सीधे प्रिज्म के बारे में सामान्य जानकारी

प्रिज्म की पार्श्व सतह (अधिक सटीक रूप से, पार्श्व सतह क्षेत्र) को कहा जाता है जोड़साइड फेस एरिया। प्रिज्म की कुल सतह पार्श्व सतह और आधारों के क्षेत्रों के योग के बराबर होती है।

प्रमेय 19.1. एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होती है, अर्थात, किनारे की लंबाई।

प्रमाण। एक सीधे प्रिज्म के पार्श्व फलक आयताकार होते हैं। इन आयतों के आधार प्रिज्म के आधार पर स्थित बहुभुज की भुजाएँ हैं, और ऊँचाई भुजाओं के किनारों की लंबाई के बराबर है। यह इस प्रकार है कि प्रिज्म की पार्श्व सतह बराबर है

एस = ए 1 एल + ए 2 एल + ... + ए एन एल = पीएल,

जहां 1 और n आधार की पसलियों की लंबाई है, p प्रिज्म के आधार की परिधि है, और I पार्श्व पसलियों की लंबाई है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

व्यावहारिक कार्य

कार्य (22) . झुके हुए प्रिज्म में खंड, पार्श्व किनारों के लंबवत और सभी पार्श्व किनारों को प्रतिच्छेद करते हुए। पाना पार्श्व सतहप्रिज्म, यदि खंड की परिधि पी के बराबर है, और किनारे के किनारे एल के बराबर हैं।

फेसला। खींचे गए खंड का तल प्रिज्म को दो भागों में विभाजित करता है (चित्र 411)। आइए उनमें से एक को समानांतर अनुवाद के अधीन करें जो प्रिज्म के आधारों को जोड़ता है। इस मामले में, हम एक सीधा प्रिज्म प्राप्त करते हैं, जिसमें मूल प्रिज्म का खंड आधार के रूप में कार्य करता है, और किनारे के किनारे l के बराबर होते हैं। इस प्रिज्म की पार्श्व सतह वही है जो मूल प्रिज्म की है। इस प्रकार, मूल प्रिज्म की पार्श्व सतह pl के बराबर होती है।

विषय का सामान्यीकरण

और अब आइए आपके साथ प्रिज्म के विषय को संक्षेप में बताने का प्रयास करें और याद रखें कि प्रिज्म में क्या गुण होते हैं।

प्रिज्म गुण

सबसे पहले, एक प्रिज्म के लिए, उसके सभी आधार समान बहुभुज होते हैं;
दूसरे, एक प्रिज्म के लिए, इसके सभी पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं;
तीसरा, प्रिज्म जैसी बहुआयामी आकृति में, सभी पार्श्व किनारे समान होते हैं;

साथ ही, यह याद रखना चाहिए कि प्रिज्म जैसे पॉलीहेड्रा सीधे और झुके हुए हो सकते हैं।

एक सीधा प्रिज्म क्या है?

यदि किसी प्रिज्म का पार्श्व किनारा उसके आधार के तल के लंबवत है, तो ऐसे प्रिज्म को एक सीधी रेखा कहा जाता है।

यह याद रखना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि एक सीधे प्रिज्म के पार्श्व फलक आयत होते हैं।

एक तिरछा प्रिज्म क्या है?

लेकिन अगर प्रिज्म का पार्श्व किनारा उसके आधार के तल के लंबवत स्थित नहीं है, तो हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि यह एक झुका हुआ प्रिज्म है।

सही प्रिज्म क्या है?

यदि एक सम बहुभुज एक सीधे प्रिज्म के आधार पर स्थित है, तो ऐसा प्रिज्म नियमित होता है।

अब आइए उन गुणों को याद करें जो एक नियमित प्रिज्म में होते हैं।

एक नियमित प्रिज्म के गुण

सबसे पहले, हमेशा आधार दायां प्रिज्मनियमित बहुभुज हैं;
दूसरे, यदि हम एक नियमित प्रिज्म के पार्श्व फलकों पर विचार करें, तो वे हमेशा समान आयत होते हैं;
तीसरा, यदि हम पार्श्व पसलियों के आकार की तुलना करते हैं, तो सही प्रिज्म में वे हमेशा बराबर होते हैं।
चौथा, एक नियमित प्रिज्म हमेशा सीधा होता है;
पांचवां, यदि एक नियमित प्रिज्म में पार्श्व फलक वर्गों के रूप में हैं, तो ऐसी आकृति को आमतौर पर अर्ध-नियमित बहुभुज कहा जाता है।

