Функции на комплексна променлива.
Диференциране на функции на комплексна променлива.

Тази статия отваря поредица от уроци, в които ще разгледам типични задачисвързани с теорията на функциите на комплексна променлива. За да овладеете успешно примерите, трябва да имате основни знанияотносно комплексните числа. За да консолидирате и повторите материала, е достатъчно да посетите страницата. Ще ви трябват и умения за намиране частни производни от втори ред. Ето ги, тези частични производни... дори сега бях малко изненадан колко често се срещат...

Темата, която започваме да анализираме, не е особено трудна, а във функциите на сложна променлива по принцип всичко е ясно и достъпно. Основното нещо е да се придържате към основното правило, което е изведено от мен емпирично. Четете нататък!

Концепцията за функция на комплексна променлива

Първо, нека опресним знанията си за училищната функция на една променлива:

Функция на една променливае правило, според което всяка стойност на независимата променлива (от областта на дефиниция) съответства на една и само една стойност на функцията. Естествено, "x" и "y" са реални числа.

В сложния случай функционалната зависимост се дава по подобен начин:

Еднозначна функция на комплексна променливае правилото, че всеки изчерпателенстойността на независимата променлива (от домейна) съответства на една и само една изчерпателенстойност на функцията. На теория се разглеждат и многозначни и някои други видове функции, но за простота ще се спра на едно определение.

Каква е функцията на комплексната променлива?

Основната разлика е, че числата са сложни. Не съм иронична. От такива въпроси често изпадат в ступор, в края на статията ще разкажа една готина история. На урока Комплексни числа за манекениразгледахме комплексно число във формата . От сега буквата "Z" стана променлива, тогава ще го обозначим по следния начин: , докато "x" и "y" могат да приемат различни валиденстойности. Грубо казано, функцията на сложна променлива зависи от променливите и , които приемат "обичайни" стойности. От този фактлогично следва следната точка:

Функцията на комплексната променлива може да се запише като:
, където и са две функции от две валиденпроменливи.

Функцията се извиква реална частфункции .
Функцията се извиква въображаема частфункции .

Тоест, функцията на комплексна променлива зависи от две реални функции и . За да изясним накрая всичко, нека разгледаме практически примери:

Пример 1

Решение:Независимата променлива "z", както си спомняте, се записва като , следователно:

(1) Заменен в оригиналната функция.

(2) За първия член е използвана формулата за намалено умножение. В срока скобите бяха отворени.

(3) Внимателно на квадрат, без да забравяме това

(4) Пренареждане на термините: първо пренапишете термините , в която няма въображаема единица(първа група), след това термини, където има (втора група). Трябва да се отбележи, че не е необходимо да се разбъркват условията и този етапможе да се пропусне (всъщност се прави устно).

(5) Втората група се изважда от скоби.

В резултат на това нашата функция се оказа представена във формата

Отговор:
е реалната част от функцията.
е въображаемата част от функцията.

Какви са тези функции? Най-обикновените функции на две променливи, от които могат да се намерят такива популярни частични производни. Без милост - ще намерим. Но малко по-късно.

Накратко алгоритъмът на решената задача може да се запише по следния начин: заместваме в оригиналната функция, извършваме опростявания и разделяме всички членове на две групи - без имагинерна единица (реална част) и с въображаема единица (въображаема част).

Пример 2

Намерете реалната и въображаемата част на функция

Това е пример "направи си сам". Преди да се хвърлите в битка на сложния самолет с чернови, позволете ми да ви дам най-много важен съветпо тази тема:

БЪДИ ВНИМАТЕЛЕН!Трябва да внимавате, разбира се, навсякъде, но при сложни числа трябва да внимавате повече от всякога! Не забравяйте, че внимателно разгънете скобите, не губете нищо. По мои наблюдения най-честата грешка е загубата на знак. Не бързай!

Пълно решениеи отговора в края на урока.

Сега куб. Използвайки съкратената формула за умножение, извеждаме:
.

