A Pitagorasz-tétel közvetlen. A Pitagorasz-tétel bizonyításának különböző módjai

A kreativitás lehetőségét általában a bölcsészettudományoknak tulajdonítják, meghagyva a képletek és számok természettudományos elemzését, gyakorlatias megközelítését és száraz nyelvezetét. A matematika nem sorolható a humán tárgyak közé. De a "minden tudomány királynőjében" kreativitás nélkül nem megy messzire - az emberek ezt régóta tudják. Püthagorasz kora óta például.

Az iskolai tankönyvek sajnos általában nem magyarázzák el, hogy a matematikában nem csak tételek, axiómák és képletek zsúfolása fontos. Fontos megérteni és átérezni az alapvető elveit. És közben próbálja meg felszabadítani elméjét a kliséktől és az elemi igazságoktól – csak ilyen körülmények között születik minden nagy felfedezés.

Ilyen felfedezések közé tartozik az is, amelyet ma Pitagorasz-tételként ismerünk. Segítségével megpróbáljuk megmutatni, hogy a matematika nem csak tud, de szórakoztató is kell legyen. És hogy ez a kaland nem csak a vastag szemüveges nebulóknak szól, hanem mindenkinek, aki erős elmében és erős lélekben.

A kérdés történetéből

Szigorúan véve, bár a tételt "Pitagorasz-tételnek" nevezik, maga Pythagoras nem fedezte fel. A derékszögű háromszöget és speciális tulajdonságait már jóval előtte tanulmányozták. Ebben a kérdésben két sarkos nézőpont létezik. Az egyik változat szerint Pythagoras volt az első, aki teljes bizonyítást talált a tételre. Egy másik szerint a bizonyítás nem Püthagorasz szerzőségéhez tartozik.

Ma már nem tudod ellenőrizni, hogy kinek van igaza és kinek nincs igaza. Csak annyit tudunk, hogy Pythagoras bizonyítéka, ha valaha is létezett, nem maradt fenn. Vannak azonban olyan felvetések, hogy az Euklidész elemeiből származó híres bizonyíték Pythagorasé lehet, és Eukleidész csak feljegyezte.

Ma az is ismert, hogy a derékszögű háromszöggel kapcsolatos problémák I. Amenemhet fáraó idejéből származó egyiptomi forrásokban, Hammurapi király uralkodása idejéből származó babiloni agyagtáblákon, a Sulva Sutra című ősi indiai értekezésben és a Zhou című ősi kínai műben találhatók. -bi suan jin.

Amint láthatja, a Pitagorasz-tétel az ókor óta foglalkoztatja a matematikusok elméjét. Körülbelül 367 különféle ma létező bizonyíték szolgál megerősítésként. Ebben a tekintetben semmilyen más tétel nem versenyezhet vele. A figyelemre méltó bizonyítékok szerzői többek között Leonardo da Vinci és az Egyesült Államok 20. elnöke, James Garfield. Mindez e tétel rendkívüli fontosságáról beszél a matematika számára: a geometria tételeinek többsége ebből származik, vagy így vagy úgy kapcsolódik hozzá.

A Pitagorasz-tétel bizonyításai

Az iskolai tankönyvek többnyire algebrai bizonyítást adnak. De a tétel lényege a geometriában van, ezért először is vegyük figyelembe a híres tétel azon bizonyításait, amelyek ezen a tudományon alapulnak.

1. bizonyíték

A Pitagorasz-tétel derékszögű háromszögre vonatkozó legegyszerűbb bizonyításához ideális feltételeket kell felállítani: legyen a háromszög ne csak derékszögű, hanem egyenlő szárú is. Okkal feltételezhető, hogy az ókori matematikusok eredetileg egy ilyen háromszögnek számítottak.

Nyilatkozat "egy derékszögű háromszög hipotenuszára épített négyzet egyenlő a lábaira épített négyzetek összegével" az alábbi rajzzal szemléltethető:

Nézze meg az ABC egyenlő szárú derékszögű háromszöget: Az AC hipotenuzon négy háromszögből álló négyzetet építhet, amely megegyezik az eredeti ABC-vel. És a négyzetre épített AB és BC lábakon, amelyek mindegyike két hasonló háromszöget tartalmaz.

Ez a rajz egyébként számos anekdota és rajzfilm alapját képezte, amelyeket a Pitagorasz-tételnek szenteltek. Talán a leghíresebb az "A Pitagorasz nadrág minden irányban egyenlő":

2. bizonyítás

Ez a módszer ötvözi az algebrát és a geometriát, és Bhaskari matematikus ősi indiai bizonyítékának egy változatának tekinthető.

Szerkesszünk egy derékszögű háromszöget oldalakkal a, b és c(1. ábra). Ezután építsünk két négyzetet, amelyek oldalai megegyeznek a két láb hosszának összegével - (a+b). Mindegyik négyzetben készítsen konstrukciókat a 2. és 3. ábrán látható módon.

Az első négyzetbe építsen négy ugyanolyan háromszöget, mint az 1. ábrán. Ennek eredményeként két négyzetet kapunk: az egyiknek a oldala, a másodiknak oldala b.

A második négyzetben négy hasonló háromszög alkot egy négyzetet, amelynek oldala egyenlő a befogóval c.

A 2. ábrán megszerkesztett négyzetek területeinek összege megegyezik a 3. ábrán a c oldallal megszerkesztett négyzet területével. Ez könnyen ellenőrizhető az ábra négyzeteinek területeinek kiszámításával. 2 a képlet szerint. A beírt négyzet területét pedig a 3. ábrán úgy, hogy a négyzetbe írt négy egyenlő derékszögű háromszög területét kivonjuk egy oldalsó nagy négyzet területéből. (a+b).

Mindezt leírva a következőket kapjuk: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Bontsa ki a zárójeleket, végezze el az összes szükséges algebrai számítást, és kapja meg azt a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Ugyanakkor a 3. ábrán beírt terület területe. négyzet a hagyományos képlettel is kiszámítható S=c2. Azok. a2+b2=c2 Bebizonyítottad a Pitagorasz-tételt.

3. bizonyíték

Ugyanezt az ősi indiai bizonyítékot írja le a 12. században „A tudás koronája” („Siddhanta Shiromani”) című értekezésben, és fő érvként a szerző a tanulók matematikai tehetségére és megfigyelőképességére irányuló felhívást használ. követői: „Nézd!”.

De ezt a bizonyítékot részletesebben elemezzük:

A négyzet belsejében építs négy derékszögű háromszöget a rajz szerint. A nagy négyzet oldalát, amely egyben a befogó is, jelöljük Val vel. Nevezzük a háromszög lábait aés b. A rajz szerint a belső négyzet oldala az (a-b).

Használja a négyzetterület képletét S=c2 a külső négyzet területének kiszámításához. És ugyanakkor számítsa ki ugyanazt az értéket a belső négyzet területének és a négy derékszögű háromszög területének összeadásával: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Mindkét lehetőséget használhatja egy négyzet területének kiszámításához, hogy megbizonyosodjon arról, hogy ugyanazt az eredményt adják. És ez jogot ad arra, hogy ezt leírd c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. A megoldás eredményeként megkapjuk a Pitagorasz-tétel képletét c2=a2+b2. A tétel bizonyítást nyert.

4. bizonyítás

Ezt a különös ősi kínai bizonyítékot „menyasszonyi széknek” nevezték el – az összes építményből származó székszerű alak miatt:

A második próba során a 3. ábrán már látott rajzot használja. A c oldalú belső négyzet pedig ugyanúgy van megszerkesztve, mint a fentebb megadott ősi indiai bizonyításban.

Ha gondolatban levágunk két zöld derékszögű háromszöget az 1. ábra rajzából, áthelyezzük a c oldalú négyzet ellentétes oldalaira, és a befogókat az orgona háromszögek befogóihoz rögzítjük, akkor egy „menyasszonyi” figurát kapunk. szék” (2. kép). Az egyértelműség kedvéért ugyanezt megteheti papír négyzetekkel és háromszögekkel. Látni fogja, hogy a "menyasszonyi szék" két négyzetből áll: kicsik, amelyeknek oldala van bés nagy oldalával a.

Ezek a konstrukciók lehetővé tették az ókori kínai matematikusok és az őket követők számára, hogy arra a következtetésre jutottak c2=a2+b2.

5. bizonyítás

Ez egy másik módja annak, hogy geometrián alapuló megoldást találjunk a Pitagorasz-tételre. Ezt Garfield-módszernek hívják.

Szerkesszünk derékszögű háromszöget ABC. Ezt be kell bizonyítanunk BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Ehhez folytassa a lábát ACés építs fel egy szegmenst CD, ami egyenlő a lábbal AB. Alsó merőleges HIRDETÉS vonalszakasz ED. Szegmensek EDés AC egyenlőek. összekötni a pontokat Eés NÁL NÉL, szintén Eés TÓL TŐLés kap egy rajzot, mint az alábbi képen:

A torony bizonyításához ismét a már kipróbált módszerhez folyamodunk: kétféleképpen keressük meg a kapott figura területét, és egyenlővé tesszük a kifejezéseket.

