To'rtburchak uchburchakning maydoni nima? Uchburchakning maydonini qanday topish mumkin (formulalar)

Elementar geometriyada toʻgʻri burchakli uchburchak nuqtalar bilan bogʻlangan, ikkitasi oʻtkir va biri toʻgʻri burchakli (yaʼni 90° ga teng) boʻlgan uchta segmentdan iborat figuradir. To'g'ri uchburchak bir qancha muhim xossalari bilan xarakterlanadi, ularning aksariyati trigonometriyaning asosini tashkil qiladi (masalan, uning tomonlari va burchaklari orasidagi munosabat). Maktabdan beri hammamiz qanday hisoblashni bilamiz to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni, va kundalik hayotda biz bu geometrik figuraga tez-tez duch kelamiz, ba'zida buni sezmasdan ham. U texnologiyada juda keng qo'llaniladi va shuning uchun muhandislar, dizaynerlar va arxitektorlar ko'pincha bunday muammoni hal qilishlari kerak.

Arxitektorlar pedimentli binolarni loyihalashda ushbu qiymatni aniqlashlari kerak, ular jabhalarning tugallangan qismidir va uchburchak shakli korniş bilan va yon tomonlarida tom yonbag'irlari bilan chegaralangan. Ko'pincha yamaqlar orasidagi burchak to'g'ri bo'ladi va bunday hollarda pediment to'g'ri burchakli uchburchak shakliga ega. Oddiy sababga ko'ra uning maydonini aniqlash kerak, chunki uni tartibga solish uchun zarur bo'lgan qurilish materiali miqdorini aniq bilish kerak. Shuni ta'kidlash kerakki, gables kam qavatli binolarning (qishloq uylari, kottejlar, dachalar) majburiy elementlari hisoblanadi.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini topish

a- oyoq

b- oyoq

S- to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni

Shakl to'g'ri uchburchak zamonaviy mebel ishlab chiqarilgan ko'plab detallarga ega. Ma'lumki, xona makonidan eng samarali foydalanish uchun jihozlarning barcha elementlari unda optimal tarzda joylashtirilishi kerak. Uchburchak shaklidagi stollar yordamida burchaklar kabi joylardan yaxshi foydalanishingiz mumkin, ularning tepalari ko'p hollarda devorlarga ulashgan oyoqlari bilan to'g'ri burchakli uchburchaklardir. Ushbu elementlarni loyihalash va hisoblashda mebel ishlab chiqarish dizaynerlari unga muvofiq formuladan foydalanadilar to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini topish uning yon tomonlari uzunligidan kelib chiqib amalga oshiriladi. Bundan tashqari, ular ko'pincha to'g'ridan-to'g'ri devorlarga biriktirilgan stollar uchun dizaynlarni ishlab chiqishlari kerak, ular qo'llab-quvvatlovchi elementlarni o'z ichiga oladi. to'g'ri uchburchaklar.

Qarama-qarshi ish bilan shug'ullanadigan quruvchilar ko'pincha kasbiy faoliyatlarida bir xil yoki turli uzunlikdagi oyoqlari bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak shaklidagi keramik plitkalardan foydalanishlari kerak. Kerakli sonni bilish uchun ular ushbu elementlarning maydonini ham aniqlashlari kerak.

Shakl to'g'ri uchburchak Bundan tashqari, kvadrat kabi muhim va kerakli o'lchash vositasi mavjud. U to'g'ri burchaklarni qurish va boshqarish uchun ishlatiladi va u juda keng va ko'pchilik tomonidan qo'llaniladi: geometriya darslarida oddiy maktab o'quvchilaridan tortib eng zamonaviy texnologiya dizaynerlarigacha.

To'g'ri uchburchak haqiqatda deyarli har bir burchakda topiladi. Berilgan figuraning xususiyatlarini bilish, shuningdek, uning maydonini hisoblash qobiliyati, shubhasiz, siz uchun nafaqat geometriya masalalarini echishda, balki hayotiy vaziyatlarda ham foydali bo'ladi.

Uchburchak geometriyasi

Elementar geometriyada to'g'ri burchakli uchburchak - bu uchta burchakni (ikkita o'tkir va bitta to'g'ri) tashkil etuvchi uchta bog'langan segmentdan iborat figuradir. To'g'ri burchakli uchburchak trigonometriyaning asosini tashkil etuvchi bir qator muhim xususiyatlar bilan tavsiflangan asl figuradir. Oddiy uchburchakdan farqli o'laroq, to'rtburchaklar shaklning tomonlari o'z nomlariga ega:

Gipotenuza uchburchakning to'g'ri burchakka qarama-qarshi bo'lgan eng uzun tomonidir.
Oyoqlar to'g'ri burchak hosil qiluvchi segmentlardir. Ko'rib chiqilayotgan burchakka qarab, oyoq unga qo'shni bo'lishi mumkin (bu burchakni gipotenuza bilan hosil qiladi) yoki qarama-qarshi (burchakka qarama-qarshi yotadi). To'g'ri bo'lmagan uchburchaklar uchun oyoqlar yo'q.

Trigonometriyaning asosini tashkil etuvchi oyoq va gipotenuzaning nisbati: sinuslar, tangenslar va sekantlar to'g'ri burchakli uchburchak tomonlarining nisbati sifatida aniqlanadi.

Haqiqatda to'g'ri uchburchak

Bu raqam haqiqatda keng tarqaldi. Uchburchaklar dizayn va texnologiyada qo'llaniladi, shuning uchun figuraning maydonini hisoblash muhandislar, me'morlar va dizaynerlar tomonidan amalga oshirilishi kerak. Tetraedrlar yoki prizmalarning asoslari - kundalik hayotda uchratish oson bo'lgan uch o'lchamli raqamlar uchburchak shakliga ega. Bundan tashqari, kvadrat haqiqatda "tekis" to'g'ri burchakli uchburchakning eng oddiy tasviridir. Kvadrat - bu maktab o'quvchilari va muhandislar tomonidan burchaklar qurish uchun ishlatiladigan metallga ishlov berish, chizish, qurilish va duradgorlik asbobidir.

Uchburchakning maydoni

Geometrik figuraning maydoni - bu uchburchak tomonlari bilan qancha tekislik chegaralanganligini miqdoriy baholash. Oddiy uchburchakning maydonini Heron formulasidan foydalanib yoki chizilgan yoki chegaralangan doiraning asosi, tomoni, burchagi va radiusi kabi o'zgaruvchilar yordamida beshta usulda topish mumkin. Hududning eng oddiy formulasi quyidagicha ifodalanadi:

Bu erda a - uchburchakning tomoni, h - balandligi.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblash formulasi oddiyroq:

Bu erda a va b - oyoqlar.

Onlayn kalkulyatorimiz bilan ishlashda siz uchta juft parametr yordamida uchburchakning maydonini hisoblashingiz mumkin:

ikki oyoq;
oyoq va qo'shni burchak;
oyoq va qarama-qarshi burchak.

Muammolar yoki kundalik vaziyatlarda sizga turli xil o'zgaruvchilar kombinatsiyasi beriladi, shuning uchun kalkulyatorning ushbu shakli uchburchakning maydonini bir necha usul bilan hisoblash imkonini beradi. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Haqiqiy hayot misollari

Seramika kafel

Aytaylik, siz oshxona devorlarini to'g'ri burchakli uchburchak shakliga ega bo'lgan keramik plitkalar bilan qoplashni xohlaysiz. Plitkalarning iste'molini aniqlash uchun siz bitta qoplama elementining maydonini va ishlov beriladigan sirtning umumiy maydonini topishingiz kerak. Aytaylik, siz 7 kvadrat metrni qayta ishlashingiz kerak. Bir elementning oyoqlarining uzunligi 19 sm, keyin plitkaning maydoni teng bo'ladi:

Bu shuni anglatadiki, bitta elementning maydoni 24,5 kvadrat santimetr yoki 0,01805 kvadrat metrni tashkil qiladi. Ushbu parametrlarni bilib, siz 7 kvadrat metr devorni tugatish uchun sizga 7/0,01805 = 387 ta qoplamali plitka elementi kerakligini hisoblashingiz mumkin.

Maktab vazifasi

Aytaylik, maktab geometriyasi muammosida siz to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini topishingiz kerak, faqat bitta oyog'ining tomoni 5 sm, qarama-qarshi burchak esa 30 daraja ekanligini bilib oling. Onlayn kalkulyatorimiz to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari va burchaklarini ko'rsatadigan rasm bilan birga keladi. Agar tomon a = 5 sm bo'lsa, uning qarama-qarshi burchagi alfa burchagi, 30 gradusga teng. Ushbu ma'lumotlarni kalkulyator formasiga kiriting va natijani oling:

Shunday qilib, kalkulyator nafaqat berilgan uchburchakning maydonini hisoblabgina qolmay, balki qo'shni oyoq va gipotenuzaning uzunligini, shuningdek, ikkinchi burchakning qiymatini ham aniqlaydi.

Xulosa

To'g'ri uchburchaklar bizning hayotimizda tom ma'noda har bir burchakda uchraydi. Bunday raqamlarning maydonini aniqlash nafaqat geometriya bo'yicha maktab topshiriqlarini echishda, balki kundalik va kasbiy faoliyatda ham foydali bo'ladi.

Uchburchakning turiga qarab, uning maydonini topish uchun bir nechta variant mavjud. Masalan, to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblash uchun S= a * b / 2 formulasidan foydalaning, bu erda a va b - uning oyoqlari. Agar siz teng yonli uchburchakning maydonini bilmoqchi bo'lsangiz, uning asosi va balandligi mahsulotini ikkiga bo'lishingiz kerak. Ya'ni, S= b*h / 2, bu erda b - uchburchakning asosi, h esa uning balandligi.

Keyinchalik, to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblashingiz kerak bo'lishi mumkin. Bu erda quyidagi formula yordamga keladi: S = a * a / 2, bu erda "a" va "a" oyoqlari bir xil qiymatlarga ega bo'lishi kerak.

Bundan tashqari, biz ko'pincha teng qirrali uchburchakning maydonini hisoblashimiz kerak. U quyidagi formula bo'yicha topiladi: S= a * h/ 2, bu erda a - uchburchakning tomoni, h - balandligi. Yoki ushbu formula bo'yicha: S= √3/ 4 *a^2, bu erda a - tomon.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini topish kerakmi, lekin muammo bayonoti bir vaqtning o'zida ikkita oyog'ining o'lchamlarini ko'rsatmaydi? Keyin biz ushbu formuladan (S= a * b / 2) to'g'ridan-to'g'ri foydalana olmaymiz.

Keling, bir nechta mumkin bo'lgan echimlarni ko'rib chiqaylik:

Agar siz bir oyoqning uzunligini bilmasangiz, lekin gipotenuzaning va ikkinchi oyoqning o'lchamlari berilgan bo'lsa, biz buyuk Pifagorga murojaat qilamiz va uning teoremasidan (a^2+b^2=c^2) foydalanamiz. Biz noma'lum oyoqning uzunligini hisoblaymiz, so'ngra uchburchakning maydonini hisoblash uchun foydalanamiz.
Bir oyoqning uzunligi va unga qarama-qarshi burchakning gradus qiyaligi berilgan bo'lsa: a=b*ctg(C) formulasi yordamida ikkinchi oyoq uzunligini topamiz.
Berilgan: bir oyoqning uzunligi va unga tutash burchakning graduslik qiyaligi: ikkinchi oyoq uzunligini topish uchun formuladan foydalanamiz - a=b*tg(C).
Va nihoyat, berilgan: gipotenuzaning burchagi va uzunligi: biz uning ikkala oyog'ining uzunligini quyidagi formulalar yordamida hisoblaymiz - b=c*sin(C) va a=c*cos(C).

Teng yonli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

Teng yonli uchburchakning maydonini S = b*h / 2 formulasi yordamida juda oson va tez topish mumkin, ammo agar ko'rsatkichlardan biri etishmayotgan bo'lsa, vazifa ancha murakkablashadi. Axir, qo'shimcha harakatlarni amalga oshirish kerak.

Mumkin vazifa variantlari:

Berilgan: tomonlardan birining uzunligi va taglikning uzunligi. Pifagor teoremasidan foydalanib, biz ikkinchi oyoqning balandligini, ya'ni uzunligini topamiz. Ikkiga bo'lingan taglikning uzunligi oyoq va dastlab ma'lum bo'lgan tomoni gipotenuza bo'lishi sharti bilan.
Berilgan: taglik va yon va taglik orasidagi burchak. Biz balandlikni h=c*ctg(B)/2 formulasi yordamida hisoblaymiz ("c" tomonini ikkiga bo'lishni unutmang).
Berilgan: asos va yon tomonidan hosil qilingan balandlik va burchak: balandlikni topish uchun c=h*tg(B)*2 formulasidan foydalanamiz va natijani ikkiga ko'paytiramiz. Keyin biz maydonni hisoblaymiz.
Ma'lum: tomonning uzunligi va u bilan balandlik o'rtasida hosil bo'lgan burchak. Yechish: asos va balandlikni topish uchun - c=a*sin(C)*2 va h=a*cos(C) formulalaridan foydalanamiz, shundan so‘ng maydonni hisoblaymiz.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

Agar barcha ma'lumotlar ma'lum bo'lsa, S= a* a / 2 standart formulasidan foydalanib, biz teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblaymiz, ammo agar muammoda ba'zi ko'rsatkichlar ko'rsatilmagan bo'lsa, qo'shimcha harakatlar bajariladi.

Masalan: biz ikkala tomonning uzunligini bilmaymiz (biz eslaymizki, teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakda ular tengdir), lekin gipotenuzaning uzunligi berilgan. Bir xil “a” va “a” tomonlarini topish uchun Pifagor teoremasini qo‘llaylik. Pifagor formulasi: a^2+b^2=c^2. To'g'ri burchakli uchburchak bo'lsa, u quyidagicha aylanadi: 2a ^ 2 = c ^ 2. Ma’lum bo‘lishicha, “a” oyog‘ini topish uchun gipotenuzaning uzunligini 2 ning ildiziga bo‘lish kerak. Yechim natijasi teng yonli to‘g‘ri burchakli uchburchakning ikkala oyog‘ining uzunligi bo‘ladi. Keyin biz maydonni topamiz.

Teng tomonli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

S= √3/ 4*a^2 formulasidan foydalanib, teng tomonli uchburchakning maydonini osongina hisoblashingiz mumkin. Agar uchburchakning aylana radiusi ma'lum bo'lsa, u holda maydonni quyidagi formula yordamida topish mumkin: S= 3√3/ 4*R^2, bu erda R - aylananing radiusi.

Sizning maktab geometriya o'quv dasturidan eslaganingizdek, uchburchak - bu bir xil to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta bilan bog'langan uchta segmentdan hosil bo'lgan shakl. Uchburchak uchta burchak hosil qiladi, shuning uchun raqam nomi. Ta'rif boshqacha bo'lishi mumkin. Uchburchakni uchta burchakli ko'pburchak deb ham atash mumkin, javob ham to'g'ri bo'ladi. Uchburchaklar teng tomonlar soniga va shakllardagi burchaklarning o'lchamiga ko'ra bo'linadi. Shunday qilib, uchburchaklar mos ravishda teng yonli, teng qirrali va masshtabli, shuningdek to'rtburchaklar, o'tkir va o'tkir burchaklar sifatida ajratiladi.

Uchburchakning maydonini hisoblash uchun juda ko'p formulalar mavjud. Uchburchakning maydonini qanday topishni tanlang, ya'ni. Qaysi formuladan foydalanish sizga bog'liq. Ammo uchburchakning maydonini hisoblash uchun ko'plab formulalarda qo'llaniladigan ba'zi belgilarni ta'kidlash kerak. Shunday qilib, esda tuting:

S - uchburchakning maydoni,

a, b, c - uchburchakning tomonlari,

h - uchburchakning balandligi,

R - aylananing radiusi,

p - yarim perimetr.

Agar siz geometriya kursingizni butunlay unutgan bo'lsangiz, sizga foydali bo'lishi mumkin bo'lgan asosiy belgilar. Quyida uchburchakning noma'lum va sirli maydonini hisoblashning eng tushunarli va murakkab bo'lmagan variantlari keltirilgan. Bu qiyin emas va sizning uy ehtiyojlaringiz uchun ham, bolalaringizga yordam berish uchun ham foydali bo'ladi. Keling, uchburchakning maydonini iloji boricha osonroq hisoblashni eslaylik:

Bizning holatda, uchburchakning maydoni: S = ½ * 2,2 sm * 2,5 sm = 2,75 kv.sm. Maydon kvadrat santimetrda (sqcm) o'lchanganini unutmang.

To'g'ri burchakli uchburchak va uning maydoni.

To'g'ri burchakli uchburchak - bir burchagi 90 gradusga teng bo'lgan uchburchak (shuning uchun o'ng deb ataladi). To'g'ri burchak ikkita perpendikulyar chiziqdan (uchburchakda ikkita perpendikulyar segment) hosil bo'ladi. To'g'ri burchakli uchburchakda faqat bitta to'g'ri burchak bo'lishi mumkin, chunki ... har qanday uchburchakning barcha burchaklarining yig'indisi 180 darajaga teng. Ma'lum bo'lishicha, qolgan 90 gradusni boshqa ikkita burchak bo'lishi kerak, masalan, 70 va 20, 45 va 45 va hokazo. Shunday qilib, siz asosiy narsani eslaysiz, qolgan narsa to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qanday topishni bilishdir. Tasavvur qilaylik, bizning oldimizda shunday to'g'ri burchakli uchburchak bor va biz uning S maydonini topishimiz kerak.

1. To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini aniqlashning eng oddiy usuli quyidagi formula yordamida hisoblanadi:

Bizning holatda, to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni: S = 2,5 sm * 3 sm / 2 = 3,75 kv.sm.

