Kita mulai dengan kasus paling sederhana, yang disebut tekukan murni.

Tekuk murni adalah kasus khusus dari tekukan, di mana gaya transversal pada penampang balok adalah nol. Pembengkokan murni hanya dapat terjadi bila berat sendiri balok sangat kecil sehingga pengaruhnya dapat diabaikan. Untuk balok pada dua tumpuan, contoh beban yang menyebabkan net

tikungan, ditunjukkan pada Gambar. 88. Pada bagian balok ini, di mana Q \u003d 0 dan, oleh karena itu, M \u003d const; ada tikungan murni.

Gaya-gaya di setiap bagian balok dengan tekukan murni direduksi menjadi sepasang gaya, yang bidang kerjanya melewati sumbu balok, dan momennya konstan.

Tegangan dapat ditentukan berdasarkan pertimbangan berikut.

1. Komponen tangensial gaya-gaya pada bidang dasar pada penampang balok tidak dapat direduksi menjadi sepasang gaya, yang bidang kerjanya tegak lurus terhadap bidang penampang. Oleh karena itu, gaya lentur pada penampang adalah hasil dari aksi pada bidang dasar

hanya gaya normal, dan oleh karena itu, dengan tekukan murni, tegangan dikurangi hanya menjadi gaya normal.

2. Agar upaya pada platform dasar dikurangi menjadi hanya beberapa kekuatan, harus ada kekuatan positif dan negatif di antara mereka. Oleh karena itu, serat balok yang dikencangkan dan dikompresi harus ada.

3. Karena kenyataan bahwa gaya-gaya pada bagian yang berbeda adalah sama, maka tegangan pada titik-titik yang bersesuaian dari bagian-bagian tersebut adalah sama.

Pertimbangkan elemen apa pun di dekat permukaan (Gbr. 89, a). Karena tidak ada gaya yang diterapkan di sepanjang permukaan bawahnya, yang bertepatan dengan permukaan balok, maka tidak ada tegangan padanya. Oleh karena itu, tidak ada tegangan pada permukaan atas elemen, karena jika tidak, elemen tidak akan berada dalam kesetimbangan Mengingat tinggi elemen yang berdekatan dengannya (Gbr. 89, b), kita sampai pada

Kesimpulan yang sama, dll. Oleh karena itu, tidak ada tegangan di sepanjang permukaan horizontal elemen apa pun. Mempertimbangkan elemen-elemen yang membentuk lapisan horizontal, dimulai dengan elemen di dekat permukaan balok (Gbr. 90), kami sampai pada kesimpulan bahwa tidak ada tegangan di sepanjang permukaan vertikal lateral elemen apa pun. Jadi, keadaan tegangan dari setiap elemen (Gbr. 91, a), dan dalam batas serat, harus direpresentasikan seperti yang ditunjukkan pada Gbr. 91b, yaitu, dapat berupa tegangan aksial atau kompresi aksial.

4. Karena penerapan gaya luar yang simetris, penampang sepanjang bagian tengah panjang balok setelah deformasi harus tetap rata dan normal terhadap sumbu balok (Gbr. 92, a). Untuk alasan yang sama, penampang dalam seperempat panjang balok juga tetap datar dan normal terhadap sumbu balok (Gbr. 92, b), jika hanya bagian ekstrim balok selama deformasi tetap datar dan normal terhadap sumbu balok. Kesimpulan serupa juga berlaku untuk penampang dalam seperdelapan dari panjang balok (Gbr. 92, c), dll. Oleh karena itu, jika penampang ekstrem balok tetap rata selama pembengkokan, maka untuk setiap penampang tetap

adil untuk mengatakan bahwa setelah deformasi itu tetap datar dan normal terhadap sumbu balok melengkung. Tetapi dalam hal ini, jelas bahwa perubahan perpanjangan serat balok sepanjang ketinggiannya harus terjadi tidak hanya secara terus menerus, tetapi juga secara monoton. Jika kita menyebut lapisan sebagai kumpulan serat yang memiliki perpanjangan yang sama, maka dari apa yang telah dikatakan bahwa serat yang diregangkan dan ditekan balok harus ditempatkan pada sisi yang berlawanan dari lapisan di mana perpanjangan serat sama dengan nol. Kami akan menyebut serat yang perpanjangannya sama dengan nol, netral; lapisan yang terdiri dari serat netral - lapisan netral; garis perpotongan lapisan netral dengan bidang penampang balok - garis netral bagian ini. Kemudian berdasarkan pertimbangan-pertimbangan sebelumnya, dapat dikemukakan bahwa dengan pembengkokan murni balok pada masing-masing bagiannya terdapat garis netral yang membagi bagian ini menjadi dua bagian (zona): zona serat teregang (tensioned zone) dan zona serat terkompresi (compressed zone). Oleh karena itu, tegangan tarik normal harus bekerja pada titik-titik zona regangan penampang, tegangan tekan pada titik-titik zona tekan, dan pada titik-titik garis netral tegangan sama dengan nol.

Jadi, dengan pembengkokan murni balok dengan penampang konstan:

1) hanya tegangan normal yang bekerja pada penampang;

2) seluruh bagian dapat dibagi menjadi dua bagian (zona) - diregangkan dan dikompresi; batas zona adalah garis netral bagian, pada titik-titik di mana tegangan normal sama dengan nol;

3) setiap elemen longitudinal balok (dalam batas, setiap serat) dikenai tegangan aksial atau tekan, sehingga serat tetangga tidak berinteraksi satu sama lain;

4) jika penampang terluar balok selama deformasi tetap datar dan tegak lurus terhadap sumbu, maka semua penampangnya tetap datar dan tegak lurus terhadap sumbu balok lengkung.

