सही प्रिज्म के आधार पर क्या निहित है। चश्मे
गणित की एक शाखा जो विभिन्न आकृतियों (बिंदुओं, रेखाओं, कोणों, द्वि-आयामी और त्रि-आयामी वस्तुओं) के गुणों का अध्ययन करती है, उनके आकार और तुलनात्मक स्थिति. शिक्षण की सुविधा के लिए ज्यामिति को प्लेनीमेट्री और सॉलिड ज्योमेट्री में बांटा गया है। में… … कोलियर इनसाइक्लोपीडिया
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भाषण: प्रिज्म, इसके आधार, पार्श्व किनारे, ऊंचाई, पार्श्व सतह; सीधा प्रिज्म; दायां प्रिज्म
चश्मे
यदि आपने हमारे साथ पिछले प्रश्नों से फ्लैट आंकड़े सीखे हैं, तो आप त्रि-आयामी आंकड़ों का अध्ययन करने के लिए पूरी तरह से तैयार हैं। पहला ठोस जो हम सीखेंगे वह एक प्रिज्म होगा।
चश्मेएक विशाल पिंड है जिसमें एक बड़ी संख्या कीचेहरे के।
इस आकृति के आधारों पर दो बहुभुज हैं, जो समांतर तलों में स्थित हैं, और सभी पार्श्व फलक एक समांतर चतुर्भुज के रूप में हैं।
अंजीर 1. अंजीर। 2
तो, आइए जानें कि प्रिज्म क्या होता है। ऐसा करने के लिए, Fig.1 पर ध्यान दें
जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, प्रिज्म के दो आधार हैं जो एक दूसरे के समानांतर हैं - ये पेंटागन एबीसीईएफ और जीएमएनजेके हैं। इसके अलावा, ये बहुभुज एक दूसरे के बराबर हैं।
प्रिज्म के अन्य सभी फलकों को पार्श्व फलक कहा जाता है - इनमें समांतर चतुर्भुज होते हैं। उदाहरण के लिए, बीएमएनसी, एजीकेएफ, एफकेजेई, आदि।
सभी पार्श्व फलकों की उभयनिष्ठ सतह कहलाती है पार्श्व सतह.
आसन्न फलकों के प्रत्येक जोड़े का एक उभयनिष्ठ पक्ष होता है। इस तरह के एक आम पक्ष को किनारे कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एमबी, सीई, एबी, आदि।
यदि प्रिज्म के ऊपरी और निचले आधारों को एक लंब द्वारा जोड़ा जाता है, तो इसे प्रिज्म की ऊंचाई कहा जाएगा। आकृति में, ऊंचाई को एक सीधी रेखा OO 1 के रूप में चिह्नित किया गया है।
प्रिज्म के दो मुख्य प्रकार हैं: तिरछा और सीधा।
यदि प्रिज्म के किनारे आधारों के लंबवत न हों, तो ऐसे प्रिज्म को कहते हैं परोक्ष.
यदि किसी प्रिज्म के सभी किनारे आधारों के लंबवत हों, तो ऐसे प्रिज्म को कहते हैं सीधा.
यदि किसी प्रिज्म के आधार सम बहुभुज (समान भुजाओं वाले) हों, तो ऐसे प्रिज्म कहलाते हैं सही.
यदि प्रिज्म के आधार एक दूसरे के समानांतर न हों, तो ऐसा प्रिज्म कहलाता है छोटा कर दिया
आप इसे Fig.2 . में देख सकते हैं
आयतन ज्ञात करने के सूत्र, प्रिज्म का क्षेत्रफल
आयतन ज्ञात करने के तीन मूल सूत्र हैं। वे अपने आवेदन में एक दूसरे से भिन्न होते हैं:
प्रिज्म का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के समान सूत्र:
कोई भी बहुभुज प्रिज्म के आधार पर स्थित हो सकता है - एक त्रिभुज, एक चतुर्भुज, आदि। दोनों आधार बिल्कुल समान हैं, और तदनुसार, जिसके द्वारा समांतर फलकों के कोण एक दूसरे से जुड़े होते हैं, वे हमेशा समानांतर होते हैं। एक नियमित प्रिज्म के आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है, जो कि सभी पक्षों के बराबर होता है। एक सीधे प्रिज्म में, पार्श्व फलकों के बीच के किनारे आधार के लंबवत होते हैं। इस मामले में, किसी भी संख्या में कोणों वाला बहुभुज एक सीधे प्रिज्म के आधार पर स्थित हो सकता है। जिस प्रिज्म का आधार समांतर चतुर्भुज होता है, उसे समांतर चतुर्भुज कहा जाता है। आयत - विशेष मामलासमांतर चतुर्भुज। यदि यह आकृति आधार पर स्थित है, और पार्श्व फलक आधार से समकोण पर स्थित हैं, तो समांतर चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है। इस ज्यामितीय निकाय का दूसरा नाम आयताकार है। वह कैसी दिखती है
आयताकार प्रिज्म घिरा हुआ आधुनिक आदमीकाफ़ी थोड़ा. यह, उदाहरण के लिए, जूते, कंप्यूटर घटकों आदि के नीचे से सामान्य कार्डबोर्ड है। चारों ओर देखो। एक कमरे में भी आपको कई आयताकार प्रिज्म जरूर दिखाई देंगे। यह एक कंप्यूटर का मामला है, और एक किताबों की अलमारी, और एक रेफ्रिजरेटर, और एक कैबिनेट, और कई अन्य आइटम हैं। यह फॉर्म मुख्य रूप से बेहद लोकप्रिय है क्योंकि यह आपको अंतरिक्ष को यथासंभव कुशलता से उपयोग करने की अनुमति देता है, चाहे आप इंटीरियर को सजा रहे हों या चीजों को आगे बढ़ने से पहले कार्डबोर्ड में पैक कर रहे हों।एक आयताकार प्रिज्म के गुण
एक आयताकार प्रिज्म में एक संख्या होती है विशिष्ट गुण. चेहरों की कोई भी जोड़ी इसके रूप में काम कर सकती है, क्योंकि सभी आसन्न फलक एक दूसरे से एक ही कोण पर स्थित हैं, और यह कोण 90 ° है। एक आयताकार प्रिज्म का आयतन और सतह क्षेत्र किसी अन्य की तुलना में गणना करना आसान है। आयताकार प्रिज्म के आकार की कोई भी वस्तु लें। इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को मापें। आयतन ज्ञात करने के लिए, इन मापों को गुणा करना पर्याप्त है। यही है, सूत्र इस तरह दिखता है: वी \u003d ए * बी * एच, जहां वी वॉल्यूम है, ए और बी आधार के किनारे हैं, एच वह ऊंचाई है जो इस ज्यामितीय शरीर के किनारे के किनारे से मेल खाती है। आधार क्षेत्र की गणना सूत्र S1=a*b द्वारा की जाती है। पार्श्व सतह प्राप्त करने के लिए, आपको पहले सूत्र P=2(a+b) का उपयोग करके आधार की परिधि की गणना करनी चाहिए और फिर इसे ऊंचाई से गुणा करना चाहिए। यह सूत्र S2=P*h=2(a+b)*h निकलता है। हिसाब करना पूरी सतहएक आयताकार प्रिज्म के लिए, आधार के क्षेत्रफल और पार्श्व सतह के क्षेत्रफल का दोगुना जोड़ें। सूत्र है S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2में स्कूल के पाठ्यक्रमठोस ज्यामिति के दौरान, त्रि-आयामी आकृतियों का अध्ययन आमतौर पर एक साधारण ज्यामितीय शरीर - एक प्रिज्म पॉलीहेड्रॉन से शुरू होता है। इसके आधारों की भूमिका समांतर तलों में पड़े 2 समान बहुभुजों द्वारा निभाई जाती है। एक विशेष मामला एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म है। इसके आधार 2 समान नियमित चतुर्भुज होते हैं, जिनकी भुजाएँ लंबवत होती हैं, जिनमें समांतर चतुर्भुज का आकार होता है (या यदि प्रिज्म झुका हुआ नहीं है तो आयत)।
प्रिज्म कैसा दिखता है
एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म एक हेक्साहेड्रोन होता है, जिसके आधार पर 2 वर्ग होते हैं, और पक्ष के चेहरे आयतों द्वारा दर्शाए जाते हैं। इसके लिए एक और नाम ज्यामितीय आकृति- एक सीधा समानांतर चतुर्भुज।
एक चतुर्भुज प्रिज्म को दर्शाने वाला चित्र नीचे दिखाया गया है।
आप भी तस्वीर में देख सकते हैं आवश्यक तत्व, जो ज्यामितीय निकाय बनाते हैं. उन्हें आमतौर पर कहा जाता है:
कभी-कभी ज्यामिति की समस्याओं में आप एक खंड की अवधारणा पा सकते हैं। परिभाषा इस तरह सुनाई देगी: एक खंड एक वॉल्यूमेट्रिक बॉडी के सभी बिंदु हैं जो काटने वाले विमान से संबंधित हैं। खंड लंबवत है (आकृति के किनारों को 90 डिग्री के कोण पर पार करता है)। एक आयताकार प्रिज्म के लिए, 2 किनारों और आधार के विकर्णों से गुजरते हुए एक विकर्ण खंड पर भी विचार किया जाता है (अधिकतम वर्गों का निर्माण किया जा सकता है 2)।
यदि खंड को इस तरह से खींचा जाता है कि काटने वाला विमान या तो आधारों या साइड चेहरों के समानांतर नहीं होता है, तो परिणाम एक छोटा प्रिज्म होता है।
कम किए गए प्रिज्मीय तत्वों को खोजने के लिए विभिन्न अनुपातों और सूत्रों का उपयोग किया जाता है। उनमें से कुछ को प्लानिमेट्री के पाठ्यक्रम से जाना जाता है (उदाहरण के लिए, एक प्रिज्म के आधार के क्षेत्र को खोजने के लिए, यह एक वर्ग के क्षेत्र के लिए सूत्र को याद करने के लिए पर्याप्त है)।
सतह क्षेत्र और मात्रा
सूत्र का उपयोग करके प्रिज्म का आयतन निर्धारित करने के लिए, आपको इसके आधार और ऊँचाई का क्षेत्रफल जानना होगा:
वी = स्प्रिम एच
चूँकि एक नियमित चतुष्फलकीय प्रिज्म का आधार भुजा वाला एक वर्ग है ए,आप सूत्र को अधिक विस्तृत रूप में लिख सकते हैं:
वी = ए² एच
यदि हम एक घन के बारे में बात कर रहे हैं - समान लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई वाला एक नियमित प्रिज्म, तो आयतन की गणना इस प्रकार की जाती है:
यह समझने के लिए कि किसी प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए, आपको इसके स्वीप की कल्पना करने की आवश्यकता है।
चित्र से यह देखा जा सकता है कि पार्श्व सतह 4 समान आयतों से बनी है। इसके क्षेत्रफल की गणना आधार की परिधि और आकृति की ऊंचाई के गुणनफल के रूप में की जाती है:
साइड = पॉज़ एच
चूँकि एक वर्ग का परिमाप है पी = 4ए,सूत्र रूप लेता है:
साइड = 4a h
घन के लिए:
साइड = 4a²
प्रिज्म के कुल सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, पार्श्व क्षेत्र में 2 आधार क्षेत्र जोड़ें:
सफुल = साइड + 2Sbase
जैसा कि एक चतुर्भुज नियमित प्रिज्म पर लागू होता है, सूत्र का रूप होता है:
पूर्ण = 4a h + 2a²
घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए:
पूर्ण = 6a²
आयतन या पृष्ठीय क्षेत्रफल जानकर आप गणना कर सकते हैं व्यक्तिगत तत्वज्यामितीय शरीर।
प्रिज्म तत्व ढूँढना
अक्सर ऐसी समस्याएं होती हैं जिनमें वॉल्यूम दिया जाता है या पार्श्व सतह क्षेत्र का मूल्य ज्ञात होता है, जहां आधार के किनारे की लंबाई या ऊंचाई निर्धारित करना आवश्यक होता है। ऐसे मामलों में, सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं:
- आधार पक्ष लंबाई: ए = साइड / 4 एच = (वी / एच);
- ऊंचाई या साइड रिब लंबाई: एच = साइड / 4 ए = वी / ए²;
- आधार क्षेत्र: स्प्रिम = वी / एच;
- पार्श्व चेहरा क्षेत्र: पक्ष जीआर = साइड / 4।
यह निर्धारित करने के लिए कि एक विकर्ण खंड का क्षेत्रफल कितना है, आपको विकर्ण की लंबाई और आकृति की ऊंचाई जानने की आवश्यकता है। एक वर्ग के लिए डी = ए√2।इसलिए:
सदियग = आह√2
प्रिज्म के विकर्ण की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग किया जाता है:
dprize = (2a² + h²)
यह समझने के लिए कि उपरोक्त अनुपातों को कैसे लागू किया जाए, आप कुछ सरल कार्यों का अभ्यास और समाधान कर सकते हैं।
समाधान के साथ समस्याओं के उदाहरण
गणित में राज्य की अंतिम परीक्षा में आने वाले कुछ कार्य यहां दिए गए हैं।
अभ्यास 1।
रेत को एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के आकार के डिब्बे में डाला जाता है। इसके स्तर की ऊंचाई 10 सेमी है यदि आप इसे उसी आकार के कंटेनर में ले जाते हैं, लेकिन आधार लंबाई 2 गुना अधिक है तो रेत का स्तर क्या होगा?
इसे निम्नानुसार तर्क दिया जाना चाहिए। पहले और दूसरे कंटेनर में रेत की मात्रा नहीं बदली, यानी उनमें इसकी मात्रा समान है। आप आधार की लंबाई को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं ए. इस स्थिति में, पहले डिब्बे के लिए पदार्थ का आयतन होगा:
वी₁ = हा² = 10a²
दूसरे बॉक्स के लिए, आधार की लंबाई है 2ए, लेकिन रेत के स्तर की ऊंचाई अज्ञात है:
वी₂ = एच(2ए)² = 4ha²
जहां तक कि वी₁ = वी₂, भावों की बराबरी की जा सकती है:
10a² = 4ha²
समीकरण के दोनों पक्षों को a² से कम करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
नतीजतन नया स्तररेत होगी एच = 10 / 4 = 2.5सेमी।
कार्य 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ एक नियमित प्रिज्म है। यह ज्ञात है कि BD = AB₁ = 6√2। शरीर का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
यह समझना आसान बनाने के लिए कि कौन से तत्व ज्ञात हैं, आप एक आकृति बना सकते हैं।
चूंकि हम एक नियमित प्रिज्म के बारे में बात कर रहे हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि आधार 6√2 के विकर्ण के साथ एक वर्ग है। पार्श्व फलक के विकर्ण का मान समान होता है, इसलिए पार्श्व फलक का आकार भी आधार के बराबर वर्ग का होता है। यह पता चला है कि तीनों आयाम - लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई - समान हैं। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ABCDA₁B₁C₁D₁ एक घन है।
किसी भी किनारे की लंबाई ज्ञात विकर्ण द्वारा निर्धारित की जाती है:
ए = डी / √2 = 6√2 / √2 = 6
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल घन के सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
पूर्ण = 6a² = 6 6² = 216
कार्य 3.
कमरे की मरम्मत की जा रही है। यह ज्ञात है कि इसकी मंजिल 9 वर्ग मीटर के क्षेत्रफल के साथ एक वर्ग के आकार की है। कमरे की ऊंचाई 2.5 मीटर है। अगर 1 वर्ग मीटर की लागत 50 रूबल है तो एक कमरे की दीवारपैरिंग की सबसे कम लागत क्या है?
चूंकि फर्श और छत वर्ग हैं, अर्थात् नियमित चतुर्भुज हैं, और इसकी दीवारें क्षैतिज सतहों के लंबवत हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह एक नियमित प्रिज्म है। इसकी पार्श्व सतह के क्षेत्र को निर्धारित करना आवश्यक है।
कमरे की लंबाई है ए = √9 = 3एम।
वर्ग वॉलपेपर के साथ कवर किया जाएगा भुजा = 4 3 2.5 = 30 वर्ग मीटर.
इस कमरे के लिए वॉलपेपर की सबसे कम कीमत होगी 50 30 = 1500रूबल।
इस प्रकार, एक आयताकार प्रिज्म के लिए समस्याओं को हल करने के लिए, एक वर्ग और एक आयत के क्षेत्र और परिधि की गणना करने में सक्षम होने के साथ-साथ मात्रा और सतह क्षेत्र को खोजने के लिए सूत्रों को जानने के लिए पर्याप्त है।
घन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें
परिभाषा। चश्मे- यह एक पॉलीहेड्रॉन है, जिसके सभी कोने दो समानांतर विमानों में स्थित हैं, और एक ही दो विमानों में प्रिज्म के दो चेहरे हैं, जो क्रमशः समानांतर पक्षों के साथ समान बहुभुज हैं, और सभी किनारे जो इनमें नहीं हैं विमान समानांतर हैं।
दो समान फलक कहलाते हैं प्रिज्म बेस(एबीसीडीई, ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1).
प्रिज्म के अन्य सभी फलक कहलाते हैं साइड फेस(एए 1 बी 1 बी, बीबी 1 सी 1 सी, सीसी 1 डी 1 डी, डीडी 1 ई 1 ई, ईई 1 ए 1 ए)।
सभी साइड फेस फॉर्म पार्श्व सतहप्रिज्म .
प्रिज्म के सभी पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं .
वे किनारे जो आधारों पर नहीं होते हैं, प्रिज्म के पार्श्व किनारे कहलाते हैं ( एए 1, बी बी 1, सीसी 1, डीडी 1, ईई 1).
प्रिज्म विकर्ण एक खंड कहलाता है, जिसके सिरे प्रिज्म के दो शीर्ष होते हैं जो इसके किसी एक फलक पर नहीं होते हैं (AD 1)।
प्रिज्म के आधारों को एक ही समय में दोनों आधारों से जोड़ने वाले खंड की लंबाई कहलाती है प्रिज्म ऊंचाई .
पद:एबीसीडीई ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1. (पहले, बायपास क्रम में, एक आधार के शीर्षों को इंगित किया जाता है, और फिर, उसी क्रम में, दूसरे के शीर्षों को; प्रत्येक पार्श्व किनारे के सिरों को एक ही अक्षर द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, केवल एक आधार में स्थित कोने एक सूचकांक के बिना अक्षरों द्वारा इंगित किया जाता है, और दूसरे में - एक सूचकांक के साथ)
प्रिज्म का नाम उसके आधार पर स्थित आकृति में कोणों की संख्या के साथ जुड़ा हुआ है, उदाहरण के लिए, चित्र 1 में, आधार एक पंचकोण है, इसलिए प्रिज्म को कहा जाता है पंचकोणीय प्रिज्म. लेकिन जबसे ऐसे प्रिज्म में 7 फलक होते हैं, तो यह हेप्टाहेड्रोन(2 फलक प्रिज्म के आधार हैं, 5 फलक समांतर चतुर्भुज हैं, इसके पार्श्व फलक हैं)
सीधे प्रिज्मों के बीच बाहर खड़ा है निजी दृश्य: नियमित प्रिज्म।
एक सीधा प्रिज्म कहलाता है सही,यदि इसके आधार नियमित बहुभुज हैं।
समानांतर खात
समानांतर खात- यह चतुष्कोणीय प्रिज्म, जो एक समांतर चतुर्भुज (तिरछा समानांतर चतुर्भुज) पर आधारित है। दायां समांतर चतुर्भुज- एक समानांतर चतुर्भुज जिसके पार्श्व किनारे आधार के विमानों के लंबवत होते हैं।घनाभ- एक समांतर चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है।
गुण और प्रमेय:
समांतर चतुर्भुज के कुछ गुण समान होते हैं ज्ञात गुणसमांतर चतुर्भुज। एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज जिसमें समान माप, कहा जाता है घनक्षेत्र
एक घन के सभी फलक समान वर्ग होते हैं। एक विकर्ण का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है 
,
जहाँ d वर्ग का विकर्ण है;
ए - वर्ग के किनारे।
प्रिज्म का विचार किसके द्वारा दिया गया है:
- विभिन्न वास्तुशिल्प संरचनाएं;
- बच्चों के खिलौने;
- पैकिंग बक्से;
- डिजाइनर आइटम, आदि।
प्रिज्म का कुल और पार्श्व सतह क्षेत्र
प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफलइसके सभी चेहरों के क्षेत्रों का योग है पार्श्व सतह क्षेत्रइसके पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहलाता है। प्रिज्म के आधार बराबर बहुभुज हैं, तो उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। इसीलिएएस पूर्ण \u003d एस साइड + 2 एस मुख्य,
कहाँ पे एस पूर्ण- कुल सतह क्षेत्रफल, एस साइड- पार्श्व सतह क्षेत्र, एस मुख्य- आधार क्षेत्र
एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है.
एस साइड\u003d पी मुख्य * एच,
कहाँ पे एस साइडएक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है,
पी मुख्य - सीधे प्रिज्म के आधार की परिधि,
h सीधे प्रिज्म की ऊँचाई है, जो पार्श्व किनारे के बराबर है।
प्रिज्म वॉल्यूम
एक प्रिज्म का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।
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