Отворената скоба е число. Разширяващи се скоби - Хипермаркет на знания

Скобите се използват за посочване на реда, в който се извършват действията в числови и азбучни изрази, както и в изрази с променливи. Удобно е да се премине от израз със скоби към идентичен равно изражениебез скоби. Тази техника се нарича отваряне на скоби.

Разширяването на скоби означава да премахнете израза на тези скоби.

Друг момент заслужава специално внимание, който се отнася до особеностите на решенията за писане при отваряне на скоби. Можем да запишем първоначалния израз със скоби и получения резултат след отваряне на скобите като равенство. Например, след отваряне на скобите, вместо израза
3−(5−7) получаваме израза 3−5+7. Можем да запишем и двата израза като равенството 3−(5−7)=3−5+7.

И още един важен момент. В математиката, за да се намалят вписванията, е обичайно да не се пише знак плюс, ако е първият в израз или в скоби. Например, ако добавим две положителни числа, например седем и три, тогава пишем не +7 + 3, а просто 7 + 3, въпреки факта, че седем също е положително число. По същия начин, ако видите, например, израза (5 + x) - знайте, че има плюс пред скобата, който не е изписан, и има плюс + (+5 + x) пред пет.

Правило за разширяване на скоби за събиране

При отваряне на скоби, ако има плюс преди скобите, тогава този плюс се пропуска заедно със скобите.

Пример. Отворете скобите в израза 2 + (7 + 3) Преди скобите плюс, след това знаците пред числата в скобите не се променят.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Правилото за разширяване на скоби при изваждане

Ако има минус преди скобите, тогава този минус се пропуска заедно със скобите, но термините, които са били в скобите, променят знака си на обратен. Отсъствието на знак преди първия член в скоби означава знак +.

Пример. Отворени скоби в израз 2 − (7 + 3)

Преди скобите има минус, така че трябва да смените знаците преди числата от скобите. Няма знак в скоби преди числото 7, което означава, че седемте е положително, счита се, че знакът + е пред него.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Когато отваряме скобите, премахваме минуса от примера, който беше преди скобите, а самите скоби 2 − (+ 7 + 3) и променяме знаците, които бяха в скобите, на противоположните.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Разширяване на скоби при умножение

Ако пред скобите има знак за умножение, тогава всяко число в скобите се умножава по коефициента пред скобите. В същото време, умножаването на минус по минус дава плюс, а умножаването на минус по плюс, като умножаването на плюс по минус, дава минус.

По този начин скобите в продуктите се разширяват в съответствие с разпределителното свойство на умножението.

Пример. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

При умножаване на скоби по скоби, всеки член от първата скоба се умножава с всеки член от втората скоба.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Всъщност няма нужда да запомняте всички правила, достатъчно е да запомните само едно, това: c(a−b)=ca−cb. Защо? Защото ако заместим едно вместо c, получаваме правилото (a−b)=a−b. И ако заместим минус едно, получаваме правилото −(a−b)=−a+b. Е, ако замените друга скоба вместо c, можете да получите последното правило.

Разгъване на скоби при разделяне

Ако след скобите има знак за деление, тогава всяко число в скобите се дели на делителя след скобите и обратно.

Пример. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

Как да разширите вложените скоби

Ако изразът съдържа вложени скоби, те се разширяват по ред, започвайки с външни или вътрешни.

В същото време, когато отваряте една от скобите, е важно да не докосвате другите скоби, а просто да ги пренапишете така, както са.

Пример. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

да формира способност за отваряне на скоби, като се вземе предвид знакът пред скобите;

развиващи се:

развиват логично мислене, внимание, математическа реч, способност за анализиране, сравняване, обобщаване, правене на изводи;
възпитатели:
формиране на отговорност, познавателен интерес към предмета

По време на занятията

I. Организационен момент.

Провери го приятел
Готови ли сте за урока?
Всичко ли си е на мястото? Всичко е наред?
Химикал, книга и тетрадка.
Всички ли са седнали правилно?
Всички ли наблюдават внимателно?

Искам да започна урока с въпрос към вас:

Кое според вас е най-ценното нещо на земята? (Отговорите на децата.)

Този въпрос тревожи човечеството от хиляди години. Ето отговора на известния учен Ал-Бируни: „Знанието е най-доброто притежание. Всеки се стреми към това, но то не идва от само себе си.”

Нека тези думи бъдат мотото на нашия урок.

II. Актуализация на предишни знания, умения, умения:

Словесно броене:

1.1. Коя е днешната дата?

2. Какво знаете за числото 20?

3. И къде се намира това число на координатната права?

4. Назовете номера на неговия реверс.

5. Назовете числото срещу него.

6. Как се казва числото - 20?

7. Кои числа се наричат противоположни?

8. Кои числа се наричат отрицателни?

9. Какъв е модулът на числото 20? - 20?

10. Колко е сборът от противоположни числа?

2. Обяснете следните записи:

а) Античният математик на гения Архимед е роден през 0 287 г. пр.н.е.

б) Брилянтният руски математик Н. И. Лобачевски е роден през 1792 г.

за първи път Олимпийски игрисе състоя в Гърция през 776 г.

г) Първите международни олимпийски игри се проведоха през 1896 г.

д) XXII зимни олимпийски игри се проведоха през 2014 г.

3. Разберете какви числа се въртят на „математическата въртележка“ (всички действия се извършват устно).

II. Формиране на нови знания, умения и способности.

Научихте как да извършвате различни операции с цели числа. какво ще правим по-нататък? Как ще решаваме примери и уравнения?

Нека намерим значението на тези изрази

7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0

Каква е процедурата в 1 пример? Колко е в скоби? Редът на действията във втория пример? Резултат от първото действие? Какво може да се каже за тези изрази?

Разбира се, резултатите от първия и втория израз са еднакви, така че можете да поставите знак за равенство между тях: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

Какво направихме със скобите? (Изгубен.)

Какво мислите, че ще правим днес в клас? (Децата формулират темата на урока.) В нашия пример какъв знак е пред скобите. (Плюс.)

И така стигаме до следващото правило:

Ако пред скобите има знак +, тогава можете да пропуснете скобите и този знак +, като запазите знаците на термините в скоби. Ако първият член в скоби е изписан без знак, тогава той трябва да бъде написан със знак +.

Но какво ще стане, ако пред скобите има знак минус?

В този случай трябва да разсъждавате по същия начин, както при изваждане: трябва да добавите числото, противоположно на това, което се изважда:

7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

- И така, отворихме скобите, когато пред тях имаше знак минус.

Правилото за разширяване на скоби, когато има знак "-" пред скобите.

За да отворите скобите, предшествани от знака -, трябва да замените този знак с +, като промените знаците на всички термини в скобите на противоположни и след това отворите скобите.

Нека да чуем правилата за отваряне на скоби в стихове:

Пред скобите има плюс.
Той говори за това
Какво пускаш скобите
Пуснете всички знаци!
Преди скоби минус строго
Ще ни блокира пътя
За премахване на скоби
Трябва да сменим знаците!

Да, момчета, знакът минус е много коварен, той е „страж“ на портата (скоби), пуска числа и променливи само когато сменят „паспортите“, тоест знаците си.

Защо изобщо трябва да отваряте скоби? (Когато има скоби, има момент на някакъв елемент на незавършеност, някаква мистерия. Това е като затворена врата, зад което се крие нещо интересно.) Днес научихме тази тайна.

Малко отклонение в историята:

Къдравите скоби се появяват в писанията на Vieta (1593). Скобите са били широко използвани едва през първата половина на 18 век, благодарение на Лайбниц и още повече на Ойлер.

Fizkultminutka.

III. Консолидиране на нови знания, умения и способности.

Работа по учебник:

No 1234 (отворени скоби) - устно.

No 1236 (отворени скоби) - устно.

No 1235 (намерете значението на израза) - писмено.

No 1238 (опростете изразите) - работа по двойки.

IV. Обобщаване на урока.

1. Обявяват се резултати.

2. Къща. упражнение. 39 No 1254 (а, б, в), 1255 (а, б, в), 1259.

3. Какво научихме днес?

Какво научихте?

И искам да завърша урока с пожелания за всеки от вас:

„Покажете способността си за математика,
Не бъдете мързеливи, а се развивайте ежедневно.
Умножете, разделете, работете, мислете,
Не забравяйте да бъдете приятели с математиката.

Основната функция на скобите е да променят реда на действията при изчисляване на стойности. например, в числовия израз \(5 3+7\) първо ще се изчисли умножението, а след това събирането: \(5 3+7 =15+7=22\). Но в израза \(5·(3+7)\) първо ще се изчислява събирането в скоби и едва след това умножението: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Пример. Разгънете скобата: \(-(4m+3)\).
Решение : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Разширете скобата и дайте подобни термини \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Пример. Разгънете скобите \(5(3-x)\).
Решение : Имаме \(3\) и \(-x\) в скобата и пет пред скобата. Това означава, че всеки член на скобата се умножава по \ (5 \) - напомням ви това знакът за умножение между число и скоба в математиката не се записва, за да намали размера на записите.

Пример. Разгънете скобите \(-2(-3x+5)\).
Решение : Както в предишния пример, поставените в скоби \(-3x\) и \(5\) се умножават по \(-2\).

Пример. Опростете израза: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Остава да разгледаме последната ситуация.

При умножаване на скоби по скоби, всеки член от първата скоба се умножава с всеки член от втория:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Разгънете скобите \((2-x)(3x-1)\).
Решение : Имаме продукт от скоби и той може да се отвори веднага с помощта на формулата по-горе. Но за да не се объркаме, нека направим всичко стъпка по стъпка.
Стъпка 1. Премахнете първата скоба - всеки от нейните членове се умножава по втората скоба:

Стъпка 2. Разширете продуктите на скобата с коефициента, както е описано по-горе:
- първо първият...

След това вторият.

Стъпка 3. Сега умножаваме и извеждаме подобни термини:

Не е необходимо да рисувате подробно всички трансформации, можете веднага да умножите. Но ако просто се учите да отваряте скоби - пишете подробно, ще има по-малък шанс да направите грешка.

Забележка към целия раздел.Всъщност не е нужно да помните всичките четири правила, трябва да запомните само едно, това: \(c(a-b)=ca-cb\) . Защо? Защото ако заместим едно вместо c, получаваме правилото \((a-b)=a-b\) . И ако заместим минус едно, получаваме правилото \(-(a-b)=-a+b\) . Е, ако замените друга скоба вместо c, можете да получите последното правило.

скоби в скоби

Понякога на практика има проблеми със скоби, вложени в други скоби. Ето пример за такава задача: да опрости израза \(7x+2(5-(3x+y))\).

За да постигнете успех в тези задачи, трябва:
- внимателно да разберете влагането на скоби - коя в коя е;
- отворете скобите последователно, като започнете например от най-вътрешната.

Важно е при отваряне на една от скобите не докосвайте останалата част от израза, просто го пренаписвам както е.
Нека вземем задачата по-горе като пример.

Пример. Отворете скобите и дайте подобни термини \(7x+2(5-(3x+y))\).
решение:

Пример. Разгънете скобите и дайте подобни термини \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Това е тройно влагане на скоби. Започваме с най-вътрешния (маркиран в зелено). Пред скобите има плюс, така че просто се премахва.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Сега трябва да отворите втората скоба, междинна. Но преди това ще опростим израза, като посочим подобни термини в тази втора скоба.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Сега отваряме втората скоба (маркирана в синьо). Пред скобите има множител - така че всеки член в скобите се умножава по него.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		И отворете последната скоба. Преди скобата минус - значи всички знаци са обърнати.

Отварянето на скоби е основно умение в математиката. Без това умение е невъзможно да имате оценка над три в 8 и 9 клас. Затова препоръчвам добро разбиране на тази тема.

В тази статия ще разгледаме подробно основните правила за такава важна тема в курса по математика като отварящите скоби. Трябва да знаете правилата за отваряне на скоби, за да решавате правилно уравненията, в които се използват.

Как правилно да отваряте скоби при добавяне

Разгънете скобите, предшествани от знака "+".

Това е най-простият случай, защото ако има знак за добавяне пред скобите, когато скобите се отворят, знаците вътре в тях не се променят. пример:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Как да отворите скоби, предшествани от знак "-".

В този случай трябва да пренапишете всички термини без скоби, но в същото време да промените всички знаци вътре в тях на противоположните. Знаците се променят само за термините от тези скоби, предшествани от знака “-”. пример:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Как да отваряте скоби при умножение

Скобите се предхождат от множител

В този случай трябва да умножите всеки член по коефициент и да отворите скобите, без да променяте знаците. Ако множителят има знак "-", тогава при умножение знаците на термините се обръщат. пример:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Как да отворя две скоби със знак за умножение между тях

В този случай трябва да умножите всеки член от първите скоби с всеки член от вторите скоби и след това да добавите резултатите. пример:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Как да отворите скоби в квадрат

Ако сумата или разликата от два члена е на квадрат, скобите трябва да се разширят съгласно следната формула:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

В случай на минус в скобите, формулата не се променя. пример:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Как да отворите скоби в различна степен

Ако сумата или разликата на термините се повиши, например, на 3-та или 4-та степен, тогава просто трябва да разбиете степента на скобата на „квадрати“. Степените на същите множители се събират, а при деление степента на делителя се изважда от степента на деленото. пример:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Как да отворя 3 скоби

Има уравнения, в които 3 скоби се умножават наведнъж. В този случай първо трябва да умножите членовете на първите две скоби помежду си и след това да умножите сумата от това умножение по условията на третата скоба. пример:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Тези правила за отваряне на скоби се прилагат еднакво както за линейни, така и за тригонометрични уравнения.

Разширяването на скоби е вид трансформация на израз. В този раздел ще опишем правилата за разширяване на скоби, както и ще разгледаме най-често срещаните примери за проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Какво е разширяване на скоби?

Скобите се използват за посочване на реда, в който се извършват действията в числови и азбучни изрази, както и в изрази с променливи. Удобно е да преминете от израз със скоби към идентично равен израз без скоби. Например заменете израза 2 (3 + 4) с израз като 2 3 + 2 4без скоби. Тази техника се нарича отваряне на скоби.

Определение 1

Под отваряне на скоби имаме предвид методите за премахване на скоби и обикновено се разглеждат във връзка с изрази, които могат да съдържат:

знаци "+" или "-" пред скоби, които съдържат суми или разлики;
произведението на число, буква или няколко букви и сумата или разликата, която се поставя в скоби.

Ето как разглеждахме процеса на разширяване на скоби в курса училищна програма. Никой обаче не ни пречи да погледнем по-широко на това действие. Можем да наречем разширяване на скоби преход от израз, който съдържа отрицателни числа в скоби към израз, който няма скоби. Например, можем да преминем от 5 + (− 3) − (− 7) до 5 − 3 + 7 . Всъщност това също е разширяване на скоби.

По същия начин можем да заменим произведението на изрази в скоби от вида (a + b) · (c + d) със сумата a · c + a · d + b · c + b · d . Тази техника също не противоречи на значението на разширяването на скоби.

Ето още един пример. Можем да предположим, че в изрази, вместо числа и променливи, могат да се използват всякакви изрази. Например, изразът x 2 1 a - x + sin (b) ще съответства на израз без скоби от вида x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) .

Още един момент заслужава специално внимание, който се отнася до особеностите на писане на решения при отваряне на скоби. Можем да запишем първоначалния израз със скоби и получения резултат след отваряне на скобите като равенство. Например, след отваряне на скобите, вместо израза 3 − (5 − 7) получаваме израза 3 − 5 + 7 . Можем да запишем и двата израза като равенството 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .

Извършването на действия с тромави изрази може да изисква записване на междинни резултати. Тогава решението ще има формата на верига от равенства. Например, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 или 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Правила за отваряне на скоби, примери

Нека започнем с правилата за отваряне на скоби.

Единични числа в скоби

Отрицателните числа в скоби често се появяват в изразите. Например (− 4) и 3 + (− 4) . Положителни числа в скоби също се срещат.