Keadaan tegangan balok dalam lentur murni

Pertimbangkan elemen balok yang mengalami lentur murni, menyimpulkan: diukur antara bagian m-m dan n-n, yang berjarak satu dari yang lain pada jarak dx yang sangat kecil (Gbr. 93). Karena ketentuan (4) paragraf sebelumnya, bagian m-m dan n-n yang sejajar sebelum deformasi, setelah ditekuk, tetap rata, akan membentuk sudut dQ dan berpotongan sepanjang garis lurus melalui titik C yang merupakan pusat serat netral kelengkungan NN. Kemudian bagian dari serat AB yang tertutup di antara mereka, terletak pada jarak z dari serat netral (arah positif sumbu z diambil terhadap konveksitas balok selama pembengkokan), akan berubah menjadi busur A "B" setelah deformasi Segmen serat netral O1O2, berubah menjadi busur O1O2, tidak akan berubah panjangnya, sedangkan serat AB akan menerima perpanjangan:

sebelum deformasi

setelah deformasi

di mana p adalah jari-jari kelengkungan serat netral.

Oleh karena itu, perpanjangan absolut segmen AB adalah

dan perpanjangan

Karena, menurut posisi (3), serat AB dikenai tegangan aksial, maka dengan deformasi elastis

Dari sini dapat dilihat bahwa tegangan normal sepanjang ketinggian balok didistribusikan menurut hukum linier (Gbr. 94). Karena gaya yang sama dari semua upaya pada semua bagian dasar dari bagian harus sama dengan nol, maka

dari mana, mengganti nilai dari (5.8), kami menemukan

Tetapi integral terakhir adalah momen statis terhadap sumbu Oy, yang tegak lurus terhadap bidang aksi gaya lentur.

Karena persamaannya dengan nol, sumbu ini harus melewati pusat gravitasi O dari bagian tersebut. Dengan demikian, garis netral penampang balok adalah garis lurus yy, tegak lurus terhadap bidang kerja gaya lentur. Ini disebut sumbu netral dari bagian balok. Kemudian dari (5.8) diperoleh bahwa tegangan pada titik-titik yang terletak pada jarak yang sama dari sumbu netral adalah sama.

Kasus tekukan murni, di mana gaya lentur bekerja hanya pada satu bidang, menyebabkan tekukan pada bidang itu saja, adalah tekukan murni planar. Jika bidang bernama melewati sumbu Oz, maka momen upaya dasar relatif terhadap sumbu ini harus sama dengan nol, mis.

Mengganti di sini nilai dari (5.8), kami menemukan

Integral pada ruas kiri persamaan ini, seperti diketahui, adalah momen inersia sentrifugal penampang terhadap sumbu y dan z, sehingga

Sumbu-sumbu yang momen inersia sentrifugalnya sama dengan nol disebut sumbu utama inersia penampang ini. Selain itu, jika mereka melewati pusat gravitasi bagian, maka mereka dapat disebut sumbu pusat utama inersia bagian. Jadi, dengan tekukan murni datar, arah bidang aksi gaya tekuk dan sumbu netral bagian adalah sumbu pusat utama inersia yang terakhir. Dengan kata lain, untuk mendapatkan pembengkokan balok yang rata dan bersih, beban tidak dapat diterapkan padanya secara sewenang-wenang: beban harus direduksi menjadi gaya yang bekerja pada bidang yang melewati salah satu sumbu pusat utama inersia bagian balok; dalam hal ini, sumbu pusat utama lainnya dari inersia akan menjadi sumbu netral dari bagian tersebut.

Seperti diketahui, dalam kasus penampang yang simetris terhadap sembarang sumbu, sumbu simetri adalah salah satu sumbu pusat inersia utamanya. Akibatnya, dalam kasus khusus ini, kita pasti akan memperoleh tekukan murni dengan menerapkan anaload yang sesuai pada bidang yang melewati sumbu longitudinal balok dan sumbu simetri penampangnya. Garis lurus, tegak lurus terhadap sumbu simetri dan melalui pusat gravitasi bagian, adalah sumbu netral dari bagian ini.

Setelah menentukan posisi sumbu netral, tidak sulit untuk menemukan besarnya tegangan pada setiap titik di bagian tersebut. Memang, karena jumlah momen gaya elementer relatif terhadap sumbu netral yy harus sama dengan momen lentur, maka

dari mana, dengan mengganti nilai dari (5.8), kita menemukan

Karena integralnya adalah momen inersia penampang terhadap sumbu y, maka

dan dari ekspresi (5.8) kita peroleh

Hasil kali EI Y disebut kekakuan lentur balok.

Tegangan tarik terbesar dan tegangan tekan terbesar dalam nilai absolut bekerja pada titik-titik penampang di mana nilai absolut z adalah terbesar, yaitu, pada titik-titik terjauh dari sumbu netral. Dengan sebutan, Gambar. 95 punya

Nilai Jy / h1 disebut momen tahanan penampang terhadap regangan dan dilambangkan dengan Wyr; dengan cara yang sama, Jy/h2 disebut momen resistensi penampang terhadap kompresi

dan menunjukkan Wyc, jadi

dan maka dari itu

Jika sumbu netral adalah sumbu simetri bagian, maka h1 = h2 = h/2 dan, akibatnya, Wyp = Wyc, sehingga tidak perlu dibedakan, dan mereka menggunakan sebutan yang sama:

menyebut W y sebagai modulus penampang. Oleh karena itu, dalam kasus penampang simetris terhadap sumbu netral,