प्रिज्म खंड

आइए अब प्रिज्म के क्रॉस सेक्शन को देखें:

गृहकार्य

और अब आइए समस्याओं को हल करके अध्ययन किए गए विषय को समेकित करने का प्रयास करें।

आइए एक झुका हुआ त्रिकोणीय प्रिज्म बनाएं, जिसके किनारों के बीच की दूरी होगी: 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी, और इस प्रिज्म की पार्श्व सतह 60 सेमी 2 के बराबर होगी। इन मापदंडों के साथ, दिए गए प्रिज्म के पार्श्व किनारे का पता लगाएं।

और तुम ये जानते हो ज्यामितीय आंकड़ेहमें न केवल ज्यामिति के पाठों में, बल्कि इसमें भी लगातार घेरते रहते हैं रोजमर्रा की जिंदगीऐसी वस्तुएं हैं जो एक या किसी अन्य ज्यामितीय आकृति से मिलती जुलती हैं।

हर घर, स्कूल या ऑफिस में एक कंप्यूटर होता है, जिसका सिस्टम यूनिट एक स्ट्रेट प्रिज्म के रूप में होता है।

यदि आप एक साधारण पेंसिल उठाते हैं, तो आप देखेंगे कि पेंसिल का मुख्य भाग एक प्रिज्म है।

शहर की मुख्य सड़क पर चलते हुए, हम देखते हैं कि हमारे पैरों के नीचे एक टाइल है जिसमें एक हेक्सागोनल प्रिज्म का आकार है।

ए वी पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

विभिन्न प्रिज्म एक दूसरे से भिन्न होते हैं। साथ ही, उनमें बहुत कुछ समान है। प्रिज्म के आधार के क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको यह पता लगाना होगा कि यह कैसा दिखता है।

सामान्य सिद्धांत

एक प्रिज्म कोई भी बहुफलक होता है जिसकी भुजाओं में एक समांतर चतुर्भुज का आकार होता है। इसके अलावा, कोई भी पॉलीहेड्रॉन इसके आधार पर हो सकता है - एक त्रिकोण से एक एन-गॉन तक। इसके अलावा, प्रिज्म के आधार हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं। साइड चेहरों पर क्या लागू नहीं होता है - वे आकार में काफी भिन्न हो सकते हैं।

समस्याओं को हल करते समय, यह न केवल प्रिज्म के आधार का क्षेत्र है जो सामने आता है। पार्श्व सतह को जानना आवश्यक हो सकता है, अर्थात सभी चेहरे जो आधार नहीं हैं। पूर्ण सतह पहले से ही प्रिज्म बनाने वाले सभी चेहरों का मिलन होगा।

कभी-कभी कार्यों में ऊंचाइयां दिखाई देती हैं। यह आधारों के लंबवत है। एक बहुफलक का विकर्ण एक ऐसा खंड है जो जोड़े में किन्हीं दो शीर्षों को जोड़ता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सीधे या झुके हुए प्रिज्म के आधार का क्षेत्र उनके और पार्श्व चेहरों के बीच के कोण पर निर्भर नहीं करता है। यदि उनके ऊपरी और निचले फलकों में समान आकृतियाँ हैं, तो उनका क्षेत्रफल बराबर होगा।

त्रिकोणीय प्रिज़्म

इसके आधार पर तीन शीर्षों वाली एक आकृति है, जो कि एक त्रिभुज है। यह अलग होने के लिए जाना जाता है। यदि तब यह याद रखना पर्याप्त है कि इसका क्षेत्रफल पैरों के आधे उत्पाद से निर्धारित होता है।

गणितीय संकेतन इस तरह दिखता है: S = ½ av.

आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सामान्य दृष्टि से, सूत्र उपयोगी हैं: बगुला और वह जिसकी आधी भुजा को उसकी ओर खींची गई ऊँचाई तक ले जाया जाता है।

पहला सूत्र इस तरह लिखा जाना चाहिए: एस \u003d (पी (पी-ए) (पी-इन) (पी-एस))। इस प्रविष्टि में एक अर्ध-परिधि (p) है, अर्थात तीन भुजाओं का योग दो से विभाजित है।

दूसरा: एस = ½ एन ए * ए।

यदि आप एक त्रिभुजाकार प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल जानना चाहते हैं, जो नियमित है, तो त्रिभुज समबाहु हो जाता है। इसका अपना सूत्र है: एस = ¼ ए 2 * √3।

चतुष्कोणीय प्रिज्म

इसका आधार कोई भी ज्ञात चतुर्भुज है। यह एक आयत या एक वर्ग, एक समानांतर चतुर्भुज या एक समचतुर्भुज हो सकता है। प्रत्येक मामले में, प्रिज्म के आधार के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको अपने स्वयं के सूत्र की आवश्यकता होगी।

यदि आधार एक आयत है, तो उसका क्षेत्रफल इस प्रकार निर्धारित होता है: S = av, जहाँ a, b आयत की भुजाएँ हैं।

कब हम बात कर रहे हेएक चतुर्भुज प्रिज्म के बारे में, फिर एक नियमित प्रिज्म के आधार के क्षेत्र की गणना एक वर्ग के सूत्र का उपयोग करके की जाती है। क्योंकि यह वह है जो आधार पर स्थित है। एस \u003d ए 2.

मामले में जब आधार एक समानांतर चतुर्भुज है, तो निम्नलिखित समानता की आवश्यकता होगी: S \u003d a * n a। ऐसा होता है कि समानांतर चतुर्भुज का एक पक्ष और कोणों में से एक दिया गया है। फिर, ऊंचाई की गणना करने के लिए, आपको एक अतिरिक्त सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता होगी: ना \u003d बी * पाप ए। इसके अलावा, कोण ए पक्ष "बी" के निकट है, और ऊंचाई इस कोण के विपरीत है।

यदि एक समचतुर्भुज प्रिज्म के आधार पर स्थित है, तो उसके क्षेत्रफल को समान्तर चतुर्भुज के रूप में निर्धारित करने के लिए उसी सूत्र की आवश्यकता होगी (क्योंकि यह इसका एक विशेष मामला है)। लेकिन आप इसका भी उपयोग कर सकते हैं: एस = ½ डी 1 डी 2। यहाँ d 1 और d 2 समचतुर्भुज के दो विकर्ण हैं।

नियमित पंचकोणीय प्रिज्म

इस मामले में बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित करना शामिल है, जिनके क्षेत्रों का पता लगाना आसान है। हालांकि ऐसा होता है कि आंकड़े अलग-अलग शीर्षों के साथ हो सकते हैं।

चूँकि प्रिज्म का आधार एक नियमित पंचभुज है, इसे पाँच समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है। फिर प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल एक ऐसे त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है (सूत्र ऊपर देखा जा सकता है), पाँच से गुणा किया जाता है।

नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म

पंचकोणीय प्रिज्म के लिए वर्णित सिद्धांत के अनुसार, आधार षट्भुज को 6 समबाहु त्रिभुजों में विभाजित करना संभव है। ऐसे प्रिज्म के आधार के क्षेत्रफल का सूत्र पिछले वाले के समान होता है। इसमें केवल छह से गुणा किया जाना चाहिए।

सूत्र इस तरह दिखेगा: एस = 3/2 और 2 * 3।

कार्य

नंबर 1. एक नियमित सीधी रेखा दी गई है। इसका विकर्ण 22 सेमी है, पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई 14 सेमी है। प्रिज्म के आधार और पूरी सतह के क्षेत्रफल की गणना करें।

फेसला।प्रिज्म का आधार एक वर्ग है, लेकिन इसकी भुजा ज्ञात नहीं है। आप वर्ग (x) के विकर्ण से इसका मान ज्ञात कर सकते हैं, जो प्रिज्म के विकर्ण (d) और इसकी ऊँचाई (n) से संबंधित है। एक्स 2 \u003d डी 2 - एन 2। दूसरी ओर, यह खंड "x" एक त्रिभुज का कर्ण है जिसके पैर वर्ग की भुजा के बराबर हैं। यानी एक्स 2 \u003d ए 2 + ए 2। इस प्रकार, यह पता चला है कि एक 2 \u003d (डी 2 - एन 2) / 2।

d के बजाय संख्या 22 को प्रतिस्थापित करें, और "n" को इसके मान - 14 से बदलें, यह पता चलता है कि वर्ग की भुजा 12 सेमी है। अब आधार क्षेत्र का पता लगाना आसान है: 12 * 12 \u003d 144 सेमी 2 .