Keresse meg egy sokszög területét EGY ÁGY megtehető az azt alkotó három háromszög területeinek összeadásával. És egyikük ERU, nemcsak téglalap alakú, hanem egyenlő szárú is. Ne feledkezzünk meg arról sem AB=CD, AC=EDés BC=CE- ez lehetővé teszi számunkra, hogy leegyszerűsítsük a felvételt, és ne terheljük túl. Így, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Ugyanakkor nyilvánvaló, hogy EGY ÁGY egy trapéz. Ezért a területét a következő képlet segítségével számítjuk ki: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Számításainkhoz kényelmesebb és áttekinthetőbb a szegmens ábrázolása HIRDETÉS mint a szegmensek összege ACés CD.

Írjuk fel mindkét módszert az ábra területének kiszámítására úgy, hogy egyenlőségjelet teszünk közéjük: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). A jelölés jobb oldalának leegyszerűsítésére az általunk már ismert és fent leírt szegmensek egyenlőségét használjuk: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. És most kinyitjuk a zárójeleket, és átalakítjuk az egyenlőséget: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Az összes átalakítás után pontosan azt kapjuk, amire szükségünk van: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. A tételt bebizonyítottuk.

Természetesen a bizonyítékok listája még korántsem teljes. A Pitagorasz-tétel vektorok, komplex számok, differenciálegyenletek, sztereometria stb. És még a fizikusok is: ha például folyadékot öntünk a rajzokon láthatóhoz hasonló négyzet és háromszög alakú térfogatokba. Folyadék öntésével igazolható a területek egyenlősége és ennek eredményeként maga a tétel.

Néhány szó a Pitagorasz-hármasokról

Ezt a kérdést az iskolai tanterv kevéssé vagy egyáltalán nem vizsgálja. Eközben nagyon érdekes és nagy jelentősége van a geometriában. A Pitagorasz-hármasokat számos matematikai probléma megoldására használják. Ezek ötlete hasznos lehet a továbbképzésben.

Tehát mik azok a Pitagorasz-hármasok? Az úgynevezett természetes számok hármasban vannak összegyűjtve, amelyek közül kettő négyzetösszege egyenlő a harmadik szám négyzetével.

A Pitagorasz-hármasok lehetnek:

• primitív (mindhárom szám viszonylag prím);
• nem primitív (ha egy hármas minden számát megszorozzuk ugyanazzal a számmal, akkor egy új hármast kapunk, amely nem primitív).

Az ókori egyiptomiakat már korszakunk előtt is lenyűgözte a Pitagorasz-hármasok számmániája: a feladatokban egy derékszögű háromszöget vettek figyelembe, amelynek oldalai 3,4 és 5 egységnyiek. Egyébként minden olyan háromszög, amelynek oldalai megegyeznek a Pitagorasz-hármasból származó számokkal, alapértelmezés szerint téglalap alakú.

Példák a Pythagorean-hármasokra: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) stb.

A tétel gyakorlati alkalmazása

A Pitagorasz-tétel nemcsak a matematikában, hanem az építészetben és az építőiparban, a csillagászatban, sőt az irodalomban is alkalmazható.

Először is a konstrukcióról: a Pitagorasz-tételt széles körben használják benne különböző bonyolultságú problémákban. Például nézze meg a román stílusú ablakot:

Jelöljük az ablak szélességét mint b, akkor a nagy félkör sugarát így jelölhetjük Rés kifejezni keresztül b: R=b/2. A kisebb félkörök sugara kifejezhető kifejezésekkel is b: r=b/4. Ebben a feladatban minket az ablak belső körének sugara érdekel (nevezzük p).

A Pitagorasz-tétel csak jól jön a számításhoz R. Ehhez egy derékszögű háromszöget használunk, amelyet az ábrán pontozott vonal jelöl. A háromszög hipotenusza két sugárból áll: b/4+p. Az egyik láb egy sugár b/4, egy másik b/2-p. A Pitagorasz-tétel segítségével ezt írjuk: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Ezután kinyitjuk a zárójeleket, és megkapjuk b 2 / 16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 bp + p 2. Alakítsuk át ezt a kifejezést a következőre bp/2=b 2 /4-bp. És akkor felosztjuk az összes kifejezést b, hasonlókat adunk kapni 3/2*p=b/4. És a végén azt találjuk p=b/6- amire szükségünk volt.

A tétel segítségével kiszámíthatja a szarufák hosszát egy nyeregtetőhöz. Határozza meg, milyen magas mobiltoronyra van szükség ahhoz, hogy a jel elérjen egy adott települést! És még mindig fel kell szerelni egy karácsonyfát a város főterére. Mint látható, ez a tétel nem csak a tankönyvek lapjain él, hanem gyakran hasznos a való életben is.

Ami az irodalmat illeti, a Pitagorasz-tétel az ókor óta ihlette az írókat, és ez ma is. Például a tizenkilencedik századi német írónőt, Adelbert von Chamissót ő ihlette meg egy szonett megírására:

Az igazság fénye nem oszlik el egyhamar,
De miután ragyogott, nem valószínű, hogy eloszlik
És mint több ezer évvel ezelőtt,
Nem okoz kétségeket és vitákat.

A legbölcsebb, ha megérinti a szemet
Az igazság fénye, hála az isteneknek;
És száz bika, leszúrva, hazudik -
A szerencsés Pythagoras viszonzási ajándéka.

Azóta a bikák kétségbeesetten üvöltenek:
Örökre felkeltette a bika törzset
itt említett esemény.

Azt hiszik, itt az ideje
És ismét feláldozzák őket
Valami nagyszerű tétel.

(fordította: Viktor Toporov)

A huszadik században pedig Jevgenyij Veltisztov szovjet író "Az elektronika kalandjai" című könyvében egy egész fejezetet szentelt a Pitagorasz-tétel bizonyításának. És egy fél fejezet egy olyan kétdimenziós világról, amely létezhetne, ha a Pitagorasz-tétel egyetlen világ alaptörvényévé, sőt vallásává válna. Sokkal könnyebb lenne benne élni, de sokkal unalmasabb is: ott például senki sem érti a „kerek” és a „bolyhos” szavak jelentését.

A „The Adventures of Electronics” című könyvben pedig a szerző Taratara matematikatanár száján keresztül ezt mondja: „A matematikában a legfontosabb a gondolatok mozgása, az új ötletek.” Ez a kreatív gondolatmenet generálja a Pitagorasz-tételt – nem hiába van annyi sokféle bizonyítéka. Segít túllépni a megszokotton, és új szemmel nézni az ismerős dolgokat.

Következtetés

Ezt a cikket azért hoztuk létre, hogy a matematika iskolai tantervén túl nézhessen, és ne csak a Pitagorasz-tétel azon bizonyításait tanulja meg, amelyek a „Geometria 7-9” (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) és a „Geometry 7-11” tankönyvekben találhatók. ” (A.V. Pogorelov), hanem más furcsa módokat is a híres tétel bizonyítására. És lásson példákat arra is, hogyan alkalmazható a Pitagorasz-tétel a mindennapi életben.

Először is, ez az információ lehetővé teszi, hogy magasabb pontszámokat szerezzen a matematika órákon – a témával kapcsolatos további forrásokból származó információkat mindig nagyra értékeljük.

Másodszor, segíteni akartunk abban, hogy átérezhesse, milyen érdekes a matematika. Konkrét példákkal meggyőződni arról, hogy mindig van benne hely a kreativitásnak. Reméljük, hogy a Pitagorasz-tétel és ez a cikk ösztönözni fogja Önt saját kutatásaira és izgalmas felfedezéseire a matematika és más tudományok területén.

Mondja el nekünk a megjegyzésekben, ha érdekesnek találta a cikkben bemutatott bizonyítékokat. Hasznosnak találta ezeket az információkat tanulmányai során? Ossza meg velünk, mit gondol a Pitagorasz-tételről és erről a cikkről – mindezt szívesen megbeszéljük Önnel.

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

itthon

A Pitagorasz-tétel bizonyításának módjai.

G. Glaser,
A moszkvai Orosz Oktatási Akadémia akadémikusa

A Pitagorasz-tételről és annak bizonyításáról

A derékszögű háromszög hipotenuszára épített négyzet területe megegyezik a lábaira épített négyzetek területeinek összegével...

Ez az ókor egyik leghíresebb geometriai tétele, amelyet Pitagorasz-tételnek neveznek. Még mindig szinte mindenki ismeri, aki valaha is tanult planimetriát. Számomra úgy tűnik, hogy ha tudatni akarjuk a földönkívüli civilizációkkal az intelligens élet létezéséről a Földön, akkor el kell küldenünk a pitagorasz alakjának képét az űrbe. Úgy gondolom, hogy ha a gondolkodó lények el tudják fogadni ezt az információt, akkor bonyolult jeldekódolás nélkül megértik, hogy van egy meglehetősen fejlett civilizáció a Földön.

A híres görög filozófus és matematikus, Szamoszi Pythagoras, akiről a tételt elnevezték, körülbelül 2,5 ezer évvel ezelőtt élt. A Pythagorasról hozzánk eljutott életrajzi információk töredékesek és távolról sem megbízhatóak. Számos legenda fűződik nevéhez. Hitelesen ismert, hogy Pythagoras sokat utazott a keleti országokban, járt Egyiptomban és Babilonban. Dél-Olaszország egyik görög kolóniáján megalapította a híres "pytagorasz iskolát", amely fontos szerepet játszott az ókori Görögország tudományos és politikai életében. Pitagorasz nevéhez fűződik a jól ismert geometriai tétel bizonyítása. A híres matematikusok (Proclus, Plutarch stb.) által terjesztett legendák alapján sokáig azt hitték, hogy ez a tétel nem volt ismert Pythagoras előtt, innen ered a név - a Pitagorasz-tétel.

Kétségtelen azonban, hogy ezt a tételt sok évvel Pitagorasz előtt ismerték. Tehát 1500 évvel Pythagoras előtt az ókori egyiptomiak tudták, hogy a 3-as, 4-es és 5-ös oldalú háromszög téglalap alakú, és ezt a tulajdonságot (azaz Pitagorasz inverz tételét) használták derékszögek megalkotására a telkek és az épületek építésekor. És még ma is a vidéki építők és asztalosok, a kunyhó alapjait lefektetve, annak részleteit elkészítve, megrajzolják ezt a háromszöget, hogy derékszöget kapjanak. Ugyanezt tették több ezer évvel ezelőtt csodálatos templomok építésénél Egyiptomban, Babilonban, Kínában és valószínűleg Mexikóban. A hozzánk eljutott legrégebbi kínai matematikai és csillagászati ​​mű, a Zhou-bi, amelyet körülbelül 600 évvel Püthagorasz előtt írtak, többek között a derékszögű háromszöggel kapcsolatos javaslatok mellett, a Pitagorasz-tétel is megtalálható. Már korábban is ismerték ezt a tételt a hinduk. Püthagorasz tehát nem fedezte fel a derékszögű háromszögnek ezt a tulajdonságát, valószínűleg ő volt az első, aki általánosította és bebizonyította, ezzel áthelyezve a gyakorlat területéről a tudomány területére. Nem tudjuk, hogyan csinálta. Egyes matematikatörténészek feltételezik, hogy ennek ellenére Pythagoras bizonyítása nem volt alapvető, hanem csak megerősítése, igazolása ennek a tulajdonságnak számos meghatározott háromszögtípuson, kezdve egy egyenlő szárú derékszögű háromszöggel, amelyre nyilvánvalóan az 1. ábrából következik. egy.

TÓL TŐL Ősidők óta a matematikusok egyre több bizonyítékot találtak a Pitagorasz-tételre, egyre több ötletet a bizonyítására. Több mint másfélszáz ilyen - többé-kevésbé szigorú, többé-kevésbé vizuális - bizonyítvány ismert, de a számuk növelésének vágya megmaradt. Úgy gondolom, hogy a Pitagorasz-tétel bizonyításának független "felfedezése" hasznos lesz a modern iskolások számára.

Nézzünk néhány példát olyan bizonyítékokra, amelyek az ilyen keresések irányát sugallhatják.

Pythagoras bizonyítéka

"A derékszögű háromszög hipotenuszára épített négyzet egyenlő a lábaira épített négyzetek összegével." A tétel legegyszerűbb bizonyítását egyenlő szárú derékszögű háromszög legegyszerűbb esetben kapjuk. Valószínűleg vele kezdődött a tétel. Valójában elég csak az egyenlő szárú derékszögű háromszögek csempézését megnézni, hogy lássuk, a tétel igaz. Például DABC esetén: egy négyzet, amely a hipotenuszra épül AU, 4 kezdő háromszöget és a lábakra kettővel épített négyzeteket tartalmaz. A tétel bizonyítást nyert.

Bizonyítások az egyenlő alakterület fogalmának használatán alapulnak.

Ugyanakkor tekinthetünk olyan bizonyításoknak is, amelyekben egy adott derékszögű háromszög hipotenusára épített négyzet ugyanazokból a figurákból „áll össze”, mint a lábakra épített négyzetek. Tekinthetünk olyan bizonyításokat is, amelyekben az ábrák kifejezéseinek permutációját használják, és számos új ötletet vesznek figyelembe.

ábrán. A 2. ábra két egyenlő négyzetet mutat. Minden négyzet oldalának hossza a + b. Mindegyik négyzet négyzetekből és derékszögű háromszögekből álló részekre van felosztva. Nyilvánvaló, hogy ha a négyzetterületből kivonjuk az a, b lábakkal rendelkező derékszögű háromszög négyes területét, akkor egyenlő területek maradnak, azaz c 2 \u003d a 2 + b 2. Az ókori hinduk azonban, akikhez ez az okfejtés tartozik, általában nem írták le, hanem csak egy szóval kísérték a rajzot: „nézd!” Nagyon valószínű, hogy Pythagoras ugyanezt a bizonyítékot kínálta.

additív bizonyíték.

Ezek a bizonyítások a lábakra épített négyzetek figurákra bontásán alapulnak, amelyekből összeadható a hipotenuzusra épített négyzet.

Itt: ABC egy derékszögű háromszög C derékszögű; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Bizonyítsa be saját kezűleg a háromszögek páronkénti egyenlőségét a lábakra épített négyzetek és a befogó felosztásával!

Bizonyítsa be a tételt ezzel a partícióval.

 Al-Nairiziya bizonyítása alapján a négyzetek egy újabb, páronkénti egyenlő figurákra való felbontását végezték el (5. ábra, itt ABC egy derékszögű C derékszögű háromszög).

 Egy másik bizonyíték a négyzetek egyenlő részekre bontásának módszerével, az úgynevezett "lapátos kerék" látható az 1. ábrán. 6. Itt: ABC egy derékszögű háromszög C derékszögű; O - egy nagy lábra épített négyzet közepe; az O ponton átmenő szaggatott vonalak merőlegesek vagy párhuzamosak a hipotenusszal.

 Ez a négyzetfelbontás abból a szempontból érdekes, hogy páronként egyenlő négyszögei párhuzamos fordítással egymásra képezhetők. A Pitagorasz-tétel számos más bizonyítása is felkínálható a négyzetek alakra bontásával.

Bizonyítás kiterjesztési módszerrel.

Ennek a módszernek az a lényege, hogy a lábakra épített négyzetekre és a befogóra épített négyzetekre egyenlő alakokat rögzítünk úgy, hogy egyenlő alakzatokat kapjunk.

A Pitagorasz-tétel érvényessége az AEDFPB és ACBNMQ hatszögek egyenlő méretéből következik. Itt CEP, az EP vonal az AEDFPB hatszöget két egyenlő területű négyszögre, a CM egyenes az ACBNMQ hatszöget két egyenlő területű négyszögre osztja; a sík A középpont körüli 90°-os elforgatása leképezi az AEPB négyszöget az ACMQ négyszögre.

ábrán. 8 A Pitagorasz-figurát téglalappá egészítjük ki, melynek oldalai párhuzamosak a lábakra épített négyzetek megfelelő oldalaival. Bontsuk ezt a téglalapot háromszögekre és téglalapokra. Először az összes 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sokszöget kivonjuk a kapott téglalapból, így a befogópontra egy négyzetet hagyunk. Ekkor ugyanabból a téglalapból kivonjuk az 5, 6, 7 téglalapokat és az árnyékolt téglalapokat, a lábakra épített négyzeteket kapunk.

Most bizonyítsuk be, hogy az első esetben kivont számok mérete megegyezik a második esetben kivont számokkal.

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

ezért c 2 = a 2 + b 2.

OCLP=ACLF=ACED=b2;

CBML = CBNQ = a 2;

OBMP = ABMF = c 2 ;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2 .

Algebrai bizonyítási módszer.

	Rizs. A 12. ábra a nagy indiai matematikus, Bhaskari (a Lilavati híres szerzője, X. 2. század). A rajzot egyetlen szó kísérte: NÉZD! A Pitagorasz-tétel algebrai módszerrel történő bizonyításai között az első helyet (talán a legrégebbi) a hasonlóságot használó bizonyítás foglalja el.
	Mutassunk be egy modern prezentációban egy ilyen bizonyítást, amely Pythagorashoz tartozik.

H és ábra. 13 ABC - téglalap, C - derékszög, CMAB, b 1 - a b láb vetülete a hipotenuszon, a 1 - az a láb vetülete a hipotenuszon, h - a befogóhoz húzott háromszög magassága.

Abból, hogy az ABC hasonló az ACM-hez, az következik

b 2 \u003d cb 1; (egy)

abból, hogy ABC hasonló a BCM-hez, az következik

a 2 = kb 1. (2)

Az (1) és (2) egyenlőségeket tagonként összeadva a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 -t kapjuk.

Ha Pythagoras valóban felkínált egy ilyen bizonyítékot, akkor számos fontos geometriai tételt is ismerte, amelyeket a modern matematikatörténészek általában Eukleidésznek tulajdonítanak.

Möllmann bizonyítása (14. kép). Ennek a derékszögű háromszögnek a területe egyrészt egyenlő, másrészt ahol p a háromszög fél kerülete, r a beleírt kör sugara Nekünk van:

amiből az következik, hogy c 2 =a 2 +b 2.

a másodikban

Ha ezeket a kifejezéseket egyenlővé tesszük, megkapjuk a Pitagorasz-tételt.

Kombinált módszer

Háromszögek egyenlősége

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

A (3) és (4) összefüggések összehasonlításával azt kapjuk, hogy

c 1 2 = c 2 vagy c 1 = c.

Így a háromszögek - adott és megszerkesztett - egyenlőek, mivel három egyenlő oldaluk van. A C 1 szög derékszögű, tehát ennek a háromszögnek a C szöge is jó.

Ősi indiai bizonyítékok.

Az ókori India matematikusai észrevették, hogy a Pitagorasz-tétel bizonyításához elegendő az ókori kínai rajz belsejét használni. A 20. század legnagyobb indiai matematikusa pálmalevelekre írt „Siddhanta Shiromani” („A tudás koronája”) értekezésében. Bha-skara elhelyezett egy rajzot (4. ábra)

az indiai bizonyítékokra jellemző l a „nézd!” szó. Amint láthatja, itt derékszögű háromszögek vannak egymásra halmozva, az alsó részük kifelé és a négyzet Val vel 2 átült a "menyasszonyi székre" Val vel 2 -b 2 . Vegye figyelembe, hogy a Pitagorasz-tétel speciális esetei (például kétszer akkora területű négyzet felépítése 4. ábra ennek a térnek a területe) megtalálható az ősi indiai „Sulva” értekezésben

Megoldottak egy derékszögű háromszöget és a lábaira épített négyzeteket, vagyis 16 egyforma egyenlő szárú derékszögű háromszögből álló, így egy négyzetbe illeszkedő figurákat. Ez egy liliom. az ókori matematika gyöngyszemében – a Pitagorasz-tételben – rejtett gazdagság egy kis töredéke.

Ősi kínai bizonyítékok.

Az ókori Kína matematikai értekezései a 2. századi kiadásban jutottak el hozzánk. IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. Az tény, hogy ie 213-ban. Shi Huang-di kínai császár, a régi hagyományok felszámolására törekedve, elrendelte az összes ősi könyv elégetését. A P c. IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. Kínában találták fel a papírt és ezzel egy időben megkezdődött az ősi könyvek rekonstrukciója. Ennek a bizonyítéknak a kulcsát nem nehéz megtalálni. Valójában az ókori kínai rajzon négy egyenlő derékszögű háromszög található a, b katéterekkel és hipotenuzszal. Val vel egymásra rakva G) hogy a külső körvonaluk a 2. ábrán egy oldalsó négyzetet alkosson a + b, a belső pedig egy c oldalú négyzet, amely a hipotenuzusra épül (2. ábra, b). Ha kivágunk egy c oldalú négyzetet, és a maradék 4 árnyékolt háromszöget két téglalapba helyezzük (2. ábra, ban ben), világos, hogy a kapott űr egyrészt egyenlő TÓL TŐL 2 , és a másikon - Val vel 2 +b 2 , azok. c 2 \u003d  2 + b 2. A tétel bizonyítást nyert. Vegyük észre, hogy egy ilyen bizonyítással nem használjuk azokat a konstrukciókat, amelyek az ókori kínai rajzon (2. ábra, a) láthatók a négyzeten belül a hipotenuszon. Nyilvánvalóan az ókori kínai matematikusoknak más bizonyítékuk volt. Pontosan ha egy oldalsó négyzetben Val vel két árnyékolt háromszög (2. ábra, b) vágja le és csatlakoztassa a hypotenusokat a másik két hypotenushoz (2. ábra, G), azt könnyű megtalálni

Az így kapott figura, amelyet néha "menyasszonyi széknek" is neveznek, két oldalsó négyzetből áll aés b, azok. c 2 == a 2 +b 2 .

H A 3. ábra a "Zhou-bi ..." értekezés rajzát reprodukálja. Itt a Pitagorasz-tételt veszik figyelembe az egyiptomi háromszög 3-as, 4-es lábaival és 5-ös hipotenuszával. A hipotenuszon lévő négyzet 25 sejtet tartalmaz, a nagyobb lábon lévő négyzet pedig 16-ot. Nyilvánvaló, hogy a fennmaradó rész 9 cellát tartalmaz. Ez lesz a négyzet a kisebb lábon.

1

Shapovalova L.A. (Egorlykskaya állomás, MBOU ESOSH 11. sz.)

1. Glazer G.I. Matematika története az iskolában VII - VIII évfolyam, Útmutató tanároknak, - M: Nevelés, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. „Matematika tankönyv lapjai mögött” Kézikönyv 5-6. – M.: Felvilágosodás, 1989.

3. Zenkevich I.G. "A matematika óra esztétikája". – M.: Felvilágosodás, 1981.

4. Litzman V. A Pitagorasz-tétel. - M., 1960.

5. Voloshinov A.V. "Püthagorasz". - M., 1993.

6. Pichurin L.F. "Túl egy algebrai tankönyv lapjain". - M., 1990.

7. Zemljakov A.N. – Geometria a 10. osztályban. - M., 1986.

8. „Matematika” újság 17/1996.

9. „Matematika” újság 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. "Feladatgyűjtemény az elemi matematikában". - M., 1963.

11. Dorofejev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. "Matematika kézikönyv". - M., 1973.

12. Scsetnyikov A.I. "A számról és nagyságról szóló pitagorasz-doktrína". - Novoszibirszk, 1997.

13. „Valós számok. Irracionális kifejezések» 8. évfolyam. Tomszki Egyetemi Kiadó. – Tomszk, 1997.

14. Atanasyan M.S. „Geometria” 7-9. – M.: Felvilágosodás, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Ebben a tanévben megismerkedtem egy érdekes tétellel, amely, mint kiderült, ősidők óta ismert:

"A derékszögű háromszög hipotenuszára épített négyzet egyenlő a lábakra épített négyzetek összegével."

Ennek az állításnak a felfedezését általában az ókori görög filozófusnak és matematikusnak, Pythagorasnak tulajdonítják (Kr. e. VI. század). De az ősi kéziratok tanulmányozása kimutatta, hogy ez az állítás már jóval Pitagorasz születése előtt ismert volt.

Azon tűnődtem, hogy ebben az esetben miért kapcsolódik Pitagorasz nevéhez.

A téma aktualitása: A Pitagorasz-tétel nagy jelentőséggel bír: a geometriában szó szerint minden lépésnél használatos. Úgy gondolom, hogy Pythagoras művei továbbra is aktuálisak, mert bármerre nézünk, mindenhol láthatjuk nagyszerű ötleteinek gyümölcsét, a modern élet különböző ágaiban megtestesülve.

Kutatásom célja az volt, hogy megtudjam, ki volt Pythagoras, és milyen kapcsolata van ezzel a tétellel.

Tanulmányozva a tétel történetét, úgy döntöttem, hogy megtudom:

Vannak más bizonyítékai ennek a tételnek?

Mi a jelentősége ennek a tételnek az emberek életében?

Milyen szerepet játszott Pitagorasz a matematika fejlődésében?

Pythagoras életrajzából

Szamoszi Pythagoras nagy görög tudós. Hírneve a Pitagorasz-tétel nevéhez fűződik. Bár ma már tudjuk, hogy ezt a tételt az ókori Babilonban 1200 évvel Pitagorasz előtt, Egyiptomban pedig 2000 évvel előtte ismerték a 3, 4, 5 oldalú derékszögű háromszöget, mégis ennek az ősinek a nevén nevezzük. tudós.

Szinte semmit sem tudunk megbízhatóan Pythagoras életéről, de nevéhez fűződik nagyszámú legendák.

Pythagoras ie 570-ben született Szamosz szigetén.

Pythagoras jóképű volt, hosszú szakállt viselt, fején arany diadém volt. A Pythagoras nem név, hanem becenév, amelyet a filozófus azért kapott, mert mindig helyesen és meggyőzően beszélt, mint egy görög orákulum. (Püthagorasz – „meggyőző beszéd”).

Kr.e. 550-ben Pythagoras döntést hoz és Egyiptomba megy. Tehát egy ismeretlen ország és egy ismeretlen kultúra nyílik meg Pythagoras előtt. Nagyon lenyűgözte és meglepte Pythagorast ebben az országban, és az egyiptomiak életének néhány megfigyelése után Pythagoras rájött, hogy a papok kasztja által védett tudáshoz vezető út a valláson keresztül vezet.

Tizenegy év egyiptomi tanulás után Pythagoras hazájába megy, ahol útközben babiloni fogságba esik. Ott ismerkedik meg a babiloni tudománnyal, amely fejlettebb volt, mint az egyiptomi. A babilóniaiak tudták, hogyan kell lineáris, másodfokú és bizonyos típusú köbös egyenleteket megoldani. A fogságból megszökve nem maradhatott sokáig hazájában az ott uralkodó erőszak és zsarnokság légköre miatt. Úgy döntött, hogy Crotonba költözik (egy görög gyarmat Észak-Olaszországban).

Crotonban kezdődik Pythagoras életének legdicsőségesebb időszaka. Ott valami vallási-etikai testvériséget vagy titkos szerzetesrendet hozott létre, amelynek tagjai az úgynevezett pitagoreus életmódot kötelezték.

Pythagoras és a pitagoreusok

Püthagorasz az Appenninek-félsziget déli részén fekvő görög kolónián vallási és etikai testvériséget szervezett, például szerzetesrendet, amelyet később Pitagorasz Uniónak neveztek el. A szakszervezet tagjainak bizonyos alapelvekhez kellett ragaszkodniuk: egyrészt törekedni kell a szépre és a dicsőségesre, másodsorban a hasznosságra, harmadrészt pedig a nagy örömre.

Az erkölcsi és etikai szabályok rendszerét, amelyet Pythagoras tanítványaira hagyott, a pitagoreusok egyfajta erkölcsi kódexévé állította össze "Aranyversek", amelyek nagyon népszerűek voltak az ókor, a középkor és a reneszánsz korszakában.

A Pitagorasz tanulmányi rendszere három részből állt:

Tanítások a számokról - aritmetika,

Tanítások a figurákról - geometria,

Tanítások a világegyetem felépítéséről - csillagászat.

A Pythagoras által felállított oktatási rendszer sok évszázadon át tartott.

Pythagoras iskolája sokat tett azért, hogy a geometriát a tudomány jellegével ruházza fel. A Pythagorean módszer fő jellemzője a geometria és az aritmetika kombinációja volt.

Pythagoras sokat foglalkozott az arányokkal és a progressziókkal, és valószínűleg az ábrák hasonlóságával is, mivel a probléma megoldásában őt tulajdonítják: „Készítsen egy harmadikat, amely az egyik adattal megegyező és a másodikhoz hasonló, a két számadat adott."

Pythagoras és tanítványai bemutatták a sokszögű, barátságos, tökéletes számok fogalmát, és tanulmányozták tulajdonságaikat. Az aritmetika, mint a számítás gyakorlata, nem érdekelte Pythagorast, és büszkén kijelentette, hogy "az aritmetikát a kereskedő érdekei fölé helyezi".

A Pitagorasz Unió tagjai Görögország számos városában éltek.

A püthagoreusok nőket is befogadtak társadalmukba. A szakszervezet több mint húsz évig virágzott, majd megkezdődött tagjai üldözése, sok diákot megöltek.

Magának Pythagorasnak a haláláról sok különböző legenda szólt. De Pythagoras és tanítványai tanításai továbbra is éltek.

A Pitagorasz-tétel keletkezésének történetéből

Jelenleg ismert, hogy ezt a tételt nem Pythagoras fedezte fel. Egyesek azonban úgy vélik, hogy Pythagoras volt az, aki először bizonyította teljes mértékben, míg mások tagadják ezt az érdemét. Egyesek Pythagorasnak tulajdonítják azt a bizonyítékot, amelyet Eukleidész az Elemek első könyvében közöl. Másrészt Proklosz azt állítja, hogy az Elemek bizonyítása magának Eukleidésznek köszönhető. Amint látjuk, a matematikatörténetnek szinte nincs megbízható konkrét adata Pythagoras életéről és matematikai tevékenységéről.

Kezdjük a Pitagorasz-tétel történeti áttekintését az ókori Kínával. Itt Chu-pei matematikai könyve vonzza különös figyelmet. Ez az esszé ezt mondja a 3-as, 4-es és 5-ös oldalú Pitagorasz-háromszögről:

"Ha egy derékszöget alkotórészeire bontjuk, akkor az oldalainak végeit összekötő vonal 5 lesz, ha az alap 3 és a magasság 4."

Nagyon könnyű reprodukálni az építési módjukat. Vegyünk egy 12 m hosszú kötelet, és kössük rá egy színes csík mentén 3 m távolságban. egyik végétől és 4 méterre a másiktól. A 3 és 4 méter hosszú oldalak között derékszöget zárnak be.

A hinduk geometriája szorosan összefüggött a kultusszal. Nagy valószínűséggel a hipotenusz négyzettétele már ismert volt Indiában az ie 8. század körül. A tisztán rituális előírások mellett vannak geometriailag teológiai jellegű művek is. Ezekben az írásokban, amelyek a Kr.e. 4. vagy 5. századra nyúlnak vissza, egy derékszög felépítésével találkozunk egy 15, 36, 39 oldalú háromszög felhasználásával.

A középkorban a Pitagorasz-tétel meghatározta a határt, ha nem is a lehető legnagyobb, de legalább a jó matematikai tudás határát. A Pitagorasz-tétel jellegzetes rajzát, amelyet manapság az iskolások időnként például professzori vagy férfiköntösbe öltöztetett cilinderré varázsoltak, akkoriban gyakran használták a matematika szimbólumaként.

Befejezésül bemutatjuk a Pitagorasz-tétel különféle megfogalmazásait görög, latin és német nyelvről lefordítva.

Eukleidész tétele így szól (szó szerinti fordítás):

"Egy derékszögű háromszögben a derékszöget átívelő oldal négyzete egyenlő a derékszöget bezáró oldalak négyzeteivel."

Mint látható, a különböző országokban és különböző nyelveken az ismerős tétel megfogalmazásának különböző változatai léteznek. Különböző időpontokban és különböző nyelveken készültek, egy-egy matematikai minta lényegét tükrözik, amelynek bizonyítására is több lehetőség kínálkozik.

Öt módszer a Pitagorasz-tétel bizonyítására

ősi kínai bizonyítékok

Egy ősi kínai rajzon négy egyenlő derékszögű háromszög a, b lábakkal és c befogóval van egymásra rakva úgy, hogy a külső körvonaluk a + b oldalú négyzetet, a belső pedig egy c oldalú négyzetet alkot, amely az átfogó

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

J. Gardfield bizonyítéka (1882)

Rendezzünk két egyenlő derékszögű háromszöget úgy, hogy az egyik szára a másik folytatása legyen.

A vizsgált trapéz területét az alapok összegének felének és a magasságnak a szorzataként kapjuk

Másrészt a trapéz területe megegyezik a kapott háromszögek területének összegével:

Ha ezeket a kifejezéseket egyenlővé tesszük, a következőket kapjuk:

A bizonyíték egyszerű

Ezt a bizonyítást egy egyenlő szárú derékszögű háromszög legegyszerűbb esetben kapjuk meg.

Valószínűleg vele kezdődött a tétel.

Valójában elég csak az egyenlő szárú derékszögű háromszögek csempézését megnézni, hogy lássuk, a tétel igaz.

Például az ABC háromszögre: az AC hipotenuzra épített négyzet 4 kezdőháromszöget tartalmaz, a lábakra épített négyzetek pedig kettőt. A tétel bizonyítást nyert.

Az ősi hinduk bizonyítéka

Egy (a + b) oldalú négyzet részekre osztható, mint az ábra szerint. 12. a, vagy mint az ábra. 12b. Jól látható, hogy az 1., 2., 3., 4. rész mindkét ábrán megegyezik. És ha az egyenlőkből kivonjuk az egyenlőket (területeket), akkor egyenlők maradnak, ti. c2 = a2 + b2.

Eukleidész bizonyítéka

Két évezreden keresztül a legelterjedtebb az Eukleidész által feltalált Pitagorasz-tétel bizonyítása volt. A híres "Kezdetek" című könyvében található.

Euklidész a derékszög csúcsától a befogóig csökkentette a BH magasságot, és bebizonyította, hogy kiterjesztése a hipotenuszon elkészült négyzetet két téglalapra osztja, amelyek területei megegyeznek a lábakra épített megfelelő négyzetek területével.

A tétel bizonyításához használt rajzot tréfásan "Pitagorasz nadrágnak" nevezik. Sokáig a matematikai tudomány egyik szimbólumának számított.

A Pitagorasz-tétel alkalmazása

A Pitagorasz-tétel jelentősége abban rejlik, hogy a geometria tételeinek nagy része levezethető belőle vagy segítségével, és sok probléma megoldható. Ezen túlmenően a Pitagorasz-tétel és inverz tételének gyakorlati jelentősége abban rejlik, hogy segítségével meg lehet határozni a szakaszok hosszát anélkül, hogy magukat a szakaszokat megmérnénk. Ez mintegy megnyitja az utat az egyenes vonaltól a síkhoz, a síktól a térfogati térig és tovább. Ez az oka annak, hogy a Pitagorasz-tétel olyan fontos az emberiség számára, amely több dimenziót kíván felfedezni és technológiákat létrehozni ezekben a dimenziókban.

Következtetés

A Pitagorasz-tétel annyira híres, hogy nehéz elképzelni olyan embert, aki ne hallott volna róla. Megtanultam, hogy a Pitagorasz-tétel bizonyításának többféle módja van. Számos történelmi és matematikai forrást tanulmányoztam, beleértve az internetes információkat is, és rájöttem, hogy a Pitagorasz-tétel nemcsak története miatt érdekes, hanem azért is, mert fontos helyet foglal el az életben és a tudományban. Erről tanúskodnak a tétel szövegének általam ebben a dolgozatban adott különféle értelmezései és bizonyítási módjai.

Tehát a Pitagorasz-tétel a geometria egyik fő és, mondhatni, legfontosabb tétele. Jelentősége abban rejlik, hogy a geometria tételeinek nagy része levezethető belőle, illetve segítségével. A Pitagorasz-tétel abból a szempontból is figyelemre méltó, hogy önmagában egyáltalán nem nyilvánvaló. Például egy egyenlő szárú háromszög tulajdonságai közvetlenül a rajzon láthatók. De akármennyire is nézel egy derékszögű háromszöget, soha nem fogod látni, hogy az oldalai között egyszerű összefüggés van: c2 = a2 + b2. Ezért gyakran használják a vizualizációt ennek bizonyítására. Pythagoras érdeme az volt, hogy teljes tudományos bizonyítékot adott ennek a tételnek. Érdekes magának a tudósnak a személyisége, akinek emlékét nem véletlenül őrzi meg ez a tétel. Pythagoras csodálatos szónok, tanár és oktató, iskolájának szervezője, aki a zene és a számok harmóniájára, a jóságra és az igazságosságra, a tudásra és az egészséges életmódra összpontosít. Példaként szolgálhat nekünk, távoli leszármazottaknak.

Bibliográfiai link

Tumanova S.V. TÖBB MÓD A PYTHAGOREUSI TÉTEL BIZONYÍTÁSÁRA // Kezdje el a tudományban. - 2016. - 2. sz. - P. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (elérés dátuma: 2019.02.21.).

Akit érdekel az iskolai tantervben tanulmányozott Pitagorasz-tétel története, az egy olyan tényre is kíváncsi lesz, mint egy könyv 1940-ben megjelent kiadása, amely háromszázhetven bizonyítékát tartalmazza ennek az egyszerűnek tűnő tételnek. De sok különböző korszak matematikusát és filozófusát felkeltette az érdeklődés. A Guinness Rekordok Könyvében tételként szerepel a maximális számú bizonyítással.

A Pitagorasz-tétel története

A Pythagoras nevéhez kapcsolódó tétel már jóval a nagy filozófus születése előtt ismert volt. Tehát Egyiptomban a szerkezetek építése során ötezer évvel ezelőtt vették figyelembe a derékszögű háromszög oldalainak arányát. A babiloni szövegek egy derékszögű háromszög oldalainak azonos arányát említik 1200 évvel Pythagoras születése előtt.

Felmerül a kérdés, hogy akkor miért mondja a történet – a Pitagorasz-tétel megjelenése az övé? Csak egy válasz lehet – bizonyította a háromszög oldalainak arányát. Megtette azt, amit azok, akik egyszerűen csak a képarányt és a tapasztalatok alapján megállapított hipotenuszt használták, évszázadokkal ezelőtt nem.

Pythagoras életéből

A leendő nagy tudós, matematikus, filozófus Szamosz szigetén született ie 570-ben. Történelmi dokumentumok őriztek információkat Pitagorasz édesapjáról, aki drágakőfaragó volt, de anyjáról nincs információ. A megszületett fiúról azt mondták, hogy kiemelkedő gyermek volt, aki gyermekkora óta szenvedélyt mutatott a zene és a költészet iránt. A történészek az ifjú Pythagoras tanítóinak tulajdonítják a szírosi Hermodamant és Pherekides. Az első bevezette a fiút a Múzsák világába, a második pedig filozófusként és az olasz filozófiai iskola megalapítójaként a logoszra irányította a fiatalember tekintetét.

22 évesen (i. e. 548) Pythagoras Naokratiszba ment, hogy tanulmányozza az egyiptomiak nyelvét és vallását. Továbbmenve, útja Memphisben volt, ahol a leleményes próbáikon átesett papoknak köszönhetően megértette az egyiptomi geometriát, ami talán arra késztette a kíváncsi fiatalembert, hogy bebizonyítsa a Pitagorasz-tételt. A történelem később ezt a nevet fogja tulajdonítani a tételnek.

Babilon királya elfogta

Hazafelé Hellászba tartva Pythagorast elfogja Babilon királya. De a fogságban való tartózkodás jót tett a kezdő matematikus érdeklődő elméjének, sokat kellett tanulnia. Valójában azokban az években Babilonban fejlettebb volt a matematika, mint Egyiptomban. Tizenkét évig tanult matematikát, geometriát és mágiát. És talán a babiloni geometria volt az, amely részt vett a háromszög oldalai arányának bizonyításában és a tétel felfedezésének történetében. Pitagorasznak volt ehhez elegendő tudása és ideje. De hogy ez Babilonban történt, ennek nincs okirati megerősítése vagy cáfolata.

Kr.e. 530-ban Pythagoras a fogságból hazájába menekül, ahol a zsarnok, Polikratész udvarában él félig rabszolgaként. Püthagorasznak nem illik az ilyen élet, és visszavonul a szamoszi barlangokba, majd Olaszország déli részébe megy, ahol akkoriban Croton görög kolónia volt.

Titkos szerzetesrend

E kolónia alapján Pythagoras titkos szerzetesrendet szervezett, amely egyszerre volt vallási szövetség és tudományos társaság. Ennek a társaságnak megvolt az alapokmánya, amely egy különleges életmód betartásáról szólt.

Pythagoras azzal érvelt, hogy Isten megértéséhez az embernek ismernie kell olyan tudományokat, mint az algebra és a geometria, ismernie kell a csillagászatot és értenie kell a zenét. A kutatómunka a számok és a filozófia misztikus oldalának ismeretére redukálódott. Meg kell jegyezni, hogy a Pythagoras által akkor hirdetett alapelveknek van értelme a mai utánzásban.

Püthagorasz tanítványai számos felfedezést neki tulajdonítottak. Mindazonáltal, röviden, az ókori történészek és életrajzírók Pythagorean-tételének létrehozásának története közvetlenül kapcsolódik ennek a filozófusnak, gondolkodónak és matematikusnak a nevéhez.

Pythagoras tanításai

A történészeket talán a nagy görög kijelentése ihlette meg, miszerint a közmondásos háromszög lábaival és hipotenuszával életünk minden jelenségét kódolta. És ez a háromszög a „kulcs” minden felmerülő probléma megoldásához. A nagy filozófus azt mondta, hogy egy háromszöget kell látni, akkor feltételezhetjük, hogy a probléma kétharmadig megoldott.

Tanításáról Pythagoras csak szóban mesélt tanítványainak, jegyzetelés nélkül, titokban tartotta. Sajnos a legnagyobb filozófus tanításai a mai napig nem maradtak fenn. Egy része kiszivárgott, de nem lehet megmondani, hogy mennyi igaz és mennyi hamis az ismertté váltakból. Még a Pitagorasz-tétel történetében sem minden biztos. A matematikatörténészek kétségbe vonják Pythagoras szerzőségét, véleményük szerint a tételt sok évszázaddal születése előtt használták.

Pitagorasz tétel

Furcsának tűnhet, de nincsenek történelmi tények a tétel bizonyítására Pitagorasz által - sem az archívumban, sem más forrásokban. A modern változatban úgy vélik, hogy nem másé, mint magának Eukleidésznek.

Bizonyítékok vannak a matematika egyik legnagyobb történészéről, Moritz Kantorról, aki a berlini múzeumban tárolt papiruszon fedezte fel, amelyet az egyiptomiak írtak ie 2300 körül. e. egyenlőség, amely így szól: 3² + 4² = 5².

Röviden a Pitagorasz-tétel történetéből

Az euklideszi „Kezdetek” tételének megfogalmazása fordításban ugyanúgy hangzik, mint a modern értelmezésben. Olvasásában nincs semmi új: a derékszöggel ellentétes oldal négyzete egyenlő a derékszöggel szomszédos oldalak négyzeteinek összegével. Azt a tényt, hogy India és Kína ősi civilizációi alkalmazták ezt a tételt, megerősíti a Zhou Bi Suan Jin értekezés. Információkat tartalmaz az egyiptomi háromszögről, amely a képarányt 3:4:5-ben írja le.

Nem kevésbé érdekes egy másik kínai matematikai könyv, a "Csu-pei", amely szintén megemlíti a Pitagorasz-háromszöget olyan magyarázattal és rajzokkal, amelyek egybeesnek Baskhara hindu geometriájának rajzaival. Magáról a háromszögről a könyv azt mondja, hogy ha egy derékszöget fel lehet bontani alkotórészeire, akkor az oldalak végeit összekötő vonal öttel lesz egyenlő, ha az alap három, a magasság pedig négy.

A "Sulva Sutra" indiai értekezés, amely a Kr.e. 7-5. e., derékszög felépítéséről szól az egyiptomi háromszög segítségével.

A tétel bizonyítása

A középkorban a diákok túl nehéznek tartották egy tétel bizonyítását. A gyenge tanulók fejből tanulták a tételeket, anélkül, hogy megértették volna a bizonyítás jelentését. E tekintetben a "szamarak" becenevet kapták, mert a Pitagorasz-tétel leküzdhetetlen akadályt jelentett számukra, mint a szamárnak híd. A középkorban a tanulók játékos verssel álltak elő e tétel témájában.

A Pitagorasz-tétel legegyszerűbb bizonyításához egyszerűen meg kell mérni az oldalait, anélkül, hogy a bizonyításban használnánk a területek fogalmát. A derékszöggel ellentétes oldal hossza c, a mellette lévő a és b, ennek eredményeként az egyenletet kapjuk: a 2 + b 2 \u003d c 2. Ezt az állítást, mint fentebb említettük, egy derékszögű háromszög oldalainak hosszának mérésével igazoljuk.

Ha a tétel bizonyítását a háromszög oldalaira épített téglalapok területének figyelembevételével kezdjük, meg tudjuk határozni a teljes ábra területét. Ez egyenlő lesz egy négyzet területével, amelynek oldala (a + b), másrészt pedig négy háromszög és a belső négyzet területének összege.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a2+2ab+b2;

c 2 = a 2 + b 2, amit igazolni kellett.

A Pitagorasz-tétel gyakorlati jelentősége abban rejlik, hogy segítségével meg lehet határozni a szakaszok hosszát mérés nélkül. A szerkezetek építése során számítják a távolságokat, a támasztékok és a gerendák elhelyezését, meghatározzák a súlypontokat. A Pitagorasz-tételt minden modern technológiában is alkalmazzák. Nem feledkeztek meg a tételről a 3D-6D dimenziójú filmek készítésekor, ahol a szokásos 3 érték mellett figyelembe veszik a magasságot, hosszúságot, szélességet, időt, szagot és ízt. Kérdezed, hogyan kapcsolódnak az ízek és a szagok a tételhez? Minden nagyon egyszerű - film vetítésekor ki kell számolni, hogy hol és milyen szagokat és ízeket irányítson a nézőtéren.

Ez még csak a kezdet. Az új technológiák felfedezésének és létrehozásának határtalan lehetőségei várják a kíváncsi elméket.

Egy dologban száz százalékig biztos lehetsz, hogy arra a kérdésre, hogy mekkora a hipotenusz négyzete, minden felnőtt bátran válaszol: "A lábak négyzeteinek összege." Ez a tétel minden művelt ember fejében szilárdan benne van, de elég csak megkérni valakit a bizonyításra, és akkor nehézségek adódhatnak. Emlékezzünk tehát és vegyük figyelembe a Pitagorasz-tétel bizonyításának különböző módjait.

Az életrajz rövid áttekintése

A Pitagorasz-tételt szinte mindenki ismeri, de valamiért az azt előállító személy életrajza nem annyira népszerű. Megjavítjuk. Ezért, mielőtt tanulmányozná a Pitagorasz-tétel bizonyításának különböző módjait, röviden meg kell ismerkednie a személyiségével.

Pythagoras - filozófus, matematikus, gondolkodó, eredetileg ma nagyon nehéz megkülönböztetni életrajzát a legendáktól, amelyek ennek a nagyszerű embernek az emlékére alakultak ki. De ahogy követői írásaiból kiderül, Szamoszi Pythagoras Szamosz szigetén született. Apja közönséges kőfaragó volt, de anyja nemesi családból származott.

A legenda szerint Pythagoras születését egy Pythia nevű nő jósolta meg, akinek tiszteletére a fiút elnevezték. Jóslata szerint egy született fiúnak sok hasznot és jót kell hoznia az emberiségnek. Amit valójában meg is tett.

Egy tétel születése

Fiatalkorában Pythagoras Egyiptomba költözött, hogy ott találkozzon a híres egyiptomi bölcsekkel. A velük való találkozás után felvételt nyert a tanulásra, ahol megtanulta az egyiptomi filozófia, matematika és orvostudomány minden nagyszerű vívmányát.

Valószínűleg Egyiptomban ihlette Pythagorast a piramisok fensége és szépsége, és alkotta meg nagyszerű elméletét. Ez sokkolhatja az olvasókat, de a modern történészek úgy vélik, hogy Pythagoras nem igazolta elméletét. De tudását csak követőinek adta át, akik később minden szükséges matematikai számítást elvégeztek.

Bárhogy is legyen, ma ennek a tételnek nem egy bizonyítási technikája ismert, hanem egyszerre több. Ma már csak találgatni tudjuk, hogy az ókori görögök pontosan hogyan végezték számításaikat, ezért itt a Pitagorasz-tétel bizonyításának különböző módjait fogjuk megvizsgálni.

Pitagorasz tétel

Mielőtt bármilyen számításba kezdene, ki kell találnia, melyik elméletet kell bizonyítania. A Pitagorasz-tétel így hangzik: "Egy háromszögben, amelyben az egyik szög 90 o, a lábak négyzeteinek összege megegyezik a befogó négyzetével."

Összesen 15 különböző módszer létezik a Pitagorasz-tétel bizonyítására. Ez meglehetősen nagy szám, ezért figyeljünk a legnépszerűbbekre.

1. módszer

Először határozzuk meg, hogy mi van. Ezek az adatok a Pitagorasz-tétel bizonyításának más módjaira is vonatkoznak, így azonnal emlékeznie kell az összes rendelkezésre álló jelölésre.

Tegyük fel, hogy adott egy derékszögű háromszög, amelynek a, b lábai és a hipotenusza egyenlő c-vel. Az első bizonyítási módszer azon alapul, hogy derékszögű háromszögből négyzetet kell húzni.

Ehhez a lábszárral egyenlő szegmenst kell behúzni az a lábhosszba, és fordítva. Tehát ki kell derülnie a négyzet két egyenlő oldalának. Már csak két párhuzamos vonalat kell húzni, és a négyzet készen áll.

A kapott ábrán belül egy másik négyzetet kell rajzolnia, amelynek oldala megegyezik az eredeti háromszög befogójával. Ehhez az ac és sv csúcsokból két párhuzamos, c-vel egyenlő szegmenst kell rajzolni. Így a négyzet három oldalát kapjuk, amelyek közül az egyik az eredeti derékszögű háromszög befogója. Már csak a negyedik szakaszt kell megrajzolni.

A kapott ábra alapján arra a következtetésre juthatunk, hogy a külső négyzet területe (a + b) 2. Ha belenézünk az ábrába, láthatjuk, hogy a belső négyzeten kívül négy derékszögű háromszög is van rajta. Mindegyik területe 0,5 átl.

Ezért a terület: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Ezért (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

És ezért 2 = 2 + a 2-ben

A tétel bizonyítást nyert.

Második módszer: hasonló háromszögek

A Pitagorasz-tétel bizonyításának ezt a képletét a geometria hasonló háromszögekre vonatkozó szakaszának állítása alapján vezették le. Azt mondja, hogy egy derékszögű háromszög szára a befogójával és a 90 o-os szög csúcsából kiinduló befogószakaszával arányos átlag.

A kezdeti adatok változatlanok maradnak, ezért kezdjük rögtön a bizonyítással. Rajzoljunk egy CD szakaszt merőlegesen az AB oldalra. A fenti állítás alapján a háromszögek lábai egyenlőek:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

A Pitagorasz-tétel bizonyítására vonatkozó kérdés megválaszolásához mindkét egyenlőtlenséget négyzetre kell emelni.

AC 2 \u003d AB * HELL és SV 2 \u003d AB * DV

Most össze kell adnunk a kapott egyenlőtlenségeket.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), ahol AD ​​+ DV \u003d AB

Kiderült, hogy:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

És ezért:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

A Pitagorasz-tétel bizonyítása és különféle megoldási módjai a probléma sokoldalú megközelítését kívánják meg. Ez a lehetőség azonban az egyik legegyszerűbb.

Egy másik számítási módszer

A Pitagorasz-tétel különböző bizonyítási módjainak leírása nem mond semmit, amíg el nem kezdi egyedül gyakorolni. Sok módszer nem csak matematikai számításokat foglal magában, hanem új alakzatok felépítését is az eredeti háromszögből.

Ebben az esetben egy másik derékszögű háromszög VSD-t kell kitölteni a repülőgép lábáról. Így most két háromszög van közös szárral BC.

Tudva, hogy a hasonló ábrák területének aránya van a hasonló lineáris méretük négyzetével, akkor:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (2-től 2-ig) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

2-ről 2-re \u003d a 2-re

c 2 \u003d a 2 + a 2-ben

Mivel ez a lehetőség aligha alkalmas a Pitagorasz-tétel 8. osztályos bizonyítási módszerei közül, a következő technikát használhatja.

A Pitagorasz-tétel bizonyításának legegyszerűbb módja. Vélemények

A történészek úgy vélik, hogy ezt a módszert először az ókori Görögországban használták egy tétel bizonyítására. Ez a legegyszerűbb, mivel nem igényel semmiféle számítást. Ha helyesen rajzol egy képet, akkor a 2 + b 2 \u003d c 2 állítás bizonyítéka jól látható lesz.

Ennek a módszernek a feltételei kissé eltérnek az előzőtől. A tétel bizonyításához tegyük fel, hogy az ABC derékszögű háromszög egyenlő szárú.

Vegyük az AC hipotenuszt a négyzet oldalának, és rajzoljuk meg a három oldalát. Ezenkívül a kapott négyzetben két átlós vonalat kell húzni. Így benne négy egyenlő szárú háromszöget kap.

Az AB és CB lábakhoz is rajzolnia kell egy négyzetet, és mindegyikbe húznia kell egy-egy átlós vonalat. Az első vonalat az A csúcsból húzzuk, a másodikat a C-ből.

Most alaposan meg kell néznie a kapott képet. Mivel az AC hipotenuszán négy háromszög van, amely megegyezik az eredetivel, és kettő a lábakon, ez jelzi ennek a tételnek a valódiságát.

Egyébként a Pitagorasz-tétel e bizonyítási módszerének köszönhetően megszületett a híres mondat: "A pitagorasz nadrág minden irányban egyenlő".

J. Garfield bizonyítéka

James Garfield az Amerikai Egyesült Államok 20. elnöke. Amellett, hogy az Egyesült Államok uralkodójaként nyomot hagyott a történelemben, tehetséges autodidakta is volt.

Pályája elején népiskola rendes tanára volt, de hamarosan az egyik felsőoktatási intézmény igazgatója lett. Az önfejlesztés vágya, és lehetővé tette számára, hogy új elméletet kínáljon a Pitagorasz-tétel bizonyítására. A tétel és a megoldás példája a következő.

Először két derékszögű háromszöget kell rajzolnia egy papírra, hogy az egyik lába a második folytatása legyen. Ezeknek a háromszögeknek a csúcsait össze kell kötni, hogy trapéz legyen.

Mint tudják, a trapéz területe megegyezik az alapjai és a magassága összegének felével.

S=a+b/2 * (a+b)

Ha a kapott trapézt három háromszögből álló alaknak tekintjük, akkor a területe a következőképpen található:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Most ki kell egyenlítenünk a két eredeti kifejezést

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + a 2-ben

A Pitagorasz-tételről és annak bizonyításáról egy tankönyv több kötete is írható. De van-e értelme, ha ezt a tudást nem lehet a gyakorlatba átültetni?

A Pitagorasz-tétel gyakorlati alkalmazása

Sajnos a modern iskolai tantervek ennek a tételnek a használatát csak geometriai feladatokban teszik lehetővé. A végzősök hamarosan elhagyják az iskola falait anélkül, hogy tudnák, hogyan alkalmazhatják tudásukat és készségeiket a gyakorlatban.

Valójában használja a Pitagorasz-tételt Mindennapi élet mindenki tud. És nem csak a szakmai tevékenységekben, hanem a hétköznapi háztartási munkákban is. Nézzünk meg néhány olyan esetet, amikor a Pitagorasz-tétel és bizonyítási módszerei rendkívül szükségesek lehetnek.

A tétel és a csillagászat összefüggése

Úgy tűnik, hogyan lehet papíron összekapcsolni a csillagokat és a háromszögeket. Valójában a csillagászat olyan tudományterület, amelyen széles körben használják a Pitagorasz-tételt.

Vegyük például egy fénysugár mozgását a térben. Tudjuk, hogy a fény mindkét irányban azonos sebességgel terjed. AB pályának nevezzük, amely mentén a fénysugár mozog l. És a fele annyi idő, mint amennyi idő alatt a fény eljut A pontból B pontba, hívjuk t. És a sugár sebessége - c. Kiderült, hogy: c*t=l

Ha ugyanezt a sugarat egy másik síkból nézzük, például egy v sebességgel mozgó űrbélésről, akkor a testek ilyen megfigyelésével a sebességük megváltozik. Ebben az esetben még az álló elemek is v sebességgel az ellenkező irányba mozognak.

Tegyük fel, hogy a képregényhajó jobbra vitorlázik. Ekkor az A és B pontok, amelyek között a sugár rohan, balra mozognak. Sőt, amikor a sugár A pontból B pontba mozog, az A pontnak van ideje mozogni, és ennek megfelelően a fény már egy új C pontba érkezik. Az A pont eltolt távolságának a felét meg kell szorozni a bélés sebessége a sugár mozgási idejének felével (t").

És ahhoz, hogy megtudja, milyen messzire juthat el egy fénysugár ez idő alatt, ki kell jelölnie az új bükk útjának felét, és a következő kifejezést kell kapnia:

Ha elképzeljük, hogy a C és B fénypontok, valamint a térvonal egy egyenlő szárú háromszög csúcsai, akkor az A ponttól a vonalig tartó szakasz két derékszögű háromszögre osztja. Ezért a Pitagorasz-tételnek köszönhetően megtalálhatja azt a távolságot, amelyet egy fénysugár megtehet.

Ez a példa persze nem a legsikeresebb, hiszen csak kevesen lehet szerencsések a gyakorlatban kipróbálni. Ezért ennek a tételnek a hétköznapibb alkalmazásait vizsgáljuk.

Mobil jelátviteli tartomány

A modern élet már nem képzelhető el okostelefonok nélkül. De mennyi hasznuk lenne, ha nem tudnának mobilkommunikáción keresztül összekötni az előfizetőket?!

A mobilkommunikáció minősége közvetlenül attól függ, hogy a mobilszolgáltató antennája milyen magasságban található. Annak kiszámításához, hogy egy mobil toronytól milyen távolságra tud jelet fogadni, alkalmazhatja a Pitagorasz-tételt.

Tegyük fel, hogy meg kell találni egy álló torony hozzávetőleges magasságát, hogy 200 kilométeres sugarú körben terjeszthesse a jelet.

AB (torony magassága) = x;

BC (jelátviteli sugár) = 200 km;

OS (a földgömb sugara) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

A Pitagorasz-tételt alkalmazva azt találjuk, hogy a torony minimális magassága 2,3 kilométer legyen.

Pitagorasz-tétel a mindennapi életben

Furcsa módon a Pitagorasz-tétel még a hétköznapi dolgokban is hasznos lehet, például egy szekrény magasságának meghatározásában. Első pillantásra nincs szükség ilyen összetett számításokra, mert egyszerűen mérőszalaggal mérhet. Sokan azonban meglepődnek, hogy miért merülnek fel bizonyos problémák az összeszerelési folyamat során, ha az összes mérést több mint pontosan végezték el.

A helyzet az, hogy a szekrényt vízszintes helyzetben szerelik össze, és csak ezután emelkedik fel, és a falhoz szerelik fel. Ezért a szekrény oldalfalának a szerkezet felemelése során szabadon kell haladnia mind a szoba magasságában, mind átlósan.

Tegyük fel, hogy van egy 800 mm mélységű szekrény. Távolság a padlótól a mennyezetig - 2600 mm. Egy tapasztalt bútorkészítő azt mondja, hogy a szekrény magasságának 126 mm-rel kisebbnek kell lennie, mint a szoba magassága. De miért pont 126 mm? Nézzünk egy példát.

A szekrény ideális méreteivel ellenőrizzük a Pitagorasz-tétel működését:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - minden konvergál.

Mondjuk a szekrény magassága nem 2474 mm, hanem 2505 mm. Akkor:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Ezért ez a szekrény nem alkalmas ebbe a helyiségbe való beépítésre. Mivel függőleges helyzetbe emelésekor a test megsérülhet.

Talán, ha megvizsgáljuk a Pitagorasz-tétel különböző tudósok általi bizonyításának módjait, arra a következtetésre juthatunk, hogy ez több mint igaz. Most már használhatja a kapott információkat a mindennapi életében, és teljesen biztos lehet benne, hogy minden számítás nemcsak hasznos, hanem helyes is lesz.