Semua kesimpulan di atas diperoleh atas dasar asumsi bahwa penampang balok, ketika dibengkokkan, tetap rata dan normal terhadap sumbunya (hipotesis penampang datar). Seperti yang ditunjukkan, asumsi ini hanya berlaku jika bagian ekstrem (ujung) balok tetap rata selama pembengkokan. Di sisi lain, hipotesis penampang datar mengikuti bahwa gaya-gaya elementer pada penampang tersebut harus didistribusikan menurut hukum linier. Oleh karena itu, untuk validitas teori lentur murni datar yang diperoleh, momen lentur pada ujung balok perlu diterapkan dalam bentuk gaya-gaya dasar yang didistribusikan di atas ketinggian penampang menurut hukum linier (Gbr. 96), yang bertepatan dengan hukum distribusi tegangan sepanjang ketinggian balok bagian. Namun, berdasarkan prinsip Saint-Venant, dapat dikatakan bahwa perubahan metode penerapan momen lentur pada ujung balok hanya akan menyebabkan deformasi lokal, yang pengaruhnya hanya akan mempengaruhi pada jarak tertentu dari ini. ujungnya (kira-kira sama dengan tinggi bagian). Bagian yang terletak di sisa panjang balok akan tetap rata. Akibatnya, teori tekukan murni datar yang dinyatakan, dengan metode apa pun untuk menerapkan momen lentur, hanya berlaku di bagian tengah panjang balok, yang terletak pada jarak dari ujungnya kira-kira sama dengan tinggi penampang. Dari sini jelas bahwa teori ini jelas tidak dapat diterapkan jika tinggi penampang melebihi setengah panjang atau bentang balok.

Pembengkokan melintang datar balok. Kekuatan lentur internal. Ketergantungan diferensial dari kekuatan internal. Aturan untuk memeriksa diagram gaya internal dalam lentur. Tegangan normal dan tegangan geser pada lentur. Perhitungan kekuatan untuk tegangan normal dan geser.

10. JENIS RESISTENSI SEDERHANA. tikungan datar

10.1. Konsep dan definisi umum

Bending adalah jenis pembebanan di mana batang dibebani dengan momen pada bidang yang melewati sumbu longitudinal batang.

Sebuah batang yang bekerja dalam lentur disebut balok (atau bar). Di masa depan, kami akan mempertimbangkan balok lurus, yang penampangnya memiliki setidaknya satu sumbu simetri.

Dalam ketahanan bahan, lentur datar, miring dan kompleks.

Tekuk datar adalah tekukan di mana semua gaya yang membengkokkan balok terletak pada salah satu bidang simetri balok (di salah satu bidang utama).

Bidang inersia utama balok adalah bidang yang melalui sumbu utama penampang dan sumbu geometris balok (sumbu x).

Sebuah tikungan miring adalah tikungan di mana beban bekerja dalam satu bidang yang tidak bertepatan dengan bidang inersia utama.

Pembengkokan kompleks adalah pembengkokan di mana beban bekerja pada bidang yang berbeda (sewenang-wenang).

10.2. Penentuan gaya lentur internal

Mari kita pertimbangkan dua kasus karakteristik lentur: dalam kasus pertama, balok kantilever dibengkokkan oleh momen terkonsentrasi M o ; di detik, oleh gaya terkonsentrasi F.

Menggunakan metode bagian mental dan menyusun persamaan keseimbangan untuk bagian potong balok, kami menentukan gaya internal dalam kedua kasus:

Sisa persamaan keseimbangan jelas identik sama dengan nol.

Jadi, dalam kasus umum lentur datar di bagian balok, dari enam gaya internal, dua muncul - momen lentur M z dan gaya geser Q y (atau ketika lentur terhadap sumbu utama lainnya - momen lentur M y dan gaya geser Q z ).

Dalam hal ini, sesuai dengan dua kasus pembebanan yang dipertimbangkan, pembengkokan datar dapat dibagi menjadi murni dan melintang.

Tekuk murni adalah tekukan datar, di mana hanya satu dari enam gaya internal yang muncul di bagian batang - momen lentur (lihat kasus pertama).

tikungan melintang- lentur, di mana, selain momen lentur internal, gaya transversal juga muncul di bagian batang (lihat kasus kedua).

Sebenarnya, hanya tekukan murni yang termasuk jenis resistensi sederhana; pembengkokan transversal secara kondisional mengacu pada jenis tahanan sederhana, karena dalam banyak kasus (untuk balok yang cukup panjang) aksi gaya transversal dapat diabaikan dalam perhitungan kekuatan.

Saat menentukan kekuatan internal, kami akan mematuhi aturan tanda berikut:

1) gaya transversal Q y dianggap positif jika gaya tersebut cenderung memutar elemen balok dengan pertimbangan searah jarum jam;

2) momen lentur M z dianggap positif jika, ketika elemen balok dibengkokkan, serat atas elemen ditekan, dan serat bawah diregangkan (aturan payung).

Dengan demikian, solusi masalah penentuan gaya internal selama lentur akan dibangun sesuai dengan rencana berikut: 1) pada tahap pertama, dengan mempertimbangkan kondisi keseimbangan struktur secara keseluruhan, kami menentukan, jika perlu, reaksi yang tidak diketahui. dari tumpuan (perhatikan bahwa untuk balok kantilever, reaksi dalam penanaman dapat dan tidak ditemukan jika kita mempertimbangkan balok dari ujung bebas); 2) pada tahap kedua, kami memilih bagian karakteristik balok, dengan mengambil sebagai batas bagian titik penerapan gaya, titik perubahan bentuk atau dimensi balok, titik pengikatan balok; 3) pada tahap ketiga, kami menentukan gaya internal pada bagian balok, dengan mempertimbangkan kondisi keseimbangan elemen balok di setiap bagian.

10.3. Ketergantungan diferensial dalam pembengkokan

Mari kita buat beberapa hubungan antara gaya internal dan beban lentur eksternal, serta fitur karakteristik diagram Q dan M, yang pengetahuannya akan memfasilitasi konstruksi diagram dan memungkinkan Anda untuk mengontrol kebenarannya. Untuk memudahkan notasi, kami akan menyatakan: M M z , Q Q y .

