Trigonometrik jadval. Sinus, kosinus, tangens va kotangens - matematikadan yagona davlat imtihonida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsa

Bir nuqtada markazlashtirilgan A.
α - radianlarda ifodalangan burchak.

Ta'rif
Sinus (sin a) gipotenuza va to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i orasidagi a burchakka bog'liq bo'lgan trigonometrik funktsiya, qarama-qarshi oyoq uzunligining nisbatiga teng |BC| gipotenuzaning uzunligiga |AC|.

Kosinus (cos a) gipotenuza va to‘g‘ri burchakli uchburchakning oyog‘i orasidagi a burchakka bog‘liq bo‘lgan trigonometrik funksiya bo‘lib, qo‘shni oyoq uzunligining nisbatiga teng |AB| gipotenuzaning uzunligiga |AC|.

Qabul qilingan belgilar

;
;
.

Sinus funksiya grafigi, y = sin x

Kosinus funksiyasining grafigi, y = cos x

Sinus va kosinusning xossalari

Davriylik

Funktsiyalar y = gunoh x va y = chunki x davr bilan davriy 2p.

Paritet

Sinus funktsiyasi g'alati. Kosinus funksiyasi juft.

Ta'rif va qadriyatlar sohasi, ekstremal, o'sish, pasayish

Sinus va kosinus funktsiyalari o'z ta'rif sohalarida uzluksizdir, ya'ni barcha x uchun (uzluksizlik isbotiga qarang). Ularning asosiy xossalari jadvalda keltirilgan (n - butun son).

	y = gunoh x	y = chunki x
Qamrov va davomiylik	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Qiymatlar diapazoni	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Ortib bormoqda
Pastga
Maksima, y = 1
Minima, y = - 1
Nollar, y = 0
Ordinata o'qi bilan kesishgan nuqtalar, x = 0	y = 0	y = 1

Asosiy formulalar

Sinus va kosinus kvadratlarining yig'indisi

Yig'indi va farqdan sinus va kosinus formulalari

;
;

Sinuslar va kosinuslar hosilasi uchun formulalar

Yig'indi va ayirma formulalari

Kosinus orqali sinusni ifodalash

;
;
;
.

Kosinusni sinus orqali ifodalash

;
;
;
.

Tangens orqali ifodalash

; .

Qachon, bizda:
; .

Da :
; .

Sinuslar va kosinuslar, tangenslar va kotangentlar jadvali

Ushbu jadvalda argumentning ma'lum qiymatlari uchun sinuslar va kosinuslar qiymatlari ko'rsatilgan.

Murakkab o'zgaruvchilar orqali ifodalar

;

Eyler formulasi

Giperbolik funksiyalar orqali ifodalar

;
;

Hosilalar

; . Formulalarni chiqarish > > >

n-tartibli hosilalar:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Teskari funksiyalar

Sinus va kosinusning teskari funksiyalari mos ravishda arksinus va arkkosindir.

Arksin, arksin

Arkkosin, arkkos

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.

Ushbu maqola o'z ichiga oladi sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlar jadvallari. Birinchidan, biz trigonometrik funktsiyalarning asosiy qiymatlari jadvalini, ya'ni 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 daraja burchaklarning sinuslari, kosinuslari, tangenslari va kotangentlari jadvalini beramiz ( 0, p/6, p/4, p/3, p/2, …, 2p radian). Shundan so'ng biz sinuslar va kosinuslar jadvalini, shuningdek V. M. Bradisning tangens va kotangentlar jadvalini beramiz va trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini topishda ushbu jadvallardan qanday foydalanishni ko'rsatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

0, 30, 45, 60, 90, ... daraja burchaklar uchun sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlar jadvali

Adabiyotlar ro'yxati.

Algebra: Darslik 9-sinf uchun. o'rtacha maktab/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovskiy. - M.: Ta'lim, 1990. - 272 b.: kasal. - ISBN 5-09-002727-7
Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi: Darslik. 10-11 sinflar uchun. o'rtacha maktab - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 1993. - 351 b.: kasal. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 sinflar uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn va boshqalar; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14-nashr - M.: Ta'lim, 2004. - 384 pp.: kasal. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.
Bradis V. M. To'rt xonali matematik jadvallar: Umumiy ta'lim uchun. darslik muassasalar. - 2-nashr. - M.: Bustard, 1999.- 96 b.: kasal. ISBN 5-7107-2667-2

Biz trigonometriyani o'rganishni to'g'ri uchburchakdan boshlaymiz. Keling, sinus va kosinus nima ekanligini, shuningdek, o'tkir burchakning tangensi va kotangensini aniqlaymiz. Bu trigonometriyaning asoslari.

Shuni eslatib o'tamiz to'g'ri burchak 90 gradusga teng burchak hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, yarim burilish burchagi.

O'tkir burchak- 90 darajadan kam.

O'tkir burchak- 90 darajadan yuqori. Bunday burchakka nisbatan "to'liq" haqorat emas, balki matematik atama :-)

Keling, to'g'ri burchakli uchburchak chizamiz. To'g'ri burchak odatda bilan belgilanadi. E'tibor bering, burchakka qarama-qarshi tomon bir xil harf bilan ko'rsatilgan, faqat kichik. Shunday qilib, qarama-qarshi tomon A burchak belgilanadi.

Burchak mos keladigan yunoncha harf bilan belgilanadi.

Gipotenuza to'g'ri burchakli uchburchakning to'g'ri burchakka qarama-qarshi tomonidir.

Oyoqlar- o'tkir burchaklarga qarama-qarshi yotgan tomonlar.

Burchakka qarama-qarshi yotgan oyoq deyiladi qarama-qarshi(burchakka nisbatan). Burchakning yon tomonlaridan birida yotadigan boshqa oyoq deyiladi qo'shni.

Sinus To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati:

Kosinus To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:

Tangent To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qarama-qarshi tomonning qo'shniga nisbati:

Boshqa (ekvivalent) ta'rif: o'tkir burchakning tangensi - bu burchak sinusining uning kosinusiga nisbati:

Kotangent To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak - qo'shni tomonning qarama-qarshi tomonga nisbati (yoki bir xil bo'lgan kosinusning sinusga nisbati):

Quyida sinus, kosinus, tangens va kotangens uchun asosiy munosabatlarga e'tibor bering. Muammolarni hal qilishda ular bizga foydali bo'ladi.

Keling, ulardan ba'zilarini isbotlaylik.

OK, biz ta'riflar berdik va formulalarni yozdik. Lekin nima uchun bizga hali ham sinus, kosinus, tangens va kotangens kerak?

Biz buni bilamiz har qanday uchburchak burchaklarining yig'indisi ga teng.

o'rtasidagi munosabatni bilamiz partiyalar to'g'ri uchburchak. Bu Pifagor teoremasi: .

Ma'lum bo'lishicha, uchburchakda ikkita burchakni bilib, uchinchisini topishingiz mumkin. To'g'ri burchakli uchburchakning ikki tomonini bilib, uchinchisini topishingiz mumkin. Bu shuni anglatadiki, burchaklar o'z nisbatlariga ega, tomonlar esa o'zlariga ega. Ammo agar siz to'g'ri burchakli uchburchakda bitta burchakni (to'g'ri burchakdan tashqari) va bir tomonni bilsangiz, nima qilish kerak, lekin boshqa tomonlarni topishingiz kerak?

Ilgari odamlar bu hudud va yulduzli osmon xaritalarini tuzishda duch kelgan narsadir. Axir, uchburchakning barcha tomonlarini to'g'ridan-to'g'ri o'lchash har doim ham mumkin emas.

Sinus, kosinus va tangens - ular ham deyiladi trigonometrik burchak funktsiyalari- o'rtasidagi munosabatlarni berish partiyalar Va burchaklar uchburchak. Burchakni bilib, uning barcha trigonometrik funktsiyalarini maxsus jadvallar yordamida topishingiz mumkin. Va uchburchak burchaklarining sinuslari, kosinuslari va tangenslarini va uning tomonlarini bilib, qolgan qismini topishingiz mumkin.

Bundan tashqari, "yaxshi" burchaklar uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari jadvalini tuzamiz.

Jadvaldagi ikkita qizil chiziqqa e'tibor bering. Tegishli burchak qiymatlarida tangens va kotangens mavjud emas.

Keling, FIPI vazifalar bankidan bir nechta trigonometriya masalalarini ko'rib chiqaylik.

1. Uchburchakda burchak , ga teng. Toping.

Muammo to'rt soniya ichida hal qilinadi.

Chunki , .

2. Uchburchakda burchak , , . Toping.

Pifagor teoremasi yordamida topamiz.

Muammo hal qilindi.

Ko'pincha muammolarda burchakli va yoki burchakli uchburchaklar mavjud. Ular uchun asosiy nisbatlarni yoddan eslang!

Burchaklari va burchakka qarama-qarshi oyog'i bo'lgan uchburchak uchun at ga teng gipotenuzaning yarmi.

Burchakli uchburchak va teng yon tomonli. Unda gipotenuza oyoqdan bir necha marta kattaroqdir.

Biz to'g'ri burchakli uchburchaklarni yechish masalalarini ko'rib chiqdik - ya'ni noma'lum tomonlar yoki burchaklarni topish. Lekin bu hammasi emas! Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonida ko'plab vazifalar mavjud uchburchakning tashqi burchagining sinusi, kosinusu, tangensi yoki kotangensi. Bu haqda keyingi maqolada batafsil.

TRIGONOMETRIK FUNKSIYALARNING QIMMATLARI JADVALI

Trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvali 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 va 360 gradus burchaklar va vradiandagi mos burchak qiymatlari uchun tuzilgan. Jadvalda trigonometrik funktsiyalardan sinus, kosinus, tangens, kotangent, sekant va kosekant ko'rsatilgan. Maktab misollarini echish qulayligi uchun jadvaldagi trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari sonlarning kvadrat ildizini olish belgilarini saqlab qolgan holda kasr shaklida yoziladi, bu ko'pincha murakkab matematik ifodalarni kamaytirishga yordam beradi. Tangens va kotangens uchun ba'zi burchaklarning qiymatlarini aniqlab bo'lmaydi. Bunday burchaklarning tangens va kotangens qiymatlari uchun trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvalida chiziqcha mavjud. Bunday burchaklarning tangensi va kotangensi cheksizlikka teng ekanligi umumiy qabul qilingan. Alohida sahifada trigonometrik funktsiyalarni kamaytirish uchun formulalar mavjud.

Trigonometrik sinus funktsiyasi uchun qiymatlar jadvali quyidagi burchaklar uchun qiymatlarni ko'rsatadi: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 daraja, bu mos keladi. sin 0 pi, sin pi/6 , sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi burchaklarning radian o‘lchovida. Sinuslar maktab jadvali.

Trigonometrik kosinus funktsiyasi uchun jadvalda quyidagi burchaklar uchun qiymatlar ko'rsatilgan: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360, bu cos 0 pi ga to'g'ri keladi. , burchaklarning radian o'lchovida cos pi 6, cos pi 4, cos pi 3, cos pi 2, cos pi, cos 3 pi 2, cos 2 pi. Kosinuslar maktab jadvali.

Trigonometrik tangens funksiyasi uchun trigonometrik jadval quyidagi burchaklar uchun qiymatlarni beradi: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360, bu tg 0 pi, tg pi/6 ga mos keladi, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi burchaklarning radian o'lchovida. Trigonometrik tangens funksiyalarining quyidagi qiymatlari tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 aniqlanmagan va cheksizlikka teng deb hisoblanadi.

Trigonometrik funktsiya kotangenti uchun trigonometrik jadvalda quyidagi burchaklarning qiymatlari berilgan: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270, bu ctg pi/6, ctg pi/4 ga mos keladi. , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 burchaklarning radian o'lchovida. Trigonometrik kotangent funksiyalarning quyidagi qiymatlari aniqlanmagan ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi va cheksizlikka teng deb hisoblanadi.

Trigonometrik funktsiyalarning sekant va kosekant qiymatlari sinus, kosinus, tangens, kotangens kabi daraja va radianlarda bir xil burchaklar uchun berilgan.

Nostandart burchaklarning trigonometrik funktsiyalari qiymatlari jadvalida 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 daraja burchaklar uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari va pi/12 radianlarda ko'rsatilgan. , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radian. Maktab misollarida kasrlarni kamaytirishni osonlashtirish uchun trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari kasrlar va kvadrat ildizlar bilan ifodalanadi.

Yana uchta trigonometriya hayvonlari. Birinchisi, 1,5 bir yarim daraja tangensi yoki pi ning 120 ga bo'linishi. Ikkinchisi, pi kosinasi 240 ga bo'lingan, pi/240. Eng uzuni - pi kosinasi 17 ga bo'lingan, pi/17.

Sinus va kosinus funktsiyalari qiymatlarining trigonometrik doirasi burchakning kattaligiga qarab sinus va kosinus belgilarini vizual tarzda ifodalaydi. Ayniqsa blondalar uchun chalkashlikni kamaytirish uchun kosinus qiymatlari yashil chiziq bilan chizilgan. Radianlar pi bilan ifodalanganda darajalarni radianga aylantirish ham juda aniq ko'rsatilgan.

Ushbu trigonometrik jadvalda bir daraja oraliqda 0 noldan 90 to'qson darajagacha bo'lgan burchaklar uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari keltirilgan. Birinchi qirq besh daraja uchun trigonometrik funktsiyalarning nomlari jadvalning yuqori qismida ko'rib chiqilishi kerak. Birinchi ustun darajalarni o'z ichiga oladi, keyingi to'rtta ustunda sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlar qiymatlari yoziladi.

Qirq besh darajadan to'qson gradusgacha bo'lgan burchaklar uchun trigonometrik funktsiyalarning nomlari jadvalning pastki qismida yoziladi. Oxirgi ustun darajalarni o'z ichiga oladi; kosinuslar, sinuslar, kotangentlar va tangenslarning qiymatlari oldingi to'rtta ustunda yozilgan. Siz ehtiyot bo'lishingiz kerak, chunki trigonometrik jadvalning pastki qismidagi trigonometrik funktsiyalarning nomlari jadvalning yuqori qismidagi nomlardan farq qiladi. Sinuslar va kotangenslar xuddi tangens va kotangens kabi almashinadi. Bu trigonometrik funktsiyalar qiymatlarining simmetriyasi bilan bog'liq.

Trigonometrik funktsiyalarning belgilari yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan. Sinus 0 dan 180 darajagacha yoki 0 dan pigacha ijobiy qiymatlarga ega. Sinus 180 dan 360 darajagacha yoki pi dan 2 pi gacha salbiy qiymatlarga ega. Kosinus qiymatlari 0 dan 90 gacha va 270 dan 360 darajagacha ijobiy yoki 0 dan 1/2 pi va 3/2 dan 2 pi gacha. Tangens va kotangens 0 dan 90 darajagacha va 180 dan 270 darajagacha bo'lgan ijobiy qiymatlarga ega bo'lib, 0 dan 1/2 pi va pi dan 3/2 pi gacha bo'lgan qiymatlarga mos keladi. Tangens va kotangensning salbiy qiymatlari 90 dan 180 darajagacha va 270 dan 360 darajagacha yoki 1/2 pi dan pi va 3/2 pi dan 2 pi gacha. 360 gradus yoki 2 pi dan katta burchaklar uchun trigonometrik funktsiyalarning belgilarini aniqlashda ushbu funktsiyalarning davriylik xususiyatlaridan foydalanish kerak.

Trigonometrik funksiyalar sinus, tangens va kotangens toq funksiyalardir. Salbiy burchaklar uchun ushbu funktsiyalarning qiymatlari salbiy bo'ladi. Kosinus teng trigonometrik funktsiyadir - manfiy burchak uchun kosinus qiymati ijobiy bo'ladi. Trigonometrik funktsiyalarni ko'paytirish va bo'lishda belgi qoidalariga rioya qilish kerak.

Trigonometrik sinus funktsiyasi uchun qiymatlar jadvali quyidagi burchaklar uchun qiymatlarni ko'rsatadi
Hujjat
Alohida sahifada qisqartirish formulalari mavjud trigonometrikfunktsiyalari. IN stolqiymatlarUchuntrigonometrikfunktsiyalarisinusberilganqiymatlarUchunquyidagiburchaklar: gunoh 0, gunoh 30, gunoh 45 ...
Taklif etilayotgan matematik apparat har qanday miqdordagi erkinlik darajasi n bo'lgan n o'lchovli giperkompleks sonlar uchun kompleks hisoblashning to'liq analogidir va chiziqli bo'lmagan sonlarni matematik modellashtirish uchun mo'ljallangan.
Hujjat
... funktsiyalari teng funktsiyalari Tasvirlar. Bu teoremadan kerak, Nima Uchun U, V koordinatalarini topish, hisoblash kifoya funktsiyasi... geometriya; polinar funktsiyalari(ikki o'lchovli ko'p o'lchovli analoglar trigonometrikfunktsiyalari), ularning xususiyatlari, jadvallar va ariza; ...
Biz ham tavsiya qilamiz