Формулите са много удобни за използване на практика, тъй като значително ускоряват процеса на решаване.

Диференциране на функции на комплексна променлива.

Имам две новини: добра и лоша. Ще започна с един добър. За функция от комплексна променлива са валидни правилата за диференциране и таблицата на производните на елементарните функции. По този начин производната се взема точно по същия начин, както в случая на функция на реална променлива.

Лошата новина е, че за много функции на сложна променлива изобщо няма производна и трябва да разберете е диференцируемедна или друга функция. А „да разберете“ как се чувства сърцето ви е свързано с допълнителни проблеми.

Помислете за функция на комплексна променлива. За да може тази функция да бъде диференцируема, е необходимо и достатъчно, че:

1) За да има частни производни от първи ред. Забравете за тези нотации веднага, тъй като в теорията на функцията на сложна променлива традиционно се използва друга версия на нотацията: .

2) За осъществяване на т.нар Условия на Коши-Риман:

Само в този случай производната ще съществува!

Пример 3

Решениеразложен на три последователни етапа:

1) Намерете реалната и въображаемата част на функцията. Тази задача беше анализирана в предишни примери, така че ще я запиша без коментар:

От тогава:

По този начин:

е въображаемата част от функцията.

Ще се спра на още един техническа точка: в какъв редпишете термини в реални и въображаеми части? Да, по принцип няма значение. Например, реалната част може да бъде написана така: , и въображаем - така: .

2) Нека проверим изпълнението на условията на Коши-Риман. Има две от тях.

Нека започнем с проверка на състоянието. Намираме частични производни:

Така условието е изпълнено.

Несъмнено добрата новина е, че частичните производни почти винаги са много прости.

Проверяваме изпълнението на второто условие:

Оказа се същото, но с противоположни знаци, тоест условието също е изпълнено.

Условията на Коши-Риман са изпълнени, следователно функцията е диференцируема.

3) Намерете производната на функцията. Производната също е много проста и се намира според обичайните правила:

Въображаемата единица в диференциацията се счита за константа.

Отговор: - истинска част е въображаемата част.
Условията на Коши-Риман са изпълнени, .

Има още два начина за намиране на производната, те разбира се се използват по-рядко, но информацията ще бъде полезна за разбирането на втория урок - Как да намерим функцията на комплексна променлива?

Производната може да бъде намерена по формулата:

В такъв случай:

По този начин

Необходимо е да се реши обратната задача - в получения израз трябва да изолирате . За да направите това, е необходимо в термини и да извадите от скоби:

Обратното действие, както мнозина забелязаха, е малко по-трудно за изпълнение; за проверка винаги е по-добре да вземете израза и върху черновата или устно да отворите скобите назад, като се уверите, че се оказва точно

Огледална формула за намиране на производната:

В такъв случай: , Ето защо:

Пример 4

Определете реалната и въображаемата част на функция . Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман. Ако условията на Коши-Риман са изпълнени, намерете производната на функцията.

Бързо решениеИ примерна извадкадовършителни работи в края на урока.

Винаги ли са изпълнени условията на Коши-Риман? Теоретично те по-често не са изпълнени, отколкото са. Но в практически примериНе помня случай, в който не са били изпълнени =) По този начин, ако вашите частни производни „не се сближиха“, тогава с много голяма вероятност можем да кажем, че сте направили грешка някъде.

Нека усложним функциите си:

Пример 5

Определете реалната и въображаемата част на функция . Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман. Изчисли

Решение:Алгоритъмът на решението е напълно запазен, но в края се добавя нова мода: намиране на производната в точка. За куба необходимата формула вече е извлечена:

Нека дефинираме реалните и въображаемите части на тази функция:

Внимание и отново внимание!

От тогава:


По този начин:
е реалната част от функцията;
е въображаемата част от функцията.

Проверка на второто условие:

Оказа се същото, но с противоположни знаци, тоест условието също е изпълнено.

