तकनीकी यांत्रिकी 2 पाठ्यक्रम पर व्याख्यान। प्रकाश के उदाहरणों के साथ सैद्धांतिक यांत्रिकी में स्व-अध्ययन के विषय
मैनुअल में विषय ब्लॉक "तकनीकी यांत्रिकी" के मुख्य विषयों में से एक की बुनियादी अवधारणाएं और शर्तें शामिल हैं। इस अनुशासन में "सैद्धांतिक यांत्रिकी", "सामग्री की ताकत", "तंत्र और मशीनों का सिद्धांत" जैसे खंड शामिल हैं।
मैनुअल का उद्देश्य "तकनीकी यांत्रिकी" पाठ्यक्रम के स्व-अध्ययन में छात्रों की सहायता करना है।
सैद्धांतिक यांत्रिकी 4
I. स्टेटिक्स 4
1. स्टैटिक्स की मूल अवधारणाएँ और स्वयंसिद्ध 4
2. बलों को परिवर्तित करने की प्रणाली 6
3. मनमाने ढंग से वितरित बलों की सपाट प्रणाली 9
4. एक खेत की अवधारणा। ट्रस गणना 11
5. बलों की स्थानिक प्रणाली 11
द्वितीय. बिंदु की कीनेमेटीक्स और ठोस बॉडी 13
1. किनेमेटिक्स की बुनियादी अवधारणाएं 13
2. किसी दृढ़ पिंड की स्थानांतरीय और घूर्णी गति 15
3. किसी दृढ़ पिंड की समतल-समानांतर गति 16
III. बिंदु 21 . की गतिशीलता
1. बुनियादी अवधारणाएं और परिभाषाएं। गतिकी के नियम 21
2. बिंदु गतिकी के सामान्य प्रमेय 21
सामग्री की ताकत22
1. मूल अवधारणाएं 22
2. बाहरी और आंतरिक बल. धारा विधि 22
3. तनाव की अवधारणा 24
4. एक सीधी बीम का तनाव और संपीड़न 25
5. शिफ्ट और संक्षिप्त करें 27
6. मरोड़ 28
7. क्रॉस बेंड 29
8. अनुदैर्ध्य मोड़। अनुदैर्ध्य झुकने की घटना का सार। यूलर सूत्र। क्रिटिकल वोल्टेज 32
तंत्र और मशीनों का सिद्धांत 34
1. तंत्र का संरचनात्मक विश्लेषण 34
2. फ्लैट तंत्र का वर्गीकरण 36
3. फ्लैट तंत्र का गतिज अध्ययन 37
4. कैम तंत्र 38
5. गियर तंत्र 40
6. तंत्र और मशीनों की गतिशीलता 43
ग्रन्थसूची45
सैद्धांतिक यांत्रिकी
मैं. स्थिति-विज्ञान
1. बुनियादी अवधारणाएँ और स्टैटिक्स के स्वयंसिद्ध
भौतिक निकायों की गति और संतुलन के सामान्य नियमों के विज्ञान और इससे उत्पन्न होने वाले निकायों के बीच की बातचीत को कहा जाता है सैद्धांतिक यांत्रिकी.
स्थिरयांत्रिकी की शाखा कहा जाता है, जो बलों के सामान्य सिद्धांत को निर्धारित करता है और बलों के प्रभाव में भौतिक निकायों के संतुलन के लिए शर्तों का अध्ययन करता है।
बिल्कुल ठोस शरीरऐसा पिंड कहलाता है, जिसके किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी हमेशा स्थिर रहती है।
मात्रा, जो भौतिक निकायों के यांत्रिक संपर्क का एक मात्रात्मक माप है, कहा जाता है बल.
अदिशवे हैं जो पूरी तरह से उनके संख्यात्मक मूल्य की विशेषता हैं।
वेक्टर मात्रा -ये वे हैं, जो संख्यात्मक मान के अलावा, अंतरिक्ष में एक दिशा की विशेषता भी रखते हैं।
बल एक सदिश राशि है(चित्र .1)।
ताकत की विशेषता है:
- दिशा;
- संख्यात्मक मान या मॉड्यूल;
- आवेदन का बिंदु।
सीधा डीइजिसके साथ बल को निर्देशित किया जाता है उसे कहा जाता है बल की रेखा.
किसी दृढ़ पिंड पर कार्य करने वाले बलों की समग्रता कहलाती है बलों की प्रणाली.
एक शरीर जो अन्य शरीरों से बंधा नहीं है, जो यह प्रावधानअंतरिक्ष में किसी भी हलचल की रिपोर्ट कर सकते हैं, जिसे कहा जाता है नि: शुल्क.
यदि एक मुक्त कठोर पिंड पर कार्य करने वाले बलों की एक प्रणाली को आराम या गति की स्थिति को बदले बिना दूसरी प्रणाली द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसमें शरीर स्थित है, तो ऐसे दो सिस्टम सिस्टम कहलाते हैं समकक्ष.
बलों की प्रणाली जिसके तहत एक मुक्त कठोर शरीर आराम कर सकता है, कहलाता है संतुलितया शून्य के बराबर.
परिणामी -यह एक बल है जो अकेले एक कठोर शरीर पर बलों की एक प्रणाली की कार्रवाई को प्रतिस्थापित करता है।
निरपेक्ष मान में परिणामी के बराबर बल, दिशा में इसके ठीक विपरीत और एक ही सीधी रेखा के अनुदिश कार्य करने वाला बल कहलाता है संतुलन बल.
बाहरीअन्य भौतिक निकायों से किसी दिए गए शरीर के कणों पर कार्य करने वाले बल कहलाते हैं।
आंतरिकउन बलों को कहा जाता है जिनके साथ किसी दिए गए शरीर के कण एक दूसरे पर कार्य करते हैं।
किसी एक बिंदु पर किसी पिंड पर लगाया गया बल कहलाता है ध्यान केंद्रित.
किसी दिए गए आयतन के सभी बिंदुओं या किसी पिंड की सतह के दिए गए हिस्से पर कार्य करने वाले बल कहलाते हैं वितरित.
अभिगृहीत 1. यदि दो बल एक मुक्त बिल्कुल कठोर शरीर पर कार्य करते हैं, तो शरीर संतुलन में हो सकता है यदि और केवल तभी जब ये बल निरपेक्ष मान में समान हों और विपरीत दिशाओं में एक सीधी रेखा के साथ निर्देशित हों (चित्र 2)।
अभिगृहीत 2. यदि बल की एक संतुलित प्रणाली को इसमें जोड़ा या घटाया जाए तो एक बिल्कुल कठोर शरीर पर बलों की एक प्रणाली की क्रिया नहीं बदलेगी।
1 और 2 स्वयंसिद्धों से परिणाम. यदि बल के अनुप्रयोग बिंदु को उसकी क्रिया रेखा के साथ-साथ शरीर के किसी अन्य बिंदु पर ले जाया जाता है, तो बिल्कुल कठोर पिंड पर बल की क्रिया नहीं बदलेगी।
स्वयंसिद्ध 3 (बलों के समांतर चतुर्भुज का स्वयंसिद्ध). एक बिंदु पर शरीर पर लगाए गए दो बलों का परिणाम एक ही बिंदु पर लगाया जाता है और इन बलों पर बने समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दर्शाया जाता है (चित्र 3)।
आर = एफ 1 + एफ 2
वेक्टर आर, सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के बराबर एफ 1 और एफ 2 कहा जाता है सदिशों का ज्यामितीय योग.
अभिगृहीत 4. एक भौतिक शरीर की दूसरे पर प्रत्येक क्रिया के साथ, समान परिमाण की प्रतिक्रिया होती है, लेकिन दिशा में विपरीत होती है।
अभिगृहीत 5(सख्त सिद्धांत)। यदि शरीर को ठोस (बिल्कुल कठोर) माना जाता है, तो किसी दिए गए बलों की प्रणाली की कार्रवाई के तहत एक चर (विकृत) शरीर का संतुलन गड़बड़ा नहीं जाएगा।
एक पिंड जो अन्य पिंडों से जुड़ा नहीं होता है और किसी दिए गए स्थान से अंतरिक्ष में कोई भी गति कर सकता है, उसे कहा जाता है नि: शुल्क.
एक पिंड जिसकी अंतरिक्ष में गति को कुछ अन्य पिंडों द्वारा रोका जाता है या उसके संपर्क में रखा जाता है, कहलाता है खाली नहीं.
अंतरिक्ष में किसी दिए गए पिंड की गति को सीमित करने वाली हर चीज कहलाती है संचार.
वह बल जिसके साथ यह संबंध शरीर पर कार्य करता है, उसकी एक या दूसरे गति को रोकता है, कहलाता है बंधन प्रतिक्रिया बलया बंधन प्रतिक्रिया.
संचार प्रतिक्रिया निर्देशितउस दिशा के विपरीत जहां कनेक्शन शरीर को चलने नहीं देता है।
कनेक्शन का स्वयंसिद्ध।किसी भी गैर-मुक्त शरीर को मुक्त माना जा सकता है, यदि हम बंधनों को त्याग दें और उनकी क्रिया को इन बंधनों की प्रतिक्रियाओं से बदल दें।
2. बलों को परिवर्तित करने की प्रणाली
अभिसारीवे बल कहलाते हैं जिनकी क्रिया रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (चित्र 4a)।
बलों को परिवर्तित करने की प्रणाली है परिणामीके बराबर ज्यामितीय योग(मुख्य वेक्टर) इन बलों के और उनके चौराहे के बिंदु पर लागू होते हैं।
ज्यामितीय योग, या मुख्य वेक्टरइन बलों से निर्मित बल बहुभुज के समापन पक्ष द्वारा कई बलों का प्रतिनिधित्व किया जाता है (चित्र 4 बी)।
2.1. अक्ष और तल पर बल का प्रक्षेपण
अक्ष पर बल का प्रक्षेपणबल की शुरुआत और अंत के अनुमानों के बीच संलग्न, संबंधित चिह्न के साथ लिए गए खंड की लंबाई के बराबर एक अदिश राशि कहलाती है। प्रक्षेपण में एक प्लस चिह्न होता है यदि इसकी शुरुआत से अंत तक की गति धुरी की सकारात्मक दिशा में होती है, और ऋणात्मक दिशा में होने पर ऋण चिह्न होता है (चित्र 5)।
अक्ष पर बल का प्रक्षेपणबल की दिशा और अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच के कोण की कोज्या और बल के मापांक के गुणनफल के बराबर है:
एफ एक्स = एफक्योंकि
एक विमान पर बल का प्रक्षेपणइस तल पर बल की शुरुआत और अंत के अनुमानों के बीच संलग्न वेक्टर कहा जाता है (चित्र 6)।
एफ xy = एफक्योंकि क्यू
एफ एक्स = एफ xyकॉस = एफक्योंकि क्यूक्योंकि
एफ आप = एफ xyकॉस = एफक्योंकि क्यूक्योंकि
योग वेक्टर प्रोजेक्शनकिसी भी अक्ष पर समान अक्ष पर सदिशों के पदों के अनुमानों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है (चित्र 7)।
आर = एफ 1 + एफ 2 + एफ 3 + एफ 4
आर एक्स = ∑एफ नौवीं आर आप = ∑एफ मैं
अभिसारी बलों की प्रणाली को संतुलित करने के लिएयह आवश्यक और पर्याप्त है कि इन बलों से निर्मित बल बहुभुज को बंद किया जाए - यह संतुलन की ज्यामितीय स्थिति है।
विश्लेषणात्मक संतुलन की स्थिति. अभिसारी बलों की प्रणाली के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि दो समन्वय अक्षों में से प्रत्येक पर इन बलों के प्रक्षेपणों का योग शून्य के बराबर हो।
∑एफ नौवीं = 0 ∑एफ मैं = 0 आर =
2.2. तीन बल प्रमेय
यदि एक मुक्त दृढ़ पिंड एक ही तल में स्थित तीन गैर-समानांतर बलों की कार्रवाई के तहत संतुलन में है, तो इन बलों की कार्रवाई की रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (चित्र 8)।
2.3. केंद्र के बारे में बल का क्षण (बिंदु)
केंद्र के बारे में बल का क्षण के बराबर मान कहा जाता है बल के मापांक और लंबाई के गुणनफल के अनुरूप संकेत के साथ लिया गया एच(चित्र 9)।
एम = ± एफ· एच
सीधा एच, केंद्र से नीचे हेबल की रेखा के लिए एफ, कहा जाता है बल का कंधा Fकेंद्र के सापेक्ष हे.
पल का एक प्लस चिन्ह होता है, यदि बल शरीर को केंद्र के चारों ओर घुमाता है हेवामावर्त, और घटाव का चिन्ह- अगर दक्षिणावर्त।
बल के क्षण के गुण।
1. जब बल लगाने के बिंदु को उसकी क्रिया की रेखा के साथ ले जाया जाता है तो बल का क्षण नहीं बदलेगा।
2. केंद्र के चारों ओर बल का क्षण शून्य तभी होता है जब बल शून्य हो या जब बल की क्रिया रेखा केंद्र से होकर गुजरती हो (कंधे शून्य हो)।
परिचय
सैद्धांतिक यांत्रिकी सबसे महत्वपूर्ण मौलिक सामान्य वैज्ञानिक विषयों में से एक है। यह सभी विशिष्टताओं के इंजीनियरों के प्रशिक्षण में एक आवश्यक भूमिका निभाता है। सामान्य इंजीनियरिंग विषय सैद्धांतिक यांत्रिकी के परिणामों पर आधारित होते हैं: सामग्री की ताकत, मशीन के पुर्जे, तंत्र और मशीनों के सिद्धांत, और अन्य।
सैद्धांतिक यांत्रिकी का मुख्य कार्य बलों की कार्रवाई के तहत भौतिक निकायों की गति का अध्ययन करना है। एक महत्वपूर्ण विशेष समस्या बलों की कार्रवाई के तहत निकायों के संतुलन का अध्ययन है।
व्याख्यान पाठ्यक्रम। सैद्धांतिक यांत्रिकी
सैद्धांतिक यांत्रिकी की संरचना। स्टैटिक्स के फंडामेंटल
बलों की एक मनमानी प्रणाली के संतुलन के लिए शर्तें।
कठोर शारीरिक संतुलन समीकरण।
बलों की सपाट प्रणाली।
एक कठोर शरीर के संतुलन के विशेष मामले।
एक बार के संतुलन की समस्या।
बार संरचनाओं में आंतरिक बलों का निर्धारण।
बिंदु कीनेमेटीक्स की मूल बातें।
प्राकृतिक निर्देशांक।
यूलर सूत्र।
एक कठोर शरीर के बिंदुओं के त्वरण का वितरण।
अनुवाद और घूर्णी आंदोलनों।
समतल-समानांतर गति।
जटिल बिंदु आंदोलन।
बिंदु गतिकी की मूल बातें।
एक बिंदु की गति के विभेदक समीकरण।
विशेष प्रकार के बल क्षेत्र।
अंक प्रणाली की गतिशीलता की मूल बातें।
अंक प्रणाली की गतिशीलता के सामान्य प्रमेय।
शरीर के घूर्णी गति की गतिशीलता।
डोब्रोनोव वी.वी., निकितिन एन.एन. सैद्धांतिक यांत्रिकी का कोर्स। एम।, ग्रेजुएट स्कूल, 1983.
ब्यूटेनिन एन.वी., लंट्स वाई.एल., मर्किन डी.आर. सैद्धांतिक यांत्रिकी का पाठ्यक्रम, भाग 1 और 2. एम., हायर स्कूल, 1971।
पेटकेविच वी.वी. सैद्धांतिक यांत्रिकी। एम., नौका, 1981.
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व्याख्यान 1सैद्धांतिक यांत्रिकी की संरचना। स्टैटिक्स के फंडामेंटल
पर सैद्धांतिक यांत्रिकीअन्य निकायों के सापेक्ष निकायों की गति, जो भौतिक संदर्भ प्रणाली हैं, का अध्ययन किया जाता है।
यांत्रिकी न केवल वर्णन करने की अनुमति देता है, बल्कि शरीर की गति की भविष्यवाणी करने के लिए, एक निश्चित, बहुत व्यापक श्रेणी की घटनाओं में कारण संबंध स्थापित करने की अनुमति देता है।
वास्तविक निकायों के मूल सार मॉडल:
सामग्री बिंदु - द्रव्यमान है, लेकिन कोई आयाम नहीं है;
बिल्कुल कठोर शरीर - परिमित आयामों का एक आयतन, पूरी तरह से पदार्थ से भरा हुआ, और आयतन भरने वाले माध्यम के किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी गति के दौरान नहीं बदलती है;
निरंतर विकृत माध्यम - एक सीमित मात्रा या असीमित स्थान भरता है; ऐसे माध्यम के बिंदुओं के बीच की दूरी अलग-अलग हो सकती है।
इनमें से, सिस्टम:
मुक्त सामग्री बिंदुओं की प्रणाली;
कनेक्शन के साथ सिस्टम;
तरल, आदि से भरी गुहा के साथ एक बिल्कुल ठोस शरीर।
"पतित"मॉडल:
असीम रूप से पतली छड़ें;
असीम रूप से पतली प्लेटें;
सामग्री बिंदुओं आदि को जोड़ने वाली भारहीन छड़ें और धागे।
अनुभव से: यांत्रिक घटनाएं अलग तरह से आगे बढ़ती हैं विभिन्न स्थानोंभौतिक संदर्भ प्रणाली। यह संपत्ति भौतिक संदर्भ प्रणाली द्वारा निर्धारित अंतरिक्ष की असमानता है। यहाँ विषमता को किसी घटना के घटित होने की प्रकृति की उस स्थान पर निर्भरता के रूप में समझा जाता है जहाँ हम इस घटना को देखते हैं।
एक अन्य संपत्ति अनिसोट्रॉपी (गैर-आइसोट्रॉपी) है, भौतिक संदर्भ प्रणाली के सापेक्ष शरीर की गति दिशा के आधार पर भिन्न हो सकती है। उदाहरण: मेरिडियन के साथ नदी का मार्ग (उत्तर से दक्षिण तक - वोल्गा); प्रक्षेप्य उड़ान, फौकॉल्ट पेंडुलम।
संदर्भ प्रणाली के गुण (विषमता और अनिसोट्रॉपी) किसी पिंड की गति का निरीक्षण करना कठिन बनाते हैं।
वास्तव मेंइससे मुक्त पृथ्वी को केन्द्र मानकर विचार किया हुआसिस्टम: सिस्टम का केंद्र पृथ्वी के केंद्र में है और सिस्टम "स्थिर" सितारों के सापेक्ष घूमता नहीं है)। भू-केंद्रीय प्रणाली पृथ्वी पर गति की गणना के लिए सुविधाजनक है।
के लिए आकाशीय यांत्रिकी(सौर मंडल निकायों के लिए): एक सूर्यकेंद्रित संदर्भ फ्रेम जो द्रव्यमान के केंद्र के साथ चलता है सौर प्रणालीऔर "स्थिर" सितारों के सापेक्ष घूमता नहीं है। इस प्रणाली के लिए अभी तक नहीं मिलाअंतरिक्ष की विषमता और अनिसोट्रॉपी
यांत्रिकी की घटनाओं के संबंध में।
तो, हम एक सार पेश करते हैं जड़त्वीयसंदर्भ फ्रेम जिसके लिए स्थान सजातीय और समदैशिक है यांत्रिकी की घटनाओं के संबंध में।
संदर्भ का जड़त्वीय ढांचा- जिसकी अपनी गति को किसी यांत्रिक अनुभव से नहीं पहचाना जा सकता है। विचार प्रयोग: "वह बिंदु जो पूरी दुनिया में अकेला है" (पृथक) या तो आराम पर है या एक सीधी रेखा में और समान रूप से चल रहा है।
मूल रेक्टिलिनियर के सापेक्ष गतिमान संदर्भ के सभी फ्रेम समान रूप से जड़त्वीय होंगे। यह आपको एक एकल कार्टेशियन समन्वय प्रणाली शुरू करने की अनुमति देता है। ऐसी जगह को कहा जाता है इयूक्लिडियन.
सशर्त समझौता - सही समन्वय प्रणाली लें (चित्र 1)।
पर 
समय- शास्त्रीय (गैर-सापेक्ष) यांत्रिकी में बिल्कुल, जो सभी संदर्भ प्रणालियों के लिए समान है, अर्थात प्रारंभिक क्षण मनमाना है। सापेक्षतावादी यांत्रिकी के विपरीत, जहां सापेक्षता का सिद्धांत लागू होता है।
समय t पर निकाय की गति की स्थिति उस समय बिंदुओं के निर्देशांक और वेगों से निर्धारित होती है।
वास्तविक निकाय परस्पर क्रिया करते हैं, और बल उत्पन्न होते हैं जो प्रणाली की गति की स्थिति को बदलते हैं। यह सैद्धांतिक यांत्रिकी का सार है।
सैद्धांतिक यांत्रिकी का अध्ययन कैसे किया जाता है?
एक निश्चित संदर्भ फ्रेम के निकायों के एक समूह के संतुलन का सिद्धांत - खंड सांख्यिकी
अध्याय गतिकी: यांत्रिकी का एक हिस्सा जो मात्राओं के बीच संबंधों का अध्ययन करता है जो सिस्टम की गति की स्थिति को दर्शाता है, लेकिन उन कारणों पर विचार नहीं करता है जो गति की स्थिति में बदलाव का कारण बनते हैं।
उसके बाद, बलों के प्रभाव पर विचार करें [मुख्य भाग]।
अध्याय गतिकी: यांत्रिकी का हिस्सा, जो भौतिक वस्तुओं की प्रणालियों की गति की स्थिति पर बलों के प्रभाव पर विचार करता है।
मुख्य पाठ्यक्रम के निर्माण के सिद्धांत - गतिकी:
1) स्वयंसिद्धों की एक प्रणाली पर आधारित (अनुभव, टिप्पणियों के आधार पर);
नित्य - अभ्यास का निर्मम नियंत्रण। सटीक विज्ञान का संकेत - आंतरिक तर्क की उपस्थिति (इसके बिना - असंबंधित व्यंजनों का सेट)!
स्थिरयांत्रिकी के उस हिस्से को कहा जाता है, जहां भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली पर कार्य करने वाले बलों द्वारा संतुष्ट होने वाली शर्तों का अध्ययन किया जाता है ताकि सिस्टम संतुलन में हो, और बलों की प्रणालियों की समानता के लिए शर्तों का अध्ययन किया जा सके।
प्राथमिक सांख्यिकी में संतुलन की समस्याओं पर वैक्टर के गुणों के आधार पर विशेष रूप से ज्यामितीय विधियों का उपयोग करने पर विचार किया जाएगा। यह दृष्टिकोण . में लागू होता है ज्यामितीय सांख्यिकी(विश्लेषणात्मक सांख्यिकी के विपरीत, जिस पर यहां विचार नहीं किया गया है)।
विभिन्न भौतिक निकायों की स्थिति को समन्वय प्रणाली के लिए संदर्भित किया जाएगा, जिसे हम निश्चित मानेंगे।
भौतिक निकायों के आदर्श मॉडल:
1) भौतिक बिंदु - द्रव्यमान के साथ एक ज्यामितीय बिंदु।
2) बिल्कुल कठोर शरीर - भौतिक बिंदुओं का एक सेट, जिसके बीच की दूरी को किसी भी क्रिया द्वारा नहीं बदला जा सकता है।
बलों द्वाराहम फोन करेंगे उद्देश्य कारण, जो भौतिक वस्तुओं की परस्पर क्रिया का परिणाम हैं, जो शरीर को आराम की स्थिति से स्थानांतरित करने या बाद के मौजूदा आंदोलन को बदलने में सक्षम हैं।
चूंकि बल का निर्धारण उसके कारण होने वाली गति से होता है, इसलिए संदर्भ के फ्रेम की पसंद के आधार पर इसका एक सापेक्ष चरित्र भी होता है।
बलों की प्रकृति का प्रश्न माना जाता है भौतिकी में.
भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली संतुलन में है, अगर आराम से होने पर, उस पर अभिनय करने वाली ताकतों से कोई आंदोलन प्राप्त नहीं होता है।
रोज़मर्रा के अनुभव से: बल प्रकृति में वेक्टर होते हैं, यानी परिमाण, दिशा, क्रिया की रेखा, आवेदन का बिंदु। एक कठोर शरीर पर कार्य करने वाले बलों के संतुलन की स्थिति वैक्टर के सिस्टम के गुणों तक कम हो जाती है।
प्रकृति के भौतिक नियमों का अध्ययन करने के अनुभव को सारांशित करते हुए, गैलीलियो और न्यूटन ने यांत्रिकी के बुनियादी नियमों को तैयार किया, जिन्हें यांत्रिकी के स्वयंसिद्ध के रूप में माना जा सकता है, क्योंकि उनके पास है प्रयोगात्मक तथ्यों पर आधारित है।
अभिगृहीत 1.एक कठोर शरीर के एक बिंदु पर कई बलों की कार्रवाई एक की कार्रवाई के बराबर होती है पारिणामिक शक्ति,सदिशों के योग के नियम के अनुसार निर्मित (चित्र 2)।
परिणाम।एक दृढ़ पिंड के एक बिंदु पर लगाए गए बलों को समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार जोड़ा जाता है।
स्वयंसिद्ध 2.दो बल एक कठोर शरीर पर लागू होते हैं परस्पर संतुलितयदि और केवल यदि वे परिमाण में समान हों, विपरीत दिशाओं में निर्देशित हों और एक ही सीधी रेखा पर स्थित हों।
अभिगृहीत 3.एक कठोर शरीर पर बलों की प्रणाली की क्रिया नहीं बदलेगी यदि इस सिस्टम में जोड़ें या इससे ड्रॉप करेंसमान परिमाण के दो बल, विपरीत दिशाओं में निर्देशित और एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।
परिणाम।एक कठोर पिंड के एक बिंदु पर कार्य करने वाले बल को संतुलन को बदले बिना बल की क्रिया की रेखा के साथ स्थानांतरित किया जा सकता है (अर्थात, बल एक स्लाइडिंग वेक्टर है, चित्र 3)
1) सक्रिय - एक कठोर शरीर की गति बनाने या बनाने में सक्षम। उदाहरण के लिए, वजन का बल।
2) निष्क्रिय - गति पैदा नहीं करना, बल्कि एक कठोर शरीर की गति को सीमित करना, गति को रोकना। उदाहरण के लिए, एक अविभाज्य धागे का तनाव बल (चित्र। 4)।
अभिगृहीत 4.दूसरे पर एक शरीर की क्रिया पहले पर इस दूसरे शरीर की क्रिया के बराबर और विपरीत है ( क्रिया प्रतिक्रिया के बराबर होती है).
बिंदुओं की गति को प्रतिबंधित करने वाली ज्यामितीय स्थितियों को कहा जाएगा सम्बन्ध।
संचार की स्थिति: उदाहरण के लिए,
- अप्रत्यक्ष लंबाई की छड़ एल।
- लंबाई एल का लचीला अटूट धागा।
बंधनों और गति को रोकने वाले बलों को कहा जाता है प्रतिक्रिया बल।
स्वयंसिद्ध 5.भौतिक बिंदुओं की प्रणाली पर लगाए गए बांडों को प्रतिक्रिया बलों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिनकी क्रिया बांड की कार्रवाई के बराबर होती है।
जब निष्क्रिय शक्तियाँ सक्रिय बलों की क्रिया को संतुलित नहीं कर पाती हैं, तो गति शुरू हो जाती है।
स्टैटिक्स की दो विशेष समस्याएं
1. दृढ़ पिंड पर कार्य करने वाले बलों को अभिसारी करने की प्रणाली
बलों को परिवर्तित करने की एक प्रणालीबलों की ऐसी प्रणाली कहलाती है, जिसकी क्रिया रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे हमेशा मूल के रूप में लिया जा सकता है (चित्र 5)।
परिणामी के अनुमान:
;
;
.
यदि , तो बल एक कठोर पिंड की गति का कारण बनता है।
बलों की अभिसरण प्रणाली के लिए संतुलन की स्थिति:
|
|
||
|
|
2. तीन बलों का संतुलन
यदि तीन बल एक कठोर पिंड पर कार्य करते हैं, और दो बलों की कार्रवाई की रेखाएं किसी बिंदु A पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो संतुलन संभव है यदि और केवल यदि तीसरे बल की कार्रवाई की रेखा भी बिंदु A से होकर गुजरती है, और बल स्वयं बराबर है परिमाण में और योग के विपरीत दिशा में 
(चित्र 6)।
उदाहरण:
|
|
||
बिंदु O . के सापेक्ष बल का क्षणएक वेक्टर के रूप में परिभाषित करें, आकार मेंत्रिभुज के क्षेत्रफल के दोगुने के बराबर, जिसका आधार किसी दिए गए बिंदु O पर एक शीर्ष के साथ एक बल वेक्टर है; दिशा- उस दिशा में माना त्रिभुज के तल के लिए ओर्थोगोनल जहां से बिंदु O के चारों ओर बल द्वारा उत्पन्न घूर्णन दिखाई देता है वामावर्त।स्लाइडिंग वेक्टर का क्षण है और है मुक्त वेक्टर(चित्र 9)।
इसलिए:
या
,
कहाँ पे 
;;
.
जहाँ F बल का मापांक है, h कंधा है (बिंदु से बल की दिशा की दूरी)।
अक्ष के परितः बल का आघूर्णअक्ष पर लिए गए एक मनमाना बिंदु O के सापेक्ष बल के क्षण के वेक्टर के इस अक्ष पर प्रक्षेपण का बीजगणितीय मान कहलाता है (चित्र 10)।
यह बिंदु के चुनाव से स्वतंत्र एक अदिश राशि है। दरअसल, हम विस्तार करते हैं :|| और विमान में।
क्षणों के बारे में: मान लीजिए 1 समतल के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है। फिर:
ए) से - पल => प्रक्षेपण = 0.
बी) से - पल साथ => एक प्रक्षेपण है।
इसलिए,अक्ष के बारे में क्षण विमान और अक्ष के चौराहे के बिंदु के बारे में अक्ष के लंबवत विमान में बल घटक का क्षण है।
अभिसरण बलों की एक प्रणाली के लिए Varignon का प्रमेय:
परिणामी बल का क्षण बलों को परिवर्तित करने की एक प्रणाली के लिएएक मनमाना बिंदु A के सापेक्ष समान बिंदु A (चित्र 11) के सापेक्ष बलों के सभी घटकों के क्षणों के योग के बराबर है।
प्रमाणअभिसरण वैक्टर के सिद्धांत में।
व्याख्या:समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार बलों का योग => परिणामी बल कुल क्षण देता है।
टेस्ट प्रश्न:
1. सैद्धांतिक यांत्रिकी में वास्तविक निकायों के मुख्य मॉडलों के नाम बताइए।
2. स्टैटिक्स के स्वयंसिद्ध सूत्र बनाइए।
3. किसी बिंदु के परितः बल आघूर्ण को क्या कहते हैं?
व्याख्यान 2बलों की एक मनमानी प्रणाली के लिए संतुलन की स्थिति
स्टैटिक्स के मूल स्वयंसिद्धों से, बलों पर प्राथमिक संचालन का पालन होता है:
1) बल को कार्रवाई की रेखा के साथ स्थानांतरित किया जा सकता है;
2) वे बल जिनकी क्रिया की रेखाएँ समांतर चतुर्भुज नियम (सदिश जोड़ के नियम के अनुसार) के अनुसार प्रतिच्छेद करती हैं;
3) एक कठोर शरीर पर कार्य करने वाले बलों की प्रणाली में, एक ही सीधी रेखा पर स्थित और विपरीत दिशाओं में निर्देशित, परिमाण में बराबर दो बल हमेशा जोड़ सकते हैं।
प्राथमिक संचालन प्रणाली की यांत्रिक स्थिति को नहीं बदलते हैं।
आइए बलों की दो प्रणालियों के नाम दें समकक्षयदि एक दूसरे से प्राथमिक संचालन का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है (जैसा कि स्लाइडिंग वैक्टर के सिद्धांत में)।
परिमाण में समान और विपरीत दिशाओं में निर्देशित दो समानांतर बलों की एक प्रणाली को कहा जाता है बलों की एक जोड़ी(चित्र 12)।
बलों की एक जोड़ी का क्षण- जोड़ी के वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के आकार के बराबर एक वेक्टर, और जोड़ी के विमान को ओर्थोगोनली निर्देशित किया जाता है, जिस दिशा से जोड़ी के वैक्टर द्वारा रिपोर्ट किए गए रोटेशन को देखा जा सकता है वामावर्त।
, यानी बिंदु B के बारे में बल का क्षण।
बलों की एक जोड़ी पूरी तरह से इसके क्षण की विशेषता है।
बलों की एक जोड़ी को प्राथमिक संचालन द्वारा जोड़ी के विमान के समानांतर किसी भी विमान में स्थानांतरित किया जा सकता है; जोड़ी की ताकतों के परिमाण को जोड़ी के कंधों के व्युत्क्रमानुपाती बदलें।
बलों के जोड़े जोड़े जा सकते हैं, जबकि बलों के जोड़े के क्षण जोड़ (मुक्त) वैक्टर के नियम के अनुसार जोड़े जाते हैं।
एक कठोर शरीर पर कार्य करने वाले बलों की प्रणाली को एक मनमाना बिंदु (कमी केंद्र) पर लाना- का अर्थ है वर्तमान प्रणाली को एक सरल के साथ बदलना: तीन बलों की एक प्रणाली, जिनमें से एक पहले से गुजरती है दिया गया बिंदु, और अन्य दो एक जोड़ी का प्रतिनिधित्व करते हैं।
यह प्राथमिक संक्रियाओं की सहायता से सिद्ध होता है (चित्र 13)।
बलों के अभिसरण की प्रणाली और बलों के जोड़े की प्रणाली।
- परिणामी बल।
परिणामी जोड़ी
जिसे दिखाना जरूरी था।
बलों की दो प्रणालियाँमर्जी समकक्ष हैंयदि और केवल यदि दोनों प्रणालियों को एक परिणामी बल और एक परिणामी जोड़ी में घटाया जाता है, अर्थात निम्नलिखित शर्तों के तहत:
|
|
एक कठोर शरीर पर कार्य करने वाले बलों की प्रणाली के संतुलन का सामान्य मामला
हम बलों की प्रणाली को लाते हैं (चित्र 14):
मूल के माध्यम से परिणामी बल;
परिणामी युग्म, इसके अलावा, बिंदु O से होकर जाता है।
यही है, उन्होंने और - दो बलों का नेतृत्व किया, जिनमें से एक दिए गए बिंदु O से होकर गुजरता है।
संतुलन, यदि दूसरी एक सीधी रेखा समान है, विपरीत दिशा में निर्देशित है (स्वयंसिद्ध 2)।
फिर बिंदु O से होकर गुजरता है, अर्थात्।
इसलिए, एक कठोर शरीर के लिए सामान्य संतुलन की स्थिति:
ये शर्तें अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु के लिए मान्य हैं।
टेस्ट प्रश्न:
1. बलों पर प्राथमिक संक्रियाओं की सूची बनाइए।
2. बलों की किन प्रणालियों को समतुल्य कहा जाता है?
3. किसी दृढ़ पिंड के संतुलन के लिए सामान्य शर्तें लिखिए।
व्याख्यान 3कठोर शारीरिक संतुलन समीकरण
मान लीजिए O निर्देशांकों का मूल है; परिणामी बल है; परिणामी जोड़ी का क्षण है। मान लीजिए कि बिंदु O1 एक नया न्यूनीकरण केंद्र है (चित्र 15)।
नई बल प्रणाली:
जब कास्ट पॉइंट बदलता है, => केवल बदलता है (एक दिशा में एक संकेत के साथ, दूसरे में दूसरे के साथ)। मुद्दा यह है: 
लाइनों का मिलान करें
विश्लेषणात्मक रूप से: 
(वैक्टरों की कॉलिनियरिटी)
; बिंदु O1 निर्देशांक।
यह एक सीधी रेखा का समीकरण है, जिसके सभी बिंदुओं के लिए परिणामी सदिश की दिशा परिणामी युग्म के क्षण की दिशा से मेल खाती है - सीधी रेखा कहलाती है डायनेमो
यदि डायनामिक्स के अक्ष पर => , तो निकाय एक परिणामी बल के तुल्य है, जिसे कहा जाता है प्रणाली के परिणामी बल।इस मामले में, हमेशा, वह है।
बल लाने के चार मामले:
1.) ;- डायनेमो।
2.) ;- परिणामी।
3.) ;- जोड़ी।
4.) ;- संतुलन।
दो वेक्टर संतुलन समीकरण: मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण शून्य के बराबर हैं।
या कार्टेशियन निर्देशांक अक्षों पर अनुमानों में छह अदिश समीकरण:
यहां: 
समीकरणों के प्रकार की जटिलता कमी बिंदु => कैलकुलेटर की कला की पसंद पर निर्भर करती है।
बातचीत में कठोर निकायों की एक प्रणाली के लिए संतुलन की स्थिति ढूँढना<=>प्रत्येक शरीर के संतुलन की समस्या अलग-अलग होती है, और शरीर बाहरी ताकतों और आंतरिक बलों (समान और विपरीत रूप से निर्देशित बलों के संपर्क के बिंदुओं पर निकायों की बातचीत - स्वयंसिद्ध IV, चित्र 17) से प्रभावित होता है।
हम सिस्टम के सभी निकायों के लिए चुनते हैं एक रेफरल केंद्र।फिर संतुलन स्थिति संख्या वाले प्रत्येक शरीर के लिए:
,
, (= 1, 2, …, के)
जहां , - आंतरिक प्रतिक्रियाओं को छोड़कर सभी बलों के परिणामी युग्म का परिणामी बल और आघूर्ण।
आंतरिक प्रतिक्रियाओं के बलों के परिणामी जोड़े का परिणामी बल और क्षण।
औपचारिक रूप से संक्षेप में और IV स्वयंसिद्ध को ध्यान में रखते हुए
हम पाते हैं एक कठोर शरीर के संतुलन के लिए आवश्यक शर्तें:
,
उदाहरण।
संतुलन: = ?
टेस्ट प्रश्न:
1. बलों की व्यवस्था को एक बिंदु पर लाने के सभी मामलों के नाम बताइए।
2. डायनेमो क्या है?
3. कठोर पिंडों की एक प्रणाली के संतुलन के लिए आवश्यक शर्तें तैयार करें।
व्याख्यान 4बलों की सपाट प्रणाली
सामान्य कार्य वितरण का एक विशेष मामला।
सभी अभिनय बलों को एक ही तल में होने दें - उदाहरण के लिए, एक चादर। आइए हम बिंदु O को कमी के केंद्र के रूप में चुनें - एक ही तल में। हमें परिणामी बल और परिणामी युग्म एक ही तल में प्राप्त होते हैं, अर्थात् (चित्र 19)
टिप्पणी।
सिस्टम को एक परिणामी बल में घटाया जा सकता है।
संतुलन की स्थिति:
या अदिश:
सामग्री की ताकत जैसे अनुप्रयोगों में बहुत आम है।
उदाहरण।
बोर्ड और प्लेन पर गेंद के घर्षण के साथ। संतुलन की स्थिति: = ?
एक गैर-मुक्त कठोर शरीर के संतुलन की समस्या।
एक कठोर शरीर को गैर-मुक्त कहा जाता है, जिसकी गति बाधाओं से विवश होती है। उदाहरण के लिए, अन्य निकायों, टिका हुआ बन्धन।
संतुलन की शर्तों का निर्धारण करते समय: एक गैर-मुक्त शरीर को अज्ञात प्रतिक्रिया बलों के साथ बंधनों को बदलकर मुक्त माना जा सकता है।
उदाहरण।
टेस्ट प्रश्न:
1. बलों की एक सपाट प्रणाली को क्या कहा जाता है?
2. समतल बलों के निकाय के लिए संतुलन की स्थितियाँ लिखिए।
3. किस प्रकार के ठोस पिंड को गैर-मुक्त कहा जाता है?
व्याख्यान 5कठोर शरीर संतुलन के विशेष मामले
प्रमेय।तीन बल एक कठोर शरीर को तभी संतुलित करते हैं जब वे सभी एक ही तल में हों।
प्रमाण।
हम तीसरे बल की कार्रवाई की रेखा पर कमी के बिंदु के रूप में एक बिंदु चुनते हैं। तब (अंजीर। 22)
अर्थात्, विमान S1 और S2 मेल खाते हैं, और बल के अक्ष पर किसी भी बिंदु के लिए, आदि। (आसान: विमान में 
सिर्फ संतुलन के लिए)।
अनुशासन पर व्याख्यान का संक्षिप्त पाठ्यक्रम "तकनीकी यांत्रिकी की बुनियादी बातों"
धारा 1: स्टेटिक्स
स्टैटिक्स, स्टैटिक्स के स्वयंसिद्ध। बांड, बांड की प्रतिक्रिया, बांड के प्रकार।
सैद्धांतिक यांत्रिकी के मूल सिद्धांतों में तीन खंड होते हैं: स्थैतिक, सामग्री की ताकत के मूल सिद्धांत, तंत्र और मशीनों का विवरण।
यांत्रिक गति समय के साथ अंतरिक्ष में पिंडों या बिंदुओं की स्थिति में परिवर्तन है।
शरीर को एक भौतिक बिंदु माना जाता है, अर्थात। ज्यामितीय बिंदुऔर इस बिंदु पर शरीर का पूरा द्रव्यमान केंद्रित होता है।
प्रणाली भौतिक बिंदुओं का एक समूह है, जिसकी गति और स्थिति परस्पर जुड़ी हुई हैं।
बल एक सदिश राशि है, और किसी पिंड पर बल का प्रभाव तीन कारकों द्वारा निर्धारित होता है: 1) संख्यात्मक मान, 2) दिशा, 3) आवेदन का बिंदु।
[एफ] - न्यूटन - [एच], किलो / एस = 9.81 एन = 10 एन, केएन = 1000 एन,
एमएन = 100000 एन, 1एन = 0.1 किग्रा/सेक
स्टैटिक्स के स्वयंसिद्ध.
1 स्वयंसिद्ध- (बलों की एक संतुलित प्रणाली को परिभाषित करता है): लागू बलों की प्रणाली सामग्री बिंदु, संतुलित है यदि, इसके प्रभाव में, बिंदु सापेक्ष विराम की स्थिति में है, या एक सीधी रेखा में और समान रूप से चलता है।
यदि बलों की एक संतुलित प्रणाली किसी पिंड पर कार्य करती है, तो शरीर या तो: सापेक्ष आराम की स्थिति में होता है, या समान रूप से और सीधा चलता है, या समान रूप से एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है।
2 स्वयंसिद्ध- (दो बलों के संतुलन के लिए शर्त सेट करता है): निरपेक्ष मान या संख्यात्मक मान (F1=F2) के बराबर दो बल एक बिल्कुल कठोर शरीर पर लागू होते हैं और निर्देशित होते हैं
विपरीत दिशाओं में एक सीधी रेखा में परस्पर संतुलित होते हैं।
बलों की एक प्रणाली एक बिंदु या शरीर पर लागू कई बलों का एक संयोजन है।
कार्रवाई की रेखा के बलों की प्रणाली, जिसमें वे अलग-अलग विमानों में होते हैं, को स्थानिक कहा जाता है, यदि एक ही विमान में, तो सपाट। एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली कार्रवाई की रेखाओं के साथ बलों की एक प्रणाली को अभिसरण कहा जाता है। यदि दो अलग-अलग बलों की प्रणालियों का शरीर पर समान प्रभाव पड़ता है, तो वे समान हैं।
2 स्वयंसिद्धों का परिणाम.
किसी पिंड पर कार्य करने वाले किसी भी बल को उसकी क्रिया की रेखा के साथ, शरीर के किसी भी बिंदु पर उसकी यांत्रिक अवस्था का उल्लंघन किए बिना स्थानांतरित किया जा सकता है।
3
स्वयंसिद्ध: (बलों के परिवर्तन का आधार): एक बिल्कुल कठोर शरीर की यांत्रिक स्थिति का उल्लंघन किए बिना, बलों की एक संतुलित प्रणाली को लागू किया जा सकता है या इससे खारिज कर दिया जा सकता है। 
वे सदिश जो अपनी क्रिया रेखा के अनुदिश गति कर सकते हैं, गतिमान सदिश कहलाते हैं।
4 स्वयंसिद्ध- (दो बलों को जोड़ने के नियमों को परिभाषित करता है): एक बिंदु पर लागू दो बलों का परिणाम, इस बिंदु पर लागू, इन बलों पर बने समांतर चतुर्भुज का विकर्ण होता है।
- परिणामी बल =F1+F2 - समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार
त्रिकोण नियम के अनुसार।
5 स्वयंसिद्ध- (यह स्थापित करता है कि प्रकृति में बल की एकतरफा कार्रवाई नहीं हो सकती है) निकायों की बातचीत में, प्रत्येक क्रिया एक समान और विपरीत रूप से निर्देशित प्रतिकार से मेल खाती है।
कनेक्शन और उनकी प्रतिक्रियाएं।
यांत्रिकी में निकाय हैं: 1 मुक्त 2 गैर-मुक्त।
मुक्त - जब शरीर को किसी भी दिशा में अंतरिक्ष में जाने के लिए किसी बाधा का अनुभव नहीं होता है।
गैर-मुक्त - शरीर अन्य निकायों से जुड़ा हुआ है जो इसके आंदोलन को प्रतिबंधित करते हैं।
वे निकाय जो किसी पिंड की गति को प्रतिबंधित करते हैं, बंध कहलाते हैं।
जब कोई पिंड बंधों के साथ परस्पर क्रिया करता है, तो बल उत्पन्न होते हैं, वे बंधन की ओर से शरीर पर कार्य करते हैं और बंधन प्रतिक्रिया कहलाते हैं।
बंधन की प्रतिक्रिया हमेशा उस दिशा के विपरीत होती है जिसमें बंधन शरीर की गति को बाधित करता है।
संचार प्रकार.
1) बिना घर्षण के एक चिकने तल के रूप में संचार।
2) एक बेलनाकार या गोलाकार सतह के संपर्क के रूप में संचार।
3) किसी न किसी विमान के रूप में संचार।
Rn तल पर लंबवत बल है। Rt घर्षण बल है।
आर बंधन प्रतिक्रिया है। आर = आरएन + आरटी
4) लचीला कनेक्शन: रस्सी या केबल।
5) सिरों के बन्धन के साथ एक कठोर सीधी छड़ के रूप में कनेक्शन।
6) कनेक्शन एक डायहेड्रल कोण या एक बिंदु समर्थन के किनारे से किया जाता है।
R1R2R3 - शरीर की सतह पर लंबवत।
बलों को परिवर्तित करने की सपाट प्रणाली। ज्यामितीय परिभाषापरिणामी अक्ष पर बल का प्रक्षेपण। अक्ष पर सदिश योग का प्रक्षेपण।
बलों को अभिसरण कहा जाता है यदि उनकी क्रिया रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
बलों की सपाट प्रणाली - इन सभी बलों की कार्रवाई की रेखाएं एक ही तल में होती हैं।
बलों के अभिसरण की स्थानिक प्रणाली - इन सभी बलों की कार्रवाई की रेखाएं अलग-अलग विमानों में होती हैं।
अभिसारी बलों को हमेशा एक बिंदु पर स्थानांतरित किया जा सकता है, अर्थात। उस बिंदु पर जहां वे कार्रवाई की रेखा के साथ प्रतिच्छेद करते हैं।
F123=F1+F2+F3= 
परिणामी हमेशा पहले पद की शुरुआत से अंतिम के अंत तक निर्देशित होता है (तीर पॉलीहेड्रॉन के बाईपास की ओर निर्देशित होता है)।
यदि, एक बल बहुभुज की रचना करते समय, अंतिम बल का अंत पहले की शुरुआत के साथ मेल खाता है, तो परिणामी = 0, प्रणाली संतुलन में है।
संतुलित नहीं
संतुलित।
अक्ष पर बल का प्रक्षेपण।
एक अक्ष एक सीधी रेखा है जिसे एक निश्चित दिशा दी जाती है।
वेक्टर प्रक्षेपण है अदिश मान, यह सदिश की शुरुआत और अंत से अक्ष पर लंबवत द्वारा काटे गए अक्ष के खंड द्वारा निर्धारित किया जाता है।
सदिश का प्रक्षेपण धनात्मक होता है यदि यह अक्ष की दिशा के साथ मेल खाता है, और यदि यह अक्ष की दिशा के विपरीत है तो ऋणात्मक है।
निष्कर्ष: निर्देशांक अक्ष पर बल का प्रक्षेपण = बल के मापांक का गुणनफल और बल वेक्टर और अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच के कोण का cos।
सकारात्मक प्रक्षेपण।
नकारात्मक प्रक्षेपण
प्रक्षेपण = o
अक्ष पर वेक्टर योग का प्रक्षेपण.
एक मॉड्यूल को परिभाषित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है और
बल की दिशा, यदि उसके अनुमानों पर
समायोजन ध्रुव।
निष्कर्ष: प्रत्येक अक्ष पर सदिश योग या परिणामी का प्रक्षेपण एक ही अक्ष पर सदिशों के पदों के प्रक्षेपण के बीजीय योग के बराबर होता है।
बल का मापांक और दिशा निर्धारित करें यदि इसके अनुमान ज्ञात हैं।
उत्तर: एफ = 50 एच,
Fy-?F 
-?
जवाब: 
धारा 2. सामग्री की ताकत (सोप्रोमैट).
बुनियादी अवधारणाएँ और परिकल्पनाएँ। विकृति। खंड विधि।
सामग्री की ताकत संरचनात्मक तत्वों की ताकत, कठोरता और स्थिरता की गणना के लिए इंजीनियरिंग विधियों का विज्ञान है। ताकत - बाहरी ताकतों के प्रभाव में निकायों के गुणों का पतन नहीं होना। कठोरता - निर्दिष्ट सीमाओं के भीतर आयाम बदलने के लिए विरूपण की प्रक्रिया में निकायों की क्षमता। स्थिरता - भार के आवेदन के बाद निकायों की संतुलन की मूल स्थिति को बनाए रखने की क्षमता। विज्ञान का उद्देश्य (सोप्रोमैट) सबसे सामान्य संरचनात्मक तत्वों की गणना के लिए व्यावहारिक रूप से सुविधाजनक तरीकों का निर्माण है। सामग्री, भार और विरूपण की प्रकृति के गुणों के बारे में बुनियादी परिकल्पनाएं और धारणाएं।1) परिकल्पना(एकरूपता और निरीक्षण)। जब सामग्री शरीर को पूरी तरह से भर देती है, और सामग्री के गुण शरीर के आकार पर निर्भर नहीं करते हैं। 2) परिकल्पना(किसी सामग्री की आदर्श लोच पर)। विकृति का कारण बनने वाले कारणों को समाप्त करने के बाद ढेर को उसके मूल आकार और आयामों में बहाल करने की शरीर की क्षमता। 3) परिकल्पना(विकृतियों और भार के बीच एक रैखिक संबंध की धारणा, हुक के नियम की पूर्ति)। विरूपण के परिणामस्वरूप विस्थापन उन भारों के सीधे आनुपातिक होता है जो उन्हें उत्पन्न करते हैं। 4) परिकल्पना(फ्लैट खंड)। लोड लागू होने से पहले क्रॉस-सेक्शन बीम अक्ष के लिए सपाट और सामान्य होते हैं और विरूपण के बाद अपनी धुरी पर सपाट और सामान्य रहते हैं। 5) परिकल्पना(सामग्री की आइसोट्रॉपी पर)। यांत्रिक विशेषताएंकिसी भी दिशा में सामग्री समान हैं। 6) परिकल्पना(विकृतियों की लघुता पर)। आयामों की तुलना में शरीर की विकृतियाँ इतनी छोटी होती हैं कि उन पर महत्वपूर्ण प्रभाव नहीं पड़ता आपसी व्यवस्थाभार। 7) परिकल्पना (बलों की कार्रवाई की स्वतंत्रता का सिद्धांत)। 8) परिकल्पना (संत-वेनेंट)। स्थैतिक रूप से समतुल्य भार के आवेदन के स्थान से दूर शरीर की विकृति उनके वितरण की प्रकृति से व्यावहारिक रूप से स्वतंत्र है। बाहरी बलों के प्रभाव में, अणुओं के बीच की दूरी बदल जाती है, शरीर के अंदर आंतरिक बल उत्पन्न होते हैं, जो विरूपण का प्रतिकार करते हैं और कणों को उनकी पिछली स्थिति - लोचदार बलों में वापस करने की प्रवृत्ति रखते हैं। 
खंड विधि।शरीर के कटे हुए हिस्से पर लागू होने वाली बाहरी ताकतों को सेक्शन प्लेन में उत्पन्न होने वाली आंतरिक ताकतों के साथ संतुलित होना चाहिए, वे छोड़े गए हिस्से की क्रिया को बाकी हिस्सों से बदल देते हैं। रॉड (बीम) - संरचनात्मक तत्व, जिनकी लंबाई उनके अनुप्रस्थ आयामों से काफी अधिक है। प्लेट या गोले - जब मोटाई अन्य दो आयामों की तुलना में छोटी होती है। विशाल शरीर - तीनों आकार लगभग समान हैं। 
संतुलन की स्थिति।
NZ - अनुदैर्ध्य आंतरिक बल। QX और QY - अनुप्रस्थ आंतरिक बल। एमएक्स और माई - झुकने वाले क्षण। एमजेड - टॉर्क। जब बलों की एक तलीय प्रणाली एक छड़ पर कार्य करती है, तो इसके वर्गों में केवल तीन बल कारक हो सकते हैं, ये हैं: एमएक्स - झुकने का क्षण, क्यूवाई - अनुप्रस्थ बल, एनजेड - अनुदैर्ध्य बल। संतुलन समीकरण।निर्देशांक अक्ष हमेशा बार अक्ष के साथ Z-अक्ष को निर्देशित करेंगे। एक्स और वाई अक्ष इसके क्रॉस सेक्शन के मुख्य केंद्रीय अक्षों के साथ हैं। निर्देशांक की उत्पत्ति खंड के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है।
आंतरिक बलों को निर्धारित करने के लिए क्रियाओं का क्रम।
1) हमारे डिजाइन के लिए रुचि के बिंदु पर मानसिक रूप से एक अनुभाग बनाएं। 2) कटे हुए भागों में से एक को त्यागें, और शेष भाग के संतुलन पर विचार करें। 3) एक संतुलन समीकरण की रचना करें और उनसे आंतरिक बल कारकों के मूल्यों और दिशाओं का निर्धारण करें। अक्षीय तनाव और संपीड़न - आंतरिक बलों में अनुप्रस्थ काटउन्हें रॉड की धुरी के साथ निर्देशित एक बल द्वारा बंद किया जा सकता है।
खिंचाव। 
संपीड़न। अपरूपण - तब होता है, जब छड़ के अनुप्रस्थ काट में, आंतरिक बल कम होकर एक हो जाते हैं, अर्थात्। अनुप्रस्थ बल Q. 
मरोड़ - 1 बल कारक MZ होता है। 
एमजेड = एमके शुद्ध मोड़- झुकने का क्षण MX या MY होता है। 
ताकत, कठोरता, स्थिरता के लिए संरचनात्मक तत्वों की गणना करने के लिए, सबसे पहले, आंतरिक बल कारकों की घटना को निर्धारित करने के लिए (अनुभाग विधि का उपयोग करना) आवश्यक है। विषय संख्या 1. एक ठोस शरीर के स्टैटिक्स
स्टैटिक्स की मूल अवधारणाएँ और स्वयंसिद्ध
स्थिर विषय।स्थिरयांत्रिकी की एक शाखा कहा जाता है जिसमें बलों के प्रभाव में भौतिक निकायों के संतुलन के लिए बलों के जोड़ और शर्तों के नियमों का अध्ययन किया जाता है।
संतुलन से हम अन्य भौतिक निकायों के संबंध में शरीर के बाकी हिस्सों की स्थिति को समझेंगे। यदि जिस शरीर के संबंध में संतुलन का अध्ययन किया जा रहा है, उसे गतिहीन माना जा सकता है, तो संतुलन को सशर्त रूप से निरपेक्ष कहा जाता है, और अन्यथा, सापेक्ष। स्टैटिक्स में, हम केवल तथाकथित निकायों के पूर्ण संतुलन का अध्ययन करेंगे। व्यवहार में, इंजीनियरिंग गणना में, पृथ्वी के संबंध में या पृथ्वी से सख्ती से जुड़े पिंडों के संतुलन को निरपेक्ष माना जा सकता है। इस कथन की वैधता को गतिकी में प्रमाणित किया जाएगा, जहाँ निरपेक्ष संतुलन की अवधारणा को अधिक सख्ती से परिभाषित किया जा सकता है। निकायों के सापेक्ष संतुलन के प्रश्न पर भी विचार किया जाएगा।
शरीर की संतुलन की स्थिति अनिवार्य रूप से इस बात पर निर्भर करती है कि शरीर ठोस, तरल या गैसीय है या नहीं। द्रव और गैसीय पिंडों के संतुलन का अध्ययन हाइड्रोस्टैटिक्स और एरोस्टैटिक्स के पाठ्यक्रमों में किया जाता है। यांत्रिकी के सामान्य पाठ्यक्रम में, आमतौर पर केवल ठोसों के संतुलन की समस्याओं पर विचार किया जाता है।
बाहरी प्रभावों के प्रभाव में प्राकृतिक रूप से पाए जाने वाले सभी ठोस कुछ हद तक अपने आकार (विकृत) को बदलते हैं। इन विकृतियों के मूल्य निकायों की सामग्री, उनके ज्यामितीय आकार और आयामों और अभिनय भार पर निर्भर करते हैं। विभिन्न इंजीनियरिंग संरचनाओं और संरचनाओं की ताकत सुनिश्चित करने के लिए, उनके भागों की सामग्री और आयामों का चयन किया जाता है ताकि अभिनय भार के तहत विरूपण पर्याप्त रूप से छोटा हो। नतीजतन, अध्ययन करते समय सामान्य परिस्थितियांसंतुलन, संगत ठोस निकायों के छोटे विकृतियों की उपेक्षा करना और उन्हें गैर-विकृत या बिल्कुल कठोर मानना काफी स्वीकार्य है।
बिल्कुल ठोस शरीरऐसा पिंड कहलाता है, जिसके किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी हमेशा स्थिर रहती है।
बलों की एक निश्चित प्रणाली की कार्रवाई के तहत एक कठोर शरीर संतुलन (आराम पर) में होने के लिए, यह आवश्यक है कि ये बल कुछ को संतुष्ट करें संतुलन की स्थितिबलों की यह प्रणाली। इन स्थितियों का पता लगाना स्टैटिक्स के मुख्य कार्यों में से एक है। लेकिन बलों की विभिन्न प्रणालियों के संतुलन के लिए शर्तों को खोजने के लिए, साथ ही साथ यांत्रिकी में कई अन्य समस्याओं को हल करने के लिए, यह आवश्यक हो जाता है कि एक कठोर शरीर पर अभिनय करने वाले बलों को बदलने के लिए सक्षम होने के लिए आवश्यक हो बलों की एक प्रणाली की दूसरी प्रणाली के साथ कार्रवाई, और विशेष रूप से, बलों की इस प्रणाली को सरलतम रूप में कम करने के लिए। इसलिए, एक कठोर शरीर के स्थैतिक में निम्नलिखित दो मुख्य समस्याओं पर विचार किया जाता है:
1) एक कठोर शरीर पर कार्य करने वाले बलों की प्रणालियों को सरलतम रूप में जोड़ना और कम करना;
2) एक ठोस शरीर पर कार्य करने वाले बलों की प्रणालियों के लिए संतुलन की स्थिति का निर्धारण।
बल।किसी दिए गए शरीर के संतुलन या गति की स्थिति अन्य निकायों के साथ इसकी यांत्रिक बातचीत की प्रकृति पर निर्भर करती है, अर्थात। उन दबावों, आकर्षणों या प्रतिकर्षणों से जो किसी दिए गए शरीर को इन अंतःक्रियाओं के परिणामस्वरूप अनुभव होते हैं। एक मात्रा जो यांत्रिक संपर्क का एक मात्रात्मक माप हैभौतिक निकायों की क्रिया यांत्रिकी बल में कहलाती है।
यांत्रिकी में मानी जाने वाली मात्राओं को अदिश राशियों में विभाजित किया जा सकता है, अर्थात्। वे जो पूरी तरह से उनके संख्यात्मक मूल्य, और वेक्टर वाले, यानी। वे, जो संख्यात्मक मान के अलावा, अंतरिक्ष में दिशा की विशेषता भी रखते हैं।
बल एक सदिश राशि है। शरीर पर इसका प्रभाव किसके द्वारा निर्धारित होता है: 1) अंकीय मूल्यया मापांकताकत, 2) की ओरनीमोताकत, 3) आवेदन बिंदुताकत।
बल के आवेदन की दिशा और बिंदु पिंडों की परस्पर क्रिया की प्रकृति और उनकी सापेक्ष स्थिति पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, किसी पिंड पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल लंबवत रूप से नीचे की ओर निर्देशित होता है। एक दूसरे के खिलाफ दबाए गए दो चिकनी गेंदों के दबाव बलों को उनके संपर्क के बिंदुओं पर गेंदों की सतहों पर सामान्य के साथ निर्देशित किया जाता है और इन बिंदुओं पर लागू किया जाता है, आदि।
ग्राफिक रूप से, बल को एक निर्देशित खंड (एक तीर के साथ) द्वारा दर्शाया जाता है। इस खंड की लंबाई (एबीअंजीर में। 1) चयनित पैमाने पर बल के मापांक को व्यक्त करता है, खंड की दिशा बल की दिशा से मेल खाती है, इसकी शुरुआत (बिंदु) लेकिनअंजीर में। 1) आमतौर पर बल के आवेदन के बिंदु के साथ मेल खाता है। कभी-कभी बल को इस तरह से चित्रित करना सुविधाजनक होता है कि आवेदन का बिंदु उसका अंत हो - तीर की नोक (जैसा कि चित्र 4 में है) में) सीधा डे, जिसके साथ बल को निर्देशित किया जाता है उसे कहा जाता है बल की रेखा।बल को अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है एफ . बल का मापांक वेक्टर के "पक्षों पर" ऊर्ध्वाधर रेखाओं द्वारा इंगित किया जाता है। बल प्रणालीएक बिल्कुल कठोर शरीर पर कार्य करने वाले बलों की समग्रता है।
बुनियादी परिभाषाएँ:
एक पिंड जो अन्य पिंडों से जुड़ा नहीं है, जिससे अंतरिक्ष में किसी भी गति को किसी दिए गए स्थान से संप्रेषित किया जा सकता है, क्या कहलाता है नि: शुल्क।
यदि किसी दिए गए बलों की प्रणाली की कार्रवाई के तहत एक मुक्त कठोर शरीर आराम कर सकता है, तो बलों की ऐसी प्रणाली को कहा जाता है संतुलित।
यदि एक मुक्त कठोर पिंड पर कार्य करने वाले बलों की एक प्रणाली को आराम या गति की स्थिति को बदले बिना दूसरी प्रणाली द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसमें शरीर स्थित है, तो ऐसे दो सिस्टम सिस्टम कहलाते हैं समकक्ष।
यदि एक यह प्रणालीबल एक बल के बराबर होता है, तो यह बल कहलाता है परिणामीबलों की यह प्रणाली। इस प्रकार से, परिणामी - वह शक्ति है जो अकेले बदल सकती हैइस प्रणाली की क्रिया, एक कठोर शरीर पर बल।
निरपेक्ष मान में परिणामी के बराबर बल, दिशा में इसके ठीक विपरीत और एक ही सीधी रेखा के अनुदिश कार्य करने वाला बल कहलाता है संतुलनबल द्वारा।
एक कठोर शरीर पर कार्य करने वाले बलों को बाहरी और आंतरिक में विभाजित किया जा सकता है। बाहरीअन्य भौतिक निकायों से किसी दिए गए शरीर के कणों पर कार्य करने वाले बल कहलाते हैं। आंतरिकउन बलों को कहा जाता है जिनके साथ किसी दिए गए शरीर के कण एक दूसरे पर कार्य करते हैं।
किसी एक बिंदु पर किसी पिंड पर लगाया गया बल कहलाता है केंद्रित।किसी दिए गए आयतन के सभी बिंदुओं या किसी पिंड की सतह के दिए गए हिस्से पर कार्य करने वाले बल कहलाते हैं झगड़ाअलग करना।
एक केंद्रित बल की अवधारणा सशर्त है, क्योंकि व्यवहार में एक बिंदु पर एक शरीर पर बल लागू करना असंभव है। जिन बलों को हम यांत्रिकी में केंद्रित मानते हैं, वे अनिवार्य रूप से वितरित बलों की कुछ प्रणालियों के परिणाम हैं।
विशेष रूप से, गुरुत्वाकर्षण बल, जिसे आमतौर पर यांत्रिकी में माना जाता है, किसी दिए गए कठोर शरीर पर कार्य करता है, इसके कणों के गुरुत्वाकर्षण बल का परिणाम होता है। इस परिणामी की क्रिया की रेखा एक बिंदु से होकर गुजरती है जिसे शरीर का गुरुत्वाकर्षण केंद्र कहा जाता है।
अभिगृहीत 1. अगर बिल्कुल फ्रीएक कठोर शरीर पर दो बलों द्वारा कार्य किया जाता है, तो शरीर कर सकता हैसंतुलन में हो सकता है अगर और केवलजब ये बल निरपेक्ष मान में बराबर हों (एफ 1 = एफ 2 ) और निर्देशितविपरीत दिशाओं में एक सीधी रेखा के साथ(रेखा चित्र नम्बर 2)।
अभिगृहीत 1 बलों की सबसे सरल संतुलित प्रणाली को परिभाषित करता है, क्योंकि अनुभव से पता चलता है कि एक मुक्त शरीर, जिस पर केवल एक बल कार्य करता है, संतुलन में नहीं हो सकता।
लेकिन 
जिओमा 2. बलों की एक प्रणाली की कार्रवाई बिल्कुल कठोर शरीर पर नहीं बदलेगी यदि बलों की एक संतुलित प्रणाली को इसमें जोड़ा या घटाया जाए।
यह स्वयंसिद्ध कहता है कि बलों की दो प्रणालियाँ जो एक संतुलित प्रणाली द्वारा भिन्न होती हैं, एक दूसरे के बराबर होती हैं।
1 और 2 स्वयंसिद्धों से परिणाम। एक बिल्कुल कठोर पिंड पर कार्य करने वाले बल के आवेदन के बिंदु को इसकी क्रिया की रेखा के साथ शरीर के किसी अन्य बिंदु पर स्थानांतरित किया जा सकता है।
वास्तव में, मान लीजिए कि बिंदु A पर लगाया गया बल F एक दृढ़ पिंड पर कार्य करता है (चित्र 3)। आइए इस बल की कार्रवाई की रेखा पर एक मनमाना बिंदु B लें और उस पर दो संतुलित बल F1 और F2 लागू करें, जैसे कि Fl \u003d F, F2 \u003d - F। यह बल F के प्रभाव को नहीं बदलता है तन। लेकिन एफ और एफ 2, स्वयंसिद्ध 1 के अनुसार, एक संतुलित प्रणाली भी बनाते हैं जिसे त्याग दिया जा सकता है। परिणामस्वरूप, केवल एक बल F, F के बराबर, लेकिन बिंदु B पर लगाया जाता है, शरीर पर कार्य करेगा।
इस प्रकार, बल F का प्रतिनिधित्व करने वाले वेक्टर को बल की क्रिया रेखा पर किसी भी बिंदु पर लागू माना जा सकता है (ऐसे वेक्टर को स्लाइडिंग वेक्टर कहा जाता है)।
प्राप्त परिणाम केवल एक बिल्कुल कठोर शरीर पर कार्य करने वाले बलों के लिए मान्य है। इंजीनियरिंग गणना में, इस परिणाम का उपयोग तभी किया जा सकता है जब किसी दिए गए ढांचे पर बलों की बाहरी क्रिया का अध्ययन किया जाता है, अर्थात। जब संरचना के संतुलन के लिए सामान्य शर्तें निर्धारित की जाती हैं।
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अतः अभिगृहीत 3 भी हो सकता है निम्नानुसार तैयार करें: परिणामी एक बिंदु पर किसी पिंड पर लागू दो बल ज्यामिति के बराबर होते हैं रिक (सदिश) इन बलों का योग और उसी में लगाया जाता है बिंदु।
अभिगृहीत 4. दो भौतिक शरीर हमेशा एक दूसरे का कार्य करते हैंएक दूसरे पर निरपेक्ष मान के बराबर बलों के साथ और साथ निर्देशितविपरीत दिशाओं में एक सीधी रेखा(संक्षेप में: क्रिया प्रतिक्रिया के बराबर होती है)।
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आंतरिक बलों की संपत्ति। अभिगृहीत 4 के अनुसार, एक ठोस पिंड के कोई भी दो कण एक दूसरे पर समान और विपरीत दिशा में निर्देशित बलों के साथ कार्य करेंगे। चूंकि, संतुलन की सामान्य स्थितियों का अध्ययन करते समय, शरीर को बिल्कुल कठोर माना जा सकता है, तो (स्वयंसिद्ध 1 के अनुसार) सभी आंतरिक बल इस स्थिति के तहत एक संतुलित प्रणाली बनाते हैं, जिसे (स्वयंसिद्ध 2 के अनुसार) त्याग दिया जा सकता है। इसलिए, संतुलन की सामान्य स्थितियों का अध्ययन करते समय, केवल किसी दिए गए कठोर शरीर या किसी संरचना पर कार्य करने वाली बाहरी ताकतों को ध्यान में रखना आवश्यक है।
स्वयंसिद्ध 5 (सख्त सिद्धांत)। यदि कोई परिवर्तनबलों की दी गई प्रणाली की कार्रवाई के तहत हटाने योग्य (विकृत) शरीरसंतुलन में है, तो संतुलन बना रहेगा, भले हीशरीर सख्त हो जाएगा (बिल्कुल ठोस हो जाएगा)।
इस स्वयंसिद्ध में किया गया दावा स्पष्ट है। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि यदि किसी श्रृंखला की कड़ियों को एक साथ वेल्ड किया जाता है तो उसका संतुलन नहीं बिगड़ना चाहिए; एक लचीले धागे का संतुलन नहीं बिगड़ेगा यदि यह मुड़ी हुई कठोर छड़ में बदल जाता है, और इसी तरह। चूँकि समान बल प्रणाली ठोस होने से पहले और बाद में किसी पिंड पर कार्य करती है, स्वयंसिद्ध 5 को दूसरे रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है: संतुलन पर, किसी भी चर पर कार्य करने वाले बल (defor .)विश्वयोग्य) शरीर, के लिए समान शर्तों को पूरा करता हैबिल्कुल कठोर शरीर; हालांकि, एक परिवर्तनशील शरीर के लिए, येशर्तें, जबकि आवश्यक हो, पर्याप्त नहीं हो सकती हैं।उदाहरण के लिए, इसके सिरों पर लागू दो बलों की कार्रवाई के तहत एक लचीले धागे के संतुलन के लिए, एक कठोर छड़ के लिए समान शर्तें आवश्यक हैं (बलों को परिमाण में बराबर होना चाहिए और अलग-अलग दिशाओं में धागे के साथ निर्देशित होना चाहिए)। लेकिन ये शर्तें पर्याप्त नहीं होंगी। धागे को संतुलित करने के लिए, यह भी आवश्यक है कि लागू बल तन्यता हो, अर्थात। चित्र के रूप में निर्देशित। 4ए.
ठोसकरण सिद्धांत व्यापक रूप से इंजीनियरिंग गणना में उपयोग किया जाता है। यह संतुलन की स्थिति को संकलित करते समय, किसी भी परिवर्तनशील निकाय (बेल्ट, केबल, चेन, आदि) या किसी भी परिवर्तनशील संरचना को बिल्कुल कठोर मानने की अनुमति देता है और उन पर कठोर शरीर स्टैटिक्स के तरीकों को लागू करता है। यदि इस तरह से प्राप्त समीकरण समस्या को हल करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं, तो समीकरण अतिरिक्त रूप से तैयार किए जाते हैं जो या तो संरचना के अलग-अलग हिस्सों की संतुलन की स्थिति, या उनके विरूपण को ध्यान में रखते हैं।
विषय № 2. बिंदु की गतिशीलता
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