Mari kita alokasikan elemen kecil dx di bagian balok dengan beban sewenang-wenang di tempat di mana tidak ada gaya dan momen terkonsentrasi. Karena seluruh balok berada dalam kesetimbangan, elemen dx juga akan berada dalam kesetimbangan di bawah aksi gaya transversal yang diterapkan padanya, momen lentur dan beban eksternal. Karena Q dan M umumnya berubah sepanjang sumbu balok, maka pada penampang elemen dx akan terjadi gaya transversal Q dan Q + dQ , serta momen lentur M dan M + dM . Dari kondisi kesetimbangan elemen yang dipilih, kita memperoleh

F y = 0 Q + q dx (Q + dQ) = 0;

M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 (M + dM ) = 0.

Dari persamaan kedua, dengan mengabaikan istilah q dx (dx /2) sebagai kuantitas yang sangat kecil dari orde kedua, kita temukan

Hubungan (10.1), (10.2) dan (10.3) disebut ketergantungan diferensial D. I. Zhuravsky dalam pembengkokan.

Analisis ketergantungan diferensial di atas dalam lentur memungkinkan kita untuk menetapkan beberapa fitur (aturan) untuk membangun diagram momen lentur dan gaya geser:

a - di daerah di mana tidak ada beban q yang didistribusikan, diagram Q terbatas pada garis lurus yang sejajar dengan alas, dan diagram M - garis lurus miring;

b - di bagian di mana beban terdistribusi q diterapkan pada balok, diagram Q dibatasi oleh garis lurus miring, dan diagram M dibatasi oleh parabola kuadrat. Pada saat yang sama, jika kita membuat diagram M "di atas serat yang diregangkan", maka konveksitas pa-

pekerjaan akan diarahkan ke arah aksi q, dan ekstrem akan ditempatkan di bagian di mana diagram Q memotong garis dasar;

c - di bagian di mana gaya terkonsentrasi diterapkan pada balok, pada diagram Q akan ada lompatan dengan nilai dan ke arah gaya ini, dan pada diagram M ada kekusutan, ujungnya diarahkan ke arah ini memaksa; d - di bagian di mana momen terkonsentrasi diterapkan pada balok di plot

tidak akan ada perubahan pada re Q, dan pada diagram M akan ada lompatan sebesar nilai momen ini; e - di daerah di mana Q > 0, saat M meningkat, dan di daerah di mana Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Tegangan normal pada lentur murni balok lurus

Mari kita perhatikan kasus pembengkokan planar murni dari sebuah balok dan turunkan rumus untuk menentukan tegangan normal untuk kasus ini. Perhatikan bahwa dalam teori elastisitas dimungkinkan untuk memperoleh ketergantungan yang tepat untuk tegangan normal dalam lentur murni, tetapi jika masalah ini diselesaikan dengan metode ketahanan bahan, perlu untuk memperkenalkan beberapa asumsi.

Ada tiga hipotesis untuk menekuk:

a – hipotesis bagian datar (Hipotesis Bernoulli)

- penampang datar sebelum deformasi tetap datar setelah deformasi, tetapi hanya berputar relatif terhadap garis tertentu, yang disebut sumbu netral penampang balok. Dalam hal ini, serat balok, yang terletak di satu sisi sumbu netral, akan diregangkan, dan di sisi lain, dikompresi; serat yang terletak pada sumbu netral tidak mengubah panjangnya;

b - hipotesis keteguhan tegangan normal

nii - tegangan yang bekerja pada jarak yang sama y dari sumbu netral adalah konstan pada lebar balok;

c – hipotesis tentang tidak adanya tekanan lateral –

serat longitudinal abu-abu tidak saling menekan.

Tekukan adalah jenis deformasi di mana sumbu longitudinal balok dibengkokkan. Balok lurus yang bekerja pada pembengkokan disebut balok. Tekukan lurus adalah tikungan di mana gaya luar yang bekerja pada balok terletak pada bidang yang sama (bidang gaya) yang melewati sumbu longitudinal balok dan sumbu pusat utama inersia penampang.

Tikungan disebut murni, jika hanya satu momen lentur yang terjadi pada setiap penampang balok.

Lentur, di mana momen lentur dan gaya transversal bekerja secara simultan pada penampang balok, disebut transversal. Garis perpotongan bidang gaya dan bidang penampang disebut garis gaya.

Faktor gaya internal pada pembengkokan balok.

Dengan lentur melintang datar di bagian balok, dua faktor gaya internal muncul: gaya transversal Q dan momen lentur M. Untuk menentukannya, digunakan metode penampang (lihat kuliah 1). Gaya transversal Q pada penampang balok sama dengan jumlah aljabar proyeksi ke bidang penampang dari semua gaya luar yang bekerja pada satu sisi penampang yang ditinjau.

Aturan tanda untuk gaya geser Q:

Momen lentur M pada penampang balok sama dengan jumlah aljabar momen terhadap pusat gravitasi penampang ini dari semua gaya luar yang bekerja pada satu sisi penampang yang ditinjau.

Aturan tanda untuk momen lentur M:

Ketergantungan diferensial Zhuravsky.

Antara intensitas q dari beban terdistribusi, ekspresi untuk gaya transversal Q dan momen lentur M, dependensi diferensial ditetapkan:

Berdasarkan ketergantungan ini, pola umum diagram gaya transversal Q dan momen lentur M berikut dapat dibedakan:

Keunikan diagram faktor gaya internal dalam lentur.

1. Pada bagian balok di mana tidak ada beban terdistribusi, plot Q disajikan garis lurus , sejajar dengan dasar diagram, dan diagram M adalah garis lurus miring (Gbr. a).

2. Di bagian di mana gaya terkonsentrasi diterapkan, pada diagram Q harus ada: melompat , sama dengan nilai gaya ini, dan pada diagram M - titik putus (Gbr. a).

3. Di bagian di mana momen terkonsentrasi diterapkan, nilai Q tidak berubah, dan diagram M memiliki melompat , sama dengan nilai momen ini, (Gbr. 26, b).

4. Pada bagian balok dengan beban terdistribusi intensitas q, diagram Q berubah menurut hukum linier, dan diagram M - menurut hukum parabola, dan konveksitas parabola diarahkan ke arah beban terdistribusi (Gbr. c, d).

5. Jika dalam bagian karakteristik diagram Q memotong dasar diagram, maka pada bagian di mana Q = 0, momen lentur memiliki nilai ekstrim M max atau M min (Gbr. d).

Tegangan lentur normal.

Ditentukan dengan rumus:

Momen tahanan penampang terhadap lentur adalah nilai:

Bagian berbahaya saat menekuk, penampang balok disebut, di mana tegangan normal maksimum terjadi.

Tegangan tangensial pada pembengkokan langsung.

Ditetapkan oleh rumus Zhuravsky untuk tegangan geser pada pembengkokan balok langsung:

di mana S ots - momen statis dari area transversal dari lapisan potong serat longitudinal relatif terhadap garis netral.

Perhitungan kekuatan lentur.

1. Pada perhitungan verifikasi tegangan desain maksimum ditentukan, yang dibandingkan dengan tegangan izin:

2. Pada perhitungan desain pemilihan penampang balok dilakukan dari kondisi:

3. Saat menentukan beban yang diijinkan, momen lentur yang diijinkan ditentukan dari kondisi:

Gerakan membungkuk.

Di bawah aksi beban lentur, sumbu balok ditekuk. Dalam hal ini, ada peregangan serat pada cembung dan kompresi - pada bagian balok yang cekung. Selain itu, ada gerakan vertikal pusat gravitasi dari penampang dan rotasinya relatif terhadap sumbu netral. Untuk mengkarakterisasi deformasi selama lentur, konsep berikut digunakan:

Lendutan balok Y- perpindahan pusat gravitasi penampang balok dalam arah tegak lurus terhadap sumbunya.

Lendutan dianggap positif jika pusat gravitasi bergerak ke atas. Besarnya defleksi bervariasi sepanjang balok, yaitu y=y(z)

Sudut rotasi bagian- sudut di mana setiap bagian diputar sehubungan dengan posisi aslinya. Sudut rotasi dianggap positif ketika bagian diputar berlawanan arah jarum jam. Nilai sudut putar bervariasi sepanjang balok, sebagai fungsi dari = (z).

Cara yang paling umum untuk menentukan perpindahan adalah metode mora dan Aturan Vereshchagin.

metode Mohr.

Prosedur untuk menentukan perpindahan menurut metode Mohr:

1. Sebuah "sistem bantu" dibangun dan dimuat dengan beban tunggal pada titik di mana perpindahan akan ditentukan. Jika perpindahan linier ditentukan, maka gaya satuan diterapkan ke arahnya; ketika menentukan perpindahan sudut, momen satuan diterapkan.

2. Untuk setiap bagian sistem, ekspresi momen lentur M f dari beban yang diterapkan dan M 1 - dari beban tunggal dicatat.

3. Integral Mohr dihitung dan dijumlahkan pada semua bagian sistem, menghasilkan perpindahan yang diinginkan:

4. Jika perpindahan yang dihitung memiliki tanda positif, ini berarti arahnya bertepatan dengan arah gaya satuan. Tanda negatif menunjukkan bahwa perpindahan sebenarnya berlawanan dengan arah gaya satuan.

aturan Vereshchagin.

Untuk kasus ketika diagram momen lentur dari beban yang diberikan memiliki sewenang-wenang, dan dari satu beban - garis bujursangkar, akan lebih mudah untuk menggunakan metode analisis grafis, atau aturan Vereshchagin.

di mana A f adalah luas diagram momen lentur M f dari beban yang diberikan; y c adalah ordinat diagram dari satu beban di bawah pusat gravitasi diagram M f ; EI x - kekakuan penampang balok. Perhitungan menurut rumus ini dibuat dalam beberapa bagian, di mana masing-masing diagram garis lurus harus tanpa patah. Nilai (A f *y c) dianggap positif jika kedua diagram terletak pada sisi yang sama dari balok, negatif jika terletak pada sisi yang berlawanan. Hasil positif dari perkalian diagram berarti bahwa arah gerakan bertepatan dengan arah gaya unit (atau momen). Diagram kompleks M f harus dibagi menjadi gambar-gambar sederhana (disebut "pelapisan murni" digunakan), untuk masing-masing mudah untuk menentukan ordinat pusat gravitasi. Dalam hal ini, luas setiap gambar dikalikan dengan ordinat di bawah pusat gravitasinya.

membengkokkan disebut deformasi batang, disertai dengan perubahan kelengkungan sumbunya. Batang yang ditekuk disebut balok.

Tergantung pada metode penerapan beban dan metode pemasangan batang, berbagai jenis tekukan dapat terjadi.

Jika hanya momen lentur yang muncul di bawah aksi beban pada penampang batang, maka tikungan itu disebut membersihkan.

Jika pada penampang, bersama dengan momen lentur, juga timbul gaya transversal, maka pembengkokan disebut melintang.

Jika gaya-gaya luar terletak pada bidang yang melalui salah satu sumbu pusat utama penampang batang, maka pembengkokan tersebut disebut sederhana atau datar. Dalam hal ini, beban dan sumbu yang dapat dideformasi terletak pada bidang yang sama (Gbr. 1).

Beras. satu

Agar balok dapat mengambil beban di pesawat, itu harus diperbaiki dengan bantuan penyangga: dapat digerakkan berengsel, tetap berengsel, disematkan.

Balok harus tak berubah-ubah secara geometris, sedangkan jumlah sambungan paling sedikit adalah 3. Contoh sistem variabel-geometris ditunjukkan pada Gambar 2a. Contoh sistem geometrik tak berubah-ubah adalah gbr. 2b, c.

a B C)

Reaksi timbul pada tumpuan, yang ditentukan dari kondisi kesetimbangan statika. Reaksi pada tumpuan adalah beban luar.

Kekuatan lentur internal

Sebuah batang yang dibebani dengan gaya tegak lurus terhadap sumbu longitudinal balok mengalami tikungan datar (Gbr. 3). Ada dua gaya internal di penampang: gaya geser Q y dan momen lentur Mz.

Gaya internal ditentukan dengan metode bagian. Pada jarak x dari titik TETAPI oleh sebuah bidang yang tegak lurus terhadap sumbu X, batang tersebut dipotong menjadi dua bagian. Salah satu bagian balok dibuang. Interaksi bagian balok digantikan oleh gaya internal: momen lentur Mz dan gaya transversal Q y(Gbr. 4).

Upaya domestik Mz dan Q y ke dalam penampang ditentukan dari kondisi kesetimbangan.

Persamaan kesetimbangan dibuat untuk bagian Dengan:

∑kamu = R A - P 1 - Q y \u003d 0.

Kemudian Q y = R A – P1.

Kesimpulan. Gaya transversal pada setiap bagian balok sama dengan jumlah aljabar dari semua gaya eksternal yang terletak di satu sisi bagian yang ditarik. Gaya transversal dianggap positif jika ia memutar batang searah jarum jam terhadap titik potong.

∑M 0 = R A ∙ x – P 1 ∙ (x - sebuah) – Mz = 0

Kemudian Mz = R A ∙ x – P 1 ∙ (x – sebuah)

1. Definisi reaksi R A , R B ;

∑M A = P ∙ sebuah – R B ∙ aku = 0

R B =

∑M B = R A e – P a = 0

2. Plotting pada bagian pertama 0 ≤ x 1 ≤ sebuah

Q y = R A =; M z \u003d R A x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. Plotting pada bagian kedua 0 ≤ x 2 ≤ b

Q y = - R B = - ; Mz = R B ∙ x 2 ; x 2 = 0 Mz(0) = 0 x 2 = bMz(b) =

Saat membangun Mz koordinat positif akan diplot ke arah serat yang diregangkan.

Memeriksa plot

1. Di plot Q y diskontinuitas hanya dapat terjadi di tempat di mana gaya eksternal diterapkan, dan besarnya lompatan harus sesuai dengan besarnya.

+ = = P

2. Di plot Mz diskontinuitas muncul pada titik-titik penerapan momen terkonsentrasi dan besarnya lompatan sama dengan besarnya.

Ketergantungan diferensial antaraM, Qdanq

Antara momen lentur, gaya transversal dan intensitas beban terdistribusi, ketergantungan berikut ditetapkan:

q = , Q y =

di mana q adalah intensitas beban terdistribusi,

Memeriksa kekuatan balok dalam lentur

Untuk menilai kekuatan batang dalam menekuk dan memilih bagian balok, digunakan kondisi kekuatan untuk tegangan normal.

Momen lentur adalah momen resultan dari gaya-gaya dalam normal yang terdistribusi pada penampang.

s = × kamu,

di mana s adalah tegangan normal pada setiap titik penampang,

kamu adalah jarak dari pusat gravitasi bagian ke titik,

Mz- momen lentur yang bekerja pada penampang,

Jz adalah momen inersia aksial batang.

Untuk menjamin kekuatan, dihitung tegangan maksimum yang terjadi pada titik-titik penampang yang terjauh dari pusat gravitasi. kamu = ymax

s maks = × ymax,

= wz dan s maks = .

Maka kondisi kekuatan untuk tegangan normal berbentuk:

s maks = [s],

dimana [s] adalah tegangan tarik yang diijinkan.

Tugas. Buatlah diagram Q dan M untuk balok statis tak tentu. Kami menghitung balok sesuai dengan rumus:

n= Σ R- W— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Balok sekali statis tak tentu, yang berarti satu reaksi adalah "ekstra" tidak diketahui. Untuk "ekstra" yang tidak diketahui, kami akan mengambil reaksi dari dukungan PADA — R B.

Balok statis tertentu, yang diperoleh dari yang diberikan dengan melepas sambungan "ekstra" disebut sistem utama (b).

Sekarang sistem ini harus disajikan setara diberikan. Untuk melakukan ini, muat sistem utama diberikan beban, dan pada titik PADA menerapkan reaksi "ekstra" R B(Nasi. di).

Namun, untuk persamaan derajatnya ini tidak cukup, karena dalam balok seperti itu titik PADA mungkin bergerak vertikal, dan dalam balok tertentu (Gbr. sebuah ) ini tidak boleh terjadi. Oleh karena itu, kami menambahkan kondisi, Apa defleksi t. PADA dalam sistem utama harus sama dengan 0. defleksi t. PADA terdiri dari defleksi dari beban kerja F dan dari defleksi dari reaksi "ekstra" R.

Kemudian kami menyusun kondisi kompatibilitas perpindahan:

Δ F + Δ R=0 (1)

Sekarang tinggal menghitung ini gerakan (defleksi)).

Memuat dasar sistem beban yang diberikan(Nasi .G) dan membangun diagram kargoM F (Nasi. d ).

PADA t. PADA menerapkan dan membangun ep. (Nasi. landak ).

Dengan rumus Simpson, kami mendefinisikan defleksi beban.

Sekarang mari kita definisikan defleksi dari aksi reaksi "ekstra" R B , untuk ini kami memuat sistem utama R B (Nasi. h ) dan plot momen dari aksinya PAK (Nasi. dan ).

Tulis dan putuskan persamaan (1):

Mari membangun ep. Q dan M (Nasi. untuk, aku ).

Membangun diagram Q.

Ayo buat plotnya M metode poin karakteristik. Kami mengatur titik pada balok - ini adalah titik awal dan akhir balok ( D,A ), momen terkonsentrasi ( B ), dan juga perhatikan sebagai titik karakteristik di tengah beban yang terdistribusi secara merata ( K ) adalah titik tambahan untuk membuat kurva parabola.

