Fonctions d'une variable complexe.
Différenciation des fonctions d'une variable complexe.

Cet article ouvre une série de leçons dans lesquelles j'examinerai tâches typiques associé à la théorie des fonctions d'une variable complexe. Pour réussir à maîtriser les exemples, vous devez avoir notions de base sur les nombres complexes. Afin de consolider et de répéter le matériel, il suffit de visiter la page. Vous aurez également besoin de compétences pour trouver dérivées partielles du second ordre. Les voici, ces dérivées partielles ... même maintenant, j'étais un peu surpris de la fréquence à laquelle elles se produisent ...

Le sujet que nous commençons à analyser n'est pas particulièrement difficile, et dans les fonctions d'une variable complexe, en principe, tout est clair et accessible. L'essentiel est de respecter la règle de base, que j'ai dérivée empiriquement. Continuer à lire!

Le concept de fonction d'une variable complexe

Tout d'abord, rafraîchissons nos connaissances sur la fonction scolaire d'une variable :

Fonction d'une variable est une règle selon laquelle chaque valeur de la variable indépendante (du domaine de définition) correspond à une et une seule valeur de la fonction . Naturellement, "x" et "y" sont des nombres réels.

Dans le cas complexe, la dépendance fonctionnelle est donnée de manière similaire :

Fonction à valeur unique d'une variable complexe est la règle que tout le monde intégré la valeur de la variable indépendante (du domaine) correspond à une et une seule complet valeur de la fonction. En théorie, les fonctions à valeurs multiples et certains autres types de fonctions sont également pris en compte, mais pour plus de simplicité, je me concentrerai sur une définition.

Quelle est la fonction d'une variable complexe ?

La principale différence est que les nombres sont complexes. Je ne suis pas ironique. De telles questions tombent souvent dans la stupeur, à la fin de l'article, je raconterai une histoire sympa. Sur la leçon Les nombres complexes pour les nuls nous avons considéré un nombre complexe sous la forme . Depuis, la lettre "Z" est devenue variable, alors on le notera comme suit : , tandis que "x" et "y" peuvent prendre des valide valeurs. Grosso modo, la fonction d'une variable complexe dépend des variables et , qui prennent des valeurs « usuelles ». De ce fait le point suivant suit logiquement :

La fonction d'une variable complexe peut s'écrire :
, où et sont deux fonctions de deux valide variables.

La fonction s'appelle partie réelle les fonctions .
La fonction s'appelle partie imaginaire les fonctions .

Autrement dit, la fonction d'une variable complexe dépend de deux fonctions réelles et . Pour enfin tout clarifier, regardons des exemples pratiques :

Exemple 1

La solution: La variable indépendante "z", comme vous vous en souvenez, s'écrit donc :

(1) Remplacé dans la fonction d'origine.

(2) Pour le premier terme, la formule de multiplication réduite a été utilisée. Dans le terme, les crochets ont été ouverts.

(3) Soigneusement quadrillé, sans oublier que

(4) Réarrangement des termes : premiers termes de réécriture , dans lequel il n'y a pas d'unité imaginaire(premier groupe), puis les termes, là où il y a (deuxième groupe). Il convient de noter qu'il n'est pas nécessaire de mélanger les termes, et cette étape peut être ignoré (en fait, le faire verbalement).

(5) Le deuxième groupe est sorti de parenthèses.

En conséquence, notre fonction s'est avérée être représentée sous la forme

Réponse:
est la partie réelle de la fonction.
est la partie imaginaire de la fonction .

Quelles sont ces fonctions ? Les fonctions les plus ordinaires de deux variables, à partir desquelles on peut trouver des fonctions si populaires dérivées partielles. Sans pitié - nous trouverons. Mais un peu plus tard.

En bref, l'algorithme du problème résolu peut être écrit comme suit: nous substituons à la fonction d'origine, effectuons des simplifications et divisons tous les termes en deux groupes - sans unité imaginaire (partie réelle) et avec une unité imaginaire (partie imaginaire).

Exemple 2

Trouver la partie réelle et imaginaire d'une fonction

Ceci est un exemple à faire soi-même. Avant de vous lancer dans la bataille sur le plan complexe avec des brouillons, laissez-moi vous donner le plus conseil important sur ce sujet:

FAIRE ATTENTION! Il faut être prudent, bien sûr, partout, mais dans les nombres complexes, il faut être plus prudent que jamais ! N'oubliez pas que, développez soigneusement les crochets, ne perdez rien. Selon mes observations, l'erreur la plus courante est la perte de signe. Ne te presse pas!

Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.

Cube maintenant. En utilisant la formule de multiplication abrégée, nous obtenons :
.

Les formules sont très pratiques à utiliser dans la pratique, car elles accélèrent considérablement le processus de résolution.

Différenciation des fonctions d'une variable complexe.

J'ai deux nouvelles : une bonne et une mauvaise. Je vais commencer par un bon. Pour une fonction d'une variable complexe, les règles de différenciation et le tableau des dérivées des fonctions élémentaires sont valables. Ainsi, la dérivée est prise exactement de la même manière que dans le cas d'une fonction d'une variable réelle.

La mauvaise nouvelle est que pour de nombreuses fonctions d'une variable complexe, il n'y a pas de dérivée du tout, et vous devez comprendre est différentiable une fonction ou une autre. Et « comprendre » ce que ressent votre cœur est associé à des problèmes supplémentaires.

Considérons une fonction d'une variable complexe. Pour que cette fonction soit différentiable, il faut et il suffit que :

1) Pour qu'il y ait des dérivées partielles du premier ordre. Oubliez tout de suite ces notations, car dans la théorie de la fonction d'une variable complexe, une autre version de la notation est traditionnellement utilisée : .

2) Pour effectuer le soi-disant Conditions de Cauchy-Riemann:

Ce n'est que dans ce cas que la dérivée existera !

Exemple 3

La solution décomposé en trois étapes successives :

1) Trouvez les parties réelles et imaginaires de la fonction. Cette tâche a été analysée dans les exemples précédents, je vais donc l'écrire sans commentaire :

Depuis:

De cette façon:

est la partie imaginaire de la fonction .

Je vais m'arrêter à un de plus point technique: dans quel ordreécrire des termes en parties réelles et imaginaires ? Oui, au fond, ça n'a pas d'importance. Par exemple, la partie réelle peut s'écrire ainsi : , et imaginaire - comme ceci : .

2) Vérifions la satisfaction des conditions de Cauchy-Riemann. Il y a deux d'entre eux.

Commençons par vérifier l'état. Nous trouvons dérivées partielles:

Ainsi, la condition est remplie.

Sans aucun doute, la bonne nouvelle est que les dérivées partielles sont presque toujours très simples.

Nous vérifions la satisfaction de la deuxième condition :

Il s'est avéré la même chose, mais avec des signes opposés, c'est-à-dire que la condition est également remplie.

Les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites, donc la fonction est différentiable.

3) Trouvez la dérivée de la fonction. La dérivée est également très simple et se trouve selon les règles habituelles :

L'unité imaginaire en différenciation est considérée comme une constante.

Réponse: - partie réelle est la partie imaginaire.
Les conditions de Cauchy-Riemann sont remplies, .

Il existe deux autres façons de trouver la dérivée, elles sont bien sûr utilisées moins souvent, mais les informations seront utiles pour comprendre la deuxième leçon - Comment trouver la fonction d'une variable complexe ?

La dérivée peut être trouvée à l'aide de la formule :

Dans ce cas:

De cette façon

Il est nécessaire de résoudre le problème inverse - dans l'expression résultante, vous devez isoler . Pour ce faire, il faut en termes et sortir entre parenthèses :

L'action inverse, comme beaucoup l'ont remarqué, est un peu plus difficile à effectuer, pour la vérification, il est toujours préférable de prendre l'expression et sur le brouillon ou d'ouvrir verbalement les crochets, en s'assurant qu'il se révélera exactement

Formule miroir pour trouver la dérivée :

Dans ce cas: , c'est pourquoi:

Exemple 4

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Si les conditions de Cauchy-Riemann sont remplies, trouvez la dérivée de la fonction.

Solution rapide et échantillon exemplaire touche finale à la fin de la leçon.

Les conditions de Cauchy-Riemann sont-elles toujours satisfaites ? Théoriquement, ils sont plus souvent insatisfaits qu'ils ne le sont. Mais en exemples pratiques Je ne me souviens pas d'un cas où ils n'ont pas été exécutés =) Ainsi, si vos dérivées partielles "n'ont pas convergé", alors avec une très forte probabilité, nous pouvons dire que vous avez fait une erreur quelque part.

Compliquons nos fonctions :

Exemple 5

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Calculer

La solution: L'algorithme de résolution est complètement conservé, mais à la fin une nouvelle mode est ajoutée : trouver la dérivée en un point. Pour le cube, la formule requise a déjà été dérivée :

Définissons les parties réelles et imaginaires de cette fonction :

Attention et encore attention !

Depuis:


De cette façon:
est la partie réelle de la fonction ;
est la partie imaginaire de la fonction .

Vérification de la deuxième condition :

Il s'est avéré la même chose, mais avec des signes opposés, c'est-à-dire que la condition est également remplie.

Les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites, donc la fonction est différentiable :

Calculez la valeur de la dérivée au point requis :

Réponse:, , les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites,

Les fonctions avec des cubes sont courantes, donc un exemple à consolider :

Exemple 6

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Calculez.

Décision et exemple de finition à la fin de la leçon.

Dans la théorie de l'analyse complexe, d'autres fonctions d'un argument complexe sont également définies : exponentielle, sinus, cosinus, etc. Ces fonctions ont des propriétés inhabituelles voire bizarres - et c'est vraiment intéressant ! Je veux vraiment vous dire, mais ici, c'est arrivé, pas un livre de référence ou un manuel, mais une solution, donc je vais considérer la même tâche avec quelques fonctions communes.

Tout d'abord sur le soi-disant Formules d'Euler:

Pour tout le monde valide nombres, les formules suivantes sont valides :

Vous pouvez également le copier dans votre cahier comme référence.

À proprement parler, il n'y a qu'une seule formule, mais généralement, par commodité, ils écrivent également cas particulier avec un indicateur moins. Le paramètre ne doit pas être une seule lettre, il peut s'agir d'une expression complexe, d'une fonction, il est seulement important qu'ils prennent seulement valide valeurs. En fait, nous allons le voir tout de suite :

Exemple 7

Trouver la dérivée.

La solution: La ligne générale du parti reste inébranlable - il faut distinguer les parties réelles et imaginaires de la fonction. Je vais donner une solution détaillée et commenter chaque étape ci-dessous :

Depuis:

(1) Remplacer "z".

(2) Après substitution, il faut séparer les parties réelles et imaginaires premier en exposant exposants. Pour ce faire, ouvrez les crochets.

(3) Nous regroupons la partie imaginaire de l'indicateur, en mettant l'unité imaginaire entre parenthèses.

(4) Utilisation action scolaire avec des diplômes.

(5) Pour le multiplicateur, nous utilisons la formule d'Euler , tandis que .

(6) Nous ouvrons les parenthèses, en conséquence :

est la partie réelle de la fonction ;
est la partie imaginaire de la fonction .

D'autres actions sont standard, vérifions le respect des conditions de Cauchy-Riemann :

Exemple 9

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Qu'il en soit ainsi, nous ne trouverons pas la dérivée.

La solution: L'algorithme de résolution est très similaire aux deux exemples précédents, mais il y a très les points importants, c'est pourquoi Première étape Je vais commenter à nouveau étape par étape:

Depuis:

1) Nous substituons au lieu de "z".

(2) Tout d'abord, sélectionnez les parties réelles et imaginaires à l'intérieur des sinus. Pour cela, ouvrez les crochets.

(3) Nous utilisons la formule , tandis que .

(4) Utilisation parité du cosinus hyperbolique: et bizarrerie du sinus hyperbolique: . Les hyperboliques, bien qu'elles ne soient pas de ce monde, ressemblent à bien des égards à des fonctions trigonométriques similaires.

Finalement:
est la partie réelle de la fonction ;
est la partie imaginaire de la fonction .

Attention! Le signe moins fait référence à la partie imaginaire, et en aucun cas il ne faut la perdre ! Pour une illustration visuelle, le résultat obtenu ci-dessus peut être réécrit comme suit :

Vérifions le respect des conditions de Cauchy-Riemann :

Les conditions de Cauchy-Riemann sont remplies.

Réponse:, , les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites.

Avec cosinus, mesdames et messieurs, nous comprenons par nous-mêmes :

Exemple 10

Déterminez les parties réelles et imaginaires de la fonction. Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann.

J'ai délibérément choisi des exemples plus compliqués, car tout le monde peut gérer quelque chose comme des cacahuètes pelées. En même temps, entraînez votre attention ! Casse-Noisette à la fin de la leçon.

Eh bien, en conclusion, je vais en considérer un de plus exemple intéressant lorsque l'argument complexe est au dénominateur. Nous nous sommes rencontrés plusieurs fois à l'entraînement, analysons quelque chose de simple. Ah, je vieillis...

Exemple 11

Déterminez les parties réelles et imaginaires de la fonction. Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann.

La solution: Encore une fois, il est nécessaire de séparer les parties réelles et imaginaires de la fonction.
Si donc

La question se pose, que faire lorsque "Z" est au dénominateur ?

Tout est simple - la norme aidera méthode de multiplication du numérateur et du dénominateur par l'expression conjuguée, il a déjà été utilisé dans les exemples de la leçon Les nombres complexes pour les nuls. Rappelons la formule scolaire. Au dénominateur nous avons déjà , donc l'expression conjuguée sera . Ainsi, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur par :