पूरी सतह के क्षेत्रफल का पता लगाने के लिए, आपको आधार क्षेत्र के मूल्य का दोगुना और पक्ष को चौगुना करना होगा। आयत के लिए सूत्र द्वारा उत्तरार्द्ध को खोजना आसान है: पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई और आधार के किनारे को गुणा करें। यानी 14 और 12, यह संख्या 168 सेमी 2 के बराबर होगी। कुल क्षेत्रफलप्रिज्म की सतह 960 सेमी 2 है।

जवाब।प्रिज्म का आधार क्षेत्रफल 144 cm2 है। पूरी सतह - 960 सेमी 2।

संख्या 2. दाना आधार पर 6 सेमी की भुजा वाला एक त्रिभुज है। इस स्थिति में, पार्श्व फलक का विकर्ण 10 सेमी है। क्षेत्रों की गणना करें: आधार और पार्श्व सतह।

फेसला।चूंकि प्रिज्म नियमित है, इसका आधार एक समबाहु त्रिभुज है। इसलिए, इसका क्षेत्रफल 6 वर्ग गुणा और 3 के वर्गमूल के बराबर हो जाता है। एक साधारण गणना परिणाम की ओर ले जाती है: 9√3 सेमी 2। यह प्रिज्म के एक आधार का क्षेत्रफल है।

सभी पक्ष फलक समान हैं और 6 और 10 सेमी की भुजाओं वाले आयत हैं। उनके क्षेत्रों की गणना करने के लिए, इन संख्याओं को गुणा करना पर्याप्त है। फिर उन्हें तीन से गुणा करें, क्योंकि प्रिज्म के ठीक इतने ही पार्श्व फलक हैं। फिर पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 180 सेमी 2 घाव है।

जवाब।क्षेत्र: आधार - 9√3 सेमी 2, प्रिज्म की पार्श्व सतह - 180 सेमी 2।

प्रिज्म। समानांतर खात

चश्मेएक बहुफलक कहलाता है जिसके दो फलक बराबर होते हैं n-gons (मैदान) , समानांतर विमानों में झूठ बोलना, और शेष n फलक समांतर चतुर्भुज हैं (पक्ष चेहरे) . साइड रिब प्रिज्म पार्श्व फलक का वह भाग है जो आधार से संबंधित नहीं है।

एक प्रिज्म जिसके पार्श्व किनारे आधारों के तलों के लंबवत होते हैं, कहलाते हैं सीधा प्रिज्म (चित्र 1)। यदि पार्श्व किनारे आधारों के तलों के लंबवत न हों, तो प्रिज्म कहलाता है परोक्ष . सही प्रिज्म एक सीधा प्रिज्म है जिसका आधार नियमित बहुभुज है।

ऊंचाईप्रिज्म को आधारों के तलों के बीच की दूरी कहते हैं। विकर्ण प्रिज्म एक ऐसा खंड है जो दो शीर्षों को जोड़ता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं हैं। विकर्ण खंड दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाले समतल द्वारा प्रिज्म का एक खंड जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होता है, कहलाता है। लंबवत खंड प्रिज्म के पार्श्व किनारे के लंबवत समतल द्वारा प्रिज्म के खंड को कहा जाता है।

पार्श्व सतह क्षेत्र प्रिज्म सभी पक्षों के चेहरों के क्षेत्रों का योग है। क्षेत्र पूरी सतह प्रिज्म के सभी फलकों के क्षेत्रफलों के योग को कहते हैं (अर्थात, भुजाओं के फलकों के क्षेत्रफलों और आधारों के क्षेत्रफलों का योग)।

एक मनमाना प्रिज्म के लिए, सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे मैंसाइड रिब की लंबाई है;

एच- ऊंचाई;

पी

क्यू

एस साइड

एस पूर्ण

एस मुख्यठिकानों का क्षेत्र है;

वीप्रिज्म का आयतन है।

एक सीधे प्रिज्म के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे पी- आधार की परिधि;

मैंसाइड रिब की लंबाई है;

एच- ऊंचाई।

समानांतर खातएक प्रिज्म जिसका आधार एक समांतर चतुर्भुज होता है, कहलाता है। एक समानांतर चतुर्भुज जिसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत होते हैं, कहलाते हैं सीधे (रेखा चित्र नम्बर 2)। यदि पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत नहीं हैं, तो समांतर चतुर्भुज को कहा जाता है परोक्ष . एक समांतर चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है, कहलाता है आयताकार। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज जिसमें सभी किनारे समान हों, कहलाते हैं घन।

