruowanymi wykresami sił wewnętrznych z warunku wytrzymałości dla naprężeń normalnych wybierz przekrój w postaci dwóch kanałów. Sprawdź wytrzymałość belki za pomocą warunku wytrzymałości na ścinanie i kryterium wytrzymałości energetycznej. Dany:

Pokażmy belkę z konstrukcją działki Q i M

Zgodnie z wykresem momentów zginających niebezpieczne jest sekcja C, w którym M C \u003d M max \u003d 48,3 kNm.

Stan wytrzymałości dla normalnych naprężeń bo ta belka ma formę σ max \u003d M C / W X ≤σ adm . Konieczne jest wybranie sekcji z dwóch kanałów.

Określ wymaganą obliczoną wartość wskaźnik przekroju osiowego:

Dla odcinka w postaci dwóch kanałów, zgodnie z akceptacją dwa kanały №20a, moment bezwładności każdego kanału I x = 1670 cm 4, następnie moment osiowy nośności całego przekroju:

Nadnapięcie (podnapięcie) w niebezpiecznych punktach obliczamy według wzoru: Wtedy otrzymujemy pod napięciem:

Sprawdźmy teraz siłę wiązki na podstawie warunki wytrzymałościowe dla naprężeń ścinających. Według wykres sił ścinających niebezpieczny są sekcje w sekcji BC i sekcji D. Jak widać na schemacie, Q max \u003d 48,9 kN.

Warunek wytrzymałości na naprężenia ścinające wygląda jak:

Dla kanału nr 20 a: statyczny moment powierzchni S x 1 \u003d 95,9 cm 3, moment bezwładności przekroju I x 1 \u003d 1670 cm 4, grubość ścianki d 1 \u003d 5,2 mm, średnia grubość półki t 1 \u003d 9,7 mm , wysokość kanału h 1 \u003d 20 cm, szerokość półki b 1 \u003d 8 cm.

do poprzecznych sekcje dwóch kanałów:

S x \u003d 2S x 1 \u003d 2 95,9 \u003d 191,8 cm 3,

I x \u003d 2I x 1 \u003d 2 1670 \u003d 3340 cm 4,

b \u003d 2d 1 \u003d 2 0,52 \u003d 1,04 cm.

Ustalenie wartości maksymalne naprężenie ścinające:

τ max \u003d 48,9 10 3 191,8 10 -6 / 3340 10 -8 1,04 10 -2 \u003d 27 MPa.

Jak widać, τ maks<τ adm (27 MPa<75МПа).

W konsekwencji, warunek wytrzymałości jest spełniony.

Sprawdzamy wytrzymałość belki według kryterium energetycznego.

Z uwagi na diagramy Q i M wynika z tego sekcja C jest niebezpieczna, w którym M C =M max =48,3 kNm i Q C =Q max =48,9 kN.

Wydajmy analiza stanu naprężeń w punktach przekroju С

Zdefiniujmy naprężenia normalne i ścinające na kilku poziomach (oznaczonych na schemacie przekroju)

Poziom 1-1: r 1-1 =h 1/2=20/2=10cm.

Normalna i styczna Napięcie:

Główny Napięcie:

Poziom 2-2: y 2-2 \u003d h 1/2-t 1 \u003d 20/2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Główne naprężenia:

Poziom 3-3: y 3-3 \u003d h 1/2-t 1 \u003d 20/2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Naprężenia normalne i ścinające:

Główne naprężenia:

Ekstremalne naprężenia ścinające:

Poziom 4-4: r 4-4 =0.

(w środku naprężenia normalne są równe zeru, naprężenia styczne są maksymalne, zostały znalezione w teście wytrzymałości na naprężenia styczne)

Główne naprężenia:

Ekstremalne naprężenia ścinające:

Poziom 5-5:

Naprężenia normalne i ścinające:

Główne naprężenia:

Ekstremalne naprężenia ścinające:

Poziom 6-6:

Naprężenia normalne i ścinające:

Główne naprężenia:

Ekstremalne naprężenia ścinające:

Poziom 7-7:

Naprężenia normalne i ścinające:

Główne naprężenia:

Ekstremalne naprężenia ścinające:

Zgodnie z wykonanymi obliczeniami wykresy naprężeń σ, τ, σ 1 , σ 3 , τ max i τ min przedstawiono na ryc.

Analiza te pokazuje schemat, który znajduje się w przekroju belki niebezpieczne punkty są na poziomie 3-3 (lub 5-5), w którym:

Za pomocą energetyczne kryterium wytrzymałości, dostajemy

Z porównania naprężeń równoważnych i dopuszczalnych wynika, że ​​warunek wytrzymałości również jest spełniony

(135,3 MPa<150 МПа).

Belka ciągła jest obciążona we wszystkich przęsłach. Zbuduj diagramy Q i M dla belki ciągłej.

1. Zdefiniuj stopień niepewności statycznej belki według wzoru:

n= Sop -3= 5-3 =2, gdzie Sop - liczba nieznanych reakcji, 3 - liczba równań statyki. Aby rozwiązać tę wiązkę, jest to wymagane dwa dodatkowe równania.

2. Oznaczaj liczby obsługuje z zerem w porządku ( 0,1,2,3 )

3. Oznaczaj rozpiętość numerów od pierwszego w porządku ( v 1, v 2, v 3)

4. Każde przęsło jest uważane za prosta wiązka i buduj diagramy dla każdej prostej belki Q i M. Co dotyczy prosta wiązka, będziemy oznaczać z indeksem „0", który odnosi się do ciągły belka, oznaczymy bez tego indeksu. Czyli siła poprzeczna i moment zginający dla prostej belki.

Podczas budowania wykresy momentu zginającegoM w budowniczowie akceptowane: rzędne wyrażające się w określonej skali pozytywny wartości momentów zginających odłożyć na bok rozciągnięty włókna, tj. - droga w dół, a ujemny - w górę od osi belki. Dlatego mówią, że budowniczowie budują diagramy na rozciągniętych włóknach. Mechanika wykreślane są dodatnie wartości siły ścinającej i momentu zginającego w górę. Mechanicy budują diagramy na sprężony włókna.

Naprężenia główne podczas zginania. Napięcia równoważne.

W ogólnym przypadku gięcia bezpośredniego w przekrojach belki, normalna oraz styczneNapięcie. Te napięcia różnią się zarówno długością, jak i wysokością belki.

Tak więc w przypadku zginania, płaski stan naprężenia.

Rozważ schemat, w którym belka jest obciążona siłą P

Największa normalna naprężenia występują w skrajny, punkty najdalej od linii neutralnej, oraz nie występują w nich naprężenia ścinające. Więc dla skrajny włókna niezerowe naprężenia główne to naprężenia normalne w przekroju.

Na poziomie linii neutralnej w przekroju belki powstają największe naprężenia ścinające, a normalne naprężenia wynoszą zero. oznacza we włóknach neutralny warstwa naprężenia główne są określane przez wartości naprężeń ścinających.

W tym modelu projektowym górne włókna belki zostaną rozciągnięte, a dolne zostaną ściśnięte. Do określenia naprężeń głównych używamy znanego wyrażenia:

Pełny analiza stanu naprężeń obecne na rysunku.

Analiza stanu naprężeń przy zginaniu

Największe naprężenie główne σ 1 jest usytuowany górny ekstremalne włókna i jest równy zeru na dolnych skrajnych włóknach. Naprężenie główne σ 3 To ma największa wartość bezwzględna na dolnych włóknach.

Główna trajektoria naprężeń zależy od typ obciążenia oraz sposób na naprawienie belki.

Przy rozwiązywaniu problemów wystarczy osobno zweryfikować normalna oraz oddzielne naprężenia ścinające. Czasami jednak najbardziej stresujące okazać się mediator włókna, które mają zarówno naprężenia normalne, jak i ścinające. Dzieje się tak w sekcjach, w których jednocześnie moment zginający i siła poprzeczna osiągają duże wartości- może to być zakończenie belki wspornikowej, podparcie belki ze wspornikiem, w odcinkach pod działaniem skoncentrowanej siły lub w odcinkach o gwałtownie zmieniającej się szerokości. Na przykład w I-sekcji najniebezpieczniejszy połączenie ściany z półką- są znaczące i normalne i naprężenia ścinające.

Materiał znajduje się w płaskim stanie naprężenia i wymaga równoważny test napięcia.

Warunki wytrzymałościowe belek wykonanych z materiałów ciągliwych na trzeci(teorie największych naprężeń stycznych) oraz czwarty(teoria energii zmian formy) teorie siły.

Z reguły w belkach walcowanych naprężenia równoważne nie przekraczają naprężeń normalnych w skrajnych włóknach i nie jest wymagana żadna specjalna weryfikacja. Inna rzecz - kompozytowe belki metalowe, który cieńsza ściana niż profili walcowanych na tej samej wysokości. Częściej stosowane są spawane belki zespolone wykonane z blach stalowych. Obliczanie takich belek pod kątem wytrzymałości: a) dobór przekroju - wysokość, grubość, szerokość i grubość pasów belki; b) próba wytrzymałości na naprężenia normalne i ścinające; c) weryfikacja wytrzymałości za pomocą naprężeń równoważnych.

Wyznaczanie naprężeń ścinających w dwuteowniku. Rozważ sekcję Promiennie się uśmiecham. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm 4; Q=200 kN

Do określenia naprężenia ścinającego służy formuła, gdzie Q jest siłą poprzeczną w przekroju, S x 0 jest momentem statycznym części przekroju znajdującej się po jednej stronie warstwy, w której wyznaczane są naprężenia ścinające, I x jest momentem bezwładności całego krzyża przekrój, b szerokość przekroju w miejscu wyznaczania naprężenia ścinającego

Obliczać maksymalny naprężenie ścinające:

Obliczmy moment statyczny dla Górna półka:

Teraz policzmy naprężenia ścinające:

Budujemy wykres naprężeń ścinających:

Rozważ fragment standardowego profilu w formularzu Promiennie się uśmiecham i zdefiniuj naprężenia ścinające działając równolegle do siły poprzecznej:

Oblicz momenty statyczne proste figury:

Tę wartość można również obliczyć Inaczej, wykorzystując fakt, że dla belki dwuteowej i przekroju rynny, moment statyczny połowy przekroju jest podawany w tym samym czasie. Aby to zrobić, konieczne jest odjęcie od znanej wartości momentu statycznego wartości momentu statycznego do linii A 1 B 1:

Naprężenia ścinające na styku kołnierza ze ścianą zmieniają się spazmatycznie, dlatego ostry grubość ściany zmienia się od t st zanim b.

Wykresy naprężeń ścinających w ścianach kształtowników korytkowych, wydrążonych prostokątnych i innych mają taki sam kształt jak w przypadku dwuteownika. Wzór zawiera moment statyczny zacienionej części przekroju względem osi X, a mianownikiem jest szerokość przekroju (netto) w warstwie, w której wyznaczane jest naprężenie ścinające.

Określmy naprężenia ścinające dla przekroju kołowego.

Ponieważ naprężenia ścinające muszą być skierowane na kontur przekroju styczna do konturu, potem w punktach ALE oraz W na końcach każdego cięciwy równolegle do średnicy AB, naprężenia ścinające są skierowane prostopadłe do promieni OA oraz OV. W konsekwencji, wskazówki naprężenia ścinające w punktach ALE, VC zbiegają się w pewnym momencie H na osi Y.

Moment statyczny części odcinanej:

Oznacza to, że naprężenia ścinające zmieniają się zgodnie z paraboliczny prawo i będzie maksimum na poziomie linii neutralnej, gdy y 0 = 0

Wzór do wyznaczania naprężeń ścinających (wzór)

Rozważ przekrój prostokątny

Na odległość o 0 rysować od osi środkowej sekcja 1-1 i określić naprężenia ścinające. Moment statyczny powierzchnia odcięta część:

Należy pamiętać, że zasadniczo obojętny, weź moment statyczny obszaru zacieniony lub odpocznij Przekrój. Oba momenty statyczne równy i przeciwny w znaku, więc oni suma, które reprezentuje moment statyczny powierzchni całego przekroju względem linii neutralnej, czyli osi środkowej x, będzie równa zero.

Moment bezwładności przekroju prostokątnego:

Następnie naprężenia ścinające według wzoru

Zmienna y 0 jest zawarta we wzorze podczas druga stopnie, tj. naprężenia ścinające w przekroju prostokątnym zmieniają się wraz z prawo paraboli kwadratowej.

Osiągnięto naprężenie ścinające maksymalny na poziomie linii neutralnej, tj. gdy y 0 = 0:

, gdzie A to obszar całej sekcji.

Warunek wytrzymałości na naprężenia ścinające wygląda jak:

, gdzie S x 0 jest momentem statycznym części przekroju znajdującej się po jednej stronie warstwy, w której wyznaczane są naprężenia styczne, ja x jest momentem bezwładności całego przekroju, b- szerokość przekroju w miejscu wyznaczania naprężenia ścinającego, Q- siła poprzeczna, τ - naprężenie ścinające, [τ] — dopuszczalne naprężenie ścinające.

Ten stan wytrzymałości umożliwia produkcję trzy rodzaj obliczeń (trzy rodzaje problemów w analizie wytrzymałościowej):

1. Obliczenia weryfikacyjne lub badanie wytrzymałości na naprężenia ścinające:

2. Wybór szerokości przekroju (dla przekroju prostokątnego):

3. Wyznaczenie dopuszczalnej siły poprzecznej (dla przekroju prostokątnego):

Do określenia styczne naprężenia, rozważ belkę obciążoną siłami.

Zadaniem określenia naprężeń jest zawsze statycznie nieokreślony i wymaga zaangażowania geometryczny oraz fizyczny równania. Można jednak wziąć hipotezy dotyczące charakteru rozkładu naprężeńże zadanie stanie się wyznaczane statycznie.

Dwa nieskończenie zamknięte przekroje poprzeczne 1-1 i 2-2 wybierz element dz, narysuj go w dużej skali, a następnie narysuj przekrój podłużny 3-3.

W sekcjach 1–1 i 2–2, normalne naprężenia σ 1 , σ 2, które określają znane wzory:

gdzie M - moment zginający w przekroju dM - przyrost moment zginający na długości dz

Siła ścinająca w sekcjach 1–1 i 2–2 jest skierowany wzdłuż głównej osi centralnej Y i oczywiście reprezentuje suma składowych pionowych wewnętrznych naprężeń ścinających rozłożonych na przekroju. W wytrzymałości materiałów zwykle bierze się założenie ich równomiernego rozłożenia na szerokości przekroju.

Aby określić wielkość naprężeń ścinających w dowolnym punkcie przekroju, znajdującym się w pewnej odległości o 0 od neutralnej osi X narysuj płaszczyznę równoległą do neutralnej warstwy (3-3) przez ten punkt i wyjmij odcięty element. Określimy napięcie działające na stronie ABSD.

Rzutujmy wszystkie siły na osi Z

Wypadkowa wewnętrznych sił podłużnych po prawej stronie będzie równa:

gdzie A 0 to powierzchnia lica elewacji, S x 0 to moment statyczny odciętej części względem osi X. Podobnie po lewej stronie:

Obie wypadki skierowane do siebie ponieważ element jest w sprężony strefa wiązki. Ich różnicę równoważą siły styczne na dolnej powierzchni 3-3.

Udawajmy, że naprężenia ścinające τ rozłożone na szerokości przekroju belki b równomiernie. To założenie jest tym bardziej prawdopodobne, im mniejsza jest szerokość w porównaniu z wysokością przekroju. Następnie wypadkowa sił stycznych dT równa się wartości naprężenia pomnożonej przez powierzchnię lica:

Skomponuj teraz równanie równowagi Σz=0:

lub skąd?

Zapamiętajmy zależności różnicowe, według którego Następnie otrzymujemy wzór:

Ta formuła nazywa się formuły. Ta formuła została uzyskana w 1855 roku. Tutaj S x 0 - moment statyczny części przekroju, znajduje się po jednej stronie warstwy, w której wyznaczane są naprężenia ścinające, I x - moment bezwładności cały przekrój b - szerokość przekroju gdzie wyznaczane jest naprężenie ścinające, Q - siła poprzeczna w sekcji.

jest warunkiem wytrzymałości na zginanie, gdzie

- moment maksymalny (modulo) z wykresu momentów zginających; - wskaźnik przekroju osiowego, geometryczny Charakterystyka; - dopuszczalne naprężenie (σadm)

- maksymalny normalny stres.

Jeśli obliczenia opierają się na metoda stanu granicznego, to w obliczeniach zamiast dopuszczalnego naprężenia wprowadza się wytrzymałość obliczeniowa materiału R.

Rodzaje obliczeń wytrzymałości na zginanie

1. Kontrola obliczenia lub weryfikacja wytrzymałości na naprężenia normalne

2. Projekt kalkulacja lub wybór sekcji

3. Definicja dozwolony obciążenia (definicja udźwig i lub operacyjne nośnik możliwości)

Wyprowadzając wzór do obliczania naprężeń normalnych, należy wziąć pod uwagę taki przypadek zginania, gdy siły wewnętrzne w przekrojach belki zmniejszają się tylko do moment zginający, a siła poprzeczna wynosi zero. Ten przypadek zginania nazywa się czyste zginanie. Rozważ środkową część belki poddanej czystemu zginaniu.

Po załadowaniu belka wygina się tak, że dolne włókna wydłużają się, a górne skracają.

Ponieważ część włókien belki jest rozciągana, a część ściskana, następuje przejście od rozciągania do ściskania płynnie, bez skoków, w środek część belki jest warstwa, której włókna tylko uginają się, ale nie są naprężane ani ściskane. Taka warstwa nazywa się neutralny warstwa. Nazywa się linię, wzdłuż której neutralna warstwa przecina się z przekrojem belki neutralna linia lub Oś neutralna Sekcje. Linie neutralne są nawleczone na osi belki. neutralna linia to linia, w której normalne naprężenia wynoszą zero.

Linie narysowane na bocznej powierzchni belki prostopadłej do osi pozostają mieszkanie podczas zginania. Te dane eksperymentalne umożliwiają oparcie wyprowadzeń wzorów hipoteza płaskich przekrojów (hipoteza). Zgodnie z tą hipotezą, sekcje belki są płaskie i prostopadłe do jej osi przed zginaniem, pozostają płaskie i stają się prostopadłe do wygiętej osi belki podczas jej zginania.

Założenia do wyprowadzenia wzorów naprężeń normalnych: 1) Spełniona jest hipoteza płaskich przekrojów. 2) Włókna podłużne nie ściskają się nawzajem (hipoteza bezciśnieniowa), a zatem każde z włókien znajduje się w stanie jednoosiowego rozciągania lub ściskania. 3) Odkształcenia włókien nie zależą od ich położenia na szerokości przekroju. W konsekwencji normalne naprężenia, zmieniające się na wysokości przekroju, pozostają takie same na całej szerokości. 4) Belka ma co najmniej jedną płaszczyznę symetrii i wszystkie siły zewnętrzne leżą w tej płaszczyźnie. 5) Materiał belki jest zgodny z prawem Hooke'a, a moduł sprężystości przy rozciąganiu i ściskaniu jest taki sam. 6) Stosunki między wymiarami belki są takie, że pracuje ona w warunkach zginania płaskiego bez wypaczania lub skręcania.

Rozważ belkę o dowolnym przekroju, ale mającą oś symetrii. Moment zginający reprezentuje wypadkowy moment sił normalnych wewnętrznych powstają na nieskończenie małych obszarach i można je wyrazić w postaci całka Formularz: (1), gdzie y jest ramieniem siły elementarnej względem osi x

Formuła (1) wyraża statyczny strony problemu zginania prostego pręta, ale wzdłuż niego zgodnie ze znanym momentem zginającym niemożliwe jest określenie naprężeń normalnych, dopóki nie zostanie ustalone prawo ich rozkładu.

Wybierz belki w środkowej części i rozważ odcinek długości dz, podlega zginaniu. Powiększmy to.

Przekroje ograniczające przekrój dz, równolegle do siebie przed odkształceniem, a po przyłożeniu obciążenia obróć swoje neutralne linie pod kątem . Długość odcinka włókien warstwy neutralnej nie ulegnie zmianie. i będzie równa: , gdzie to jest promień krzywizny zakrzywiona oś belki. Ale każde inne leżące włókno poniżej lub powyżej warstwa neutralna, zmieni swoją długość. Obliczać wydłużenie względne włókien znajdujących się w odległości y od warstwy neutralnej. Wydłużenie względne to stosunek bezwzględnego odkształcenia do pierwotnej długości, wtedy:

Redukujemy o i redukujemy podobne terminy, wtedy otrzymujemy: (2) Ta formuła wyraża geometryczny strona czystego problemu zginania: deformacje włókien są wprost proporcjonalne do ich odległości od warstwy neutralnej.

Przejdźmy teraz do stresuje, tj. rozważymy fizyczny strona zadania. zgodnie z założenie bezciśnieniowe włókna stosuje się w osiowym rozciąganiu-ściskaniu: następnie, biorąc pod uwagę wzór (2) mamy (3), tych. normalne naprężenia przy zginaniu wzdłuż wysokości przekroju rozkładają się zgodnie z prawem liniowym. Na skrajnych włóknach naprężenia normalne osiągają maksymalną wartość, a w środku ciężkości przekroje są równe zeru. Zastąpić (3) do równania (1) i weź ułamek ze znaku całkowego jako wartość stałą, to mamy . Ale wyrażenie jest osiowy moment bezwładności przekroju względem osi x - ja x. Jego wymiar cm 4, m 4

Następnie ,gdzie (4) , gdzie jest krzywizna wygiętej osi belki, a jest sztywnością przekroju belki podczas zginania.