Условията на Коши-Риман са изпълнени, следователно функцията е диференцируема:

Изчислете стойността на производната в необходимата точка:

Отговор:, , условията на Коши-Риман са изпълнени,

Функциите с кубчета са често срещани, така че пример за консолидиране:

Пример 6

Определете реалната и въображаемата част на функция . Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман. Изчисли .

Решение и примерно завършване в края на урока.

В теорията на комплексния анализ се дефинират и други функции на сложен аргумент: експоненциална, синусоидална, косинусова и др. Тези функции имат необичайни и дори странни свойства - и това е наистина интересно! Наистина искам да ви кажа, но ето, така се случи, не справочник или учебник, а решение, така че ще разгледам същата задача с някои общи функции.

Първо за т.нар Формули на Ойлер:

За всеки валиденчисла, следните формули са валидни:

Можете също да го копирате в бележника си като справка.

Строго погледнато, има само една формула, но обикновено, за удобство, те също пишат специален случайс индикатор минус. Параметърът не трябва да бъде една буква, може да бъде сложен израз, функция, важно е само те да приемат валиден самостойности. Всъщност ще го видим точно сега:

Пример 7

Намерете производна.

Решение:Общата линия на партията остава непоклатима - необходимо е да се отделят реалната и въображаемата част от функцията. Ще дам подробно решение и ще коментирам всяка стъпка по-долу:

От тогава:

(1) Заместване на "z".

(2) След заместване е необходимо да се разделят реалната и въображаемата част първо по степенизложители. За да направите това, отворете скобите.

(3) Групираме въображаемата част на индикатора, поставяйки въображаемата единица извън скоби.

(4) Използвайте училищна акцияс градуси.

(5) За множителя използваме формулата на Ойлер, докато .

(6) Отваряме скобите, като резултат:

е реалната част от функцията;
е въображаемата част от функцията.

По-нататъшните действия са стандартни, нека проверим изпълнението на условията на Коши-Риман:

Пример 9

Определете реалната и въображаемата част на функция . Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман. Така да бъде, няма да намерим производната.

Решение:Алгоритъмът за решение е много подобен на предишните два примера, но има много важни точки, Ето защо Първи етапЩе коментирам отново стъпка по стъпка:

От тогава:

1) Заменяме вместо "z".

(2) Първо изберете реалната и въображаемата част вътре в синуса. За целта отворете скобите.

(3) Използваме формулата , докато .

(4) Използвайте паритет на хиперболичен косинус: И хиперболична синусоида: . Хиперболиците, макар и не от този свят, но в много отношения приличат на подобни тригонометрични функции.

В крайна сметка:
е реалната част от функцията;
е въображаемата част от функцията.

Внимание!Знакът минус се отнася за въображаемата част и в никакъв случай не трябва да я губим! За визуална илюстрация полученият по-горе резултат може да бъде пренаписан, както следва:

Нека проверим изпълнението на условията на Коши-Риман:

Условията на Коши-Риман са изпълнени.

Отговор:, , условията на Коши-Риман са изпълнени.

С косинус, дами и господа, ние разбираме сами:

Пример 10

Определете реалната и въображаемата част на функцията. Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман.

Нарочно подбрах по-сложни примери, защото всеки може да се справи с нещо като белени фъстъци. В същото време тренирайте вниманието си! Лешникотрошачката в края на урока.

Е, в заключение ще разгледам още един интересен примеркогато комплексният аргумент е в знаменателя. Срещнахме се няколко пъти на практика, нека анализираме нещо просто. Ох, остарявам...

Пример 11

Определете реалната и въображаемата част на функцията. Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман.

Решение:Отново е необходимо да се разделят реалните и въображаемите части на функцията.
Ако, тогава

Възниква въпросът какво да правим, когато "Z" е в знаменателя?

Всичко е просто - стандартът ще помогне метод за умножение на числителя и знаменателя по спрегнатия израз, той вече е използван в примерите на урока Комплексни числа за манекени. Нека си спомним училищната формула. В знаменателя вече имаме , така че спрегнатият израз ще бъде . По този начин трябва да умножите числителя и знаменателя по: