Gradi significa un triangolo acuto. Tipi di triangoli: ad angolo retto, ad angolo acuto, ad angolo ottuso

Di norma due triangoli si considerano simili se hanno la stessa forma, anche se di dimensioni diverse, ruotati o addirittura capovolti.

La rappresentazione matematica di due triangoli simili A 1 B 1 C 1 e A 2 B 2 C 2 mostrata in figura è scritta come segue:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Due triangoli sono simili se:

1. Ogni angolo di un triangolo è uguale all'angolo corrispondente di un altro triangolo:
∠LA 1 = ∠LA 2 , ∠B 1 = ∠B 2 e ∠C1 = ∠C2

2. I rapporti tra i lati di un triangolo e i lati corrispondenti di un altro triangolo sono uguali tra loro:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Relazioni due lati di un triangolo ai lati corrispondenti di un altro triangolo sono uguali tra loro e allo stesso tempo
gli angoli tra questi lati sono uguali:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ e $\angolo A_1 = \angolo A_2$
o
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ e $\angolo B_1 = \angolo B_2$
o
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ e $\angolo C_1 = \angolo C_2$

Triangoli simili non devono essere confusi con triangoli uguali. I triangoli congruenti hanno lunghezze laterali corrispondenti. Quindi per triangoli uguali:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Ne consegue che tutti i triangoli uguali sono simili. Tuttavia, non tutti i triangoli simili sono uguali.

Sebbene la notazione di cui sopra mostri che per scoprire se due triangoli sono simili o meno, dobbiamo conoscere i valori dei tre angoli o le lunghezze dei tre lati di ciascun triangolo, per risolvere problemi con triangoli simili, è è sufficiente conoscere tre valori qualsiasi di quelli sopra per ogni triangolo. Questi valori possono essere in varie combinazioni:

1) tre angoli di ciascun triangolo (non è necessario conoscere le lunghezze dei lati dei triangoli).

Oppure almeno 2 angoli di un triangolo devono essere uguali a 2 angoli di un altro triangolo.
Poiché se 2 angoli sono uguali, anche il terzo angolo sarà uguale (il valore del terzo angolo è 180 - angolo1 - angolo2)

2) le lunghezze dei lati di ciascun triangolo (non è necessario conoscere gli angoli);

3) le lunghezze dei due lati e l'angolo tra loro.

Successivamente, consideriamo la soluzione di alcuni problemi con triangoli simili. In primo luogo, esamineremo i problemi che possono essere risolti utilizzando direttamente le regole di cui sopra, quindi discuteremo alcuni problemi pratici che possono essere risolti utilizzando il metodo dei triangoli simili.

Problemi pratici con triangoli simili

Esempio 1: Mostra che i due triangoli nella figura seguente sono simili.

Soluzione:
Poiché sono note le lunghezze dei lati di entrambi i triangoli, la seconda regola può essere applicata qui:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Esempio n. 2: Mostra che due triangoli dati sono simili e trova le lunghezze dei lati PQ e PR.

Soluzione:
∠A = ∠P e ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(perché ∠C = 180 - ∠A - ∠B e ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Ne consegue che i triangoli ∆ABC e ∆PQR sono simili. Di conseguenza:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ e
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Esempio n. 3: Determina la lunghezza AB in questo triangolo.

Soluzione:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED e ∠A comune => triangoli ΔABC e ΔADE sono simili.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Freccia destra 2\volte AB = AB + 4 \Freccia destra AB = 4$

Esempio n. 4: Determina la lunghezza AD(x) figura geometrica nella figura.

I triangoli ∆ABC e ∆CDE sono simili perché AB || DE e hanno un punto in comune angolo superiore C.
Vediamo che un triangolo è una versione in scala dell'altro. Tuttavia, dobbiamo dimostrarlo matematicamente.

AB || DE, CD || AC e BC || Unione Europea
∠BAC = ∠EDC e ∠ABC = ∠DEC

Sulla base di quanto precede e tenendo conto della presenza di un angolo comune C, possiamo affermare che i triangoli ∆ABC e ∆CDE sono simili.

Di conseguenza:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = $ 23,57
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Esempi pratici

Esempio n. 5: Lo stabilimento utilizza un nastro trasportatore inclinato per trasportare i prodotti dal livello 1 al livello 2, che si trova a 3 metri sopra il livello 1, come mostrato in figura. Il trasportatore inclinato è servito da un'estremità al livello 1 e dall'altra estremità a una postazione di lavoro situata a una distanza di 8 metri dal punto operativo del livello 1.

La fabbrica vuole aggiornare il trasportatore per accedere al nuovo livello, che si trova a 9 metri sopra il livello 1, mantenendo l'angolo del trasportatore.

Determinare la distanza alla quale è necessario impostare una nuova stazione di lavoro per garantire che il trasportatore funzioni alla nuova estremità al livello 2. Calcolare anche la distanza aggiuntiva che il prodotto percorrerà quando si sposta a un nuovo livello.

Soluzione:

Per prima cosa, etichettiamo ogni punto di intersezione con una lettera specifica, come mostrato nella figura.

Sulla base del ragionamento esposto sopra negli esempi precedenti, possiamo concludere che i triangoli ∆ABC e ∆ADE sono simili. Di conseguenza,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Freccia destra AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 milioni di dollari
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Pertanto, il nuovo punto deve essere installato a una distanza di 16 metri dal punto esistente.

E poiché la struttura è composta da triangoli rettangoli, possiamo calcolare la distanza percorsa dal prodotto come segue:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Allo stesso modo, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
che è la distanza percorsa dal prodotto questo momento entrando nel livello esistente.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Questa è la distanza extra che un prodotto deve percorrere per raggiungere un nuovo livello.

Esempio n. 6: Steve vuole visitare il suo amico che si è trasferito di recente nuova casa. Nella figura è mostrata la mappa stradale per raggiungere la casa di Steve e del suo amico, insieme alle distanze note a Steve. Aiuta Steve a raggiungere la casa del suo amico nel modo più breve possibile.

Soluzione:

La tabella di marcia può essere rappresentata geometricamente nella forma seguente, come mostrato in figura.

Vediamo che i triangoli ∆ABC e ∆CDE sono simili, quindi:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

La dichiarazione del compito afferma che:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km e DE = 5 km

Utilizzando queste informazioni, possiamo calcolare le seguenti distanze:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$

Steve può raggiungere la casa del suo amico utilizzando i seguenti percorsi:

A -> B -> C -> E -> G, la distanza totale è 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, la distanza totale è 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, la distanza totale è 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, la distanza totale è 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Pertanto, il percorso n. 3 è il più breve e può essere offerto a Steve.

Esempio 7:
Trisha vuole misurare l'altezza della casa, ma non l'ha fatto gli strumenti giusti. Ha notato che un albero stava crescendo davanti alla casa e ha deciso di usare la sua intraprendenza e la conoscenza della geometria ricevuta a scuola per determinare l'altezza dell'edificio. Misurò la distanza dall'albero alla casa, il risultato fu di 30 m, quindi si fermò di fronte all'albero e iniziò a indietreggiare finché il bordo superiore dell'edificio non fu visibile sopra la cima dell'albero. Trisha segnò il punto e misurò la distanza da esso all'albero. Questa distanza era di 5 m.

L'altezza dell'albero è di 2,8 me l'altezza degli occhi di Trisha è di 1,6 m Aiuta Trisha a determinare l'altezza dell'edificio.

Soluzione:

La rappresentazione geometrica del problema è mostrata in figura.

Per prima cosa usiamo la somiglianza dei triangoli ∆ABC e ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Freccia destra 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \volte AC$

$(2.8 - 1.6) \times AC = 8 \Freccia destra AC = \frac(8)(1.2) = 6.67$

Possiamo quindi usare la somiglianza dei triangoli ∆ACB e ∆AFG o ∆ADE e ∆AFG. Scegliamo la prima opzione.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Freccia destra H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 milioni di dollari

Due triangoli si dicono congruenti se possono essere sovrapposti. La figura 1 mostra triangoli uguali ABC e A 1 B 1 C 1. Ciascuno di questi triangoli può essere sovrapposto a un altro in modo che siano completamente compatibili, ovvero i loro vertici e lati siano accoppiati insieme. È chiaro che in questo caso gli angoli di questi triangoli saranno combinati a coppie.

Pertanto, se due triangoli sono uguali, gli elementi (cioè i lati e gli angoli) di un triangolo sono rispettivamente uguali agli elementi dell'altro triangolo. Notare che in triangoli uguali contro lati rispettivamente uguali(ovvero sovrapposti quando sovrapposti) giacciono angoli uguali e ritorno: angoli opposti corrispondentemente uguali giacciono lati uguali.

Quindi, ad esempio, nei triangoli uguali ABC e A 1 B 1 C 1, mostrati in Figura 1, angoli uguali C e C 1 giacciono rispettivamente contro lati uguali AB e A 1 B 1. L'uguaglianza dei triangoli ABC e A 1 B 1 C 1 sarà indicata come segue: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Si scopre che l'uguaglianza di due triangoli può essere stabilita confrontando alcuni dei loro elementi.

Teorema 1. Il primo segno di uguaglianza dei triangoli. Se due lati e l'angolo tra loro di un triangolo sono rispettivamente uguali a due lati e l'angolo tra loro di un altro triangolo, allora tali triangoli sono uguali (Fig. 2).

Prova. Considera i triangoli ABC e A 1 B 1 C 1, in cui AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (vedi Fig. 2). Dimostriamo che Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Poiché ∠ A \u003d ∠ A 1, il triangolo ABC può essere sovrapposto al triangolo A 1 B 1 C 1 in modo che il vertice A sia allineato con il vertice A 1 e che i lati AB e AC siano sovrapposti, rispettivamente, su i raggi A 1 B 1 e A 1 C uno . Poiché AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, il lato AB sarà combinato con il lato A 1 B 1 e il lato AC - con il lato A 1 C 1; in particolare i punti B e B 1 , C e C 1 coincideranno. Pertanto, i lati BC e B 1 C 1 saranno allineati. Quindi, i triangoli ABC e A 1 B 1 C 1 sono completamente compatibili, il che significa che sono uguali.

Il teorema 2 è dimostrato in modo simile dal metodo di sovrapposizione.

Teorema 2. Il secondo segno dell'uguaglianza dei triangoli. Se il lato e due angoli adiacenti ad esso di un triangolo sono rispettivamente uguali al lato e due angoli adiacenti ad esso di un altro triangolo, allora tali triangoli sono uguali (Fig. 34).

Commento. Sulla base del Teorema 2, il Teorema 3 è stabilito.

Teorema 3. La somma di due angoli interni qualsiasi di un triangolo è minore di 180°.

Il teorema 4 segue dall'ultimo teorema.

Teorema 4. L'angolo esterno di un triangolo è maggiore di qualsiasi angolo interno, non adiacente ad esso.

Teorema 5. Il terzo segno dell'uguaglianza dei triangoli. Se tre lati di un triangolo sono rispettivamente uguali a tre lati di un altro triangolo, allora tali triangoli sono uguali ().

Esempio 1 Nei triangoli ABC e DEF (Fig. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Confronta i triangoli ABC e DEF. Quale angolo del triangolo DEF è uguale all'angolo B?

Soluzione. Questi triangoli sono uguali nel primo segno. L'angolo F del triangolo DEF è uguale all'angolo B del triangolo ABC, poiché questi angoli giacciono opposti rispettivamente ai lati uguali DE e AC.

Esempio 2 I segmenti AB e CD (Fig. 5) si intersecano nel punto O, che è il punto medio di ciascuno di essi. A cosa è uguale il segmento BD se il segmento AC è 6 m?

Soluzione. I triangoli AOC e BOD sono uguali (per il primo criterio): ∠ AOC = ∠ BOD (verticale), AO = OB, CO = OD (per condizione).
Dall'uguaglianza di questi triangoli segue l'uguaglianza dei loro lati, cioè AC = BD. Ma poiché, secondo la condizione, AC = 6 m, allora BD = 6 m.

Notazione standard

Triangolo con vertici UN, B e C indicato come (vedi Fig.). Il triangolo ha tre lati:

Le lunghezze dei lati di un triangolo sono indicate in minuscolo con lettere latine(a,b,c):

Il triangolo ha i seguenti angoli:

I valori degli angoli ai vertici corrispondenti sono tradizionalmente indicati Lettere greche (α, β, γ).

Segni di uguaglianza dei triangoli

Un triangolo sul piano euclideo può essere determinato in modo univoco (fino alla congruenza) dalle seguenti terzine di elementi di base:

a, b, γ (uguaglianza su due lati e angolo compreso tra loro);
a, β, γ (uguaglianza di lato e due angoli adiacenti);
a, b, c (uguaglianza su tre lati).

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli:

lungo la gamba e l'ipotenusa;
su due gambe;
lungo la gamba e l'angolo acuto;
ipotenusa e angolo acuto.

Alcuni punti del triangolo sono "accoppiati". Ad esempio, ci sono due punti da cui tutti i lati sono visibili con un angolo di 60° o con un angolo di 120°. Sono chiamati punti Torricelli. Ci sono anche due punti le cui proiezioni sui lati giacciono ai vertici di un triangolo regolare. Questo - punti di Apollonio. Punti e simili sono chiamati Punti Brocard.

Diretto

In ogni triangolo il baricentro, l'ortocentro e il centro della circonferenza circoscritta giacciono sulla stessa retta, detta linea di Eulero.

Si chiama la retta passante per il centro della circonferenza circoscritta e il punto di Lemoine Asse di Brokar. I punti di Apollonio giacciono su di esso. Sulla stessa retta giacciono anche le punte Torricelli e Lemoine. Le basi delle bisettrici esterne degli angoli di un triangolo giacciono sulla stessa retta, chiamata asse delle bisettrici esterne. Sulla stessa linea giacciono anche i punti di intersezione delle rette contenenti i lati dell'ortotriangolo con le rette contenenti i lati del triangolo. Questa linea è chiamata asse ortocentrico, è perpendicolare alla retta di Eulero.

Se prendiamo un punto sulla circonferenza circoscritta di un triangolo, le sue proiezioni sui lati del triangolo giaceranno su una retta, chiamata La linea retta di Simson dato punto. Le linee di Simson di punti diametralmente opposti sono perpendicolari.

triangoli

Si chiama triangolo con i vertici alla base dei ceviani tracciato per un dato punto triangolo ceviano questo punto.
Si dice triangolo con i vertici nelle proiezioni di un dato punto sui lati sotto la pelle o triangolo del pedale questo punto.
Un triangolo con i vertici al secondo punto di intersezione delle linee tracciate per i vertici e un dato punto, con una circonferenza circoscritta, si dice triangolo ceviano. Un triangolo ceviano è simile a uno sottocutaneo.

cerchi

Cerchio inscrittoè una circonferenza tangente a tutti e tre i lati del triangolo. Lei è l'unica. Viene chiamato il centro del cerchio inscritto in centro.
Cerchio circoscritto- un cerchio passante per tutti e tre i vertici del triangolo. Anche il cerchio circoscritto è unico.
Cerchia- un cerchio tangente ad un lato di un triangolo e l'estensione degli altri due lati. Ci sono tre di questi cerchi in un triangolo. Il loro centro radicale è il centro del cerchio inscritto del triangolo mediano, chiamato Il punto di Spieker.

I punti medi dei tre lati di un triangolo, le basi delle sue tre altezze e i punti medi dei tre segmenti di linea che collegano i suoi vertici all'ortocentro giacciono su un unico cerchio chiamato cerchio di nove punti o Circolo di Eulero. Il centro del cerchio di nove punti si trova sulla linea di Eulero. Un cerchio di nove punti tocca un cerchio inscritto e tre cerchi. Viene chiamato il punto di contatto tra una circonferenza inscritta e una circonferenza di nove punti Punto Feuerbach. Se da ogni vertice tracciamo triangoli su linee rette contenenti lati, ortesi uguali in lunghezza ai lati opposti, i sei punti risultanti giacciono su un cerchio - Cerchi di Conway. In ogni triangolo si possono inscrivere tre cerchi in modo tale che ciascuno di essi tocchi due lati del triangolo e altri due cerchi. Tali cerchi sono chiamati Circoli Malfatti. I centri dei cerchi circoscritti dei sei triangoli in cui il triangolo è diviso dalle mediane giacciono su un cerchio, che è chiamato Circolo di Lamun.

Un triangolo ha tre cerchi che toccano due lati del triangolo e il cerchio circoscritto. Tali cerchi sono chiamati semi-iscritto o Cerchi di Verrier. I segmenti che collegano i punti di contatto dei cerchi di Verrier con il cerchio circoscritto si intersecano in un punto, detto Punto Verrier. Serve come centro dell'omoteità, che porta il cerchio circoscritto all'incerchio. I punti tangenti dei cerchi di Verrier con i lati giacciono su una retta che passa per il centro del cerchio inscritto.

I segmenti di linea che collegano i punti tangenti del cerchio inscritto con i vertici si intersecano in un punto, chiamato punto Gergonne, e i segmenti che collegano i vertici con i punti di contatto delle circonferenze - in Punto Nagel.

Ellissi, parabole e iperboli

Conica inscritta (ellisse) e sua prospettiva

Un numero infinito di coniche (ellissi, parabole o iperboli) può essere inscritto in un triangolo. Se inscriviamo una conica arbitraria in un triangolo e colleghiamo i punti di contatto con vertici opposti, le linee risultanti si intersecheranno in un punto, chiamato prospettiva coniche. Per ogni punto del piano che non giace su un lato o sulla sua estensione, esiste una conica inscritta con una prospettiva in questo punto.

Ellisse di Steiner circoscritta e ceviani che passano attraverso i suoi fuochi

Un'ellisse può essere inscritta in un triangolo che tocca i lati nei punti medi. Si chiama tale ellisse Ellisse incisa da Steiner(la sua prospettiva sarà il baricentro del triangolo). Viene chiamata l'ellisse descritta, che è tangente alle rette passanti per vertici paralleli ai lati circoscritto dall'ellisse di Steiner. Se una trasformazione affine ("skew") traduce il triangolo in uno regolare, la sua ellisse di Steiner inscritta e circoscritta andrà in un cerchio inscritto e circoscritto. I Ceviani disegnati attraverso i fuochi dell'ellisse di Steiner descritta (punti di Skutin) sono uguali (teorema di Skutin). Di tutte le ellissi circoscritte, l'ellisse di Steiner circoscritta ha zona più piccola, e di tutte le ellissi incise, l'ellisse inscritta di Steiner ha l'area più ampia.

L'ellisse di Brocard e il suo osservatore - Punto Lemoine

Viene chiamata un'ellisse con fuochi nei punti di Brokar Ellisse di Brocard. La sua prospettiva è il punto Lemoine.

Proprietà di una parabola inscritta

Parabola di Kiepert

Le prospettive delle parabole iscritte giacciono sull'ellisse di Steiner circoscritta. Il fuoco di una parabola inscritta giace sul cerchio circoscritto e la direttrice passa attraverso l'ortocentro. Si chiama una parabola inscritta in un triangolo la cui direttrice è la retta di Eulero La parabola di Kiepert. La sua prospettiva è il quarto punto di intersezione del cerchio circoscritto e dell'ellisse di Steiner circoscritta, detta Punto Steiner.

Iperbole di Cypert

Se l'iperbole descritta passa per il punto di intersezione delle altezze, allora è equilatera (cioè i suoi asintoti sono perpendicolari). Il punto di intersezione degli asintoti di un'iperbole equilatera giace su un cerchio di nove punti.

Trasformazioni

Se le linee che passano per i vertici e alcuni punti non sdraiati sui lati e le loro estensioni vengono riflesse rispetto alle bisettrici corrispondenti, anche le loro immagini si intersecheranno in un punto, che è chiamato coniugato isogonalmente quello originale (se il punto giace sul cerchio circoscritto, le rette risultanti saranno parallele). Molte coppie di punti notevoli sono coniugati isogonalmente: il centro del cerchio circoscritto e l'ortocentro, il baricentro e il punto di Lemoine, i punti di Brocard. I punti di Apollonio sono coniugati isogonalmente ai punti Torricelli e il centro dell'incerchio è coniugato isogonalmente a se stesso. Sotto l'azione della coniugazione isogonale, le rette vanno in coniche circoscritte e le coniche circoscritte in rette. Quindi, l'iperbole di Kiepert e l'asse di Brocard, l'iperbole di Enzhabek e la linea di Eulero, l'iperbole di Feuerbach e la linea dei centri del cerchio inscritto sono coniugate isogonalmente. I cerchi circoscritti dei triangoli subdermici di punti coniugati isogonalmente coincidono. I fuochi delle ellissi incise sono coniugati isogonalmente.

Se, invece di un ceviano simmetrico, prendiamo un ceviano la cui base è tanto lontana dal centro del lato quanto la base di quello originale, anche tali ceviani si intersecheranno in un punto. Viene chiamata la trasformazione risultante coniugazione isotomica. Mappa anche le linee alle coniche circoscritte. I punti Gergonne e Nagel sono coniugati isotomicamente. Sotto trasformazioni affini, i punti coniugati isotomicamente passano in quelli coniugati isotomicamente. Alla coniugazione dell'isotomia, l'ellisse di Steiner descritta passa nella linea retta all'infinito.

Se nei segmenti tagliati dai lati del triangolo dal cerchio circoscritto si inscrivono cerchi che toccano i lati alla base dei cevi tracciati per un certo punto, e quindi i punti di contatto di questi cerchi sono collegati al circoscritto cerchio con vertici opposti, quindi tali linee si intersecheranno in un punto. Viene chiamata la trasformazione del piano, facendo corrispondere il punto originale a quello risultante trasformazione isocircolare. La composizione delle coniugazioni isogonali e isotomiche è la composizione della trasformazione isocircolare con se stessa. Questa composizione è una trasformazione proiettiva che lascia in posizione i lati del triangolo e traduce l'asse delle bisettrici esterne in una linea retta all'infinito.

Se continuiamo i lati del triangolo di Ceviano di un punto e prendiamo i loro punti di intersezione con i lati corrispondenti, i punti di intersezione risultanti giaceranno su una retta, chiamata polare trilineare punto di partenza. Asse ortocentrico - polare trilineare dell'ortocentro; la polare trilineare del centro del cerchio inscritto è l'asse delle bisettrici esterne. Le polari trilineari dei punti giacenti sulla conica circoscritta si intersecano in un punto (per il cerchio circoscritto questo è il punto di Lemoine, per l'ellisse di Steiner circoscritta è il baricentro). La composizione della coniugazione isogonale (o isotomica) e della polare trilineare è una trasformazione di dualità (se il punto coniugato isogonalmente (isotomicamente) al punto giace sulla polare trilineare del punto, allora la polare trilineare del punto isogonalmente (isotomicamente) coniugato al punto giace sulla polare trilineare del punto).

Cubi

Le relazioni in un triangolo

Nota: in questa sezione, , , sono le lunghezze dei tre lati del triangolo, e , , sono gli angoli rispettivamente opposti a questi tre lati (angoli opposti).

disuguaglianza triangolare

In un triangolo non degenerato la somma delle lunghezze dei suoi due lati è maggiore della lunghezza del terzo lato, in un triangolo degenere è uguale. In altre parole, le lunghezze dei lati di un triangolo sono legate dalle seguenti disuguaglianze:

La disuguaglianza triangolare è uno degli assiomi della metrica.

Teorema della somma dei triangoli degli angoli

Teorema seno

dove R è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo. Segue dal teorema che se a< b < c, то α < β < γ.

Teorema del coseno

Teorema della tangente

Altri rapporti

I rapporti metrici in un triangolo sono dati per:

Risolvere i triangoli

Il calcolo dei lati e degli angoli sconosciuti di un triangolo, basato su quelli noti, è stato storicamente chiamato "soluzioni di triangoli". In questo caso vengono utilizzati i teoremi trigonometrici generali di cui sopra.

Area di un triangolo

Casi speciali Notazione

Per l'area valgono le seguenti disuguaglianze:

Calcolare l'area di un triangolo nello spazio usando i vettori

Siano i vertici del triangolo nei punti , , .

Introduciamo il vettore area. La lunghezza di questo vettore è uguale all'area del triangolo ed è diretta lungo la normale al piano del triangolo:

Siano , dove , , sono le proiezioni del triangolo sui piani delle coordinate. in cui

e allo stesso modo

L'area del triangolo è .

Un'alternativa è calcolare le lunghezze dei lati (usando il teorema di Pitagora) e poi usando la formula di Heron.

Teoremi del triangolo

Teorema di Desargues: se due triangoli sono prospettici (le linee che passano per i vertici corrispondenti dei triangoli si intersecano in un punto), i loro rispettivi lati si intersecano su una retta.

Il teorema di Sond: se due triangoli sono prospettici e ortologici (perpendicolari scesi dai vertici di un triangolo ai lati opposti ai vertici corrispondenti del triangolo e viceversa), allora entrambi i centri dell'ortologia (punti di intersezione di queste perpendicolari) e il centro prospettico giacciono su una retta perpendicolare all'asse prospettico (retta dal teorema di Desargues).

Oggi andiamo nel paese della Geometria, dove faremo conoscenza vari tipi triangoli.

Ritenere figure geometriche e trova tra questi gli “extra” (Fig. 1).

Riso. 1. Illustrazione per esempio

Vediamo che le figure n. 1, 2, 3, 5 sono quadrangoli. Ognuno di loro ha il suo nome (Fig. 2).

Riso. 2. Quadrilateri

Ciò significa che la figura "extra" è un triangolo (Fig. 3).

Riso. 3. Illustrazione per esempio

Un triangolo è una figura composta da tre punti che non giacciono sulla stessa linea retta e tre segmenti che collegano questi punti a coppie.

I punti sono chiamati vertici del triangolo, segmenti - suo partiti. I lati del triangolo si formano Ci sono tre angoli ai vertici di un triangolo.

Le caratteristiche principali di un triangolo sono tre lati e tre angoli. I triangoli sono classificati in base all'angolo acuto, rettangolare e ottuso.

Un triangolo si dice ad angolo acuto se tutti e tre i suoi angoli sono acuti, cioè inferiori a 90° (Fig. 4).

Riso. 4. Triangolo acuto

Un triangolo si dice rettangolo se uno dei suoi angoli è 90° (Fig. 5).

Riso. 5. Triangolo rettangolo

Un triangolo si dice ottuso se uno dei suoi angoli è ottuso, cioè maggiore di 90° (Fig. 6).

Riso. 6. Triangolo ottuso

In base al numero di lati uguali, i triangoli sono equilateri, isoscele, scaleni.

Un triangolo isoscele è un triangolo in cui due lati sono uguali (Fig. 7).

Riso. 7. Triangolo isoscele

Questi lati sono chiamati laterale, Terzo lato - base. In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali.

I triangoli isoscele sono acuto e ottuso(Fig. 8) .

Riso. 8. Triangoli isoscele acuti e ottusi

Si chiama triangolo equilatero, in cui tutti e tre i lati sono uguali (Fig. 9).

Riso. 9. Triangolo equilatero

In un triangolo equilatero tutti gli angoli sono uguali. Triangoli equilateri sempre ad angolo acuto.

Un triangolo è chiamato versatile, in cui tutti e tre i lati hanno lunghezze diverse (Fig. 10).

Riso. 10. Triangolo scaleno

Completa il compito. Dividi questi triangoli in tre gruppi (Fig. 11).

Riso. 11. Illustrazione per il compito

Per prima cosa, distribuiamo in base alla dimensione degli angoli.

Triangoli acuti: n. 1, n. 3.

Triangoli rettangoli: #2, #6.

Triangoli ottusi: #4, #5.

Questi triangoli sono divisi in gruppi in base al numero di lati uguali.

Triangoli scaleni: n. 4, n. 6.

Triangoli isoscele: n. 2, n. 3, n. 5.

Triangolo equilatero: n. 1.

Rivedere i disegni.

Pensa a quale pezzo di filo è fatto ogni triangolo (fig. 12).

Riso. 12. Illustrazione per il compito

Puoi discutere in questo modo.

Il primo pezzo di filo è diviso in tre parti uguali, quindi puoi ricavarne un triangolo equilatero. È mostrato terzo nella figura.

Il secondo pezzo di filo è diviso in tre parti diverse, quindi puoi ricavarne un triangolo scaleno. Viene mostrato per primo nell'immagine.

Il terzo pezzo di filo è diviso in tre parti, dove le due parti hanno la stessa lunghezza, quindi puoi ricavarne un triangolo isoscele. È mostrato secondo nella figura.

Oggi nella lezione abbiamo conosciuto diversi tipi di triangoli.

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Compiti a casa

1. Termina le frasi.

a) Un triangolo è una figura che consiste di ..., non giacente sulla stessa retta, e ..., che collega questi punti a coppie.

b) I punti vengono chiamati … , segmenti - suo … . I lati di un triangolo si formano ai vertici di un triangolo ….

c) A seconda della dimensione dell'angolo, i triangoli sono ..., ..., ....

d) In base al numero di lati uguali, i triangoli sono ..., ..., ....

2. Disegna

a) un triangolo rettangolo

b) un triangolo acuto;

c) un triangolo ottuso;

d) un triangolo equilatero;

e) triangolo scaleno;

e) un triangolo isoscele.

3. Fai un compito sull'argomento della lezione per i tuoi compagni.

La scienza della geometria ci dice cos'è un triangolo, un quadrato, un cubo. IN mondo modernoè studiato nelle scuole da tutti senza eccezioni. Inoltre, una scienza che studia direttamente cos'è un triangolo e quali proprietà ha è la trigonometria. Esplora in dettaglio tutti i fenomeni associati ai dati. Parleremo di cos'è un triangolo oggi nel nostro articolo. I loro tipi saranno descritti di seguito, così come alcuni teoremi ad essi correlati.

Cos'è un triangolo? Definizione

Questo è un poligono piatto. Ha tre angoli, che è chiaro dal suo nome. Ha anche tre lati e tre vertici, il primo dei quali sono segmenti, il secondo sono punti. Sapendo a cosa sono uguali due angoli, puoi trovare il terzo sottraendo la somma dei primi due dal numero 180.

Cosa sono i triangoli?

Possono essere classificati secondo vari criteri.

Prima di tutto, sono divisi in ad angolo acuto, ad angolo ottuso e rettangolare. I primi hanno angoli acuti, cioè quelli inferiori a 90 gradi. Negli angoli ottusi uno degli angoli è ottuso, cioè uno uguale a più di 90 gradi, gli altri due sono acuti. I triangoli acuti includono anche i triangoli equilateri. Tali triangoli hanno tutti i lati e gli angoli uguali. Sono tutti uguali a 60 gradi, questo può essere facilmente calcolato dividendo la somma di tutti gli angoli (180) per tre.

Triangolo rettangolo

È impossibile non parlare di cosa sia un triangolo rettangolo.

Tale figura ha un angolo pari a 90 gradi (diritto), cioè due dei suoi lati sono perpendicolari. Gli altri due angoli sono acuti. Possono essere uguali, quindi sarà isoscele. Il teorema di Pitagora è correlato al triangolo rettangolo. Con il suo aiuto, puoi trovare il terzo lato, conoscendo i primi due. Secondo questo teorema, se sommi il quadrato di una gamba al quadrato dell'altra, ottieni il quadrato dell'ipotenusa. Il quadrato della gamba può essere calcolato sottraendo il quadrato della gamba nota dal quadrato dell'ipotenusa. Parlando di cosa sia un triangolo, possiamo ricordare gli isoscele. Questo è uno in cui due dei lati sono uguali e anche due degli angoli sono uguali.

Cos'è la gamba e l'ipotenusa?

La gamba è uno dei lati di un triangolo che forma un angolo di 90 gradi. L'ipotenusa è il restante lato opposto angolo retto. Da esso, una perpendicolare può essere abbassata sulla gamba. Il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa è chiamato coseno e l'opposto è chiamato seno.

- quali sono le sue caratteristiche?

È rettangolare. Le sue gambe sono tre e quattro e l'ipotenusa è cinque. Se hai visto che le gambe di questo triangolo sono uguali a tre e quattro, puoi star certo che l'ipotenusa sarà uguale a cinque. Inoltre, secondo questo principio, si può facilmente determinare che la gamba sarà uguale a tre se la seconda è uguale a quattro, e l'ipotenusa è cinque. Per dimostrare questa affermazione, puoi applicare il teorema di Pitagora. Se due gambe sono 3 e 4, allora 9 + 16 \u003d 25, la radice di 25 è 5, cioè l'ipotenusa è 5. Inoltre, un triangolo egiziano è chiamato triangolo rettangolo, i cui lati sono 6, 8 e 10 ; 9, 12 e 15 e altri numeri con un rapporto di 3:4:5.

Cos'altro potrebbe essere un triangolo?

I triangoli possono anche essere inscritti e circoscritti. La figura attorno alla quale è descritto il cerchio si chiama inscritta, tutti i suoi vertici sono punti che giacciono sul cerchio. Un triangolo circoscritto è quello in cui è inscritto un cerchio. Tutti i suoi lati sono in contatto con esso in determinati punti.

Com'è

Viene misurata l'area di qualsiasi figura unità quadrate(metri quadrati, millimetri quadrati, centimetri quadrati, decimetri quadrati, ecc.) Questo valore può essere calcolato in vari modi, a seconda del tipo di triangolo. L'area di qualsiasi figura con angoli può essere trovata moltiplicando il suo lato per la perpendicolare caduta su di essa da angolo opposto, e dividendo questa cifra per due. Puoi anche trovare questo valore moltiplicando i due lati. Quindi moltiplica questo numero per il seno dell'angolo tra questi lati e dividilo per due. Conoscendo tutti i lati di un triangolo, ma non conoscendo i suoi angoli, puoi trovare l'area in un altro modo. Per fare ciò, devi trovare metà del perimetro. Quindi sottrarre alternativamente lati diversi da questo numero e moltiplicare i quattro valori ottenuti. Quindi, scopri il numero che è uscito. L'area di un triangolo inscritto si trova moltiplicando tutti i lati e dividendo il numero risultante per il quale è circoscritto ad esso per quattro.

L'area del triangolo descritto si trova in questo modo: moltiplichiamo metà del perimetro per il raggio del cerchio che vi è inscritto. Se quindi la sua area può essere trovata come segue: quadramo il lato, moltiplichiamo la cifra risultante per la radice di tre, quindi dividiamo questo numero per quattro. Allo stesso modo, puoi calcolare l'altezza di un triangolo in cui tutti i lati sono uguali, per questo devi moltiplicarne uno per la radice di tre, quindi dividere questo numero per due.

Teoremi del triangolo

I principali teoremi associati a questa figura sono il teorema di Pitagora, descritto sopra, e i coseni. Il secondo (seno) è che se dividi un lato per il seno dell'angolo opposto ad esso, puoi ottenere il raggio del cerchio descritto attorno ad esso, moltiplicato per due. Il terzo (coseno) è che se al loro prodotto si sottrae la somma dei quadrati dei due lati, moltiplicata per due e il coseno dell'angolo che si trova tra loro, si otterrà il quadrato del terzo lato.

Triangolo di Dali - che cos'è?

Molti, di fronte a questo concetto, in un primo momento pensano che questa sia una sorta di definizione in geometria, ma non è affatto così. Il triangolo di Dalì è nome comune tre luoghi strettamente legati alla vita del celebre artista. Le sue "cime" sono la casa dove visse Salvador Dalì, il castello che diede a sua moglie e il museo dei dipinti surrealisti. Durante il tour di questi luoghi puoi imparare molto. fatti interessanti di questo singolare artista creativo conosciuto in tutto il mondo.