Нека формулираме правилото за отваряне на скоби, които съдържат единични положителни числа. Да предположим, че a е всяко положително число. Тогава можем да заменим (a) с a, + (a) с + a, - (a) с - a. Ако вместо a вземем конкретно число, тогава според правилото: числото (5) ще бъде записано като 5 , изразът 3 + (5) без скоби ще приеме формата 3 + 5 , тъй като + (5) се заменя с + 5 , а изразът 3 + (− 5) е еквивалентен на израза 3 − 5 , като + (− 5) се заменя с − 5 .

Положителните числа обикновено се пишат без използване на скоби, тъй като в този случай скобите са излишни.

Сега разгледайте правилото за отваряне на скоби, които съдържат едно отрицателно число. + (−a)заместваме с − а, − (− a) се заменя с + a . Ако изразът започва с отрицателно число (-а), което се изписва в скоби, тогава скобите се пропускат и вместо (-а)остава − а.

Ето няколко примера: (− 5) може да се запише като − 5 , (− 3) + 0 , 5 става − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) става 4 − 3 и − (− 4) − (− 3) след отваряне на скобите приема формата 4 + 3 , тъй като − (− 4) и − (− 3) се заменя с + 4 и + 3 .

Трябва да се разбере, че изразът 3 · (− 5) не може да се запише като 3 · − 5. Това ще бъде обсъдено в следващите параграфи.

Нека видим на какво се основават правилата за разширяване на скоби.

Според правилото разликата a − b е равна на a + (− b) . Въз основа на свойствата на действията с числа можем да направим верига от равенства (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = aкоето ще бъде справедливо. Тази верига от равенства, по силата на смисъла на изваждане, доказва, че изразът a + (− b) е разликата a-b.

Въз основа на свойствата на противоположните числа и правилата за изваждане на отрицателни числа, можем да твърдим, че − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

Има изрази, които са съставени от число, знаци минус и няколко двойки скоби. Използването на горните правила ви позволява последователно да се отървете от скоби, преминавайки от вътрешни скоби към външни или обратно. Пример за такъв израз би бил − (− ((− (5)))) . Нека отворим скобите, движейки се отвътре навън: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Този пример може да бъде анализиран и в обратен ред: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Под аи b могат да се разбират не само като числа, но и като произволни числови или буквални изразис "+" отпред, които не са суми или разлики. Във всички тези случаи можете да приложите правилата по същия начин, както направихме с единични числа в скоби.

Например, след отваряне на скобите, изразът − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z)приема формата 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z . Как го направихме? Знаем, че − (− 2 x) е + 2 x , и тъй като този израз е на първо място, тогава + 2 x може да се запише като 2 x , - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x и − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

В произведенията на две числа

Нека започнем с правилото за разширяване на скоби в произведението на две числа.

Нека се преструваме аи b са две положителни числа. В този случай произведението на две отрицателни числа − аи − b от вида (− a) (− b) могат да бъдат заменени с (a b) , а произведенията на две числа с противоположни знаци на вида (− a) b и a (− b) могат да бъдат заменени с (− а б). Умножаването на минус по минус дава плюс, а умножаването на минус по плюс, като умножаването на плюс по минус, дава минус.

Правилността на първата част от написаното правило се потвърждава от правилото за умножение на отрицателни числа. За да потвърдим втората част от правилото, можем да използваме правилата за умножение на числа с различни знаци.

Нека разгледаме няколко примера.

Пример 1

Да разгледаме алгоритъма за отваряне на скоби в произведението на две отрицателни числа - 4 3 5 и - 2 , от вида (- 2) · - 4 3 5 . За да направим това, заменяме оригиналния израз с 2 · 4 3 5 . Нека разширим скобите и получим 2 · 4 3 5 .

И ако вземем частното от отрицателни числа (− 4) : (− 2) , тогава записът след отваряне на скобите ще изглежда като 4: 2

Вместо отрицателни числа − аи − b могат да бъдат всякакви изрази с водещ знак минус, които не са суми или разлики. Например, това могат да бъдат произведения, частични части, дроби, степени, корени, логаритми, тригонометрични функциии т.н.

Нека отворим скобите в израза - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Съгласно правилото можем да направим следните трансформации: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .

Изразяване (− 3) 2може да се преобразува в израза (− 3 2) . След това можете да отворите скобите: − 3 2.

2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5

Разделянето на числа с различни знаци може също да изисква предварително разширяване на скоби: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 и 2 3 4: (- 3 , 5) = - 2 3 4: 3 , 5 = - 2 3 4: 3 , 5 .

Правилото може да се използва за извършване на умножение и деление на изрази с различни знаци. Да дадем два примера.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

sin (x) (- x 2) \u003d (- sin (x) x 2) \u003d - sin (x) x 2

В продуктите на три или повече числа

Да преминем към продукта и коефициентите, които се съдържат голямо количествочисла. За разширяване на скоби, тук ще действа следващото правило. В четен бройотрицателни числа, можете да пропуснете скобите, като замените числата с техните противоположни. След това трябва да затворите получения израз в нови скоби. За нечетен брой отрицателни числа, пропускайки скобите, заменете числата с техните противоположни. След това полученият израз трябва да се вземе в нови скоби и да се постави знак минус пред него.

Пример 2

Например, да вземем израза 5 · (− 3) · (− 2) , който е произведение на три числа. Има две отрицателни числа, така че можем да запишем израза като (5 3 2) и накрая отворете скобите, получавайки израза 5 3 2 .

В произведението (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) пет числа са отрицателни. така че (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1 , 25: 1) . Най-накрая отваряме скобите, получаваме −2,5 3:2 4:1,25:1.

Горното правило може да бъде обосновано по следния начин. Първо, можем да пренапишем такива изрази като произведение, като заменим делението с умножение с обратното. Представяме всяко отрицателно число като произведение на множител и заменяме - 1 или - 1 с (− 1) а.

Използвайки комутативното свойство на умножението, ние разменяме факторите и прехвърляме всички фактори, равни на − 1 , до началото на израза. Произведението на четно число минус единици е равно на 1, а нечетно число е равно на − 1 , което ни позволява да използваме знака минус.

Ако не използвахме правилото, тогава веригата от действия за отваряне на скоби в израза - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 би изглеждала така:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

Горното правило може да се използва при разширяване на скоби в изрази, които са произведения и частни със знак минус, които не са суми или разлики. Вземете за пример израза

x 2 (- x) : (- 1 x) x - 3: 2 .

Може да се сведе до израз без скоби x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .

Отварящи скоби, предшествани от знак +

Помислете за правило, което може да се приложи за разгъващи скоби, предшествани от знак плюс и „съдържанието“ на тези скоби не се умножава или разделя на никакво число или израз.

Съгласно правилото скоби заедно със знака пред тях се пропускат, като се запазват знаците на всички термини в скоби. Ако няма знак пред първия член в скоби, тогава трябва да поставите знак плюс.

Пример 3

Например даваме израза (12 − 3 , 5) − 7 . Пропускайки скобите, запазваме знаците на термините в скобите и поставяме знак плюс пред първия член. Записът ще изглежда така (12 − 3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . В горния пример не е необходимо да се поставя знак пред първия член, тъй като + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.

Пример 4

Нека разгледаме още един пример. Вземете израза x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x и извършете действия с него x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Ето още един пример за разширяване на скоби:

Пример 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2

Как да разширите скоби, предшествани от знак минус

Помислете за случаите, при които пред скобите има знак минус и които не се умножават (или делят) с никакво число или израз. Съгласно правилото за разширяване на скоби, предшествани от знака „-“, скобите със знак „-“ се пропускат, докато знаците на всички термини в скобите се обръщат.

Пример 6

Например:

1 2 = 1 2, - 1 x + 1 = - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2

Променливите изрази могат да бъдат преобразувани с помощта на същото правило:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

получаваме x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 .

Отваряне на скоби при умножаване на число по скоби, изрази със скоби

Тук ще разгледаме случаите, когато е необходимо да се отворят скоби, които се умножават или делят на произволно число или израз. Тук формули от вида (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) или b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), където a 1 , a 2 , … , a nи b са някои числа или изрази.

Пример 7

Например, нека разширим скобите в израза (3 − 7) 2. Съгласно правилото можем да направим следните трансформации: (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . Получаваме 3 · 2 − 7 · 2 .

Разгъвайки скобите в израза 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, получаваме 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Умножете скоби по скоби

Да разгледаме произведението на две скоби от вида (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Това ще ни помогне да получим правило за разширяване на скоби при умножаване на скоби по скоби.

За да разрешим горния пример, обозначаваме израза (b 1 + b 2)като б. Това ще ни позволи да използваме правилото за умножение на скоби-израз. Получаваме (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b . Чрез извършване на обратна замяна бвърху (b 1 + b 2), отново приложете правилото за умножаване на израза по скоби: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Благодарение на редица прости трикове можем да стигнем до сбора от произведенията на всеки от термините от първата скоба и всеки от термините от втората скоба. Правилото може да бъде разширено до произволен брой термини в скобите.

Нека формулираме правилата за умножаване на скоби по скоби: за да умножим две суми помежду си, е необходимо да умножим всеки от членовете на първата сума по всеки от членовете на втората сума и да добавим резултатите.

Формулата ще изглежда така:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

Нека разширим скобите в израза (1 + x) · (x 2 + x + 6) Той е произведение на две суми. Нека напишем решението: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Отделно си струва да се спрем на онези случаи, когато има знак минус в скоби заедно със знаци плюс. Например, да вземем израза (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Първо, ние представяме изразите в скоби като суми: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). Сега можем да приложим правилото: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 x y + ( − x) (− 2 x y 3))

Нека разширим скобите: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .

Разширяване на скоби в произведения на няколко скоби и изрази

Ако в израза има три или повече израза в скоби, е необходимо скобите да се разширят последователно. Необходимо е да започнем трансформацията с факта, че първите два фактора са взети в скоби. В тези скоби можем да извършваме трансформации според правилата, обсъдени по-горе. Например скобите в израза (2 + 4) 3 (5 + 7 8) .

Изразът съдържа три фактора наведнъж (2 + 4) , 3 и (5 + 7 8) . Ще разширим скобите последователно. Ограждаме първите два фактора в още една скоба, която ще направим червено за по-голяма яснота: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

В съответствие с правилото за умножение на скоба по число, можем да извършим следните действия: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .

Умножете скоба по скоба: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Скоби в натура

Степените, чиито основи са някои изрази, записани в скоби, с естествени степени могат да се разглеждат като произведение на няколко скоби. Още повече, че според правилата от предходните два параграфа те могат да се пишат и без тези скоби.

Помислете за процеса на трансформиране на израза (a + b + c) 2 . Може да се запише като произведение на две скоби (a + b + c) (a + b + c). Умножаваме скоба по скоба и получаваме a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c .

Да вземем друг пример:

Пример 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2

Разделяне на скоби на число и на скоби на скоби

Разделянето на скоби на число предполага, че трябва да разделите на числото всички термини, затворени в скоби. Например (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

Делението може да бъде предварително заменено с умножение, след което можете да използвате подходящо правилоотварящи скоби в произведение. Същото правило важи и при разделяне на скоби на скоби.

Например, трябва да отворим скобите в израза (x + 2) : 2 3 . За да направите това, първо заменете делението, като умножите по обратното на (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Умножете скобата по числото (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .

Ето още един пример за деление в скоби:

Пример 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Нека заменим делението с умножение: 1 x + x + 1 1 x + 2 .

Нека направим умножението: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .

Ред за разширяване на скоби

Сега разгледайте реда на прилагане на правилата, разгледани по-горе в изразите общ изглед, т.е. в изрази, които съдържат суми с разлики, произведения с частни, скоби в натура.

Редът на действията:

първата стъпка е да се повдигнат скобите до естествена степен;
на втория етап се отварят скоби в работни и частни;
последната стъпка е да отворите скобите в сумите и разликите.

Нека разгледаме реда на действията, използвайки примера на израза (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Нека преобразуваме от изразите 3 (− 2) : (− 4) и 6 (− 7) , които трябва да приемат формата (3 2:4)и (− 6 7) . Замествайки получените резултати в оригиналния израз, получаваме: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7 ). Разгънете скобите: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 .

Когато работите с изрази, които съдържат скоби в скоби, е удобно да се извършват трансформации отвътре навън.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter