Калкулатор за неравенство с онлайн решение. Линейни неравенства

Неравенството е числово съотношение, което илюстрира величината на числата едно спрямо друго. Неравенствата се използват широко при търсенето на величини в приложните науки. Нашият калкулатор ще ви помогне да се справите с такава трудна тема като решаването на линейни неравенства.

Какво е неравенство

Неравномерните съотношения в реалния живот съответстват на постоянното сравнение на различни обекти: по-високи или по-ниски, по-далеч или по-близо, по-тежки или по-леки. Интуитивно или визуално можем да разберем, че един обект е по-голям, по-висок или по-тежък от друг, но всъщност винаги става въпрос за сравняване на числа, които характеризират съответните количества. Можете да сравнявате обекти на всякаква основа и във всеки случай можем да направим числово неравенство.

Ако неизвестните количества при определени условия са равни, то за тяхното числено определяне правим уравнение. Ако не, тогава вместо знака "равно" можем да посочим всяко друго съотношение между тези количества. Две числа или математически обекта могат да бъдат по-големи от ">", по-малко от "<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Знаците за неравенство в съвременната им форма са изобретени от британския математик Томас Хариът, който през 1631 г. публикува книга за неравните съотношения. По-голямо от ">" и по-малко от "<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Решаване на неравенства

Неравенствата, подобно на уравненията, се предлагат в различни видове. Линейни, квадратни, логаритмични или експоненциални неравни съотношения се отприщват чрез различни методи. Въпреки това, независимо от метода, всяко неравенство трябва първо да бъде сведено до стандартна форма. За това се използват идентични трансформации, които са идентични с модификациите на равенства.

Идентичност трансформации на неравенства

Такива трансформации на изрази са много подобни на призрак от уравнения, но имат нюанси, които е важно да се вземат предвид при развързване на неравенствата.

Първата трансформация на идентичност е идентична с аналогичната операция с равенства. Към двете страни на неравното съотношение можете да добавяте или изваждате едно и също число или израз с неизвестно x, докато знакът на неравенството остава същият. Най-често този метод се използва в опростена форма като прехвърляне на термините на израза през знака за неравенство с промяна на знака на числото на обратното. Това се отнася до промяната на знака на самия термин, тоест + R, когато се прехвърли през който и да е знак за неравенство, ще се промени на - R и обратно.

Втората трансформация има две точки:

1. И двете страни на неравно съотношение могат да бъдат умножени или разделени на едно и също положително число. Знакът на самото неравенство няма да се промени.
2. И двете страни на неравенството могат да бъдат разделени или умножени по едно и също отрицателно число. Знакът на самото неравенство ще се промени на обратното.

Втората идентична трансформация на неравенствата има сериозни различия с модификацията на уравненията. Първо, когато се умножава/дели на отрицателно число, знакът на неравен израз винаги се обръща. Второ, разделянето или умножаването на части от релация е позволено само от число, а не от всеки израз, съдържащ неизвестно. Факт е, че не можем да знаем със сигурност дали зад неизвестното е скрито число, по-голямо или по-малко от нула, така че второто идентично преобразуване се прилага към неравенствата изключително с числа. Нека разгледаме тези правила с примери.

Примери за развързване на неравенства

В задачите по алгебра има различни задачи по темата за неравенствата. Нека ни дадем израз:

6x − 3(4x + 1) > 6.

Първо отворете скобите и преместете всички неизвестни наляво и всички числа вдясно.

6x − 12x > 6 + 3

Трябва да разделим и двете части на израза на −6, така че когато намерим неизвестно x, знакът на неравенството ще се промени на обратния.

При решаването на това неравенство използвахме и двете еднакви трансформации: преместихме всички числа вдясно от знака и разделихме двете страни на съотношението на отрицателно число.

Нашата програма е калкулатор за решаване на числени неравенства, които не съдържат неизвестни. Програмата съдържа следните теореми за съотношенията на три числа:

• ако< B то A–C< B–C;
• ако A > B, тогава A–C > B–C.

Вместо да изваждате членове A-C, можете да посочите всяка аритметична операция: събиране, умножение или деление. По този начин калкулаторът автоматично ще представи неравенствата на суми, разлики, произведения или дроби.

Заключение

В реалния живот неравенствата са толкова често срещани, колкото и уравненията. Естествено, в ежедневието може да не са необходими знания за разрешаването на неравенства. В приложните науки обаче неравенствата и техните системи се използват широко. Например, различни изследвания на проблемите на глобалната икономика се свеждат до съставянето и отприщването на системи от линейни или квадратни неравенства, а някои неравни отношения служат като недвусмислен начин за доказване на съществуването на определени обекти. Използвайте нашите програми, за да решите линейни неравенства или да проверите вашите собствени изчисления.

Формата ax 2 + bx + 0 0, където (вместо знака > може, разбира се, да има всеки друг знак за неравенство). Имаме всички факти от теорията, необходими за решаването на такива неравенства, които сега ще проверим.

Пример 1. Решете неравенството:

а) x 2 - 2x - 3 > 0; б) x 2 - 2x - 3< 0;
в) x 2 - 2x - 3 > 0; г) x 2 - 2x - 3< 0.
Решение,

а) Помислете за параболата y \u003d x 2 - 2x - 3, показана на фиг. 117.

Да се ​​реши неравенството x 2 - 2x - 3 > 0 - това означава да се отговори на въпроса, за кои стойности на x ординатите на точките на параболата са положителни.

Забелязваме, че y > 0, т.е. графиката на функцията е разположена над оста x, при x< -1 или при х > 3.

Следователно решенията на неравенството са всички точки от отвореното лъч(- 00 , - 1), както и всички точки на отворения лъч (3, +00).

Използвайки знака U (знак на обединението на множества), отговорът може да се запише по следния начин: (-00 , - 1) U (3, +00). Отговорът обаче може да бъде написан и така:< - 1; х > 3.

б) Неравенство x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: графикразположен под оста x, ако -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

в) Неравенството x 2 - 2x - 3 > 0 се различава от неравенството x 2 - 2x - 3 > 0 по това, че отговорът трябва да включва и корените на уравнението x 2 - 2x - 3 = 0, т.е. точки x = - 1

и x \u003d 3. По този начин решенията на това нестрого неравенство са всички точки на гредата (-00, - 1], както и всички точки на гредата.

Практическите математици обикновено казват това: защо ние, решавайки неравенството ax 2 + bx + c > 0, внимателно изграждаме параболна графика на квадратична функция

y \u003d ax 2 + bx + c (както беше направено в пример 1)? Достатъчно е да направите схематична скица на графиката, за която трябва само да намерите корениквадратен трином (точката на пресичане на параболата с оста x) и определете къде са насочени клоните на параболата - нагоре или надолу. Тази схематична скица ще даде визуална интерпретация на решението на неравенството.

Пример 2Решете неравенството - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Решение.

1) Намерете корените на квадратния трином - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; x 2 = - 1,5.

2) Параболата, която служи като графика на функцията y \u003d -2x 2 + Zx + 9, пресича оста x в точки 3 и - 1.5, а клоните на параболата са насочени надолу, тъй като по-старата коефициент- отрицателно число - 2. На фиг. 118 е скица на графика.

3) Използвайки фиг. 118, заключаваме:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Отговор: х< -1,5; х > 3.

Пример 3Решете неравенството 4x 2 - 4x + 1< 0.
Решение.

1) От уравнението 4x 2 - 4x + 1 = 0 намираме.

2) Квадратният трином има един корен; това означава, че параболата, служеща като графика на квадратен трином, не пресича оста x, а я докосва в точката. Клоновете на параболата са насочени нагоре (фиг. 119.)

3) Използвайки геометричния модел, показан на фиг. 119 установяваме, че посоченото неравенство е изпълнено само в точката, тъй като за всички други стойности на x ординатите на графиката са положителни.
Отговор: .
Вероятно сте забелязали, че всъщност в примери 1, 2, 3 е добре дефинирано алгоритъмрешавайки квадратни неравенства, ще го формализираме.

Алгоритъмът за решаване на квадратното неравенство ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

Първата стъпка от този алгоритъм е да се намерят корените на квадратен трином. Но корените може да не съществуват, така че какво да правя? Тогава алгоритъмът е неприложим, което означава, че е необходимо да се разсъждава по различен начин. Ключът към тези аргументи е даден от следните теореми.

С други думи, ако Д< 0, а >0, то неравенството ax 2 + bx + c > 0 е изпълнено за всички x; напротив, неравенството ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Доказателство. график функции y \u003d ax 2 + bx + c е парабола, чиито клони са насочени нагоре (тъй като a > 0) и която не пресича оста x, тъй като квадратният трином няма корени по условие. Графиката е показана на фиг. 120. Виждаме, че за всички x графиката е разположена над оста x, което означава, че за всички x е изпълнено неравенството ax 2 + bx + c > 0, което се изискваше да се докаже.

С други думи, ако Д< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 няма решения.

Доказателство. Графиката на функцията y \u003d ax 2 + bx + c е парабола, клоните на която са насочени надолу (тъй като a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Пример 4. Решете неравенството:

а) 2x 2 - x + 4 > 0; б) -x 2 + Zx - 8 > 0.

а) Намерете дискриминанта на квадратния трином 2x 2 - x + 4. Имаме D = (-1) 2 - 4 2 4 = - 31< 0.
Старшият коефициент на тричлена (число 2) е положителен.

Следователно по теорема 1 за всички x неравенството 2x 2 - x + 4 > 0 е изпълнено, т.е. решението на даденото неравенство е цялото (-00, + 00).

б) Намерете дискриминанта на квадратния трином - x 2 + Zx - 8. Имаме D = Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Отговор: а) (-00, + 00); б) няма решения.

В следващия пример ще се запознаем с друг начин на разсъждение, който се използва при решаване на квадратни неравенства.

Пример 5Решете неравенството 3x 2 - 10x + 3< 0.
Решение. Нека разложим на множители квадратния трином 3x 2 - 10x + 3. Корените на тричлена са числата 3 и следователно, използвайки ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), получаваме Zx 2 - 10x + 3 = 3 (x - 3) (x - )
Отбелязваме на числовата права корените на тричлена: 3 и (фиг. 122).

Нека x > 3; тогава x-3>0 и x->0, и следователно произведението 3(x - 3)(x - ) е положително. След това нека< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Следователно произведението 3(x-3)(x-) е отрицателно. И накрая, нека x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) е положително.

Обобщавайки разсъжденията, стигаме до заключението: знаците на квадратния трином Zx 2 - 10x + 3 се променят, както е показано на фиг. 122. Интересуваме се за какво х квадратният трином приема отрицателни стойности. От фиг. 122 заключаваме: квадратният тричлен 3x 2 - 10x + 3 приема отрицателни стойности за всяка стойност на x от интервала (, 3)
Отговор (, 3) или< х < 3.

Коментирайте. Методът на разсъждение, който приложихме в пример 5, обикновено се нарича метод на интервалите (или метод на интервалите). Той се използва активно в математиката за решаване рационалнонеравенства. В 9. клас ще изучаваме метода на интервалите по-подробно.

Пример 6. При какви стойности на параметъра p е квадратното уравнение x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
а) има два различни корена;

б) има един корен;

в) няма корени?

Решение. Броят на корените на квадратното уравнение зависи от знака на неговия дискриминант D. В този случай намираме D \u003d 25 - 4p 2.

а) Квадратното уравнение има два различни корена, ако D> 0, тогава задачата се свежда до решаване на неравенството 25 - 4p 2 > 0. Умножаваме двете части на това неравенство по -1 (като не забравяме да сменим знака на неравенството). Получаваме еквивалентно неравенство 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Знаците на израза 4(p - 2.5) (p + 2.5) са показани на фиг. 123.

Заключаваме, че неравенството 4(p - 2.5)(p + 2.5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

б) квадратно уравнениеима един корен, ако D е 0.
Както казахме по-горе, D = 0 при p = 2,5 или p = -2,5.

Именно за тези стойности на параметъра p това квадратно уравнение има само един корен.

в) Квадратното уравнение няма корени, ако D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Получаваме 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2.5) (p + 2.5)> 0, откъдето (виж фиг. 123) p< -2,5; р >2.5. За тези стойности на параметъра p това квадратно уравнение няма корени.

Отговор: а) при p (-2,5, 2,5);

б) при p = 2,5 или p = -2,5;
в) при r< - 2,5 или р > 2,5.

Мордкович А. Г., алгебра. 8 клас: Проб. за общо образование институции.- 3-то изд., финализиран. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с.: ил.

Помогнете на ученик онлайн, Математика за 8 клас изтегляне, календарно-тематично планиране

виж също Решаване на проблем с линейно програмиране графично, Канонична форма на задачи за линейно програмиране

Системата от ограничения за такъв проблем се състои от неравенства в две променливи:
а целевата функция има формата Ф = ° С 1 х + ° С 2 г, което трябва да се максимизира.

Нека да отговорим на въпроса: какви двойки числа ( х; г) решенията на системата от неравенства ли са, т.е. удовлетворяват ли всяко едно от неравенствата едновременно? С други думи, какво означава да се реши една система графично?
Първо трябва да разберете какво е решението на едно линейно неравенство с две неизвестни.
Решаването на линейно неравенство с две неизвестни означава да се определят всички двойки стойности на неизвестните, за които неравенството е изпълнено.
Например неравенство 3 х – 5г≥ 42 удовлетворяват двойките ( х , г) : (100, 2); (3, –10) и т.н. Проблемът е да се намерят всички такива двойки.
Помислете за две неравенства: брадва + от≤ ° С, брадва + от≥ ° С. Направо брадва + от = ° Сразделя равнината на две полуравнини, така че координатите на точките на една от тях удовлетворяват неравенството брадва + от >° С, и другото неравенство брадва + +от <° С.
Всъщност вземете точка с координати х = х 0; след това точка, лежаща на права линия и имаща абциса х 0 , има ордината

Нека за определеност а<0, б>0, ° С>0. Всички точки са с абсцис х 0 по-горе П(напр. точка М), имам y М>г 0 и всички точки под точката П, с абциса х 0 , имам yN<г 0 . Дотолкова доколкото х 0 е произволна точка, тогава винаги ще има точки от едната страна на правата, за които брадва+ от > ° С, образувайки полуравнина, а от друга страна, точки за които брадва + от< ° С.

Снимка 1

Знакът на неравенството в полуравнината зависи от числата а, б , ° С.
Това предполага следния метод за графично решение на системи от линейни неравенства в две променливи. За да разрешите системата, трябва:

1. За всяко неравенство запишете уравнението, съответстващо на даденото неравенство.
2. Конструирайте линии, които са графики на функции, дадени от уравнения.
3. За всяка права линия определете полуравнината, която се дава от неравенството. За да направите това, вземете произволна точка, която не лежи на права линия, заменете нейните координати в неравенството. ако неравенството е вярно, тогава полуравнината, съдържаща избраната точка, е решението на първоначалното неравенство. Ако неравенството е невярно, тогава полуравнината от другата страна на правата е множеството от решения на това неравенство.
4. За да се реши система от неравенства, е необходимо да се намери площта на пресичане на всички полуравнини, които са решение на всяко неравенство в системата.

Тази област може да се окаже празна, тогава системата от неравенства няма решения, тя е непоследователна. В противен случай системата се казва, че е последователна.
Решенията могат да бъдат крайно число и безкрайно множество. Площта може да бъде затворен многоъгълник или може да бъде неограничена.

Нека разгледаме три подходящи примера.

Пример 1. Решете графично системата:
х + y- 1 ≤ 0;
–2х- 2г + 5 ≤ 0.

• разгледайте уравненията x+y–1=0 и –2x–2y+5=0, съответстващи на неравенствата;
• нека построим правите, дадени от тези уравнения.

Фигура 2

Нека дефинираме полуравнините, дадени от неравенствата. Вземете произволна точка, нека (0; 0). Обмисли х+ у- 1 0 заместваме точката (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. следователно, в полуравнината, където се намира точката (0; 0), х + г – 1 ≤ 0, т.е. полуравнината, лежаща под правата линия, е решението на първото неравенство. Замествайки тази точка (0; 0) във втората, получаваме: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуравнината, където лежи точката (0; 0), -2 х – 2г+ 5≥ 0 и ни попитаха къде -2 х – 2г+ 5 ≤ 0, следователно, в друга полуравнина - в тази над правата линия.
Намерете пресечната точка на тези две полуравнини. Правите са успоредни, така че равнините не се пресичат никъде, което означава, че системата от тези неравенства няма решения, тя е непоследователна.

Пример 2. Намерете графично решения на системата от неравенства:

Фигура 3
1. Запишете уравненията, съответстващи на неравенствата, и постройте прави.
х + 2г– 2 = 0

х	2	0
г	0	1

г – х – 1 = 0

х	0	2
г	1	3

г + 2 = 0;
г = –2.
2. След като избрахме точката (0; 0), определяме знаците на неравенствата в полуравнините:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, т.е. х + 2г– 2 ≤ 0 в полуравнината под правата линия;
0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. г –х– 1 ≤ 0 в полуравнината под правата линия;
0 + 2 =2 ≥ 0, т.е. г+ 2 ≥ 0 в полуравнината над правата.
3. Пресечната точка на тези три полуравнини ще бъде площ, която е триъгълник. Не е трудно да се намерят върховете на областта като точки на пресичане на съответните линии


По този начин, НО(–3; –2), IN(0; 1), ОТ(6; –2).

Нека разгледаме още един пример, в който получената област на решението на системата не е ограничена.

Решаване на неравенства онлайн

Преди да решите неравенствата, е необходимо да разберете добре как се решават уравненията.

Няма значение дали неравенството е строго () или нестрого (≤, ≥), първата стъпка е да решите уравнението, като замените знака за неравенство с равенство (=).

Обяснете какво означава да разрешите неравенство?

След като изучава уравненията, ученикът има следната картина в главата си: трябва да намерите такива стойности на променливата, за които и двете части на уравнението приемат едни и същи стойности. С други думи, намерете всички точки, където важи равенството. Всичко е правилно!

Когато се говори за неравенства, те имат предвид намирането на интервалите (отсечките), на които важи неравенството. Ако в неравенството има две променливи, тогава решението вече няма да бъде интервали, а някои области в равнината. Познайте какво ще бъде решението на неравенството в три променливи?

Как да решим неравенствата?

Методът на интервалите (известен още като методът на интервалите) се счита за универсален начин за решаване на неравенства, който се състои в определяне на всички интервали, в рамките на които ще бъде изпълнено даденото неравенство.

Без да навлизаме в вида на неравенството, в този случай това не е същността, необходимо е да се реши съответното уравнение и да се определят неговите корени, последвано от обозначаването на тези решения по числовата ос.

Какъв е правилният начин да се запише решението на неравенство?

Когато сте определили интервалите за решаване на неравенството, трябва правилно да напишете самото решение. Има важен нюанс - границите на интервалите са включени в решението?

Тук всичко е просто. Ако решението на уравнението удовлетворява ODZ и неравенството не е строго, тогава границата на интервала се включва в решението на неравенството. Иначе не.

Като се има предвид всеки интервал, решението на неравенството може да бъде самият интервал, или полуинтервал (когато една от границите му удовлетворява неравенството), или сегмент - интервал заедно с неговите граници.

Важен момент

Не мислете, че само интервали, полуинтервали и сегменти могат да бъдат решение на неравенство. Не, в решението могат да бъдат включени и отделни точки.

Например, неравенството |x|≤0 има само едно решение - точка 0.

И неравенството |x|

За какво е калкулаторът за неравенство?

Калкулаторът за неравенство дава правилния краен отговор. В този случай в повечето случаи се дава илюстрация на числовата ос или равнина. Можете да видите дали границите на интервалите са включени в решението или не - точките се показват запълнени или пробити.

Благодарение на онлайн калкулатора за неравенство можете да проверите дали сте намерили правилно корените на уравнението, отбелязали сте ги на числовата права и сте проверили условията за неравенство на интервалите (и границите)?

Ако отговорът ви се различава от отговора на калкулатора, тогава определено трябва да проверите отново решението си и да идентифицирате допуснатата грешка.

Неравенствое израз с, ≤ или ≥. Например, 3x - 5 Да се ​​реши неравенство означава да се намерят всички стойности на променливите, за които това неравенство е вярно. Всяко от тези числа е решение на неравенството, а множеството от всички такива решения е негово много решения. Наричат ​​се неравенства, които имат еднакъв набор от решения еквивалентни неравенства.

Линейни неравенства

Принципите за решаване на неравенства са подобни на принципите за решаване на уравнения.

Принципи за решаване на неравенства
За всякакви реални числа a, b и c:
Принципът на добавяне на неравенства: Ако Принцип на умножение за неравенства: Ако a 0 е вярно, тогава ac ​​Ако a bc също е вярно.
Подобни твърдения важат и за a ≤ b.

Когато двете страни на неравенството се умножат по отрицателно число, знакът на неравенството трябва да бъде обърнат.
Неравенствата от първо ниво, както в пример 1 (по-долу), се наричат линейни неравенства.

Пример 1Решете всяко от следните неравенства. След това начертайте набор от решения.
а) 3x - 5 б) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Решение
Всяко число по-малко от 11/5 е решение.
Множеството от решения е (x|x
За да направим проверка, можем да начертаем y 1 = 3x - 5 и y 2 = 6 - 2x. Тогава от тук може да се види, че за x
Наборът от решения е (x|x ≤ 1) или (-∞, 1). Графиката на набора от решения е показана по-долу.

Двойни неравенства

Когато две неравенства са свързани с една дума И, или, тогава се образува двойно неравенство. Двойно неравенство като
-3 И 2x + 5 ≤ 7
Наречен свързанизащото използва И. Запис -3 Двойните неравенства могат да бъдат решени с помощта на принципите на събиране и умножение на неравенствата.

Пример 2Решете -3 РешениеНие имаме

Набор от решения (x|x ≤ -1 или x > 3). Можем също да напишем решението, като използваме нотацията за разстояние и символа за асоциацииили включвания на двете групи: (-∞ -1] (3, ∞). Графиката на набора от решения е показана по-долу.

За да тествате, начертайте y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 и y 3 = 1. Обърнете внимание, че за (x|x ≤ -1 или x > 3), y 1 ≤ y 2 или y 1 > y 3 .

Неравенства с абсолютна стойност (модул)

Неравенствата понякога съдържат модули. За решаването им се използват следните свойства.
За a > 0 и алгебричен израз x:
|x| |x| > a е еквивалентно на x или x > a.
Подобни твърдения за |x| ≤ a и |x| ≥ а.

Например,
|x| |y| ≥ 1 е еквивалентно на y ≤ -1 или y ≥ 1;
и |2x + 3| ≤ 4 е еквивалентно на -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Пример 4Решете всяко от следните неравенства. Начертайте набора от решения.
а) |3x + 2| б) |5 - 2x| ≥ 1

Решение
а) |3x + 2|

Наборът от решения е (x|-7/3
б) |5 - 2x| ≥ 1
Множеството от решения е (x|x ≤ 2 или x ≥ 3), или (-∞, 2] )