Grafinis taško atvaizdavimas sudėtingame brėžinyje.

Apsvarstykite toliau pateiktą paveikslą.

Jame parodytas funkcijos y = x^3 - 3*x^2 grafikas. Apsvarstykite kokį nors intervalą, kuriame yra taškas x = 0, pavyzdžiui, nuo -1 iki 1. Toks intervalas dar vadinamas taško x = 0 kaimynyste. Kaip matote grafike, šioje kaimynystėje funkcija y = x^ 3 – 3*x^2 didžiausia vertė tiksliai taške x = 0.

Funkcijos maksimumas ir minimumas

Šiuo atveju taškas x = 0 vadinamas maksimaliu funkcijos tašku. Pagal analogiją taškas x = 2 vadinamas funkcijos y = x^3 - 3*x^2 minimaliu tašku. Kadangi yra tokia šio taško kaimynystė, kurioje vertė šiame taške bus minimali tarp visų kitų šios kaimynystės verčių.

taškas maksimalus funkcija f(x) vadinama tašku x0, su sąlyga, kad yra taško x0 kaimynystė, kad visiems x, kurie nėra lygūs x0 iš šios apylinkės, nelygybė f(x)< f(x0).

taškas minimumas funkcija f(x) vadinama tašku x0, su sąlyga, kad yra taško x0 kaimynystė, kad visiems x, kurie nėra lygūs x0 iš šios apylinkės, tenkinama nelygybė f(x) > f(x0).

Funkcijų didžiausiame ir minimaliame taške funkcijos išvestinės reikšmė lygi nuliui. Bet tai nėra pakankama sąlyga funkcijai egzistuoti didžiausiame ar mažiausiajame taške.

Pavyzdžiui, funkcija y = x^3 taške x = 0 turi išvestinę, lygią nuliui. Bet taškas x = 0 nėra mažiausias ar maksimalus funkcijos taškas. Kaip žinote, funkcija y = x^3 didėja visoje realioje ašyje.

Taigi minimalus ir maksimalus taškai visada bus tarp lygties f’(x) = 0 šaknų. Tačiau ne visos šios lygties šaknys bus didžiausi arba minimalūs taškai.

Stacionarūs ir kritiniai taškai

Taškai, kuriuose funkcijos išvestinės reikšmė lygi nuliui, vadinami stacionariais taškais. Taip pat gali būti maksimalaus arba minimumo taškai taškuose, kuriuose funkcijos išvestinės iš viso nėra. Pavyzdžiui, y = |x| taške x = 0 turi minimumą, bet išvestinė šiame taške neegzistuoja. Šis taškas bus kritinis funkcijos taškas.

Funkcijos kritiniai taškai yra taškai, kuriuose išvestinė yra lygi nuliui arba išvestinė šiame taške neegzistuoja, tai yra, funkcija šiame taške yra nediferencijuojama. Norint rasti funkcijos maksimumą arba minimumą, turi būti įvykdyta pakankama sąlyga.

Tegul f(x) yra kokia nors intervale (a;b) diferencijuojama funkcija. Taškas x0 priklauso šiam intervalui ir f'(x0) = 0. Tada:

1. jei, einant per stacionarų tašką x0, funkcija f (x) ir jos išvestinė keičia ženklą iš „pliuso“ į „minusą“, tai taškas x0 yra maksimalus funkcijos taškas.

2. jei, eidama per stacionarų tašką x0, funkcija f (x) ir jos išvestinė keičia ženklą, iš „minuso“ į „pliusą“, tai taškas x0 yra mažiausias funkcijos taškas.

Sveiki visi Habr žmonės. Mieliems skaitytojams noriu pateikti pavyzdį, kai sausas ir mūsų supratimu toli nuo gyvybės aukštoji matematika davė gerą praktinį rezultatą.

Pirmiausia keletas prisiminimų

Tai buvo tada, kai aš mokiausi viename iš technikos universitetų 90-aisiais, tikriausiai antrame kurse. Kažkaip patekau į programavimo olimpiadą. Ir šioje olimpiadoje buvo užduotis: nustatyti trikampio koordinates, bandymo tašką plokštumoje ir nustatyti, ar šis taškas priklauso trikampio sričiai. Apskritai, menka problema, bet tada aš jos neišsprendžiau. Bet tada pagalvojau apie bendresnę užduotį – priklausymą sąvartynui. Pasikartosiu - tai buvo 90-ųjų vidurys, nebuvo interneto, nebuvo knygų apie kompiuterinę geometriją, bet buvo paskaitos apie bokštą ir laboratorija 286 su turbo paskaliu. Taip žvaigždės sutapo, kad kaip tik tuo metu, kai galvojau apie problemą, jos mums bokšte skaitė kompleksinio kintamojo teoriją. Ir viena formulė (apie ją žemiau) nukrito ant derlingos žemės. Algoritmas buvo išrastas ir įdiegtas Pascal (deja, mano pusantro gigabaito varžtas numirė ir nunešė šį kodą bei daugybę kitų mano jaunystės kūrimo į užmarštį). Po instituto patekau dirbti viename mokslo institute. Ten teko susidurti su GIS kūrimu instituto darbuotojų reikmėms, o viena iš mano užduočių buvo nustatyti, ar objektai nepatenka į kontūrą. Algoritmas buvo perrašytas C++ ir pasirodė esąs puikus darbe.

Algoritmo užduotis

Duota:

Г - uždara polilinija (toliau vadinama daugiakampiu) plokštumoje, išduodama jos viršūnių koordinatėmis (xi, yi) ir bandymo taško koordinatėmis (x0, y0)

Apibrėžkite:

ar taškas priklauso daugiakampio ribojamai sričiai D.

Formulių, skirtų tolesniam algoritmo rašymui, išvedimas jokiu būdu nepretenduoja į matematiškai išsamumą ir tikslumą, o tik parodo inžinerinį (vartotojišką požiūrį) mokslų sričių karalienei.

Paaiškinimas darbininko-valstiečių inžinerijos požiūriu:
- riba G yra mūsų nurodytas kontūras,
- z0 - patikrintas taškas
– f(z) – sudėtinga funkcija niekur kontūre nuo sudėtingo argumento nenueina į begalybę.

Tai yra, norėdami nustatyti, ar taškas priklauso kontūrui, turime apskaičiuoti integralą ir palyginti jį su funkcijos reikšme tam tikrame taške. Jei jie sutampa, tada esmė slypi kontūre. Pastaba: Koši integralo teorema sako, kad jei taškas yra ne kontūre, tai integrandas niekada nenueina į begalybę, tada integralas. nulis. Tai supaprastina reikalą – tereikia apskaičiuoti integralą ir patikrinti, ar jis lygus nuliui: taškas nėra nuliui lygus kontūras, jis skiriasi – jis slypi kontūre.
Apskaičiuokime integralą. Imame f(z). paprasta funkcija 1. Neprarasdami bendrumo, tašką 0 galime laikyti z0 (koordinates visada galite perkelti).

Atsikratome menamo vieneto integrando vardiklyje ir padalijame integralą į tikrąją ir menamąją dalis:

Gavome du antrojo tipo kreivinius integralus.
Apskaičiuokite pirmąjį

Sąlyga, kad integralas nepriklauso nuo kelio, yra įvykdyta, todėl pirmasis integralas yra lygus nuliui ir jo skaičiuoti nereikia.

Su įsivaizduojama dalimi šis triukas neveikia. Prisiminkite, kad mūsų kraštinę sudaro linijos segmentai, gauname:

Kur Гi yra atkarpa (xi,yi)- (xi+1,y i+1)
Apskaičiuokime i-ąjį integralą. Norėdami tai padaryti, i-osios atkarpos lygtį užrašome parametrine forma

Pakaitalas integrale

Ir po sudėtingų ir varginančių transformacijų gauname tokią žavią formulę:

Pagaliau gauname

Algoritmas C++:

šabloną <klasė T>
bool pt_in_polygon( konst T &testas, pastovus std::vektorius &daugiakampis)
{
if (daugiakampis.dydis()<3) return false;

Std::vector::const_iterator end=polygon.end();

T last_pt=daugiakampis.atgal();

Paskutinis_pt.x-=testas.x;
paskutinis_pt.y-=testas.y;

dvigubai suma=0,0;

dėl(
std::vector::const_iterator iter=polygon.begin();
iter!=pabaiga;
++iter
{
T cur_pt=*iter;
cur_pt.x-=test.x;
cur_pt.y-=test.y;

dvigubai del= last_pt.x*cur_pt.y-cur_pt.x*last_pt.y;
dvigubai xy= cur_pt.x*last_pt.x+cur_pt.y*last_pt.y;

Suma+=
atan((last_pt.x*last_pt.x+last_pt.y*last_pt.y - xy)/del)+
atan((cur_pt.x*cur_pt.x+cur_pt.y*cur_pt.y-xy)/del)
);

last_pt=cur_pt;

grąžinti fabs(sum)>eps;

T - taško tipas, pavyzdžiui:
struktūra Taškas D
{
dvigubas x,y;
};

Kontrolė:
kairiuoju pelės mygtuku spustelėkite - pridėkite naują kontūro tašką
dešinysis mygtukas - uždarykite kontūrą
kairėje laikant Shift - perkelkite bandymo tašką

Ponai, kurie domisi, duodu greitesnį algoritmą. Jau ne mano.
Ypatingas ačiū už straipsnį.
šablonas bool pt_in_polygon2(const T &test,const std::vektorius &daugiakampis)
{

Statinis const int q_patt= ( (0,1), (3,2) );

Jei(daugiakampis.dydis()<3) return false;

Std::vector::const_iterator end=polygon.end();
T pred_pt=daugiakampis.atgal();
numatyti_pt.x-=testas.x;
pred_pt.y-=test.y;

int pred_q=q_patt;

For(std::vector::const_iterator iter=polygon.begin();iter!=end;++iter)
{
T cur_pt = *iter;

Cur_pt.x-=test.x;
cur_pt.y-=test.y;

int q=q_patt;

Jungiklis (q-pred_q)
{
atvejis -3:++w;pertrauka;
3 atvejis: --w;pertrauka;
case -2:if(pred_pt.x*cur_pt.y>=pred_pt.y*cur_pt.x) ++w;pertrauka;
2 atvejis:if(!(pred_pt.x*cur_pt.y>=pred_pt.y*cur_pt.x)) --w;break;
}

Pred_pt = cur_pt;
numatyti_q = q;

Dvimatėje erdvėje dvi tiesės susikerta tik viename taške, pateiktoje koordinatėmis (x, y). Kadangi abi tiesės eina per jų susikirtimo tašką, koordinatės (x, y) turi atitikti abi šias tieses apibūdinančias lygtis. Turėdami tam tikrų pažangių įgūdžių, galite rasti parabolių ir kitų kvadratinių kreivių susikirtimo taškus.

Žingsniai

Dviejų linijų susikirtimo taškas

Užrašykite kiekvienos eilutės lygtį, išskirdami kintamąjį "y" kairėje lygties pusėje. Reikėtų įtraukti kitus lygties terminus dešinioji pusė lygtys. Galbūt vietoj "y" jums pateiktoje lygtyje bus kintamasis f (x) arba g (x); šiuo atveju išskirkite tokį kintamąjį. Norėdami išskirti kintamąjį, atlikite atitinkamus veiksmus matematines operacijas abiejose lygties pusėse.

Jei linijų lygtys jums nepateiktos, remiantis jums žinoma informacija.
Pavyzdys. Duotos tiesės, aprašytos lygtimis ir y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12 = -2x). Norėdami išskirti „y“ antroje lygtyje, prie abiejų lygties pusių pridėkite skaičių 12:

Ieškote abiejų tiesių susikirtimo taško, ty taško, kurio (x, y) koordinatės tenkina abi lygtis. Kadangi kintamasis "y" yra kiekvienos lygties kairėje pusėje, kiekvienos lygties dešinėje pusėje esančias išraiškas galima sulyginti. Užrašykite naują lygtį.
- Pavyzdys. Kaip y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) ir y = 12–2x (\displaystyle y=12-2x), tada galime parašyti tokią lygybę: .
Raskite kintamojo "x" reikšmę. Naujoje lygtyje yra tik vienas kintamasis "x". Norėdami rasti „x“, išskirkite šį kintamąjį kairėje lygties pusėje, atlikdami atitinkamą matematiką abiejose lygties pusėse. Turėtumėte gauti tokią lygtį kaip x = __ (jei to negalite padaryti, žr. šį skyrių).
- Pavyzdys. x + 3 = 12 - 2 x (\displaystyle x+3 = 12-2x)
- Papildyti 2x (\displaystyle 2x)į kiekvieną lygties pusę:
- 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3 = 12)
- Iš kiekvienos lygties pusės atimkite 3:
- 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
- Padalinkite kiekvieną lygties pusę iš 3:
- x = 3 (\displaystyle x=3).
Norėdami apskaičiuoti kintamojo „y“ reikšmę, naudokite rastą kintamojo „x“ reikšmę. Norėdami tai padaryti, pakeiskite rastą reikšmę "x" lygtyje (bet kuri) tiesia linija.
- Pavyzdys. x = 3 (\displaystyle x=3) ir y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
- y = 3 + 3 (\displaystyle y = 3 + 3)
- y=6 (\displaystyle y=6)
Patikrinkite atsakymą. Norėdami tai padaryti, pakeiskite „x“ reikšmę kita tiesės lygtimi ir raskite „y“ reikšmę. Jei gausite skirtinga prasmė"y", patikrinkite savo skaičiavimų teisingumą.
- Pavyzdys: x = 3 (\displaystyle x=3) ir y = 12–2x (\displaystyle y=12-2x)
- y = 12–2 (3) (\displaystyle y=12-2 (3))
- y = 12–6 (\displaystyle y=12-6)
- y=6 (\displaystyle y=6)
- Gavote tą pačią „y“ reikšmę, todėl jūsų skaičiavimuose nėra klaidų.
Užsirašykite koordinates (x, y). Apskaičiuodami "x" ir "y" reikšmes, radote dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates. Užrašykite susikirtimo taško koordinates forma (x, y).
- Pavyzdys. x = 3 (\displaystyle x=3) ir y=6 (\displaystyle y=6)
- Taigi dvi tiesės susikerta taške, kurio koordinatės (3,6).
Skaičiavimai ypatingais atvejais. Kai kuriais atvejais kintamojo "x" reikšmės nepavyksta rasti. Bet tai nereiškia, kad padarėte klaidą. Ypatingas atvejis atsiranda, kai įvykdoma viena iš šių sąlygų:
- Jei dvi tiesės lygiagrečios, jos nesikerta. Tokiu atveju kintamasis "x" bus tiesiog sumažintas, o jūsų lygtis pavirs beprasme lygybe (pvz., 0 = 1 (\displaystyle 0 = 1)). Tokiu atveju savo atsakyme užrašykite, kad linijos nesikerta arba nėra sprendimo.
- Jei abi lygtys apibūdina vieną tiesę, susikirtimo taškų bus be galo daug. Tokiu atveju kintamasis "x" bus tiesiog sumažintas, o jūsų lygtis pavirs griežta lygybe (pvz., 3 = 3 (\displaystyle 3 = 3)). Tokiu atveju savo atsakyme užrašykite, kad šios dvi eilutės sutampa.
Kvadratinių funkcijų problemos
1. Kvadratinės funkcijos apibrėžimas. Kvadratinės funkcijos atveju vienas ar keli kintamieji turi antrąjį laipsnį (bet ne aukštesnį), pavyzdžiui, x 2 (\displaystyle x^(2)) arba y 2 (\displaystyle y^(2)). Kvadratinių funkcijų grafikai yra kreivės, kurios negali susikirsti arba susikirsti viename ar dviejuose taškuose. Šiame skyriuje mes jums pasakysime, kaip rasti kvadratinių kreivių susikirtimo tašką ar taškus.
2. Perrašykite kiekvieną lygtį, išskirdami kintamąjį "y" kairėje lygties pusėje. Kiti lygties nariai turi būti dedami dešinėje lygties pusėje.
  - Pavyzdys. Raskite grafikų susikirtimo tašką (-us). x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) ir
  - Išskirkite kintamąjį "y" kairėje lygties pusėje:
  - ir y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
  - Šiame pavyzdyje jums duota viena kvadratinė ir viena tiesinė funkcija. Atminkite, kad jei jums duos du kvadratines funkcijas, skaičiavimai yra panašūs į toliau nurodytus veiksmus.
3. Sulyginkite kiekvienos lygties dešinėje pusėje esančias išraiškas. Kadangi kintamasis "y" yra kiekvienos lygties kairėje pusėje, kiekvienos lygties dešinėje pusėje esančias išraiškas galima sulyginti.
  - Pavyzdys. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) ir y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)
4. Perkelkite visus gautos lygties narius į kairę pusę, o dešinėje parašykite 0. Norėdami tai padaryti, atlikite pagrindines matematines operacijas. Tai leis jums išspręsti gautą lygtį.
  - Pavyzdys. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
  - Atimkite "x" iš abiejų lygties pusių:
  - x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
  - Iš abiejų lygties pusių atimkite 7:
5. Nuspręsk kvadratinė lygtis. Perkeldami visus lygties narius į kairę pusę, gausite kvadratinę lygtį. Ją galima išspręsti trimis būdais: naudojant specialią formulę ir.
  - Pavyzdys. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
  - Skaičiuojant lygtį, gaunami du dvinariai, kuriuos padauginus gaunama pradinė lygtis. Mūsų pavyzdyje pirmasis narys x 2 (\displaystyle x^(2)) gali būti suskaidytas į x*x. Įveskite šį įrašą: (x) (x) = 0
  - Mūsų pavyzdyje pertrauką -6 galima apskaičiuoti taip: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
  - Mūsų pavyzdyje antrasis narys yra x (arba 1x). Pridėkite kiekvieną perėmimo koeficientų porą (mūsų pavyzdyje -6), kol gausite 1. Mūsų pavyzdyje teisinga perėmimo koeficientų pora yra -2 ir 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3 = -6)), kaip − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
  - Rasta skaičių pora užpildykite tarpus: .
6. Nepamirškite apie antrąjį dviejų grafikų susikirtimo tašką. Jei problemą išspręsite greitai ir ne itin kruopščiai, antrąjį susikirtimo tašką galite pamiršti. Štai kaip rasti dviejų susikirtimo taškų „x“ koordinates:
  - Pavyzdys (faktoringas). Jei lygtyje (x – 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2) (x+3) = 0) viena iš išraiškų skliausteliuose bus lygi 0, tada visa lygtis bus lygi 0. Todėl galime parašyti taip: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2 = 0) → x = 2 (\displaystyle x=2) ir x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = – 3 (\displaystyle x=-3) (tai yra, jūs radote dvi lygties šaknis).
  - Pavyzdys (naudokite formulę arba pilną kvadratą). Jei naudosite vieną iš šių metodų, sprendimas bus parodytas Kvadratinė šaknis. Pavyzdžiui, mūsų pavyzdžio lygtis bus tokia x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Atminkite, kad paėmę kvadratinę šaknį gausite du sprendimus. Mūsų atveju: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25)) = 5*5), ir 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25)) = (-5)*(-5)). Taigi užrašykite dvi lygtis ir raskite dvi x reikšmes.
7. Grafikai susikerta viename taške arba nesikerta. Tokios situacijos atsiranda, kai įvykdomos šios sąlygos:
  - Jei grafikai susikerta viename taške, kvadratinė lygtis išskaidoma į lygius koeficientus, pavyzdžiui, (x-1) (x-1) = 0, o kvadratinė šaknis iš 0 atsiranda formulėje ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). Šiuo atveju lygtis turi tik vieną sprendinį.
  - Jei grafikai visiškai nesikerta, lygtis nesikerta, o formulėje atsiranda neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis (pvz., − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). Tokiu atveju atsakyme parašykite, kad sprendimo nėra.

Tai antroji mano straipsnio dalis, skirta skaičiavimo geometrijai. Manau, kad šis straipsnis bus įdomesnis nei ankstesnis, nes galvosūkiai bus šiek tiek sunkesni.

Pradėkime nuo santykinė padėtis taškai linijos, spindulio ir atkarpos atžvilgiu.

1 užduotis

Nustatykite santykinę taško ir linijos padėtį: yra virš linijos, tiesėje, po linija.

Sprendimas
Akivaizdu, kad jei tiesė pateikta jos lygtimi ax + by + c = 0, tai čia nėra ką spręsti. Pakanka į tiesės lygtį pakeisti taško koordinates ir patikrinti, kam ji lygi. Jei jis didesnis už nulį, tai taškas yra viršutinėje pusplokštumoje, jei lygus nuliui, tai taškas yra tiesėje, o jei mažesnis už nulį, tai taškas yra apatinėje pusplokštumoje. Įdomesnis atvejis, kai tiesė duota, duota dviejų taškų koordinatėmis, pavadinkime juos P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2). Šiuo atveju galima saugiai rasti koeficientus a, b ir c ir pritaikyti ankstesnį samprotavimą. Bet pirmiausia turime pagalvoti, ar mums to reikia? Žinoma ne! Kaip jau sakiau, iškreiptas produktas yra tik skaičiavimo geometrijos perlas. Taikome. Yra žinoma, kad dviejų vektorių pakreipimo sandauga yra teigiama, jei sukimasis iš pirmojo vektoriaus į antrąjį yra prieš laikrodžio rodyklę, lygus nuliui, jei vektoriai yra kolinijiniai, ir neigiami, jei sukimas vyksta pagal laikrodžio rodyklę. Todėl mums pakanka apskaičiuoti vektorių P 1 P 2 ir P 1 M pasvirąją sandaugą ir pagal jos ženklą padaryti išvadą.

2 užduotis

Nustatykite, ar taškas priklauso spinduliui.

Sprendimas
Prisiminkime, kas yra spindulys: spindulys – tai tiesė, kurią vienoje pusėje riboja taškas, o kitoje – begalinė. Tai yra, spindulį suteikia kažkoks pradinis taškas ir bet kuris jame esantis taškas. Tegul taškas P 1 (x 1 , y 1) yra spindulio pradžia, o P 2 (x 2 , y 2) yra bet kuris spinduliui priklausantis taškas. Aišku, jei taškas priklauso spinduliui, tai jis priklauso ir tiesei, einančia per šiuos taškus, bet ne atvirkščiai. Todėl priklausymas linijai yra būtina, bet nepakankama sąlyga priklausyti spinduliui. Todėl negalime išvengti pakreipto produkto patikrinimo. Kad sąlyga būtų pakankama, taip pat būtina apskaičiuoti tų pačių vektorių skaliarinę sandaugą. Jei jis yra mažesnis už nulį, tada taškas nepriklauso spinduliui, jei jis nėra neigiamas, tada taškas yra ant spindulio. Kodėl taip? Pažiūrėkime į piešinį.

Taigi, kad taškas M(x, y) būtų ant spindulio, kurio pradinis taškas P 1 (x 1 , y 1), kur P 2 (x 2 , y 2) yra ant spindulio, būtina ir pakanka įvykdyti dvi sąlygas:

2. (P 1 P 2 , P 1 M) ≥ 0 yra skaliarinė sandauga (taškas yra ant spindulio)

3 užduotis

Nustatykite, ar taškas priklauso atkarpai.

Sprendimas
Tegul taškai P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2) yra duotosios atkarpos galai. Vėlgi būtina sąlyga taško priklausymas atkarpai yra jo priklausymas tiesei, einančia per P 1 , P 2 . Toliau reikia nustatyti, ar taškas yra tarp taškų P 1 ir P 2, tam mums padeda vektorių skaliarinė sandauga tik šį kartą kitų: (MP 1 , MP 2). Jei jis yra mažesnis arba lygus nuliui, tada taškas yra atkarpoje, kitu atveju jis yra už atkarpos ribų. Kodėl taip? Pažiūrėkime į paveikslėlį.

Taigi, kad taškas M(x, y) atsidurtų atkarpoje, kurios galai P 1 (x 1 , y 1), P 2 (x 2 , y 2), būtina ir pakanka įvykdyti sąlygas:
1. \u003d 0 - iškreiptas produktas (taškas yra ant linijos)
2. (MP 1, MP 2) ≤ 0 – taškinė sandauga (taškas yra tarp P 1 ir P 2)

4 užduotis

Santykinė dviejų taškų padėtis tiesės atžvilgiu.

Sprendimas
Šioje užduotyje būtina nustatyti du taškus vienoje arba priešingose tiesios linijos pusėse.

Jei taškai yra priešingose tiesios linijos pusėse, tada pasvirieji produktai turi skirtingi ženklai, todėl jų produktas yra neigiamas. Jei taškai yra toje pačioje pusėje tiesės atžvilgiu, tada pasvirusių produktų ženklai sutampa, o tai reiškia, kad jų sandauga yra teigiama.
Taigi:
1. * < 0 – точки лежат по разные стороны.
2. * > 0 – taškai yra toje pačioje pusėje.
3. * = 0 – vienas (arba du) taškai yra tiesėje.

Beje, lygiai taip pat išsprendžiama ir tiesės ir atkarpos susikirtimo taško nustatymo problema. Tiksliau, tai ta pati problema: atkarpa ir tiesė susikerta, kai atkarpos galai yra skirtingose pusėse tiesės atžvilgiu arba kai atkarpos galai guli tiesėje, tai yra būtina. reikalauti * ≤ 0.

5 užduotis

Nustatykite, ar dvi linijos susikerta.

Sprendimas
Darysime prielaidą, kad linijos nesutampa. Aišku, kad tiesės nesikerta tik tada, kai yra lygiagrečios. Todėl, radę lygiagretumo sąlygą, galime nustatyti, ar tiesės susikerta.
Tarkime, kad tiesės pateiktos jų lygtimis a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 ir a 2 x + b 2 y + c 2 = 0. Tada lygiagrečių tiesių sąlyga yra tokia, kad a 1 b 2 - a 2 b 1 = 0.
Jei tiesės pateiktos taškais P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2), M 1 (x 3, y 3), M 2 (x 4, y 4), tada sąlyga nes jų lygiagretumas yra tikrinant vektorių P 1 P 2 ir M 1 M 2 pasvirąją sandaugą: jei jis lygus nuliui, tai tiesės lygiagrečios.

Apskritai, kai tiesės pateikiamos jų lygtimis, mes taip pat patikriname vektorių (-b 1 , a 1), (-b 2 , a 2), kurie vadinami krypties vektoriais, pasvirąją sandaugą.

6 užduotis

Nustatykite, ar dvi tiesių atkarpos susikerta.

Sprendimas
Tai man labai patinkanti užduotis. Segmentai susikerta, kai kiekvieno segmento galai yra priešingose kito segmento pusėse. Pažiūrėkime į paveikslėlį:

Taigi, turime patikrinti, ar kiekvieno segmento galai yra priešingose kito segmento santykinių galų pusėse. Mes naudojame vektorių iškreiptą sandaugą. Pažiūrėkite į pirmą nuotrauką: > 0,< 0 => * < 0. Аналогично
* < 0. Вы наверно думаете, почему не меньше либо равно. А потому, что возможен следующий случай, при котором векторное произведение как раз и равно нулю, но отрезки не пересекаются:

Todėl turime atlikti dar vieną patikrinimą, būtent: ar bent vienas kiekvienos atkarpos galas priklauso kitam (priklauso atkarpos taškui). Šią problemą jau išsprendėme.

Taigi, kad segmentai turėtų bendrų taškų, būtina ir pakanka:
1. Segmentų galai kito segmento atžvilgiu yra skirtingose pusėse.
2. Bent vienas iš vieno segmento galų priklauso kitam segmentui.

7 užduotis

Atstumas nuo taško iki linijos.

Sprendimas
Tegul tiesė nurodoma dviem taškais P 1 (x 1, y 1) ir P 2 (x 2, y 2).

Ankstesniame straipsnyje mes kalbėjome apie tai, kad geometriškai pasviręs produktas yra orientuotas lygiagretainio plotas, todėl S P 1 P 2 M = 0,5*. Kita vertus, kiekvienas mokinys žino trikampio ploto nustatymo formulę: pusė pagrindo padauginta iš aukščio.
S P 1 P 2 M \u003d 0,5 * h * P 1 P 2.
Sulyginę šias sritis, randame

Modulo buvo imtasi, nes pirmoji sritis yra orientuota.

Jei tiesė pateikta lygtimi ax + by + c = 0, tai tiesės, einančios per tašką M, statmeną duotajai tiesei, lygtis yra: a (y - y 0) - b (x - x 0) = 0. Dabar galite nesunkiai išspręsti sistemą iš gautų lygčių, rasti jų susikirtimo tašką ir apskaičiuoti atstumą nuo pradinio taško iki rastojo: jis bus tiksliai ρ = (ax 0 + by 0 + c) / √ (a 2 + b 2).

8 užduotis

Atstumas nuo taško iki spindulio.

Sprendimas
Ši problema skiriasi nuo ankstesnės tuo, kad šiuo atveju gali atsitikti taip, kad statmuo nuo taško nepatenka į spindulį, o patenka į jo tęsinį.

Tuo atveju, kai statmuo nepatenka į spindulį, reikia rasti atstumą nuo taško iki spindulio pradžios - tai bus problemos atsakymas.

Kaip nustatyti, ar statmuo patenka į spindulį, ar ne? Jei statmenas nepatenka į spindulį, tai kampas MP 1 P 2 yra bukas, kitu atveju smailus (tiesus). Todėl pagal vektorių skaliarinės sandaugos ženklą galime nustatyti, ar statmuo patenka į spindulį, ar ne:
1. (P 1 M, P 1 P 2)< 0 перпендикуляр не попадает на луч
2. (P 1 M, P 1 P 2) ≥ 0 statmenas atsitrenkia į spindulį

9 užduotis

Atstumas nuo taško iki linijos.

Sprendimas
Ginčijamės panašiai kaip ir ankstesnė problema. Jei statmuo nepatenka į atkarpą, atsakymas yra atstumų nuo nurodyto taško iki atkarpos galų minimumas.

Norint nustatyti, ar statmuo patenka į atkarpą, pagal analogiją su ankstesne užduotimi reikia naudoti vektorių skaliarinę sandaugą. Jei statmuo nepatenka į atkarpą, tada kampas MP 1 P 2 arba kampas MP 2 P 1 bus bukas. Todėl pagal ženklą skaliariniai produktai galime nustatyti, ar statmuo patenka į atkarpą, ar ne:
Jei (P 1 M, P 1 P 2)< 0 или (P 2 M, P 2 P 1) < 0 то перпендикуляр не падает на отрезок.

10 užduotis

Nustatykite taškų skaičių tiesėje ir apskritime.

Sprendimas
Tiesė ir apskritimas gali turėti nulį, vieną arba du susikirtimo taškus. Pažiūrėkime į paveikslėlius:

Čia iš brėžinių viskas aišku. Turime du susikirtimo taškus, jei atstumas nuo apskritimo centro iki linijos yra mažesnis už apskritimo spindulį. Vienas sąlyčio taškas, jei atstumas nuo centro iki linijos yra lygus spinduliui. Ir galiausiai, jokio susikirtimo taško, jei atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra didesnis už apskritimo spindulį. Kadangi atstumo nuo taško iki tiesės nustatymo problemą mes jau išsprendėme, ši problema taip pat buvo išspręsta.

11 užduotis

Abipusis dviejų apskritimų išdėstymas.

Sprendimas
Galimi apskritimų išdėstymo atvejai: susikerta, liečia, nesikerta.

Apsvarstykite atvejį, kai apskritimai susikerta ir raskite jų susikirtimo plotą. Man labai patinka ši problema, nes nemažai laiko skyriau jos sprendimui (tai buvo seniai – pirmaisiais metais).

Dabar prisiminkime, kas yra sektorius ir segmentas.

Apskritimų sankirta susideda iš dviejų atkarpų O 1 AB ir O 2 AB.

Atrodytų, kad reikia susumuoti šių segmentų plotus ir viskas. Tačiau viskas nėra taip paprasta. Taip pat būtina nustatyti, ar šios formulės visada teisingos. Pasirodo, ne!

Panagrinėkime atvejį, kai antrojo apskritimo centras O 2 sutampa su tašku C. Šiuo atveju d 2 = 0, o α reikšmei imame α = π. Šiuo atveju turime puslankį, kurio plotas 1/2 πR 2 2 .

Dabar apsvarstykite atvejį, kai antrojo apskritimo centras O 2 yra tarp taškų O 1 ir C. Šiuo atveju gauname neigiamą d 2 reikšmę. Naudojant neigiamą d 2 reikšmę, gaunama neigiama reikšmė a. Šiuo atveju teisingam atsakymui prie α reikia pridėti 2π.

Išvada

Viskas. Mes išnagrinėjome ne visas, bet dažniausiai pasitaikančias skaičiavimo geometrijos problemas, susijusias su santykine objektų padėtimi.

Tikiuosi patiko.

Norėdami išspręsti problemą, suskirstome ją į šiuos etapus:

Problemos svarstymas iš daugiamatės erdvės pusės.
Problemos svarstymas iš dvimatės erdvės pusės.
Sankirtos taškų skaičiaus apskaičiavimas.

Problemos svarstymas iš daugiamatės erdvės pusės

Tarkime, kad tiesės yra trimatėje erdvėje, tada vienoje iš plokštumų jos gali būti nelygiagrečios viena kitai, o kitoje plokštumoje – viena nuo kitos. Tai reiškia, kad tokios linijos bus poromis nelygiagrečios ir neturės susikirtimo taškų.

Problemos svarstymas iš dvimatės erdvės pusės

Dvimatėje erdvėje (plokštumoje) dvi tiesės nėra lygiagrečios, o tai reiškia, kad jos būtinai turi vieną ir tik vieną susikirtimo tašką. Pagal sąlygą tiesės neeina per vieną (bendrą) susikirtimo tašką, todėl, kadangi tiesės nėra poromis lygiagrečios, kiekviena iš jų būtinai kerta likusias.

Sankirtos taškų skaičiaus apskaičiavimas

Į plokštumą įtraukiant naują nelygiagrečią tiesę, bus pridedami susikirtimo taškai su tomis tiesėmis, kurios jau buvo nubraižytos plokštumoje. Todėl dvi tiesės suteikia 1 susikirtimo tašką. Pridėjus trečią tiesę, gauname dar 2 susikirtimo taškus su jau nubrėžtomis dviem linijomis; pridėjus ketvirtą tiesiąją, gauname dar 3 susikirtimo taškus; penktas – dar 4 susikirtimo taškai. Taigi iš viso gauname:

1 + 2 + 3 + 4 = 10 susikirtimo taškų

Atsakymas: 1) daugiamatė erdvė - 0 susikirtimo taškų; 2) dvimatė erdvė – 10 susikirtimo taškų.

Dvi linijos turi vieną susikirtimo tašką. Pridėjus prie jų dar vieną tiesę, gauname dar po 2 susikirtimo taškus su kiekviena iš šių dviejų tiesių. Pridėjus dar vieną tiesę, tai papildomai duos tiek susikirtimo taškų, kiek jau buvo linijų, t.y. dar 3. Ir taip toliau. Kiekviena n-oji linija suteikia papildomų (n-1) susikirtimo taškų su (n-1) tiesėmis.

1 + 2 + 3 + 4 = 10

Visa tai yra teisinga, jei nė viena iš 3 tiesių neturi 1 bendro susikirtimo taško.

Jei vis dėlto tiesės gali susikirsti viename taške, bet ne visos iš karto, tai su žvaigždute pastatę 4 tieses, turime 1 jų susikirtimo tašką, o pridėjus 5-ąją tiesę gauname dar 4 taškus. Šiuo atveju 5 linijos turės 5 bendrus susikirtimo taškus.

Atsakymas: 10 susikirtimo taškų sudarys 5 nelygiagrečios tiesės, kai viename taške nesusikerta daugiau nei 2 tiesės. Arba 5 susikirtimo taškai, jei viename taške gali susikirsti daugiau nei dvi tiesės.