Menentukan momen lentur di titik-titik. Aturan tanda cm.- .

Momen dalam PADA akan didefinisikan sebagai berikut. Pertama mari kita definisikan:

titik Ke ayo masuk tengah daerah dengan beban terdistribusi merata.

Membangun diagram M . Merencanakan AB – kurva parabola(aturan "payung"), plot BD – garis miring lurus.

Untuk balok, tentukan reaksi tumpuan dan plot diagram momen lentur ( M) dan gaya geser ( Q).

1. Kami menunjuk mendukung surat TETAPI dan PADA dan mengarahkan reaksi dukungan R A dan R B .

kompilasi persamaan keseimbangan.

Penyelidikan

Tuliskan nilai-nilainya R A dan R B di skema perhitungan.

2. Merencanakan kekuatan melintang metode bagian. Kami menempatkan bagian pada daerah karakteristik(antara perubahan). Menurut utas dimensi - 4 bagian, 4 bagian.

detik. 1-1 pindah kiri.

Bagian melewati bagian dengan beban terdistribusi merata, perhatikan ukuran z 1 di sebelah kiri bagian sebelum awal bagian. Panjang petak 2 m. Aturan tanda untuk Q - cm.

Kami membangun nilai yang ditemukan diagramQ.

detik. 2-2 bergerak ke kanan.

Bagian lagi melewati area dengan beban yang terdistribusi secara merata, perhatikan ukurannya z 2 di sebelah kanan bagian ke awal bagian. Panjang petak 6 m.

Membangun diagram Q.

detik. 3-3 bergerak ke kanan.

detik. 4-4 bergerak ke kanan.

Kami sedang membangun diagramQ.

3. Konstruksi diagram M metode poin karakteristik.

titik karakteristik- titik, setiap terlihat pada balok. Ini adalah titik-titiknya TETAPI, PADA, Dengan, D , serta intinya Ke , di mana Q=0 dan momen lentur memiliki ekstrem. juga di tengah konsol memberi poin tambahan E, karena di daerah ini di bawah beban terdistribusi seragam diagram M dijelaskan bengkok garis, dan itu dibangun, setidaknya, menurut 3 poin.

Jadi, poin ditempatkan, kami melanjutkan untuk menentukan nilai di dalamnya momen lentur. Aturan tanda - lihat..

Plot NA, AD – kurva parabola(aturan "payung" untuk spesialisasi mekanik atau "aturan layar" untuk konstruksi), bagian DC, SW – garis miring lurus.

Momen di satu titik D harus ditentukan baik kiri maupun kanan dari titik D . Momen dalam ekspresi ini Pengecualian. Pada intinya D kita mendapatkan dua nilai dari perbedaan dengan jumlah m – melompat untuk ukurannya.

Sekarang kita perlu menentukan momen pada titik Ke (Q=0). Namun, pertama-tama kita definisikan posisi titik Ke , yang menunjukkan jarak dari itu ke awal bagian oleh yang tidak diketahui X .

T. Ke milik kedua daerah karakteristik, persamaan gaya geser(Lihat di atas)

Tetapi gaya transversal di t. Ke adalah sama dengan 0 , sebuah z 2 sama dengan tidak diketahui X .

Kami mendapatkan persamaan:

Sekarang tahu X, tentukan momen di suatu titik Ke di sisi kanan.

Membangun diagram M . Konstruksi ini layak untuk mekanis spesialisasi, menunda nilai-nilai positif ke atas dari garis nol dan menggunakan aturan "payung".

Untuk skema balok kantilever yang diberikan, diperlukan untuk memplot diagram gaya transversal Q dan momen lentur M, melakukan perhitungan desain dengan memilih bagian melingkar.

Material - kayu, ketahanan desain material R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Ada dua cara untuk membuat diagram pada balok kantilever dengan terminasi kaku - yang biasa, setelah sebelumnya menentukan reaksi tumpuan, dan tanpa menentukan reaksi tumpuan, jika kita mempertimbangkan penampang, bergerak dari ujung bebas balok dan membuang balok bagian kiri dengan penghentian. Mari kita membuat diagram biasa jalan.

1. Tentukan reaksi dukungan.

Beban terdistribusi merata q ganti kekuatan bersyarat Q= q 0.84=6.72 kN

Dalam embedment kaku, ada tiga reaksi pendukung - vertikal, horizontal dan momen, dalam kasus kami, reaksi horizontal adalah 0.

Ayo temukan vertikal reaksi dukungan R A dan referensi momen M A dari persamaan kesetimbangan.

Pada dua bagian pertama di sebelah kanan, tidak ada gaya transversal. Pada awal bagian dengan beban terdistribusi merata (kanan) Q=0, di belakang - besarnya reaksi R.A.
3. Untuk membangun, kami akan membuat ekspresi untuk definisi mereka pada bagian. Kami memplot diagram momen pada serat, mis. turun.

(plot momen tunggal telah dibangun sebelumnya)

Kami memecahkan persamaan (1), dikurangi dengan EI

Ketidakpastian Statis Terungkap, nilai reaksi "ekstra" ditemukan. Anda dapat mulai memplot diagram Q dan M untuk balok statis tak tentu... Kami membuat sketsa skema balok yang diberikan dan menunjukkan nilai reaksi Rb. Pada balok ini, reaksi dalam terminasi tidak dapat ditentukan jika Anda ke kanan.

Bangunan plot Q untuk balok statis tak tentu

Plot Q.

Merencanakan M

Kami mendefinisikan M pada titik ekstrem - pada titik Ke. Pertama, mari kita tentukan posisinya. Kami menunjukkan jarak ke sana sebagai tidak diketahui " X". Kemudian

Kami merencanakan M.

Penentuan tegangan geser pada penampang I. Pertimbangkan bagian Saya berseri-seri. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx = 2030 cm 4; Q=200 kN

Untuk menentukan tegangan geser digunakan rumus, di mana Q adalah gaya transversal pada penampang, S x 0 adalah momen statis bagian penampang yang terletak pada satu sisi lapisan di mana tegangan geser ditentukan, I x adalah momen inersia seluruh penampang penampang, b adalah lebar penampang di tempat tegangan geser ditentukan

Menghitung maksimum tegangan geser:

Mari kita hitung momen statis untuk rak atas:

Sekarang mari kita hitung tegangan geser:

Kami sedang membangun diagram tegangan geser:

Perhitungan desain dan verifikasi. Untuk balok dengan diagram gaya internal yang dibangun, pilih bagian berupa dua saluran dari kondisi kekuatan dalam hal tegangan normal. Periksa kekuatan balok menggunakan kriteria kuat geser dan kriteria kekuatan energi. Diberikan:

Mari kita tunjukkan balok dengan konstruksi plot Q dan M

Menurut diagram momen lentur, yang berbahaya adalah bagian C, di mana M C \u003d M maks \u003d 48,3 kNm.

Kondisi kekuatan untuk tegangan normal untuk balok ini memiliki bentuk maks \u003d M C / W X adm . Hal ini diperlukan untuk memilih bagian dari dua saluran.

Tentukan nilai yang dihitung yang diperlukan modulus bagian aksial:

Untuk bagian berupa dua saluran, menurut accept dua saluran 20a, momen inersia masing-masing saluran I x = 1670cm 4, kemudian momen aksial resistensi seluruh bagian:

Tegangan lebih (undervoltage) pada titik-titik berbahaya, kami menghitung sesuai dengan rumus: Kemudian kami mendapatkan dibawah tegangan:

Sekarang mari kita periksa kekuatan balok, berdasarkan kondisi kekuatan untuk tegangan geser. Berdasarkan diagram gaya geser berbahaya adalah bagian di bagian BC dan bagian D. Seperti yang dapat dilihat dari diagram, Q maks \u003d 48,9 kN.

Kondisi kekuatan untuk tegangan geser seperti:

Untuk saluran No. 20 a: momen statis area S x 1 \u003d 95,9 cm 3, momen inersia bagian I x 1 \u003d 1670 cm 4, ketebalan dinding d 1 \u003d 5,2 mm, ketebalan rak rata-rata t 1 \u003d 9,7 mm , tinggi saluran h 1 \u003d 20 cm, lebar rak b 1 \u003d 8 cm.

Untuk melintang bagian dari dua saluran:

S x \u003d 2S x 1 \u003d 2 95.9 \u003d 191,8 cm 3,

I x \u003d 2I x 1 \u003d 2 1670 \u003d 3340 cm 4,

b \u003d 2d 1 \u003d 2 0,52 \u003d 1,04 cm.

Menentukan nilai tegangan geser maksimum:

maks \u003d 48,9 10 3 191,8 10 -6 / 3340 10 -8 1,04 10 -2 \u003d 27 MPa.

Seperti yang terlihat, maks<τ adm (27MPa<75МПа).

Karena itu, kondisi kekuatan terpenuhi.

Kami memeriksa kekuatan balok sesuai dengan kriteria energi.

Di luar pertimbangan diagram Q dan M mengikuti itu bagian C berbahaya, di mana M C =M maks =48,3 kNm dan Q C =Q maks =48,9 kN.

Mari kita habiskan analisis keadaan tegangan pada titik-titik bagian

Mari kita definisikan tegangan normal dan geser pada beberapa tingkatan (ditandai pada diagram bagian)

Level 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

Normal dan tangen tegangan:

Utama tegangan:

Level 2-2: y 2-2 \u003d h 1/2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Tekanan utama:

Level 3-3: y 3-3 \u003d h 1/2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Tegangan normal dan geser:

Tekanan utama:

Tegangan geser ekstrim:

Tingkat 4-4: y 4-4 =0.

(di tengah, tegangan normal sama dengan nol, tegangan tangensial maksimum, mereka ditemukan dalam uji kekuatan untuk tegangan tangensial)

Tekanan utama:

Tegangan geser ekstrim:

Tingkat 5-5:

Tegangan normal dan geser:

Tekanan utama:

Tegangan geser ekstrim:

Tingkat 6-6:

Tegangan normal dan geser:

Tekanan utama:

Tegangan geser ekstrim:

Tingkat 7-7:

Tegangan normal dan geser:

Tekanan utama:

Tegangan geser ekstrim:

Menurut perhitungan yang dilakukan diagram tegangan , , 1 , 3 , max dan min disajikan dalam gambar.

Analisis ini diagram menunjukkan, yang berada di penampang balok poin berbahaya berada di level 3-3 (atau 5-5), di mana:

Menggunakan kriteria energi kekuatan, kita mendapatkan

Dari perbandingan tegangan ekivalen dan tegangan ijin, maka kondisi kekuatan juga terpenuhi

(135.3 MPa<150 МПа).

Balok menerus dibebani di semua bentang. Bangun diagram Q dan M untuk balok kontinu.

1. Tentukan tingkat ketidakpastian statis balok sesuai dengan rumus:

n= Sop -3= 5-3 =2, di mana Sop - jumlah reaksi yang tidak diketahui, 3 - jumlah persamaan statika. Untuk menyelesaikan balok ini, diperlukan dua persamaan tambahan.

2. Menunjukkan angka mendukung dengan nol dalam urutan ( 0,1,2,3 )

3. Menunjukkan nomor rentang dari yang pertama dalam urutan ( v 1, v 2, v 3)

4. Setiap rentang dianggap sebagai balok sederhana dan buat diagram untuk setiap balok sederhana Q dan M Apa yang berhubungan dengan balok sederhana, kami akan menunjukkan dengan indeks "0", yang mengacu pada kontinu balok, kami akan menunjukkan tanpa indeks ini. Jadi, adalah gaya transversal dan momen lentur untuk balok sederhana.