समांतर चतुर्भुज के फलक जिनमें उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते हैं, कहलाते हैं विलोम . एक शीर्ष से निकलने वाले किनारों की लंबाई कहलाती है मापन समानांतर चतुर्भुज। चूंकि बॉक्स एक प्रिज्म है, इसलिए इसके मुख्य तत्वों को उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे उन्हें प्रिज्म के लिए परिभाषित किया जाता है।

प्रमेय।

1. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसे समद्विभाजित करते हैं।

2. एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज में, विकर्ण की लंबाई का वर्ग इसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है:

3. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी चार विकर्ण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

एक मनमाना समानांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे मैंसाइड रिब की लंबाई है;

एच- ऊंचाई;

पीलंबवत खंड की परिधि है;

क्यू- लंबवत खंड का क्षेत्र;

एस साइडपार्श्व सतह क्षेत्र है;

एस पूर्णकुल सतह क्षेत्र है;

एस मुख्यठिकानों का क्षेत्र है;

वीप्रिज्म का आयतन है।

एक समांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे पी- आधार की परिधि;

मैंसाइड रिब की लंबाई है;

एचदाहिने समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई है।

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

(3)

कहाँ पे पी- आधार की परिधि;

एच- ऊंचाई;

डी- विकर्ण;

ए, बी, सी- एक समानांतर चतुर्भुज की माप।

घन के लिए सही सूत्र हैं:

कहाँ पे एपसली की लंबाई है;

डीघन का विकर्ण है।

उदाहरण 1एक आयताकार घनाभ का विकर्ण 33 dm है, और इसकी माप 2:6:9 से संबंधित है। घनाभ की माप ज्ञात कीजिए।

फेसला।समानांतर चतुर्भुज के आयामों को खोजने के लिए, हम सूत्र (3) का उपयोग करते हैं, अर्थात। तथ्य यह है कि एक घनाभ के कर्ण का वर्ग उसकी विमाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। द्वारा निरूपित करें कआनुपातिकता का गुणांक। तब समांतर चतुर्भुज के आयाम 2 . के बराबर होंगे क, 6कऔर 9 क. हम समस्या डेटा के लिए सूत्र (3) लिखते हैं:

के लिए इस समीकरण को हल करना क, हम पाते हैं:

इसलिए, समानांतर चतुर्भुज के आयाम 6 डीएम, 18 डीएम और 27 डीएम हैं।

जवाब: 6 डीएम, 18 डीएम, 27 डीएम।

उदाहरण 2एक झुके हुए त्रिकोणीय प्रिज्म का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका आधार 8 सेमी की भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज है, यदि पार्श्व किनारा आधार की भुजा के बराबर है और आधार से 60º के कोण पर झुका हुआ है।

फेसला . आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 3)।

एक झुके हुए प्रिज्म का आयतन ज्ञात करने के लिए, आपको इसके आधार और ऊँचाई का क्षेत्रफल जानना होगा। इस प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल 8 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है। आइए इसकी गणना करें:

प्रिज्म की ऊंचाई उसके आधारों के बीच की दूरी है। ऊपर से लेकिनऊपरी आधार के 1 हम निचले आधार के तल के लंबवत को कम करते हैं लेकिन 1 डी. इसकी लंबाई प्रिज्म की ऊंचाई होगी। डी पर विचार करें लेकिन 1 विज्ञापन: चूंकि यह पार्श्व पसली के झुकाव का कोण है लेकिन 1 लेकिनबेस प्लेन के लिए लेकिन 1 लेकिन= 8 सेमी. इस त्रिभुज से हम पाते हैं लेकिन 1 डी:

अब हम सूत्र (1) का उपयोग करके आयतन की गणना करते हैं:

जवाब: 192 सेमी3.

उदाहरण 3एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म का पार्श्व किनारा 14 सेमी है। सबसे बड़े विकर्ण खंड का क्षेत्रफल 168 सेमी 2 है। प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फेसला।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 4)

सबसे बड़ा विकर्ण खंड एक आयत है आ 1 डीडी 1 , विकर्ण के बाद से विज्ञापननियमित षट्भुज एबीसीडीईएफसबसे बडा। प्रिज्म के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, आधार के किनारे और पार्श्व पसली की लंबाई जानना आवश्यक है।

विकर्ण खंड (आयत) के क्षेत्र को जानने के बाद, हम आधार के विकर्ण का पता लगाते हैं।

क्योंकि तब

तब से अब= 6 सेमी.

तब आधार का परिमाप है:

प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

6 सेमी भुजा वाले एक नियमित षट्भुज का क्षेत्रफल है:

प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

जवाब:

उदाहरण 4एक समांतर चतुर्भुज का आधार एक समचतुर्भुज है। विकर्ण वर्गों का क्षेत्रफल 300 सेमी 2 और 875 सेमी 2 है। समानांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फेसला।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 5)।

समचतुर्भुज की भुजा को किसके द्वारा निरूपित करें? ए, समचतुर्भुज के विकर्ण डी 1 और डी 2, बॉक्स की ऊंचाई एच. एक सीधे समानांतर चतुर्भुज के पार्श्व सतह क्षेत्र को खोजने के लिए, आधार की परिधि को ऊंचाई से गुणा करना आवश्यक है: (सूत्र (2))। आधार परिधि पी = एबी + बीसी + सीडी + डीए = 4AB = 4a, जैसा ऐ बी सी डी- समचतुर्भुज। एच = एए 1 = एच. उस। ढूंढना होगा एऔर एच.

विकर्ण वर्गों पर विचार करें। आ 1 एसएस 1 - एक आयत, जिसकी एक भुजा समचतुर्भुज का विकर्ण है एसी = डी 1 , दूसरा - पार्श्व किनारा आ 1 = एच, तब

इसी प्रकार अनुभाग के लिए बी बी 1 डीडी 1 हमें मिलता है:

एक समान्तर चतुर्भुज के गुण का इस प्रकार उपयोग करने पर कि विकर्णों के वर्गों का योग उसकी सभी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, हमें वह समानता प्राप्त होती है जो हमें निम्नलिखित प्राप्त होती है।

बहुकोणीय आकृति

स्टीरियोमेट्री के अध्ययन का मुख्य उद्देश्य त्रि-आयामी निकाय हैं। शरीरकिसी सतह से घिरा अंतरिक्ष का एक हिस्सा है।

बहुतलएक पिंड जिसकी सतह में समतल बहुभुजों की एक सीमित संख्या होती है, कहलाती है। एक पॉलीहेड्रॉन को उत्तल कहा जाता है यदि यह अपनी सतह पर प्रत्येक फ्लैट बहुभुज के विमान के एक तरफ स्थित होता है। ऐसे समतल के उभयनिष्ठ भाग और बहुफलक के पृष्ठ को कहते हैं किनारा. उत्तल बहुफलक के फलक समतल उत्तल बहुभुज होते हैं। चेहरों के किनारों को कहा जाता है बहुफलक के किनारे, और शिखर बहुफलक के शीर्ष.

उदाहरण के लिए, एक घन में छह वर्ग होते हैं जो इसके फलक होते हैं। इसमें 12 किनारे (वर्गों की भुजाएँ) और 8 शीर्ष (वर्गों के शीर्ष) होते हैं।

सबसे सरल पॉलीहेड्रा प्रिज्म और पिरामिड हैं, जिनका हम आगे अध्ययन करेंगे।

चश्मे

प्रिज्म की परिभाषा और गुण

चश्मेएक पॉलीहेड्रॉन कहा जाता है जिसमें समानांतर अनुवाद द्वारा संयुक्त समानांतर विमानों में स्थित दो फ्लैट बहुभुज होते हैं, और इन बहुभुजों के संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाले सभी खंड होते हैं। बहुभुज कहलाते हैं प्रिज्म बेस, और बहुभुजों के संगत शीर्षों को जोड़ने वाले खंड हैं प्रिज्म के किनारे के किनारे.

प्रिज्म ऊंचाईइसके आधारों के तलों के बीच की दूरी () कहलाती है। प्रिज्म के दो शीर्षों को जोड़ने वाला खंड जो एक ही फलक से संबंधित नहीं है, कहलाता है प्रिज्म विकर्ण()। प्रिज्म कहलाता है एन-कोयलायदि इसका आधार n-gon है।

किसी भी प्रिज्म में निम्नलिखित गुण होते हैं, जो इस तथ्य से अनुसरण करते हैं कि प्रिज्म के आधार समानांतर अनुवाद द्वारा संयुक्त होते हैं:

1. प्रिज्म के आधार बराबर होते हैं।

2. प्रिज्म के किनारे समानांतर और बराबर हैं।

प्रिज्म की सतह आधारों से बनी होती है और पार्श्व सतह. प्रिज्म की पार्श्व सतह में समांतर चतुर्भुज होते हैं (यह प्रिज्म के गुणों से निम्नानुसार है)। एक प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है।

सीधा प्रिज्म

प्रिज्म कहलाता है सीधायदि इसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हैं। अन्यथा प्रिज्म कहलाता है परोक्ष.

