"The Pleasure of X. Un affascinante viaggio nel mondo della matematica da uno dei migliori insegnanti del mondo" Steven Strogatz

La matematica è il linguaggio più accurato e universale della scienza, ma è possibile spiegare i sentimenti umani con l'aiuto dei numeri? Formule d'amore, semi del caos ed equazioni differenziali romantiche - T&P pubblica un capitolo del libro "Il piacere di X" di uno dei migliori insegnanti di matematica del mondo, Steven Strogatz, pubblicato da Mann, Ivanov e Ferber.

In primavera, scriveva Tennyson, l'immaginazione giovanotto si trasforma facilmente in pensieri d'amore. Purtroppo, un potenziale partner di un giovane uomo potrebbe avere le sue idee sull'amore, e quindi la loro relazione sarà piena di alti e bassi turbolenti che rendono l'amore così eccitante e così doloroso. Alcuni malati di non corrisposto cercano una spiegazione di queste oscillazioni d'amore nel vino, altri - nella poesia. E ci consulteremo con i calcoli.

L'analisi che segue sarà ironica in modo derisorio, ma tocca temi seri. Inoltre, se la comprensione delle leggi dell'amore può sfuggirci, allora le leggi del mondo inanimato sono ora ben studiate. Prendono la forma di equazioni differenziali che descrivono come le variabili correlate cambiano di momento in momento a seconda dei loro valori correnti. Tali equazioni potrebbero non avere molto a che fare con il romanticismo, ma almeno possono far luce sul perché, nelle parole di un altro poeta, "il percorso del vero amore non è mai stato agevole". Per illustrare il metodo delle equazioni differenziali, supponiamo che Romeo ami Giulietta, ma nella nostra versione della storia, Giulietta è un'amante ventosa. Più Romeo la ama, più lei vuole nascondersi da lui. Ma quando Romeo si raffredda nei suoi confronti, inizia a sembrarle insolitamente attraente. Tuttavia, il giovane amante tende a riflettere i suoi sentimenti: si illumina quando lei lo ama e si raffredda quando lei lo odia.

Cosa succede ai nostri sfortunati amanti? In che modo l'amore li assorbe e li lascia nel tempo? È qui che il calcolo differenziale viene in soccorso. Facendo equazioni che riassumono il crescere e il decrescere dei sentimenti di Romeo e Giulietta, e poi risolvendoli, possiamo prevedere il corso della relazione di coppia. La prognosi finale per lei sarà un ciclo tragicamente infinito di amore e odio. Almeno un quarto di questa volta avranno amore reciproco.

Per arrivare a questa conclusione, ho ipotizzato che il comportamento di Romeo potesse essere modellato con un'equazione differenziale,

che descrive come il suo amore ® cambia nel momento successivo (dt). Secondo questa equazione, il numero di cambiamenti (dR) è direttamente proporzionale (con un fattore di proporzionalità a) all'amore di Giulietta (J). Questa relazione riflette ciò che già sappiamo: l'amore di Romeo aumenta quando Giulietta lo ama, ma suggerisce anche che l'amore di Romeo cresce in proporzione diretta a quanto Giulietta lo ama. Questa ipotesi di una relazione lineare è emotivamente poco plausibile, ma consente di semplificare notevolmente la soluzione dell'equazione.

Al contrario, il comportamento di Giulietta può essere modellato usando l'equazione

Il segno negativo prima della costante b riflette che il suo amore si raffredda mentre l'amore di Romeo si intensifica.

L'unica cosa rimasta da determinare sono i loro sentimenti iniziali (cioè i valori di R e J al tempo t = 0). Successivamente, verranno impostati tutti i parametri necessari. Possiamo usare un computer per andare avanti lentamente, passo dopo passo, modificando i valori di R e J secondo le equazioni differenziali sopra descritte. Infatti, con l'aiuto del teorema fondamentale del calcolo integrale, possiamo trovare la soluzione analiticamente. Poiché il modello è semplice, il calcolo integrale produce un paio di formule esaurienti che ci dicono quanto Romeo e Giulietta si ameranno (o odieranno) l'un l'altro in un dato momento in futuro.

Le equazioni differenziali presentate sopra dovrebbero essere familiari agli studenti di fisica: Romeo e Giulietta si comportano come semplici oscillatori armonici. Pertanto, il modello prevede che le funzioni R (t) e J (t), che descrivono il cambiamento nella loro relazione nel tempo, saranno sinusoidi, ciascuna crescente e decrescente, ma i loro valori massimi non coincidono.

"Idea stupida da descrivere relazione amorosa con l'aiuto delle equazioni differenziali mi è venuto in mente quando mi sono innamorato per la prima volta e ho cercato di capire il comportamento incomprensibile della mia ragazza "

Il modello può essere reso più realistico in molti modi. Ad esempio, Romeo può rispondere non solo ai sentimenti di Giulietta, ma anche ai propri. E se fosse uno di quei ragazzi che ha così paura di essere abbandonato da raffreddare i suoi sentimenti. O si riferisce a un altro tipo di ragazzi che amano soffrire - ecco perché la ama.

Aggiungi a questi scenari altri due comportamenti di Romeo - risponde all'affetto di Giulietta o rafforzando o indebolendo il proprio affetto - e vedrai che in una relazione amorosa ce ne sono quattro stile diverso comportamento. I miei studenti e gli studenti del gruppo di Peter Christopher al Worcester Polytechnic Institute hanno suggerito di nominare questi tipi come segue: l'Eremita o Misantropo malvagio per Romeo che raffredda i suoi sentimenti e si ritira da Giulietta, e il Matto narcisista e Fink civettuolo per colui che si scalda suo ardore, ma rifiutato da Giulietta. (Puoi inventare nomi appropriati per tutti questi tipi).

Sebbene gli esempi forniti siano fantastici, i tipi di equazioni che li descrivono sono molto istruttivi. Sono gli strumenti più potenti mai creati dall'umanità per la comprensione mondo materiale. Sir Isaac Newton utilizzò le equazioni differenziali per scoprire i segreti del moto planetario. Con l'aiuto di queste equazioni, ha combinato il terrestre e sfere celesti, dimostrando che le stesse leggi del moto si applicano ad entrambi.

Quasi 350 anni dopo Newton, l'umanità arrivò a comprendere che le leggi della fisica sono sempre espresse nel linguaggio delle equazioni differenziali. Questo vale per le equazioni che descrivono i flussi di calore, aria e acqua, per le leggi dell'elettricità e del magnetismo, anche per l'atomo, dove regna la meccanica quantistica.

In tutti i casi, la fisica teorica deve trovare le equazioni differenziali corrette e risolverle. Quando Newton scoprì questa chiave dei misteri dell'universo e ne comprese il grande significato, la pubblicò come anagramma latino. In una traduzione libera, suona così: "È utile risolvere equazioni differenziali".

L'idea stupida di descrivere le relazioni amorose usando le equazioni differenziali mi è venuta in mente quando mi sono innamorato per la prima volta e cercavo di capire il comportamento incomprensibile della mia ragazza. Era una storia d'amore estiva alla fine del mio secondo anno al college. Ricordavo molto allora il primo Romeo, e lei fu la prima Giulietta. La ciclicità del nostro rapporto mi ha fatto impazzire fino a quando ho capito che entrambi agivamo per inerzia, in accordo con semplice regola"push-pull". Ma alla fine dell'estate, la mia equazione ha cominciato a sgretolarsi ed ero ancora più perplesso. Si è scoperto che è successo un evento importante, di cui non ho tenuto conto: lei ex amante voleva restituirlo.

In matematica, chiamiamo tale problema il problema dei tre corpi. È ovviamente irrisolvibile, soprattutto nel contesto dell'astronomia, dove è sorto per la prima volta. Dopo che Newton ha risolto le equazioni differenziali per il problema dei due corpi (il che spiega perché i pianeti si muovono in orbite ellittiche attorno al Sole), ha rivolto la sua attenzione al problema dei tre corpi per il Sole, la Terra e la Luna. Né lui né altri scienziati sono stati in grado di risolverlo. Successivamente si è scoperto che il problema dei tre corpi contiene i semi del caos, ovvero, a lungo termine, il loro comportamento è imprevedibile.

Newton non sapeva nulla della dinamica del caos, ma, secondo il suo amico Edmund Halley, si lamentava che il problema dei tre corpi causava male alla testa e lo tiene sveglio così spesso che non ci penserà più.

Eccomi qui con voi, Sir Isaac.

Questo libro è in grado di cambiare radicalmente il tuo atteggiamento nei confronti della matematica. Si compone di brevi capitoli, in ognuno dei quali scoprirai qualcosa di nuovo. Imparerai quanto sono utili i numeri per studiare il mondo che ti circonda, comprendere la bellezza della geometria, conoscere l'eleganza del calcolo integrale, vedere l'importanza della statistica ed entrare in contatto con l'infinito. L'autore spiega le idee matematiche fondamentali in modo semplice ed elegante, fornendo esempi brillanti che tutti possono capire.

• Nome: Il piacere di X. Un emozionante viaggio nel mondo della matematica da uno dei migliori insegnanti del mondo
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Il piacere di X. Un emozionante viaggio nel mondo della matematica da uno dei migliori insegnanti del mondo
Stefano Strogatz

Questo libro è in grado di cambiare radicalmente il tuo atteggiamento nei confronti della matematica. Si compone di brevi capitoli, in ognuno dei quali scoprirai qualcosa di nuovo. Imparerai quanto sono utili i numeri per studiare il mondo che ti circonda, comprendere la bellezza della geometria, conoscere l'eleganza del calcolo integrale, vedere l'importanza della statistica ed entrare in contatto con l'infinito. L'autore spiega le idee matematiche fondamentali in modo semplice ed elegante, fornendo esempi brillanti che tutti possono capire.

Pubblicato in russo per la prima volta.

Stefano Strogatz

Il piacere di X. Un emozionante viaggio nel mondo della matematica da uno dei migliori insegnanti del mondo

Steven Strogatz

Una visita guidata della matematica, dall'uno all'infinito

Pubblicato con il permesso di Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

© Steven Strogatz, 2012 Tutti i diritti riservati

© Traduzione in russo, edizione in russo, design. LLC "Mann, Ivanov e Ferber", 2014

Tutti i diritti riservati. Nessuna parte della versione elettronica di questo libro può essere riprodotta in qualsiasi forma o con qualsiasi mezzo, inclusa la pubblicazione su Internet o in una società...

Nel 2010, Stephen Strogatz ha scritto una serie di articoli sui fondamenti della matematica per il New York Times. Gli articoli hanno suscitato scalpore. Ogni colonna è diventata l'articolo più popolare del giornale e ha raccolto centinaia di commenti. I lettori hanno chiesto di più e Stephen non ha deluso: è apparso questo libro, che includeva sia parti già pubblicate che capitoli completamente nuovi.

La matematica permea tutto in questo mondo, compresi noi stessi, ma, sfortunatamente, poche persone capiscono abbastanza bene questo linguaggio universale da apprezzarne la saggezza e la bellezza. Steven Strogatz è l'insegnante di matematica che sognavi al liceo. Un insegnante che è in grado di accendere una scintilla di interesse e instillare un amore per tutta la vita per la sua materia. In questo libro incredibilmente facile e divertente, offre a tutti noi una seconda possibilità di conoscere la matematica. In ogni breve capitolo scopri qualcosa di nuovo, dal motivo per cui i numeri sono assolutamente necessari, ad argomenti come la geometria, il calcolo integrale, la statistica e l'infinito. L'autore spiega grandi idee matematiche in modo semplice ed elegante, fornendo esempi brillanti che tutti possono capire. Questo libro è per tutti. Coloro che non hanno familiarità con la matematica la conosceranno da vicino e coloro che amano la matematica leggeranno con piacere della "regina delle scienze".

Prefazione

Ho un amico che, nonostante il suo mestiere (è un artista), è appassionato di scienza. Ogni volta che ci incontriamo, ne parla con entusiasmo recenti conquiste in psicologia o meccanica quantistica. Ma appena si parla di matematica, sente un tremito alle ginocchia, che lo sconvolge molto. Si lamenta che questi strani simboli matematici non solo lo sfidano, ma a volte non sa nemmeno come pronunciarli.

In effetti, la ragione della sua antipatia per la matematica è molto più profonda. Non capirà mai cosa fanno generalmente i matematici e cosa intendono quando dicono che questa dimostrazione è elegante. A volte scherziamo sul fatto che dovrei semplicemente sedermi e iniziare a insegnargli dalle basi, letteralmente da 1 + 1 = 2, e approfondire la matematica il più possibile.

E anche se questa idea sembra folle, è ciò che cercherò di implementare in questo libro. Ti guiderò attraverso tutti i principali rami della scienza, dall'aritmetica a matematica superiore in modo che chi desiderava una seconda possibilità potesse finalmente approfittarne. E questa volta non devi sederti alla scrivania. Questo libro non farà di te un esperto di matematica. Ma aiuterà a capire cosa studia questa disciplina e perché è così eccitante per chi la comprende.

Impareremo come le schiacciate di Michael Jordan possono aiutare a spiegare le basi del calcolo. Ti mostrerò un modo semplice e sorprendente per comprendere il teorema fondamentale della geometria euclidea: il teorema di Pitagora. Cercheremo di andare a fondo di alcuni dei misteri della vita, grandi e piccoli: Jay Simpson ha ucciso sua moglie; come spostare il materasso in modo che duri il più a lungo possibile; quanti partner devono essere cambiati prima che si tenga un matrimonio - e vedremo perché alcuni infiniti sono più grandi di altri.

La matematica è ovunque, devi solo imparare a riconoscerla. Puoi vedere la sinusoide sul dorso di una zebra, puoi sentire gli echi dei teoremi di Euclide nella Dichiarazione di Indipendenza; che dire, anche nei rapporti asciutti che hanno preceduto la prima guerra mondiale, ci sono numeri negativi. Puoi anche vedere come le nuove aree della matematica influiscano sulla nostra vita oggi, ad esempio, quando cerchiamo ristoranti usando un computer o cerchiamo almeno di capire, o meglio ancora, sopravvivere alle spaventose fluttuazioni del mercato azionario.

— Leggi online il libro Il piacere di X di Stephen Strogatz —

Una serie di 15 articoli sotto nome comune Fondamenti di matematica è apparso online alla fine di gennaio 2010. In risposta alla loro pubblicazione, lettere e commenti sono arrivati ​​da lettori di tutte le età, tra cui molti studenti e insegnanti. C'erano anche persone semplicemente curiose che, per un motivo o per l'altro, "persero la strada" nella comprensione della scienza matematica; ora sentono di aver perso qualcosa di utile e vorrebbero riprovare. Sono stato particolarmente contento della gratitudine dei miei genitori per il fatto che con il mio aiuto sono stati in grado di spiegare la matematica ai loro figli e loro stessi hanno iniziato a capirla meglio. Sembrava che anche i miei colleghi e compagni, ardenti ammiratori di questa scienza, si divertissero a leggere gli articoli, tranne quei momenti in cui gareggiavano tra loro per offrire ogni tipo di consiglio per migliorare la mia progenie.

Nonostante la credenza popolare, c'è un chiaro interesse per la matematica nella società, sebbene si presti poca attenzione a questo fenomeno. Si sente solo parlare della paura della matematica, eppure molti cercherebbero volentieri di capirla meglio. E una volta che ciò accadrà, sarà difficile strapparli.

Questo libro ti introdurrà alle idee più complesse e avanzate del mondo della matematica. I capitoli sono brevi, facili da leggere e non dipendono molto l'uno dall'altro. Tra questi ci sono quelli inclusi in quella prima serie di articoli sul New York Times. Quindi, non appena senti una leggera fame di matematica, non esitare ad affrontare il prossimo capitolo. Se vuoi capire più in dettaglio la questione che ti interessa, alla fine del libro ci sono delle note con Informazioni aggiuntive e suggerimenti su cos'altro leggere a riguardo.

Il piacere di X - Steven Strogatz (download)

(versione introduttiva)

E infine, ti offriamo la possibilità di guardare un video interessante

Questo libro è ben completato da:

quanti

Scott Patterson

Cervello

Ken Jennings

palla di soldi

Michele Lewis

Mente flessibile

Carol Dweck

La fisica del mercato azionario

James Weatherall

La gioia di X

Una visita guidata della matematica, dall'uno all'infinito

Stefano Strogatz

piacere da X

Un emozionante viaggio nel mondo della matematica da uno dei migliori insegnanti del mondo

Informazioni dall'editore

Pubblicato in russo per la prima volta

Pubblicato con il permesso di Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogat, P.

piacere da X. Un emozionante viaggio nel mondo della matematica da uno dei migliori insegnanti del mondo / Stephen Strogatz; per. dall'inglese. - M.: Mann, Ivanov e Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Questo libro è in grado di cambiare radicalmente il tuo atteggiamento nei confronti della matematica. Si compone di brevi capitoli, in ognuno dei quali scoprirai qualcosa di nuovo. Imparerai quanto sono utili i numeri per studiare il mondo che ti circonda, comprendere la bellezza della geometria, conoscere l'eleganza del calcolo integrale, vedere l'importanza della statistica ed entrare in contatto con l'infinito. L'autore spiega le idee matematiche fondamentali in modo semplice ed elegante, fornendo esempi brillanti che tutti possono capire.

Tutti i diritti riservati.

Nessuna parte di questo libro può essere riprodotta in qualsiasi forma senza il permesso scritto dei detentori dei diritti d'autore.

Il supporto legale della casa editrice è fornito da studio legale"Vegas Lex"

© Steven Strogatz, 2012 Tutti i diritti riservati

© Traduzione in russo, edizione in russo, design. LLC "Mann, Ivanov e Ferber", 2014

Prefazione

Ho un amico che, nonostante il suo mestiere (è un artista), è appassionato di scienza. Ogni volta che ci incontriamo, parla con entusiasmo degli ultimi sviluppi della psicologia o della meccanica quantistica. Ma appena si parla di matematica, sente un tremito alle ginocchia, che lo turba molto. Si lamenta che questi strani simboli matematici non solo lo sfidano, ma a volte non sa nemmeno come pronunciarli.

In effetti, la ragione della sua antipatia per la matematica è molto più profonda. Non capirà mai cosa fanno generalmente i matematici e cosa intendono quando dicono che questa dimostrazione è elegante. A volte scherziamo sul fatto che dovrei semplicemente sedermi e iniziare a insegnargli dalle basi, letteralmente da 1 + 1 = 2, e approfondire la matematica il più possibile.

E anche se questa idea sembra folle, è ciò che cercherò di implementare in questo libro. Ti guiderò attraverso tutti i principali rami della scienza, dall'aritmetica alla matematica avanzata, in modo che chi desidera una seconda possibilità possa finalmente coglierla. E questa volta non devi sederti alla scrivania. Questo libro non farà di te un esperto di matematica. Ma aiuterà a capire cosa studia questa disciplina e perché è così eccitante per chi la comprende.

Impareremo come le schiacciate di Michael Jordan possono aiutare a spiegare le basi del calcolo. Ti mostrerò un modo semplice e sorprendente per comprendere il teorema fondamentale della geometria euclidea: il teorema di Pitagora. Cercheremo di andare a fondo di alcuni dei misteri della vita, grandi e piccoli: Jay Simpson ha ucciso sua moglie; come spostare il materasso in modo che duri il più a lungo possibile; quanti partner devono essere cambiati prima che si tenga un matrimonio - e vedremo perché alcuni infiniti sono più grandi di altri.

La matematica è ovunque, devi solo imparare a riconoscerla. Puoi vedere la sinusoide sul dorso di una zebra, puoi sentire gli echi dei teoremi di Euclide nella Dichiarazione di Indipendenza; che dire, anche nei rapporti asciutti che hanno preceduto la prima guerra mondiale, ci sono numeri negativi. Puoi anche vedere come le nuove aree della matematica influiscano sulla nostra vita oggi, ad esempio, quando cerchiamo ristoranti usando un computer o cerchiamo almeno di capire, o meglio ancora, sopravvivere alle spaventose fluttuazioni del mercato azionario.

Una serie di 15 articoli dal titolo generale "Fondamenti di matematica" è apparsa online alla fine di gennaio 2010. In risposta alla loro pubblicazione, lettere e commenti sono arrivati ​​da lettori di tutte le età, tra cui molti studenti e insegnanti. C'erano anche persone semplicemente curiose che, per un motivo o per l'altro, "persero la strada" nella comprensione della scienza matematica; ora si sentono come se si fossero persi qualcosa. di e vorrei riprovare. Sono stato particolarmente contento della gratitudine dei miei genitori per il fatto che con il mio aiuto sono stati in grado di spiegare la matematica ai loro figli e loro stessi hanno iniziato a capirla meglio. Sembrava che anche i miei colleghi e compagni, ardenti ammiratori di questa scienza, si divertissero a leggere gli articoli, tranne quei momenti in cui gareggiavano tra loro per offrire ogni tipo di consiglio per migliorare la mia progenie.

Nonostante la credenza popolare, c'è un chiaro interesse per la matematica nella società, sebbene si presti poca attenzione a questo fenomeno. Si sente solo parlare della paura della matematica, eppure molti cercherebbero volentieri di capirla meglio. E una volta che ciò accadrà, sarà difficile strapparli.

Questo libro ti introdurrà alle idee più complesse e avanzate del mondo della matematica. I capitoli sono brevi, facili da leggere e non dipendono molto l'uno dall'altro. Tra questi ci sono quelli inclusi in quella prima serie di articoli sul New York Times. Quindi, non appena senti una leggera fame di matematica, non esitare ad affrontare il prossimo capitolo. Se vuoi capire il problema che ti interessa in modo più dettagliato, alla fine del libro ci sono note con informazioni aggiuntive e consigli su cos'altro puoi leggere al riguardo.

Per comodità dei lettori che preferiscono un approccio graduale, ho diviso il materiale in sei parti secondo l'ordine tradizionale degli argomenti.

La parte I "Numeri" inizia il nostro viaggio con l'aritmetica scuola materna e scuola elementare. Mostra quanto possono essere utili i numeri e quanto magicamente efficaci sono nel descrivere il mondo che ci circonda.

La parte II "Ratios" sposta l'attenzione dai numeri stessi alle relazioni tra di loro. Queste idee sono al centro dell'algebra e sono i primi strumenti per descrivere come l'uno influenza l'altro, mostrando la relazione causale di una varietà di cose: domanda e offerta, stimolo e reazione - in breve, tutti i tipi di relazioni che fanno il mondo così vario e ricco. .

La parte III "Figure" non riguarda i numeri e i simboli, ma le figure e lo spazio, il dominio della geometria e della trigonometria. Questi argomenti, insieme alla descrizione di tutti gli oggetti osservabili attraverso le forme, con l'aiuto del ragionamento logico e della dimostrazione, elevano la matematica a nuovo livello precisione.

Nella parte IV "Il tempo del cambiamento" esamineremo il calcolo, l'area più impressionante e sfaccettata della matematica. Il calcolo consente di prevedere la traiettoria dei pianeti, i cicli delle maree e consente di comprendere e descrivere tutti i processi e i fenomeni che cambiano periodicamente nell'Universo e dentro di noi. Un posto importante in questa parte è dedicato allo studio dell'infinito, la cui pacificazione è stata una svolta che ha permesso il funzionamento dei calcoli. L'informatica ha aiutato a risolvere molti problemi sorti nel mondo antico, e questo alla fine ha portato a una rivoluzione nella scienza e nel mondo moderno.

La parte V "Molte facce dei dati" si occupa di probabilità, statistica, reti ed elaborazione dei dati: questi sono campi ancora relativamente giovani, generati dagli aspetti non sempre ordinati della nostra vita, come opportunità e fortuna, incertezza, rischio, volatilità, casualità , interdipendenza. Usando i giusti strumenti matematici e i giusti tipi di dati, impareremo come individuare i modelli in un flusso di casualità.

Al termine del nostro percorso, nella parte VI "I limiti del possibile", ci avvicineremo ai limiti della conoscenza matematica, l'area di confine tra ciò che è già noto e ciò che è ancora sfuggente e non conosciuto. Analizzeremo nuovamente gli argomenti nell'ordine che già conosciamo: numeri, rapporti, forme, cambiamenti e infinito - ma allo stesso tempo considereremo ciascuno di essi in modo più approfondito, nella sua moderna incarnazione.