Podstaw wynikowe wyrażenie krzywizna (4) w wyrażenie (3) i dostać wzór do obliczania naprężeń normalnych w dowolnym punkcie przekroju: (5)

To. maksymalny powstają naprężenia w punktach najbardziej oddalonych od linii neutralnej. Nastawienie (6) nazywa wskaźnik przekroju osiowego. Jego wymiar cm3,m3. Moment oporu charakteryzuje wpływ kształtu i wymiarów przekroju na wielkość naprężeń.

Następnie maksymalne napięcia: (7)

Warunek wytrzymałości na zginanie: (8)

Podczas gięcia poprzecznego nie tylko normalne, ale także naprężenia ścinające, dlatego do dyspozycji siła ścinająca. Naprężenia ścinające skomplikować obraz deformacji prowadzą do krzywizna przekroje belki, w wyniku czego naruszona jest hipoteza płaskich przekrojów. Badania pokazują jednak, że zniekształcenia wprowadzane przez naprężenia ścinające nieznacznie wpływają na normalne naprężenia obliczone według wzoru (5) . Zatem przy wyznaczaniu naprężeń normalnych w przypadku zginania poprzecznego teoria czystego zginania jest całkiem odpowiednia.

Linia neutralna. Pytanie o położenie linii neutralnej.

Podczas gięcia nie ma siły podłużnej, więc możemy pisać Podstaw tutaj wzór na naprężenia normalne (3) i dostać Ponieważ moduł sprężystości materiału belki nie jest równy zeru, a wygięta oś belki ma skończony promień krzywizny, pozostaje założyć, że ta całka wynosi statyczny moment powierzchni przekrój belki względem neutralnej osi x , a ponieważ jest równy zero, to linia neutralna przechodzi przez środek ciężkości przekroju.

Warunek (brak momentu sił wewnętrznych względem linii pola) da lub biorąc pod uwagę (3) . Z tych samych powodów (patrz wyżej) . W całce - moment bezwładności odśrodkowej przekroju wokół osi x i y wynosi zero, więc te osie są główny i centralny i makijaż proste narożnik. W konsekwencji, linie zasilania i neutralne w prostym zakręcie są wzajemnie prostopadłe.

Przez ustawienie neutralna pozycja linii, łatwy do zbudowania wykres naprężeń normalnych według wysokości sekcji. Ją liniowy charakter jest określony równanie pierwszego stopnia.

Charakter wykresu σ dla przekrojów symetrycznych względem linii neutralnej, M<0

Hipoteza płaskich przekrojów zginanych można to wytłumaczyć przykładem: zastosujmy siatkę na bocznej powierzchni niezdeformowanej belki, składającą się z linii prostych wzdłużnych i poprzecznych (prostopadłych do osi). W wyniku gięcia belki linie podłużne przyjmą kształt krzywoliniowy, natomiast linie poprzeczne pozostaną praktycznie proste i prostopadłe do zagiętej osi belki.

Sformułowanie hipotezy przekroju płaskiego: przekroje, które są płaskie i prostopadłe do osi belki przed , pozostają płaskie i prostopadłe do osi zakrzywionej po jej odkształceniu.

Ta okoliczność wskazuje, że kiedy hipoteza płaskiego przekroju, jak w przypadku i

Oprócz hipotezy płaskich przekrojów przyjmuje się założenie: podłużne włókna belki nie ściskają się nawzajem podczas jej zginania.

Hipotezę płaskich przekrojów i założenie nazywa się przypuszczenie Bernoulliego.

Rozważ belkę o prostokątnym przekroju doświadczającą czystego zginania (). Wybierzmy element belki o długości (rys. 7.8. a). W wyniku zginania przekroje belki będą się obracać, tworząc kąt. Włókna górne są ściskane, a włókna dolne są naprężone. Promień krzywizny włókna neutralnego oznaczono .

Warunkowo uważamy, że włókna zmieniają swoją długość, pozostając prostymi (ryc. 7.8. b). Wtedy bezwzględne i względne wydłużenie włókna w odległości y od włókna neutralnego:

Pokażmy, że włókna podłużne, które podczas zginania belek nie ulegają ani rozciąganiu, ani ściskaniu, przechodzą przez główną oś centralną x.

Ponieważ długość belki nie zmienia się podczas zginania, siła wzdłużna (N) powstająca w przekroju musi wynosić zero. Elementarna siła podłużna.

Biorąc pod uwagę wyrażenie :

Mnożnik może być wyjęty ze znaku całki (nie zależy od zmiennej całkowej).

Wyrażenie przedstawia przekrój belki w odniesieniu do neutralnej osi x. Wynosi zero, gdy oś neutralna przechodzi przez środek ciężkości przekroju. W konsekwencji oś neutralna (linia zerowa), gdy wiązka jest zgięta, przechodzi przez środek ciężkości przekroju.

Oczywiście: moment zginający jest związany z naprężeniami normalnymi, które występują w punktach przekroju pręta. Elementarny moment zginający wytworzony przez siłę elementarną:

,

gdzie jest osiowym momentem bezwładności przekroju wokół osi neutralnej x, a stosunek jest krzywizną osi belki.

Sztywność belki w zginaniu(im większy, tym mniejszy promień krzywizny).

Otrzymana formuła reprezentuje Prawo Hooke'a w zginaniu dla pręta: Moment zginający występujący w przekroju jest proporcjonalny do krzywizny osi belki.

Wyrażając ze wzoru prawa Hooke'a dla pręta przy zginaniu promienia krzywizny () i zastępując jego wartość we wzorze , otrzymujemy wzór na naprężenia normalne () w dowolnym punkcie przekroju belki, w odległości y od osi neutralnej x: .

We wzorze na naprężenia normalne () w dowolnym punkcie przekroju belki należy podstawić wartości bezwzględne momentu zginającego () i odległość od punktu do osi neutralnej (współrzędne y) . To, czy naprężenie w danym punkcie będzie rozciągające, czy ściskające, jest łatwe do ustalenia na podstawie charakteru odkształcenia belki lub wykresu momentów zginających, których rzędne są wykreślane od strony ściskanych włókien belki.

Widać to ze wzoru: naprężenia normalne () zmieniają się wzdłuż wysokości przekroju belki zgodnie z prawem liniowym. Na ryc. 7.8, pokazana jest fabuła. Największe naprężenia podczas zginania belek występują w punktach najbardziej oddalonych od osi obojętnej. Jeżeli w przekroju belki narysowana jest linia równoległa do osi neutralnej x, to we wszystkich jej punktach powstają te same naprężenia normalne.

Prosta analiza diagramy naprężeń normalnych pokazuje, że gdy wiązka jest wygięta, materiał znajdujący się w pobliżu osi neutralnej praktycznie nie działa. Dlatego w celu zmniejszenia ciężaru belki zaleca się wybór kształtów przekrojów, w których większość materiału jest usunięta z osi neutralnej, jak np. dwuteownik.

schylać się nazywa się rodzaj obciążenia pręta, w którym przykładany jest do niego moment leżący w płaszczyźnie przechodzącej przez oś podłużną. W przekrojach belki występują momenty zginające. Podczas gięcia następuje odkształcenie, w którym wygina się oś belki prostej lub zmienia się krzywizna belki zakrzywionej.

Belka, która pracuje w zginaniu nazywa się Belka . Nazywana jest konstrukcja składająca się z kilku prętów gnących połączonych ze sobą najczęściej pod kątem 90 ° rama .

Zakręt nazywa się płaskie lub proste , jeżeli płaszczyzna działania obciążenia przechodzi przez główną środkową oś bezwładności przekroju (rys. 6.1).

Rys.6.1

Przy płaskim zginaniu poprzecznym belki powstają dwa rodzaje sił wewnętrznych: siła poprzeczna Q i moment zginający M. W ramie z płaskim zgięciem poprzecznym powstają trzy siły: wzdłużna N, poprzeczny Q siły i moment zginający M.

Jeżeli moment zginający jest jedynym współczynnikiem siły wewnętrznej, to takie zgięcie nazywa się czysty (rys.6.2). W obecności siły poprzecznej nazywa się zgięcie poprzeczny . Ściśle mówiąc, tylko czyste zginanie należy do prostych rodzajów oporu; zginanie poprzeczne warunkowo odnosi się do prostych rodzajów nośności, ponieważ w większości przypadków (dla wystarczająco długich belek) działanie siły poprzecznej można pominąć w obliczeniach wytrzymałościowych.

22.Płaskie wygięcie poprzeczne. Zależności różnicowe między siłami wewnętrznymi a obciążeniem zewnętrznym. Pomiędzy momentem zginającym, siłą poprzeczną i intensywnością rozłożonego obciążenia istnieją zależności różniczkowe oparte na twierdzeniu Żurawskiego, nazwanym na cześć rosyjskiego inżyniera mostowego D. I. Żurawskiego (1821-1891).

Twierdzenie to jest sformułowane w następujący sposób:

Siła poprzeczna jest równa pierwszej pochodnej momentu zginającego wzdłuż odciętej przekroju belki.

23. Płaskie zgięcie poprzeczne. Budowa wykresów sił poprzecznych i momentów zginających. Wyznaczanie sił ścinających i momentów zginających - przekrój 1

Odrzucamy prawą stronę belki i zastępujemy jej działanie po lewej stronie siłą poprzeczną i momentem zginającym. Dla wygody obliczeń zamykamy odrzuconą prawą stronę belki kartką papieru, wyrównując lewą krawędź arkusza z rozważaną sekcją 1.

Siła poprzeczna w sekcji 1 belki jest równa algebraicznej sumie wszystkich sił zewnętrznych widocznych po zamknięciu

Widzimy tylko reakcję wsparcia w dół. Zatem siła poprzeczna to:

kN.

Przyjęliśmy znak minus, ponieważ siła obraca widoczną część belki względem pierwszej sekcji w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (lub ponieważ jest ona skierowana równo z kierunkiem siły poprzecznej zgodnie z zasadą znaków)

Moment zginający w sekcji 1 belki jest równy algebraicznej sumie momentów wszystkich wysiłków, które widzimy po zamknięciu odrzuconej części belki, względem rozważanej sekcji 1.

Widzimy dwa wysiłki: reakcję podpory i moment M. Jednak ramię siły jest prawie zerowe. Zatem moment zginający wynosi:

kN m

Tutaj znak plusa bierzemy, ponieważ moment zewnętrzny M wygina widoczną część belki wypukłością w dół. (lub ponieważ jest przeciwny do kierunku momentu zginającego zgodnie z regułą znaków)

Wyznaczanie sił ścinających i momentów zginających - przekrój 2

W przeciwieństwie do pierwszej sekcji, siła reakcji ma ramię równe a.

siła poprzeczna:

kN;

moment zginający:

Wyznaczanie sił ścinających i momentów zginających - przekrój 3

siła poprzeczna:

moment zginający:

Wyznaczanie sił ścinających i momentów zginających - przekrój 4

Teraz wygodniejsze przykryj lewą stronę belki liściem.

siła poprzeczna:

moment zginający:

Wyznaczanie sił ścinających i momentów zginających - przekrój 5

siła poprzeczna:

moment zginający:

Wyznaczanie sił ścinających i momentów zginających - przekrój 1

siła poprzeczna i moment zginający:

.

Na podstawie znalezionych wartości konstruujemy wykres sił poprzecznych (ryc. 7.7, b) i momentów zginających (ryc. 7.7, c).

KONTROLA PRAWIDŁOWEJ KONSTRUKCJI FIZYKI

Zweryfikujemy poprawność konstrukcji diagramów według cech zewnętrznych, stosując zasady konstruowania diagramów.

Sprawdzanie wykresu siły ścinającej

Jesteśmy przekonani: pod odcinkami nieobciążonymi wykres sił poprzecznych przebiega równolegle do osi belki, a pod obciążeniem rozłożonym q po linii prostej nachylonej w dół. Na wykresie siły wzdłużnej występują trzy skoki: pod wpływem reakcji - w dół o 15 kN, pod siłą P - w dół o 20 kN i pod reakcją - w górę o 75 kN.

Sprawdzanie wykresu momentu zginającego

Na wykresie momentów zginających widzimy pęknięcia pod wpływem siły skupionej P oraz pod reakcjami podporowymi. Kąty złamania skierowane są na te siły. Pod obciążeniem rozłożonym q wykres momentów zginających zmienia się wzdłuż kwadratowej paraboli, której wypukłość jest skierowana w kierunku obciążenia. W sekcji 6 na wykresie momentu zginającego znajduje się ekstremum, ponieważ wykres siły poprzecznej w tym miejscu przechodzi przez zero.

10.1. Ogólne pojęcia i definicje

schylać się- jest to rodzaj obciążenia, w którym pręt jest obciążony momentami w płaszczyznach przechodzących przez oś podłużną pręta.

Pręt, który pracuje podczas gięcia, nazywa się belką (lub prętem). W przyszłości rozważymy belki proste, których przekrój ma co najmniej jedną oś symetrii.

W odporności materiałów zginanie jest płaskie, ukośne i złożone.

płaskie zgięcie- zginanie, w którym wszystkie siły zginające belkę leżą w jednej z płaszczyzn symetrii belki (w jednej z głównych płaszczyzn).

Głównymi płaszczyznami bezwładności belki są płaszczyzny przechodzące przez główne osie przekrojów oraz oś geometryczną belki (oś x).

skośny zakręt- zginanie, w którym obciążenia działają w jednej płaszczyźnie, która nie pokrywa się z głównymi płaszczyznami bezwładności.

Skomplikowany zakręt- zginanie, w którym obciążenia działają w różnych (dowolnych) płaszczyznach.

10.2. Wyznaczanie wewnętrznych sił zginających

Rozważmy dwa charakterystyczne przypadki zginania: w pierwszym przypadku belka wspornikowa jest zginana momentem skupionym Mo; w drugim przez siłę skupioną F.

Stosując metodę przekrojów mentalnych i zestawiając równania równowagi dla odciętych części belki, wyznaczamy siły wewnętrzne w obu przypadkach:

Pozostałe równania równowagi są oczywiście identycznie równe zeru.

Tak więc w ogólnym przypadku zginania płaskiego w przekroju belki na sześć sił wewnętrznych powstają dwie - moment zginający Mz i siła ścinająca Qy (lub przy zginaniu wokół innej osi głównej - moment zginający My i siła poprzeczna Qz).

W tym przypadku, zgodnie z dwoma rozpatrywanymi przypadkami obciążenia, zginanie płaskie można podzielić na czyste i poprzeczne.

czysty zakręt- zginanie płaskie, w którym tylko jedna z sześciu sił wewnętrznych powstaje na odcinkach pręta - moment zginający (patrz pierwszy przypadek).

zgięcie poprzeczne- zginanie, w którym oprócz wewnętrznego momentu zginającego, na odcinkach pręta powstaje również siła poprzeczna (patrz przypadek drugi).

Ściśle mówiąc, tylko czyste zginanie należy do prostych rodzajów oporu; zginanie poprzeczne warunkowo odnosi się do prostych typów nośności, ponieważ w większości przypadków (dla wystarczająco długich belek) działanie siły poprzecznej można pominąć w obliczeniach wytrzymałościowych.

Przy określaniu sił wewnętrznych będziemy kierować się następującą zasadą znaków:

1) siła poprzeczna Qy jest uważana za dodatnią, jeśli ma tendencję do obracania rozpatrywanego elementu belki zgodnie z ruchem wskazówek zegara;

2) moment zginający Mz uważa się za dodatni, jeżeli podczas zginania elementu belkowego górne włókna elementu są ściskane, a dolne rozciągane (zasada parasola).

Zatem rozwiązanie problemu wyznaczania sił wewnętrznych podczas zginania zostanie zbudowane według następującego planu: 1) w pierwszym etapie, biorąc pod uwagę warunki równowagi konstrukcji jako całości, określamy w razie potrzeby nieznane reakcje podpór (zauważ, że w przypadku belki wspornikowej reakcje w osadzeniu można i nie można znaleźć, jeśli weźmiemy pod uwagę belkę ze swobodnego końca); 2) w drugim etapie dobieramy charakterystyczne odcinki belki, przyjmując jako granice przekrojów punkty przyłożenia sił, punkty zmiany kształtu lub wymiarów belki, punkty mocowania belki; 3) w trzecim etapie wyznaczamy siły wewnętrzne w przekrojach belki, uwzględniając warunki równowagi dla elementów belki w każdym z przekrojów.

10.3. Zależności różniczkowe w zginaniu

Ustalmy pewne zależności między siłami wewnętrznymi a zewnętrznymi obciążeniami zginającymi, a także charakterystyczne cechy wykresów Q i M, których znajomość ułatwi konstruowanie wykresów i pozwoli kontrolować ich poprawność. Dla wygody zapisu oznaczymy: M≡Mz, Q≡Qy.

Przydzielmy mały element dx w przekroju belki z dowolnym obciążeniem w miejscu, w którym nie występują siły i momenty skupione. Ponieważ cała belka jest w równowadze, element dx będzie również w równowadze pod działaniem przyłożonych do niego sił poprzecznych, momentów zginających i obciążenia zewnętrznego. Ponieważ Q i M generalnie różnią się od siebie

osi belki, wówczas w przekrojach elementu dx wystąpią siły poprzeczne Q i Q + dQ oraz momenty zginające M i M + dM. Z warunku równowagi wybranego pierwiastka otrzymujemy

Pierwsze z dwóch zapisanych równań podaje warunek

Z drugiego równania, pomijając wyraz q dx (dx/2) jako nieskończenie małą ilość drugiego rzędu, znajdujemy

Biorąc pod uwagę wyrażenia (10.1) i (10.2) razem możemy otrzymać

Relacje (10.1), (10.2) i (10.3) nazywane są różniczkami zależności D. I. Żurawskiego w zginaniu.

Analiza powyższych różnicowych zależności zginania pozwala na ustalenie pewnych cech (zasad) konstruowania wykresów momentów zginających i sił ścinających: a - w obszarach, gdzie nie ma rozłożonego obciążenia q, wykresy Q ograniczają się do linii prostych równoległych do podstawa i schematy M to nachylone linie proste; b - na odcinkach, w których na belkę przykładane jest obciążenie rozłożone q, wykresy Q są ograniczone nachylonymi liniami prostymi, a wykresy M są ograniczone parabolami kwadratowymi.

W tym przypadku, jeśli zbudujemy diagram M „na rozciągniętym włóknie”, wówczas wypukłość paraboli będzie skierowana w kierunku działania q, a ekstremum będzie znajdować się w sekcji, w której diagram Q przecina podstawę linia; c - w odcinkach, w których na belkę działa siła skupiona, na wykresie Q będą przeskoki o wartość i w kierunku tej siły, a na wykresie M są załamania, końcówka skierowana w tym kierunku zmuszać; d - w odcinkach, w których do belki przyłożony jest moment skupiony, na wykresie Q nie będzie zmian, a na wykresie M będą skoki o wartość tego momentu; e - w odcinkach, gdzie Q>0, moment M rośnie, oraz w odcinkach, gdzie Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Naprężenia normalne w czystym zginaniu prostej belki

Rozważmy przypadek czystego płaskiego zginania belki i wyprowadźmy wzór na określenie naprężeń normalnych dla tego przypadku.

Należy zauważyć, że w teorii sprężystości można uzyskać dokładną zależność dla naprężeń normalnych w czystym zginaniu, ale jeśli problem ten zostanie rozwiązany metodami odporności materiałów, konieczne jest wprowadzenie pewnych założeń.

Istnieją trzy takie hipotezy dotyczące zginania:

a - hipoteza płaskich przekrojów (hipoteza Bernoulliego) - przekroje są płaskie przed odkształceniem i pozostają płaskie po odkształceniu, ale obracają się tylko wokół pewnej linii zwanej osią obojętną przekroju belki. W tym przypadku włókna belki leżące po jednej stronie osi neutralnej zostaną rozciągnięte, a po drugiej ściśnięte; włókna leżące na osi obojętnej nie zmieniają swojej długości;

b - hipoteza stałości naprężeń normalnych - naprężenia działające w tej samej odległości y od osi neutralnej są stałe na całej szerokości belki;

c – hipoteza o braku nacisków bocznych – sąsiednie włókna podłużne nie naciskają na siebie.

Statyczna strona problemu

Aby określić naprężenia w przekrojach belki, bierzemy pod uwagę przede wszystkim statyczne strony problemu. Stosując metodę przekrojów mentalnych i zestawiając równania równowagi dla odciętej części belki, znajdujemy siły wewnętrzne podczas zginania. Jak pokazano wcześniej, jedyną siłą wewnętrzną działającą w przekroju pręta z czystym zginaniem jest wewnętrzny moment zginający, co oznacza, że ​​powstaną tutaj naprężenia normalne z nim związane.

Zależność między siłami wewnętrznymi a naprężeniami normalnymi w przekroju belki znajdujemy, biorąc pod uwagę naprężenia na elementarnej powierzchni dA, wybranej w przekroju A belki w punkcie o współrzędnych y i z (oś y jest dla ułatwienia skierowana w dół analizy):

Jak widać, problem jest wewnętrznie nieokreślony statycznie, ponieważ natura rozkładu naprężeń normalnych w przekroju jest nieznana. Aby rozwiązać problem, rozważ geometryczny wzór deformacji.

Geometryczna strona problemu

Rozważ deformację elementu belki o długości dx wybranego z pręta gnącego w dowolnym punkcie o współrzędnej x. Biorąc pod uwagę wcześniej przyjętą hipotezę płaskich odcinków, po zgięciu przekroju belki, obróć się względem osi neutralnej (n.r.) o kąt dϕ, podczas gdy włókno ab, które znajduje się w odległości y od osi neutralnej, zamieni się w łuk kołowy a1b1, a jego długość zmieni się o pewien rozmiar. Przypominamy, że długość włókien leżących na osi obojętnej nie zmienia się, a zatem łuk a0b0 (którego promień krzywizny oznaczamy przez ρ) ma taką samą długość jak odcinek a0b0 przed odkształceniem a0b0=dx.

Znajdźmy względne odkształcenie liniowe εx włókna ab zakrzywionej belki.