एक सीधे प्रिज्म के फलक आयताकार होते हैं। एक सीधे प्रिज्म की ऊंचाई उसके पार्श्व फलकों के बराबर होती है।

पूर्ण प्रिज्म सतहपार्श्व सतह क्षेत्र और आधारों के क्षेत्रों का योग है।

सही प्रिज्मआधार पर एक नियमित बहुभुज के साथ एक सही प्रिज्म कहलाता है।

प्रमेय 13.1. एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल परिधि के गुणनफल और प्रिज्म की ऊंचाई (या, समान रूप से, पार्श्व किनारे तक) के बराबर होता है।

प्रमाण। एक सीधे प्रिज्म के पार्श्व फलक आयताकार होते हैं जिनके आधार प्रिज्म के आधार पर बहुभुज की भुजाएँ होती हैं, और ऊँचाई प्रिज्म के पार्श्व किनारे होते हैं। फिर, परिभाषा के अनुसार, पार्श्व सतह क्षेत्र है:

,

एक सीधे प्रिज्म के आधार का परिमाप कहाँ है।

समानांतर खात

यदि समांतर चतुर्भुज प्रिज्म के आधारों पर स्थित हों, तो इसे कहते हैं समानांतर खात. समांतर चतुर्भुज के सभी फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं। इस मामले में, समानांतर चतुर्भुज के विपरीत चेहरे समानांतर और बराबर हैं।

प्रमेय 13.2. समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित होता है।

प्रमाण। उदाहरण के लिए, दो मनमाने विकर्णों पर विचार करें। क्योंकि समानांतर चतुर्भुज के चेहरे समांतर चतुर्भुज हैं, फिर और, जिसका अर्थ है कि टी के अनुसार तीसरे के समानांतर लगभग दो सीधी रेखाएं। इसके अलावा, इसका मतलब है कि रेखाएं और एक ही विमान (विमान) में स्थित हैं। यह तल समानांतर विमानों को और समानांतर रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद करता है। इस प्रकार, एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, और एक समांतर चतुर्भुज की संपत्ति से, इसके विकर्ण और प्रतिच्छेदन और प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित होता है, जिसे साबित करना आवश्यक था।

एक समांतर चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है, कहलाता है घनाभ. घनाभ के सभी फलक आयताकार होते हैं। घनाभ के गैर-समानांतर किनारों की लंबाई कहलाती है रैखिक आयाम(माप)। तीन आकार (चौड़ाई, ऊंचाई, लंबाई) हैं।

प्रमेय 13.3. एक घनाभ में, किसी भी विकर्ण का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है (पाइथागोरस टी को दो बार लगाने से सिद्ध)।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज जिसमें सभी किनारे समान हों, कहलाते हैं घनक्षेत्र.

कार्य

13.1 कितने विकर्ण होते हैं एन- कार्बन प्रिज्म

13.2 एक झुके हुए त्रिभुजाकार प्रिज्म में, भुजाओं के किनारों के बीच की दूरी 37, 13 और 40 है। बड़े पार्श्व फलक और विपरीत भुजा के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

13.3 एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म के निचले आधार के माध्यम से, एक विमान खींचा जाता है जो पक्ष के चेहरों को खंडों के साथ काटता है, जिसके बीच का कोण होता है। इस तल के प्रिज्म के आधार पर झुकाव का कोण ज्ञात कीजिए।

परिभाषा। चश्मे- यह एक पॉलीहेड्रॉन है, जिसके सभी कोने दो समानांतर विमानों में स्थित हैं, और एक ही दो विमानों में प्रिज्म के दो चेहरे हैं, जो क्रमशः समानांतर पक्षों के साथ समान बहुभुज हैं, और सभी किनारे जो इनमें नहीं हैं विमान समानांतर हैं।

दो समान फलक कहलाते हैं प्रिज्म बेस(एबीसीडीई, ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1).

प्रिज्म के अन्य सभी फलक कहलाते हैं साइड फेस(एए 1 बी 1 बी, बीबी 1 सी 1 सी, सीसी 1 डी 1 डी, डीडी 1 ई 1 ई, ईई 1 ए 1 ए)।

सभी साइड फेस फॉर्म प्रिज्म की पार्श्व सतह .

प्रिज्म के सभी पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं .

वे किनारे जो आधारों पर नहीं होते हैं, प्रिज्म के पार्श्व किनारे कहलाते हैं ( एए 1, बी बी 1, सीसी 1, डीडी 1, ईई 1).

प्रिज्म विकर्ण एक खंड कहलाता है, जिसके सिरे प्रिज्म के दो शीर्ष होते हैं जो इसके किसी एक फलक पर नहीं होते हैं (AD 1)।

प्रिज्म के आधारों को एक ही समय में दोनों आधारों से जोड़ने वाले खंड की लंबाई कहलाती है प्रिज्म ऊंचाई .

पद:एबीसीडीई ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1. (पहले, बायपास के क्रम में, एक आधार के शीर्षों को इंगित किया जाता है, और फिर, उसी क्रम में, दूसरे के शीर्षों को; प्रत्येक पार्श्व किनारे के सिरों को समान अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, केवल कोने में स्थित होते हैं एक आधार एक सूचकांक के बिना अक्षरों द्वारा इंगित किया जाता है, और दूसरे में - एक सूचकांक के साथ)

प्रिज्म का नाम उसके आधार पर स्थित आकृति में कोणों की संख्या के साथ जुड़ा हुआ है, उदाहरण के लिए, चित्र 1 में, आधार एक पंचकोण है, इसलिए प्रिज्म को कहा जाता है पंचकोणीय प्रिज्म. लेकिन जबसे ऐसे प्रिज्म में 7 फलक होते हैं, तो यह हेप्टाहेड्रोन(2 फलक प्रिज्म के आधार हैं, 5 फलक समांतर चतुर्भुज हैं, इसके पार्श्व फलक हैं)

सीधे प्रिज्मों के बीच बाहर खड़ा है निजी दृश्य: नियमित प्रिज्म।

एक सीधा प्रिज्म कहलाता है सही,यदि इसके आधार नियमित बहुभुज हैं।

एक नियमित प्रिज्म में सभी भुजाएँ समान आयतों की ओर होती हैं। प्रिज्म का एक विशेष मामला एक समानांतर चतुर्भुज है।

समानांतर खात

समानांतर खात- यह चतुष्कोणीय प्रिज्म, जो एक समांतर चतुर्भुज (तिरछा समानांतर चतुर्भुज) पर आधारित है। दायां समांतर चतुर्भुज- एक समानांतर चतुर्भुज जिसके पार्श्व किनारे आधार के विमानों के लंबवत होते हैं।

घनाभ- एक समांतर चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है।

गुण और प्रमेय:

समांतर चतुर्भुज के कुछ गुण समान होते हैं ज्ञात गुणसमांतर चतुर्भुज। एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज जिसमें समान माप, कहा जाता है घनक्षेत्र एक घन के सभी फलक समान वर्ग होते हैं। एक विकर्ण का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है

,

जहाँ d वर्ग का विकर्ण है;
ए - वर्ग के किनारे।

प्रिज्म का विचार किसके द्वारा दिया गया है:

• विभिन्न वास्तुशिल्प संरचनाएं;
• बच्चों के खिलौने;
• पैकिंग बक्से;
• डिजाइनर आइटम, आदि।

प्रिज्म का कुल और पार्श्व सतह क्षेत्र

प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफलइसके सभी चेहरों के क्षेत्रों का योग है पार्श्व सतह क्षेत्रइसके पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहलाता है। प्रिज्म के आधार बराबर बहुभुज हैं, तो उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। इसलिए

एस पूर्ण \u003d एस साइड + 2 एस मुख्य,

कहाँ पे एस पूर्ण- कुल सतह क्षेत्रफल, एस साइड- पार्श्व सतह क्षेत्र, एस मुख्य- आधार क्षेत्र

एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है.

एस साइड\u003d पी मुख्य * एच,

कहाँ पे एस साइडएक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है,

पी मुख्य - सीधे प्रिज्म के आधार की परिधि,

h सीधे प्रिज्म की ऊँचाई है, जो पार्श्व किनारे के बराबर है।

प्रिज्म वॉल्यूम

एक प्रिज्म का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

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