Aslida, endi uchburchakning maydonini boshqa usullar bilan tekshirishning hojati yo'q, chunki Faqat bu foydali bo'ladi va kundalik hayotda yordam beradi. Ammo uchburchakning maydonini o'tkir burchaklar orqali o'lchash variantlari ham mavjud.

2. Boshqa hisoblash usullari uchun sizda kosinuslar, sinuslar va tangenslar jadvali bo'lishi kerak. O'zingiz uchun hukm qiling, bu erda hali ham ishlatilishi mumkin bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblashning ba'zi variantlari mavjud:

Biz birinchi formuladan va bir nechta kichik dog'lar bilan foydalanishga qaror qildik (biz uni daftarga chizdik va eski o'lchagich va transport vositasidan foydalandik), ammo biz to'g'ri hisobni oldik:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Biz quyidagi natijalarga erishdik: 3,6=3,7, lekin hujayralarning siljishini hisobga olsak, bu nuanceni kechira olamiz.

Izossellar uchburchagi va uning maydoni.

Agar siz teng yonli uchburchak formulasini hisoblash vazifasiga duch kelsangiz, unda eng oson yo'li uchburchak maydoni uchun asosiy va klassik formuladan foydalanishdir.

Ammo birinchi navbatda, teng yonli uchburchakning maydonini topishdan oldin, keling, uning qanday figura ekanligini bilib olaylik. Teng yon tomonli uchburchak - bu ikki tomoni bir xil uzunlikka ega bo'lgan uchburchak. Bu ikki tomon lateral deb ataladi, uchinchi tomon asos deb ataladi. Teng yonli uchburchak bilan teng yonli uchburchakni aralashtirmang, ya'ni. uch tomoni teng bo'lgan muntazam uchburchak. Bunday uchburchakda burchaklarga, to'g'rirog'i, ularning o'lchamiga nisbatan alohida tendentsiyalar yo'q. Biroq, teng yonli uchburchakda poydevordagi burchaklar teng, lekin teng tomonlar orasidagi burchakdan farq qiladi. Shunday qilib, siz birinchi va asosiy formulani allaqachon bilasiz, teng burchakli uchburchakning maydonini aniqlash uchun yana qanday formulalar ma'lum ekanligini bilish qoladi.

To'g'ri burchakli uchburchak - bu burchaklaridan biri 90 ° bo'lgan uchburchak. Ikki tomoni ma'lum bo'lsa, uning maydonini topish mumkin. Siz, albatta, uzoq yo'lni tanlashingiz mumkin - gipotenuzani toping va yordamida maydonni hisoblang, lekin ko'p hollarda bu faqat qo'shimcha vaqtni oladi. Shuning uchun to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni formulasi quyidagicha ko'rinadi:

To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni oyoqlar mahsulotining yarmiga teng.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblash misoli.
Oyoqlari bilan to'g'ri burchakli uchburchak berilgan a= 8 sm, b= 6 sm.
Biz maydonni hisoblaymiz:
Maydoni: 24 sm 2

Pifagor teoremasi to'g'ri burchakli uchburchak uchun ham amal qiladi. – ikki oyoq kvadratlari yig‘indisi gipotenuzaning kvadratiga teng.
To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni uchun formula oddiy to'g'ri burchakli uchburchak bilan bir xil tarzda hisoblanadi.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblash misoli:
Oyoqlari bo'lgan uchburchak berilgan a= 4 sm, b= 4 sm. Maydonni hisoblang:
Maydonni hisoblang: = 8 sm 2

To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuza maydoni uchun formuladan, agar shart bitta oyoq berilgan bo'lsa, ishlatilishi mumkin. Pifagor teoremasidan biz noma'lum oyoq uzunligini topamiz. Masalan, gipotenuza berilgan c va oyoq a, oyoq b teng bo'ladi:
Keyinchalik, odatdagi formuladan foydalanib, maydonni hisoblang. Gipotenuzaga asoslangan to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni uchun formulani hisoblash misoli yuqorida tavsiflanganga o'xshashdir.

Keling, uchburchakni echish formulalari haqidagi bilimlarni mustahkamlashga yordam beradigan qiziqarli masalani ko'rib chiqaylik.
Vazifa: To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni 180 kvadrat metr. qarang, agar uchburchakning ikkinchisidan 31 sm kichik bo'lsa, uning kichikroq oyog'ini toping.
Yechim: keling, oyoqlarni belgilaymiz a Va b. Endi ma'lumotlarni maydon formulasiga almashtiramiz: biz bir oyog'i ikkinchisidan kichikroq ekanligini ham bilamiz a – b= 31 sm
Birinchi shartdan biz buni olamiz
Bu shartni ikkinchi tenglamaga almashtiramiz: