Jakie jest pole trójkąta prostokątnego? Jak znaleźć obszar trójkąta (wzory)

W geometrii elementarnej trójkąt prostokątny to figura składająca się z trzech odcinków połączonych punktami, z których dwa są ostre, a jeden prosty (tj. równy 90°). Trójkąt prostokątny charakteryzuje się wieloma ważnymi właściwościami, z których wiele stanowi podstawę trygonometrii (na przykład związek między jego bokami i kątami). Już od szkoły wszyscy wiemy, jak liczyć obszar trójkąta prostokątnego, a w życiu codziennym spotykamy tę figurę geometryczną dość często, czasem nawet jej nie zauważając. Znajduje dość szerokie zastosowanie w technologii i dlatego inżynierowie, projektanci i architekci często muszą rozwiązywać taki problem.

Architekci muszą określić tę wartość, projektując budynki z frontonami, które stanowią uzupełnienie elewacji i posiadają trójkątny kształt ograniczona gzymsem, a po bokach połaciami dachowymi. Często kąt pomiędzy zboczami jest prosty i w takich przypadkach fronton ma kształt trójkąta prostokątnego. Określenie jego powierzchni jest konieczne z prostego powodu: konieczne jest dokładne poznanie ilości materiału budowlanego potrzebnego do jego ułożenia. Należy zauważyć, że szczyty są obowiązkowymi elementami niskich budynków (domki wiejskie, domki letniskowe, dacze).

Znalezienie obszaru trójkąta prostokątnego

A- noga

B- noga

S- obszar trójkąta prostokątnego

Formularz trójkąt prostokątny posiadają wiele detali, z których wykonane są nowoczesne meble. Jak wiadomo, aby maksymalnie efektywnie wykorzystać przestrzeń pomieszczenia, wszystkie elementy wyposażenia muszą być w nim optymalnie rozmieszczone. Obszary takie jak narożniki można dobrze wykorzystać, stosując stoły w kształcie trójkąta, których blaty w większości przypadków są trójkątami prostokątnymi z nogami przylegającymi do ścian. Projektując i obliczając te elementy, projektanci produkcji mebli posługują się wzorem, według którego znalezienie obszaru trójkąta prostokątnego odbywa się na podstawie długości jego boków. Ponadto często muszą opracowywać projekty stołów mocowanych bezpośrednio do ścian, które obejmują elementy nośne, które również reprezentują trójkąty prostokątne.

Budowniczowie zajmujący się pracami okładzinowymi często w swojej działalności zawodowej muszą używać płytek ceramicznych w kształcie trójkąta prostokątnego z nogami o tej samej lub różnej długości. Muszą także określić powierzchnię tych elementów, aby znaleźć wymaganą liczbę.

Formularz trójkąt prostokątny Posiada również tak ważne i niezbędne narzędzie pomiarowe jak kwadrat. Służy do konstruowania i kontrolowania kątów prostych i jest stosowany bardzo szeroko i przez wielu: od zwykłych uczniów na lekcjach geometrii po projektantów najnowocześniejszych technologii.

Trójkąt prostokątny znajduje się w rzeczywistości prawie na każdym rogu. Znajomość właściwości danej figury, a także umiejętność obliczenia jej pola niewątpliwie przyda Ci się nie tylko przy rozwiązywaniu problemów geometrycznych, ale także w sytuacjach życiowych.

Geometria trójkąta

W geometrii elementarnej trójkąt prostokątny to figura składająca się z trzech połączonych ze sobą odcinków tworzących trzy kąty (dwa ostre i jeden prosty). Trójkąt prostokątny to oryginalna figura charakteryzująca się szeregiem ważnych właściwości, które stanowią podstawę trygonometrii. W przeciwieństwie do zwykłego trójkąta boki prostokątnej figury mają swoje własne nazwy:

Przeciwprostokątna to najdłuższy bok trójkąta, położony naprzeciw kąta prostego.
Nogi to segmenty tworzące kąt prosty. W zależności od rozważanego kąta noga może przylegać do niego (tworząc ten kąt z przeciwprostokątną) lub przeciwnie (leżeć naprzeciwko kąta). Trójkąty inne niż prostokątne nie mają nóg.

Podstawą trygonometrii jest stosunek nóg i przeciwprostokątnej: sinusy, styczne i sieczne definiuje się jako stosunek boków trójkąta prostokątnego.

Trójkąt prostokątny w rzeczywistości

Liczba ta stała się powszechna w rzeczywistości. Trójkąty są wykorzystywane w projektowaniu i technologii, dlatego obliczanie powierzchni figury musi być wykonywane przez inżynierów, architektów i projektantów. Podstawy czworościanów lub pryzmatów – trójwymiarowych figur, które łatwo spotkać w życiu codziennym – mają kształt trójkąta. Dodatkowo kwadrat jest w rzeczywistości najprostszą reprezentacją „płaskiego” trójkąta prostokątnego. Kwadrat to narzędzie do obróbki metali, rysowania, budownictwa i stolarstwa, które służy do konstruowania kątów zarówno przez uczniów, jak i inżynierów.

Pole trójkąta

Pole figury geometrycznej jest ilościowym oszacowaniem tego, jaka część płaszczyzny jest ograniczona bokami trójkąta. Pole zwykłego trójkąta można wyznaczyć na pięć sposobów, korzystając ze wzoru Herona lub wykorzystując takie zmienne, jak podstawa, bok, kąt i promień okręgu wpisanego lub opisanego. Najprostszy wzór na pole powierzchni wyraża się wzorem:

gdzie a to bok trójkąta, h to jego wysokość.

Wzór na obliczenie pola trójkąta prostokątnego jest jeszcze prostszy:

gdzie a i b to nogi.

Korzystając z naszego kalkulatora online, możesz obliczyć pole trójkąta za pomocą trzech par parametrów:

dwie nogi;
noga i przyległy kąt;
noga i przeciwny kąt.

W problemach lub codziennych sytuacjach otrzymasz różne kombinacje zmiennych, więc ta forma kalkulatora pozwala obliczyć pole trójkąta na kilka sposobów. Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykłady z życia wzięte

Płytki ceramiczne

Załóżmy, że chcesz pokryć ściany kuchni płytkami ceramicznymi w kształcie trójkąta prostokątnego. Aby określić zużycie płytek, należy poznać powierzchnię jednego elementu okładziny i całkowitą powierzchnię obrabianej powierzchni. Załóżmy, że musisz przetworzyć 7 metrów kwadratowych. Długość nóg jednego elementu wynosi 19 cm, wówczas powierzchnia płytki będzie równa:

Oznacza to, że powierzchnia jednego elementu wynosi 24,5 centymetra kwadratowego lub 0,01805 metra kwadratowego. Znając te parametry, można obliczyć, że na wykończenie 7 metrów kwadratowych ściany potrzeba 7/0,01805 = 387 elementów płytek licowych.

Zadanie szkolne

Załóżmy, że w szkolnym zadaniu z geometrii musisz znaleźć pole trójkąta prostokątnego, wiedząc tylko, że bok jednej nogi wynosi 5 cm, a kąt przeciwny wynosi 30 stopni. Nasz kalkulator online zawiera ilustrację przedstawiającą boki i kąty trójkąta prostokątnego. Jeżeli bok a = 5 cm, to jego przeciwległy kąt to kąt alfa równy 30 stopni. Wprowadź te dane do formularza kalkulatora i uzyskaj wynik:

Zatem kalkulator nie tylko oblicza pole danego trójkąta, ale także określa długość sąsiedniej nogi i przeciwprostokątnej, a także wartość drugiego kąta.

Wniosek

Trójkąty prostokątne spotykamy w naszym życiu dosłownie na każdym rogu. Określanie obszaru takich figur przyda się nie tylko przy rozwiązywaniu zadań szkolnych z geometrii, ale także w czynnościach codziennych i zawodowych.

W zależności od rodzaju trójkąta istnieje kilka możliwości znalezienia jego pola. Na przykład, aby obliczyć pole trójkąta prostokątnego, użyj wzoru S= a * b / 2, gdzie aib to jego nogi. Jeśli chcesz poznać obszar trójkąta równoramiennego, musisz podzielić iloczyn jego podstawy i wysokości przez dwa. Oznacza to, że S= b*h / 2, gdzie b jest podstawą trójkąta, a h jest jego wysokością.

Następnie może być konieczne obliczenie pola trójkąta prostokątnego równoramiennego. Tutaj na ratunek przychodzi następujący wzór: S = a* a/2, gdzie nogi „a” i „a” muszą koniecznie mieć te same wartości.

Często musimy również obliczyć pole trójkąta równobocznego. Można to znaleźć według wzoru: S= a * h/ 2, gdzie a to bok trójkąta, a h to jego wysokość. Lub według wzoru: S= √3/ 4 *a^2, gdzie a to bok.

Jak znaleźć obszar trójkąta prostokątnego

Czy musisz znaleźć obszar trójkąta prostokątnego, ale w opisie problemu nie wskazano wymiarów dwóch jego nóg na raz? Wtedy nie możemy bezpośrednio użyć tego wzoru (S= a * b / 2).

Rozważmy kilka możliwych rozwiązań:

Jeśli nie znasz długości jednej nogi, ale podane są wymiary przeciwprostokątnej i drugiej nogi, to zwracamy się do wielkiego Pitagorasa i korzystając z jego twierdzenia (a^2+b^2=c^2) obliczamy długość nieznanej nogi, a następnie używamy jej do obliczenia pola trójkąta.
Jeżeli podana jest długość jednej nogi i stopień nachylenia kąta przeciwległego do niej: długość drugiej nogi wyznaczamy ze wzoru - a=b*ctg(C).
Dane: długość jednej nogi i stopień nachylenia kąta przyległego do niej: aby obliczyć długość drugiej nogi, korzystamy ze wzoru - a=b*tg(C).
I na koniec, mając dane: kąt i długość przeciwprostokątnej: długość obu jej ramion obliczamy ze wzorów - b=c*sin(C) i a=c*cos(C).

Jak znaleźć obszar trójkąta równoramiennego

Pole trójkąta równoramiennego można bardzo łatwo i szybko znaleźć korzystając ze wzoru S= b*h/2, jednak w przypadku braku jednego ze wskaźników zadanie staje się znacznie bardziej skomplikowane. W końcu konieczne jest wykonanie dodatkowych działań.

Możliwe opcje zadania:

Dane: długość jednego z boków i długość podstawy. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, znajdujemy wysokość, czyli długość drugiej nogi. Pod warunkiem, że długość podstawy podzielona przez dwa to noga, a początkowo znany bok to przeciwprostokątna.
Dane: podstawa i kąt między bokiem a podstawą. Wysokość obliczamy ze wzoru h=c*ctg(B)/2 (nie zapomnij podzielić boku „c” przez dwa).
Dane: wysokość i kąt utworzony przez podstawę i bok: używamy wzoru c=h*tg(B)*2, aby obliczyć wysokość i wynik pomnożyć przez dwa. Następnie obliczamy pole.
Znane: długość boku i kąt utworzony między nim a wysokością. Rozwiązanie: korzystamy ze wzorów - c=a*sin(C)*2 i h=a*cos(C), aby znaleźć podstawę i wysokość, po czym obliczamy pole.

Jak znaleźć obszar trójkąta prostokątnego równoramiennego

Jeśli wszystkie dane są znane, wówczas za pomocą standardowego wzoru S= a* a / 2 obliczamy pole trójkąta prostokątnego równoramiennego, ale jeśli w problemie nie wskazano niektórych wskaźników, wykonywane są dodatkowe działania.

Przykładowo: nie znamy długości obu boków (pamiętamy, że w trójkącie równoramiennym są one równe), ale podana jest długość przeciwprostokątnej. Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa, aby znaleźć te same boki „a” i „a”. Wzór pitagorejski: a^2+b^2=c^2. W przypadku trójkąta prostokątnego równoramiennego przekształca się to w postać: 2a^2 = c^2. Okazuje się, że aby znaleźć nogę „a”, należy podzielić długość przeciwprostokątnej przez pierwiastek z 2. Wynikiem rozwiązania będzie długość obu nóg trójkąta prostokątnego równoramiennego. Następnie znajdujemy obszar.

Jak znaleźć obszar trójkąta równobocznego

Korzystając ze wzoru S= √3/ 4*a^2 można łatwo obliczyć pole trójkąta równobocznego. Jeżeli znany jest promień okręgu opisanego na trójkącie, to jego pole można obliczyć ze wzoru: S= 3√3/ 4*R^2, gdzie R jest promieniem okręgu.

Jak być może pamiętasz ze szkolnego programu geometrii, trójkąt to figura utworzona z trzech odcinków połączonych trzema punktami, które nie leżą na tej samej linii prostej. Trójkąt tworzy trzy kąty, stąd nazwa figury. Definicja może być inna. Trójkąt można również nazwać wielokątem o trzech kątach, odpowiedź również będzie poprawna. Trójkąty dzielą się ze względu na liczbę równych boków i wielkość kątów na figurach. Zatem trójkąty rozróżnia się odpowiednio jako równoramienne, równoboczne i pochyłe, a także odpowiednio prostokątne, ostre i rozwarte.

Istnieje wiele wzorów do obliczania pola trójkąta. Wybierz sposób znalezienia pola trójkąta, tj. To, jaką formułę zastosujesz, zależy od Ciebie. Warto jednak zwrócić uwagę tylko na niektóre oznaczenia stosowane w wielu wzorach do obliczania pola trójkąta. Więc pamiętaj:

S jest obszarem trójkąta,

a, b, c to boki trójkąta,

h jest wysokością trójkąta,

R jest promieniem opisanego okręgu,

p jest półobwodem.

Oto podstawowe zapisy, które mogą Ci się przydać, jeśli całkowicie zapomniałeś o kursie geometrii. Poniżej znajdują się najbardziej zrozumiałe i nieskomplikowane opcje obliczania nieznanego i tajemniczego obszaru trójkąta. Nie jest to trudne, a przyda się zarówno w potrzebach domowych, jak i w pomaganiu dzieciom. Pamiętajmy, jak najłatwiej obliczyć pole trójkąta:

W naszym przypadku pole trójkąta wynosi: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm2. Pamiętaj, że powierzchnię mierzy się w centymetrach kwadratowych (cm2).

Trójkąt prostokątny i jego pole.

Trójkąt prostokątny to trójkąt, w którym jeden kąt jest równy 90 stopni (stąd nazywany prawym). Kąt prosty tworzą dwie prostopadłe linie (w przypadku trójkąta dwa prostopadłe odcinki). W trójkącie prostokątnym może być tylko jeden kąt prosty, ponieważ... suma wszystkich kątów dowolnego trójkąta wynosi 180 stopni. Okazuje się, że 2 inne kąty powinny podzielić pozostałe 90 stopni, na przykład 70 i 20, 45 i 45 itd. Pamiętasz więc najważniejsze, pozostaje tylko dowiedzieć się, jak znaleźć obszar trójkąta prostokątnego. Wyobraźmy sobie, że mamy przed sobą taki trójkąt prostokątny i musimy znaleźć jego pole S.

1. Najprostszy sposób określenia pola trójkąta prostokątnego oblicza się za pomocą następującego wzoru:

W naszym przypadku pole prawego trójkąta wynosi: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm2.

W zasadzie nie ma już potrzeby sprawdzania pola trójkąta w inny sposób, bo Tylko ten będzie przydatny i pomoże w życiu codziennym. Ale istnieją również opcje pomiaru pola trójkąta pod ostrymi kątami.

2. W przypadku innych metod obliczeń musisz mieć tabelę cosinusów, sinusów i stycznych. Oceń sam, oto kilka opcji obliczania pola trójkąta prostokątnego, które nadal można wykorzystać:

Zdecydowaliśmy się zastosować pierwszy wzór i z kilkoma drobnymi plamami (rysowaliśmy to w zeszycie, korzystając ze starej linijki i kątomierza), ale otrzymaliśmy prawidłowe obliczenie:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Otrzymaliśmy następujące wyniki: 3,6=3,7, ale biorąc pod uwagę przesunięcie komórek, możemy wybaczyć ten niuans.

Trójkąt równoramienny i jego pole.

Jeśli stoisz przed zadaniem obliczenia wzoru na trójkąt równoramienny, najłatwiej jest skorzystać z głównego i uważanego za klasyczny wzór na pole trójkąta.

Ale najpierw, zanim znajdziemy obszar trójkąta równoramiennego, dowiedzmy się, jaki to rodzaj figury. Trójkąt równoramienny to trójkąt, w którym dwa boki mają tę samą długość. Te dwie strony nazywane są bocznymi, trzeci bok nazywany jest podstawą. Nie myl trójkąta równoramiennego z trójkątem równobocznym, tj. regularny trójkąt mający wszystkie trzy boki równe. W takim trójkącie nie ma specjalnych tendencji do kątów, a raczej do ich wielkości. Jednakże kąty u podstawy trójkąta równoramiennego są równe, ale różnią się od kąta między równymi bokami. Znasz już pierwszą i główną formułę, pozostaje dowiedzieć się, jakie inne formuły określania pola trójkąta równoramiennego są znane.

Trójkąt prostokątny to trójkąt, w którym jeden z kątów ma miarę 90°. Jego pole można obliczyć, jeśli znane są dwie strony. Można oczywiście wybrać dłuższą drogę - znaleźć przeciwprostokątną i obliczyć pole za pomocą , ale w większości przypadków zajmie to tylko więcej czasu. Dlatego wzór na pole trójkąta prostokątnego wygląda następująco:

Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu nóg.

Przykład obliczenia pola trójkąta prostokątnego.
Biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny z nogami A= 8 cm, B= 6cm.
Obliczamy pole:
Pole wynosi: 24 cm 2

Twierdzenie Pitagorasa ma również zastosowanie do trójkąta prostokątnego. – suma kwadratów obu nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
Wzór na pole trójkąta prostokątnego równoramiennego oblicza się w taki sam sposób, jak w przypadku zwykłego trójkąta prostokątnego.

Przykład obliczenia pola trójkąta prostokątnego równoramiennego:
Biorąc pod uwagę trójkąt z nogami A= 4 cm, B= 4 cm Oblicz pole:
Oblicz pole: = 8 cm 2

Wzór na pole trójkąta prostokątnego przez przeciwprostokątną można zastosować, jeśli warunek ma jedną nogę. Z twierdzenia Pitagorasa znajdujemy długość nieznanej nogi. Na przykład, biorąc pod uwagę przeciwprostokątną C i noga A, noga B będzie równe:
Następnie oblicz obszar za pomocą zwykłego wzoru. Przykład obliczenia wzoru na pole trójkąta prostokątnego na podstawie przeciwprostokątnej jest identyczny z opisanym powyżej.

Rozważmy ciekawy problem, który pomoże utrwalić wiedzę o wzorach rozwiązywania trójkąta.
Zadanie: Pole trójkąta prostokątnego wynosi 180 metrów kwadratowych. zobacz, znajdź mniejszą nogę trójkąta, jeśli jest ona o 31 cm mniejsza od drugiej.
Rozwiązanie: wyznaczmy nogi A I B. Podstawmy teraz dane do wzoru na pole: wiemy też, że jedna noga jest mniejsza od drugiej A – B= 31cm
Z pierwszego warunku otrzymujemy to
Podstawiamy ten warunek do drugiego równania: