Minden képlet és tulajdonság párhuzamos. Kutatási projekt "Paralelogramma és tulajdonságai"

A paralelogramma fogalma

1. definíció

Paralelogramma olyan négyszög, amelyben a szemközti oldalak párhuzamosak egymással (1. ábra).

1. kép

A paralelogrammának két fő tulajdonsága van. Tekintsük őket bizonyíték nélkül.

1. tulajdonság: A paralelogramma szemközti oldalai és szögei egyenlőek egymással.

2. tulajdonság: A paralelogrammában megrajzolt átlókat metszéspontjuk kettévágja.

A párhuzamos diagram jellemzői

Tekintsük a paralelogramma három jellemzőjét, és mutassuk be ezeket tételek formájában.

1. tétel

Ha egy négyszög két oldala egyenlő egymással és párhuzamos, akkor ez a négyszög paralelogramma lesz.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABCD$ négyszöget. Amelyben $AB||CD$ és $AB=CD$ Rajzoljunk bele egy $AC$ átlót (2. ábra).

2. ábra.

Tekintsük az $AB$ és $CD$ párhuzamos egyeneseket és a szekánsukat $AC$. Azután

\[\angle CAB=\angle DCA\]

mint keresztben lévő sarkok.

A háromszögek egyenlőségére vonatkozó $I$ kritérium szerint

mivel $AC$ a közös oldaluk, és $AB=CD$ feltételezés szerint. Eszközök

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Tekintsük az $AD$ és $CB$ egyeneseket és a szekánsukat $AC$; a keresztben fekvő szögek utolsó egyenlőségével azt kapjuk, hogy $AD||CB$.) Ezért a $1$ definíciója szerint ez a négyszög paralelogramma.

A tétel bizonyítást nyert.

2. tétel

Ha egy négyszög szemközti oldalai egyenlőek, akkor ez paralelogramma.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABCD$ négyszöget. Amelyben $AD=BC$ és $AB=CD$. Rajzoljunk bele egy $AC$ átlót (3. ábra).

3. ábra

Mivel a $AD=BC$, $AB=CD$ és $AC$ közös oldal, ezért a $III$ háromszög egyenlőség tesztje alapján,

\[\triangle DAC=\triangle ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Tekintsük az $AD$ és $CB$ egyeneseket és a szekánsukat $AC$, a keresztirányú szögek utolsó egyenlőségével azt kapjuk, hogy $AD||CB$. Ezért a $1$ definíciója szerint ez a négyszög paralelogramma.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Tekintsük az $AB$ és $CD$ egyeneseket és a szekánsukat $AC$, a keresztirányú szögek utolsó egyenlőségével azt kapjuk, hogy $AB||CD$. Ezért az 1. definíció szerint ez a négyszög paralelogramma.

A tétel bizonyítást nyert.

3. tétel

Ha a négyszögbe rajzolt átlókat metszéspontjuk alapján két egyenlő részre osztjuk, akkor ez a négyszög paralelogramma.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABCD$ négyszöget. Rajzoljuk meg benne a $AC$ és a $BD$ átlóit. A $O$ pontban metszik egymást (4. ábra).

4. ábra

Mivel a $BO=OD,\AO=OC$ feltétel és a $\angle COB=\angle DOA$ szögek függőlegesek, ezért a $I$ háromszög egyenlőség-teszttel

\[\triangle BOC=\triangle AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Tekintsük a $BC$ és $AD$ egyeneseket és a szekánsukat $BD$, a keresztirányú szögek utolsó egyenlőségével azt kapjuk, hogy $BC||AD$. Szintén $BC=AD$. Ezért a $1$ tétel szerint ez a négyszög paralelogramma.

1. A paralelogramma definíciója.

Ha egy pár párhuzamos egyenest metszünk egy másik párhuzamos egyenes párral, akkor olyan négyszöget kapunk, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

Az ABDC és EFNM négyszögekben (224. ábra) BD || AC és AB || CD;

EF || MN és EM || F.N.

Azt a négyszöget, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak, paralelogrammának nevezzük.

2. A paralelogramma tulajdonságai.

Tétel. A paralelogramma átlója kettéosztja egyenlő háromszög.

Legyen egy ABDC paralelogramma (225. ábra), amelyben AB || CD és AC || BD.

Be kell bizonyítani, hogy az átló két egyenlő háromszögre osztja.

Rajzoljunk egy CB átlót az ABDC paralelogrammába. Bizonyítsuk be, hogy $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ.

Az ÉK-i oldal közös ezekben a háromszögekben; ∠ABC = ∠BCD, mint belső keresztfekvési szögek párhuzamos AB-vel és CD-vel, valamint a szekáns CB-vel; ∠ACB = ∠CBD, ugyanaz, mint a belső keresztfekvési szögek párhuzamos AC és BD-vel és szekáns CB-vel.

Ezért $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ.

Ugyanígy bebizonyítható, hogy az AD átló a paralelogrammát két egyenlő ACD és ABD háromszögre osztja.

Következmények:

1 . A paralelogramma ellentétes szögei egyenlőek.

∠A = ∠D, ez a CAB és CDB háromszögek egyenlőségéből következik.

Hasonlóképpen ∠C = ∠B.

2. A paralelogramma szemközti oldalai egyenlőek.

AB \u003d CD és AC \u003d BD, mivel ezek egyenlő háromszögek oldalai és egyenlő szögekkel ellentétesek.

2. tétel. A paralelogramma átlóit metszéspontjukban felezzük.

Legyen BC és AD az ABDC paralelogramma átlói (226. ábra). Bizonyítsuk be, hogy AO = OD és CO = OB.

Ehhez hasonlítsunk össze néhány szemközti háromszögpárt, például $\Delta$AOB és $\Delta$COD.

Ezekben a háromszögekben AB = CD, mint egy paralelogramma szemközti oldalai;

∠1 = ∠2, mint a belső szögek keresztben, amelyek az AB és CD párhuzamosan fekszenek, és az AD szekáns;

∠3 = ∠4 ugyanezen okból, mivel AB || A CD és a CB a szekánsuk.

Ebből következik, hogy $\Delta$AOB = $\Delta$COD. És egyenlő háromszögekben a szemközti egyenlő szögek egyenlő oldalak. Ezért AO = OD és CO = OB.

3. tétel. A paralelogramma egyik oldalával szomszédos szögek összege egyenlő 180°.

Rajzoljunk egy AC átlót az ABCD paralelogrammára, és kapjunk két ABC és ADC háromszöget.

A háromszögek egybevágóak, mert ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (párhuzamos vonalakon keresztben fekvő szögek), és az AC oldal közös.
A $\Delta$ABC = $\Delta$ADC egyenlőségből következik, hogy AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Az egyik oldallal szomszédos szögek összege, például az A és D szögek, egyenlő 180°-kal, mint egyoldalú párhuzamos vonalakkal.

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak. A következő ábra mutatja ABCD paralelogramma. Az AB oldala párhuzamos a CD oldallal és a BC oldala párhuzamos az AD oldallal.

Amint azt már sejtette, a paralelogramma egy konvex négyszög. Tekintsük a paralelogramma alapvető tulajdonságait.

A paralelogramma tulajdonságai

1. Paralelogrammában ellentétes sarkokés a szemközti oldalak egyenlők. Bizonyítsuk be ezt a tulajdonságot – tekintsük a következő ábrán látható paralelogrammát.

Az átlós BD két egyenlő háromszögre osztja: ABD és CBD. Egyenlőek a BD oldalon és a vele szomszédos két szögben, mivel a BD szekánsánál fekvő szögek BC és AD, illetve AB és CD párhuzamos egyenesek. Ezért AB = CD és
BC = AD. Az 1, 2, 3 és 4 szögek egyenlőségéből pedig az következik, hogy A szög = szög1 + szög3 = szög2 + szög4 = C szög.

2. A paralelogramma átlóit a metszéspont felezi. Legyen az O pont az ABCD paralelogramma AC és BD átlóinak metszéspontja.

Ekkor az AOB háromszög és a COD háromszög egyenlő egymással, az oldal és a vele szomszédos két szög mentén. (AB=CD, mivel ezek a paralelogramma szemközti oldalai. A szög1 = szög2 és a szög3 = a szög4, mint az AB és CD egyenesek metszéspontjában az AC és BD szekánsokkal keresztbe eső szögek.) Ebből következik, hogy AO = OC ill. OB = OD, amit és bizonyítani kellett.

Az összes fő tulajdonságot a következő három ábra szemlélteti.

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak. Ez a definíció már elegendő, hiszen a paralelogramma fennmaradó tulajdonságai ebből következnek, és tételek formájában igazolódnak.

A paralelogramma fő tulajdonságai:

a paralelogramma konvex négyszög;
egy paralelogramma szemközti oldalai páronként egyenlőek;
egy paralelogramma ellentétes szögei páronként egyenlőek;
paralelogramma átlóit a metszéspont felezi.

Parallelogramma - konvex négyszög

Először bizonyítsuk be azt a tételt, hogy a paralelogramma egy konvex négyszög. Egy sokszög akkor konvex, ha bármelyik oldalát egyenessé terjesztjük, a sokszög összes többi oldala ennek az egyenesnek az ugyanazon az oldalán lesz.

Adjunk meg egy ABCD paralelogrammát, amelyben az AB a CD szemközti oldala, a BC pedig az AD ellentétes oldala. Ekkor a paralelogramma definíciójából következik, hogy AB || CD, BC || HIRDETÉS.

A párhuzamos szakaszoknak nincs közös pontja, nem metszik egymást. Ez azt jelenti, hogy a CD az AB egyik oldalán található. Mivel a BC szakasz az AB szakasz B pontját köti össze a CD szakasz C pontjával, az AD szakasz pedig további AB és CD pontokat köt össze, a BC és AD szakaszok szintén az AB egyenes ugyanazon az oldalán helyezkednek el, ahol CD található. Így mindhárom oldal - CD, BC, AD - az AB ugyanazon az oldalán fekszik.

Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy a paralelogramma másik oldalához képest a másik három oldal ugyanazon az oldalon fekszik.

A szemközti oldalak és a szögek egyenlőek

A paralelogramma egyik tulajdonsága az egy paralelogrammában a szemközti oldalak és a szemközti szögek egyenlőek. Például, ha adott egy ABCD paralelogramma, akkor AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Ezt a tételt a következőképpen bizonyítjuk.

A paralelogramma négyszög. Tehát két átlója van. Mivel a paralelogramma konvex négyszög, bármelyikük két háromszögre osztja. Tekintsük az ABC és ADC háromszögeket az AC átló megrajzolásával kapott ABCD paralelogrammán.

Ezeknek a háromszögeknek van egy közös oldaluk - AC. A BCA szög egyenlő a CAD szöggel, csakúgy, mint a BC és AD párhuzamos függőlegesek. A BAC és ACD szögek szintén egyenlőek, csakúgy, mint a függőleges szögek, amikor AB és CD párhuzamosak. Ezért ∆ABC = ∆ADC két szög és a közöttük lévő oldal felett.

Ezekben a háromszögekben az AB oldal a CD oldalnak, a BC oldal pedig az AD oldalnak felel meg. Ezért AB = CD és BC = AD.

A B szög a D szögnek felel meg, azaz ∠B = ∠D. A paralelogramma A szöge két szög – ∠BAC és ∠CAD – összege. A C egyenlő szög ∠BCA-ból és ∠ACD-ből áll. Mivel a szögpárok egyenlőek egymással, akkor ∠A = ∠C.

Így bebizonyosodott, hogy egy paralelogrammában a szemközti oldalak és a szögek egyenlőek.

Az átlók félbevágva

Mivel a paralelogramma konvex négyszög, két átlója van, és ezek metszik egymást. Legyen adott egy ABCD paralelogramma, melynek AC és BD átlói egy E pontban metszik egymást. Tekintsük az általuk alkotott ABE és CDE háromszögeket.

Ezeknek a háromszögeknek AB és CD oldalai megegyeznek a paralelogramma szemközti oldalaival. Az ABE szög megegyezik a CDE szöggel, mivel az AB és CD párhuzamos egyeneseken fekszenek. Ugyanezen okból ∠BAE = ∠DCE. Ezért ∆ABE = ∆CDE két szög és a közöttük lévő oldal felett.

Azt is észreveheti, hogy az AEB és a CED szögek függőlegesek, ezért egymással is egyenlők.

Mivel az ABE és CDE háromszögek egyenlőek egymással, így az összes hozzájuk tartozó elem is egyenlő. Az első háromszög AE oldala a második CE oldalának felel meg, tehát AE = CE. Hasonlóképpen, BE = DE. Minden pár egyenlő szakasz alkotja a paralelogramma átlóját. Így bebizonyosodott, hogy paralelogramma átlóit a metszéspont felezi.

A mai órán megismételjük a paralelogramma főbb tulajdonságait, majd a paralelogramma első két jellemzőjének figyelembe vételére figyelünk és bizonyítunk. A bizonyítás során idézzük fel a háromszögek egyenlősége jeleinek alkalmazását, amelyet tavaly tanulmányoztunk és az első órán megismételtünk. A végén egy példát mutatunk be a paralelogramma vizsgált jellemzőinek alkalmazására.

Téma: Négyszögek

Lecke: A paralelogramma jelei

Kezdjük azzal, hogy felidézzük a paralelogramma definícióját.

Meghatározás. Paralelogramma- olyan négyszög, amelyben minden két szemközti oldal párhuzamos (lásd 1. ábra).

Rizs. 1. Párhuzamos

Emlékezzünk a paralelogramma alapvető tulajdonságai:

Ahhoz, hogy ezeket a tulajdonságokat használni lehessen, meg kell bizonyosodni arról, hogy az ábra melyikről kérdéses, egy paralelogramma. Ehhez ismernie kell az olyan tényeket, mint a paralelogramma jelei. Ezek közül ma az első kettőt vesszük figyelembe.

Tétel. A paralelogramma első jellemzője. Ha egy négyszögben két szemközti oldal egyenlő és párhuzamos, akkor ez a négyszög az paralelogramma. .

Rizs. 2. A paralelogramma első jele

Bizonyíték. Rajzoljunk átlót a négyszögbe (lásd 2. ábra), amit két háromszögre osztott. Írjuk le, mit tudunk ezekről a háromszögekről:

a háromszögek egyenlőségének első jele szerint.

E háromszögek egyenlőségéből az következik, hogy a metszéspontjuk metszéspontjában lévő egyenesek párhuzamossága alapján. Nálunk ez van:

Igazolt.

Tétel. A paralelogramma második jele. Ha egy négyszögben minden két szemközti oldal egyenlő, akkor ez a négyszög az paralelogramma. .

Rizs. 3. A paralelogramma második jele

Bizonyíték. Rajzoljunk átlót a négyszögbe (lásd 3. ábra), ezt két háromszögre osztja. Írjuk le, mit tudunk ezekről a háromszögekről a tétel megfogalmazása alapján:

a háromszögek egyenlőségének harmadik kritériuma szerint.