Чому дорівнює площа прямокутника трикутника? Як знаходити площу трикутника (формули)

В елементарній геометрії прямокутним трикутником називається фігура, що складається з трьох відрізків з'єднаних у точках, з кутами два з яких гострі, а один прямий (тобто дорівнює 90 °). Прямокутний трикутникхарактеризується цілим рядом важливих властивостей, багато з яких становлять основу тригонометрії (наприклад, співвідношення між його сторонами та кутами). Ще зі шкільної лави усі ми знаємо, як вирахувати площа прямокутного трикутника, а у повсякденному житті зустрічаємося з цією геометричною фігурою досить часто, часом навіть не помічаючи цього. Досить широке застосування знаходить вона в техніці і тому таке завдання, як часто доводиться вирішувати інженерам, конструкторам і архітекторам.

Зодчим визначати цю величину потрібно тоді, коли вони проектують будинки з фронтонами, які є завершенням фасадів та мають трикутну формуобмежену карнизом, а з боків – скатами даху. Нерідко кут між схилами буває прямий, і в таких випадках фронтон має форму прямокутного трикутника. Визначати його площу потрібно з тієї простої причини, що необхідно точно знати кількість будівельного матеріалу, необхідного для його облаштування. Слід зазначити, що фронтони є обов'язковими елементами малоповерхових будівель (заміських будинків, котеджів, дач).

Знаходження площі прямокутного трикутника

a- катет

b- катет

S- площа прямокутного трикутника

Форму прямокутного трикутникамають багато деталей, з яких виготовляються сучасні меблі. Як відомо, для того, щоб найбільш раціонально використовувати площу приміщень, всі елементи обстановки повинні розміщуватися в ній оптимальним чином. З користю задіяти такі зони, як кути, можна за допомогою столів трикутної форми, стільниці яких у більшості випадків являють собою прямокутні трикутники з катетами, що прилягають до стін. При проектуванні та розрахунку цих елементів конструктори меблевого виробництва застосовують формулу, за якою знаходження площі прямокутного трикутниказдійснюється на основі довжини його сторін. Крім того, їм нерідко доводиться розробляти конструкції столиків, що кріпляться безпосередньо до стін, до складу яких входять опорні елементи, що також являють собою прямокутні трикутники.

Будівельникам, які займаються облицювальними роботами, нерідко у своїй професійній діяльності доводиться використовувати керамічну плитку, що має форму прямокутного трикутника з катетами однакової чи різної довжини. Їм також доводиться визначати площу цих елементів для того, щоб з'ясувати потрібну їх кількість.

Форму прямокутного трикутникамає і такий важливий та необхідний вимірювальний інструмент, як косинець. З його допомогою виробляється побудова і контроль прямих кутів, а використовується дуже широко і багатьма: від звичайних школярів під час уроків геометрії до конструкторів суперсучасної техніки.

Прямокутний трикутник зустрічається насправді на кожному кутку. Знання про властивості даної фігури, а також вміння обчислювати її площу, безперечно, стане вам у нагоді не тільки для вирішення задач з геометрії, але і в життєвих ситуаціях.

Геометрія трикутника

В елементарній геометрії прямокутний трикутник - це фігура, яка складається з трьох з'єднаних відрізків, що формують три кути (два гострі і один прямий). Прямокутний трикутник - оригінальна фігура, що характеризується рядом важливих властивостей, що становлять фундамент тригонометрії. На відміну від звичайного трикутника, сторони прямокутної фігури мають власні назви:

Гіпотенуза - найдовша сторона трикутника, що лежить навпроти прямого кута.
Катети - відрізки, що утворюють прямий кут. Залежно від кута, що розглядається, катет може бути прилеглим до нього (утворює цей кут з гіпотенузою) або протилежним (що лежить навпроти кута). Для непрямокутних трикутників катетів немає.

Саме співвідношення катетів та гіпотенузи становить основу тригонометрії: синуси, тангенси та секанси визначаються як відношення сторін прямокутного трикутника.

Прямокутний трикутник насправді

Ця фігура набула широкого поширення насправді. Трикутники знаходять застосування у проектуванні та техніці, тому розрахунок площі фігури доводиться виконувати інженерам, архітекторам та проектувальникам. Форму трикутника мають підстави тетраедрів або призм – тривимірних фігур, які легко зустріти у повсякденності. Крім того, косинець – найпростіше уявлення «плоського» прямокутного трикутника в реальності. Кутник - це слюсарний, креслярський, будівельний та столярний інструмент, який використовується для побудови кутів як школярами, так і інженерами.

Площа трикутника

Площа геометричної фігури – це кількісна оцінка того, яка частина площини обмежена сторонами трикутника. Площа звичайного трикутника можна знайти п'ятьма способами, використовуючи формулу Герона або оперуючи при розрахунках такими змінними, як основа, сторона, кут і радіус вписаного або описаного кола. Найпростіша формула площі виражається як:

де a – сторона трикутника, h – його висота.

Формула для обчислення площі прямокутного трикутника ще простіше:

де a та b – катети.

Працюючи з нашим онлайн-калькулятор, ви можете обчислити площу трикутника, використовуючи три пари параметрів:

два катети;
катет та прилеглий кут;
катет та протилежний кут.

У завданнях чи побутових ситуаціях вам будуть дані різні комбінації змінних, тому така форма калькулятора дозволяє обчислити площу трикутника кількома способами. Розглянемо кілька прикладів.

Приклади із реального життя

Керамічна плитка

Допустимо, ви хочете виконати облицювання стін кухні керамічною плиткою, яка має форму прямокутного трикутника. Для того щоб визначити витрату плитки ви повинні дізнатися площу одного елемента облицювання та загальну площу оброблюваної поверхні. Нехай вам потрібно обробити 7 квадратних метрів. Довжина катетів одного елемента становить по 19 см, тоді площа плитки дорівнюватиме:

Це означає, що площа одного елемента становить 24,5 квадратних сантиметрів або 0,01805 квадратних метрів. Знаючи ці параметри, можна підрахувати, що для обробки 7 квадратних метрів стіни вам знадобиться 7/0,01805 = 387 елементів облицювальної плитки.

Шкільне завдання

Нехай у шкільній задачі з геометрії потрібно знайти площу прямокутного трикутника, знаючи тільки те, що сторона одного катета дорівнює 5 см, а величина протилежного кута становить 30 градусів. Наш онлайн-калькулятор супроводжується ілюстрацією, на якій вказані сторони та кути прямокутного трикутника. Якщо сторона a = 5 см, її протилежний кут - це кут альфа, рівний 30 градусів. Введіть ці дані у форму калькулятора та отримайте результат:

Отже, калькулятор як обчислює площу заданого трикутника, а й визначає довжину прилеглого катета і гіпотенузи, і навіть величину другого кута.

Висновок

Прямокутні трикутники зустрічаються у нашому житті буквально на кожному розі. Визначення площі таких фігур стане вам у нагоді не тільки при вирішенні шкільних завдань з геометрії, але і повсякденної та професійної діяльності.

Залежно від виду трикутника виділяють одразу кілька варіантів знаходження його площі. Наприклад, для обчислення площі прямокутного трикутника використовується формула S = a * b / 2 де а і b - це його катети. Якщо ж потрібно дізнатися площу рівнобедреного трикутника, необхідно ділити на два твір його підстави і висоти. Тобто S = b * h / 2 де b - це основа трикутника, а h - його висота.

Далі може знадобитися розрахунок площі рівнобедреного прямокутного трикутника. Тут приходить на допомогу наступна формула: S = a * а / 2, де катети «а» і «а» обов'язково повинні бути з однаковими значеннями.

Також нам часто доводиться обчислювати площу рівностороннього трикутника. Вона перебуває за формулою: S= a * h/ 2, де a – сторона трикутника, і h – його висота. Або за цією формулою: S = √3/4 *a^2, де a - сторона.

Як знаходити площу прямокутного трикутника

Вам потрібно знайти площу прямокутного трикутника, але при цьому в задачі не вказані розміри відразу двох його катетів? Тоді цією формулою (S = a * b / 2) ми зможемо скористатися напряму.

Розглянемо кілька можливих варіантів розв'язання:

Якщо Вам невідома довжина одного катета, але дано розміри гіпотенузи та другого катета, то звертаємось до великого Піфагора і за його теоремою (a^2+b^2=c^2) вираховуємо довжину невідомого катета, потім використовуємо її для розрахунку площі трикутника.
Якщо дана довжина одного катета і градусний нахил кута протилежного йому: знаходимо довжину другого катета за формулою - a = b * ctg (C).
Дано: довжина одного катета і градусний нахил кута прилеглого до нього: для знаходження довжини другого катета застосовуємо формулу - a = b * tg (C).
І останнє, дано: кут і довжина гіпотенузи: обчислюємо довжину обох його катетів, за такими формулами - b = c * sin (C) і a = c * cos (C).

Як знаходити площу рівнобедреного трикутника

Площа рівнобедреного трикутника можна дуже легко і швидко знайти за формулою S = b * h / 2, але за відсутності одного з показників, завдання значно ускладнюється. Адже потрібно виконувати додаткові дії.

Можливі варіанти завдань:

Дано: довжина однієї з бічних сторін та довжина основи. Знаходимо через теорему Піфагора висоту, тобто довжину другого катети. За умови, що довжина основи, розділена на два, є катетом, а відома бічна сторона – гіпотенузою.
Дано: основа та кут між бічною стороною та основою. Обчислюємо за формулою h=c*ctg(B)/2 висоту (не забуваємо бік «c» поділити на два).
Дано: висота та кут, який був утворений основою та бічною стороною: застосовуємо формулу c=h*tg(B)*2 для знаходження висоти, та отриманий результат множимо на два. Далі обчислюємо площу.
Відома: довжина бокової сторони та кут, який утворився між ним та висотою. Рішення: використовуємо формули - c = a * sin (C) * 2 і h = a * cos (C) для знаходження основи та висоти, після чого вважаємо площу.

Як знайти площу рівнобедреного прямокутного трикутника

Якщо всі дані відомі, то за стандартною формулою S = a * a / 2 обчислюємо площу рівнобедреного прямокутного трикутника, якщо в задачі не вказані деякі показники, то виконуються додаткові дії.

Наприклад: нам не відомі довжини обох сторін (ми пам'ятаємо, що в рівнобедреному прямокутному трикутнику вони рівні), але дана довжина гіпотенузи. Застосуємо теорему Піфагора знаходження однакових сторін «a» і «a». Формула Піфагора: a 2 + b 2 = c 2. У випадку з рівнобедреним прямокутним трикутником вона перетворюється на таку: 2a^2 = c^2. Виходить, щоб знайти катет "а", потрібно довжину гіпотенузи поділити на корінь з 2. Результат рішення і буде довгою обох катетів рівнобедреного прямокутного трикутника. Далі знаходимо площу.

Як знайти площу рівностороннього трикутника

З допомогою формули S= √3/ 4*a^2 можна легко вирахувати площу рівностороннього трикутника. Якщо відомий радіус описаного кола трикутника, то площу можна знайти за формулою: S = 3√3/ 4*R^2, де R - радіус кола.

Як ви можете пам'ятати зі шкільної програми з геометрії, трикутник - це фігура, утворена з трьох відрізків, що з'єднуються трьома точками, що не лежать на одній прямій. Трикутник утворює три кути, звідси і назва фігури. Визначення може бути іншим. Трикутник можна також назвати багатокутником з трьома кутами, відповідь буде так само вірною. Трикутники діляться за кількістю рівних сторін та за величиною кутів у фігурах. Так виділяють такі трикутники, як рівнобедрений, рівносторонній і різнобічний, а також прямокутний, гострокутний і тупокутний, відповідно.

Формул обчислення площі трикутника дуже багато. Вибирати, як знайти площу трикутника, тобто. якою формулою скористатися, лише вам. Але варто відзначити лише деякі позначення, які використовуються в багатьох формулах обчислення площі трикутника. Отже, запам'ятовуйте:

S – це площа трикутника,

a, b, c – це сторони трикутника,

h – це висота трикутника,

R – це радіус описаного кола,

p – це напівпериметр.

Ось основні позначення, які можуть стати вам у нагоді, якщо ви абсолютно забули курс геометрії. Нижче будуть наведені найбільш зрозумілі та нескладні варіанти обчислення невідомої та загадкової площі трикутника. Це не складно і знадобиться як вам у домашніх потребах, так і для допомоги своїм дітям. Згадаймо, як обчислити площу трикутника простіше простого:

У нашому випадку площа трикутника дорівнює: S = ½ * 2,2 см. * 2,5 см. = 2,75 кв. Пам'ятайте, що площа вимірюється квадратних сантиметрах (кв.см.).

Прямокутний трикутник та його площа.

Прямокутний трикутник - це трикутник, у якого один кут дорівнює 90 градусів (тому називається прямим). Прямий кут утворюють дві перпендикулярні лінії (у випадку з трикутником – два перпендикулярні відрізки). У прямокутному трикутнику прямий кут може лише один, т.к. сума всіх кутів одного будь-якого трикутника дорівнює 180 градусів. Виходить, що 2 інших кута повинні ділити між собою 90 градусів, що залишилися, наприклад 70 і 20, 45 і 45 і т.д. Отже, основне ви згадали, залишилося дізнатися, як знайти площу прямокутного трикутника. Уявимо, що перед нами такий прямокутний трикутник, і нам необхідно знайти його площу S.

1. Найпростіший спосіб визначення площі прямокутного трикутника обчислюється за такою формулою:

У нашому випадку площа прямокутного трикутника дорівнює: S = 2,5 см. * 3 см. / 2 = 3,75 кв.см.

У принципі, більше не потрібно вивіряння площі трикутника іншими методами, т.к. у побуті знадобиться і допоможе лише цей. Але існують і варіанти виміру площі трикутника через гострі кути.

2. Для інших способів обчислення необхідно мати таблицю косінусів, синусів та тангенсів. Поміркуйте самі, ось які варіанти обчислення площ прямокутного трикутника ще можна використовувати:

Ми вирішили скористатися першою формулою і з невеликими помарками (креслили в блокноті та використовували стару лінійку та транспортир), але у нас вийшов правильний розрахунок:

S = (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) = (3 * 3) / (2 * 1,2). У нас вийшли такі результати 3,6 = 3,7, але з урахуванням зсуву клітин цей нюанс нам можна пробачити.

Рівностегновий трикутник та його площа.

Якщо перед вами стоїть завдання обчислити формулу рівнобедреного трикутника, то найпростіше скористатися головною і як вважається класичною формулою площі трикутника.

Але для початку перед тим, як знайти площу рівнобедреного трикутника, дізнаємося, що це за фігура така. Рівностегновим трикутником називається трикутник, у якого дві сторони мають однакову довжину. Ці дві сторони називаються бічними, третя сторона називається основою. Не плутайте рівнобедрений трикутник із рівностороннім, тобто. правильним трикутником, у якого всі три сторони рівні. У такому трикутнику немає особливих тенденцій до кутів, точніше до їхньої величини. Однак кути в основі в рівнобедреному трикутнику рівні, але відрізняються від кута між рівними сторонами. Отже, першу і головну формулу ви вже знаєте, залишилося дізнатися, які формули визначення площі рівнобедреного трикутника відомі.

Прямокутним трикутником називається трикутник, у якого один із кутів дорівнює 90°. Його площу можна знайти, якщо відомі два катети. Можна, звичайно, піти і довгим шляхом - знайти гіпотенузу і прорахувати площу, але в більшості випадків це тільки займе зайвий час. Саме тому формула площі прямокутного трикутника виглядає так:

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів.

Приклад розрахунку площі прямокутного трикутника.
Даний прямокутний трикутник з катетами a= 8 см, b= 6 див.
Обчислюємо площу:
Площа дорівнює: 24 см 2

Також у прямокутному трикутнику застосовується теорема Піфагора. - Сума квадратів двох катетів дорівнює квадрату гіпотенузи.
Формула площі рівнобедреного прямокутного трикутника обчислюється як і звичайного прямокутного трикутника.

Приклад розрахунку площі рівнобедреного прямокутного трикутника:
Даний трикутник з катетами a= 4 см, b= 4 см. Обчислюємо площу:
Обчислюємо площу:=8 см 2

Формула площі прямокутного трикутника з гіпотенузи може використовуватися, якщо в умові дано один катет. З теореми Піфагора знаходимо довжину невідомого катета. Наприклад, дана гіпотенуза cта катет a, катет bдорівнюватиме:
Далі обчислюємо площу за звичайною формулою. Приклад розрахунку формули площі прямокутного трикутника з гіпотенузи ідентичний описаному вище.

Розглянемо цікаву задачу, яка допоможе закріпити знання формул для розв'язання трикутника.
Завдання: площа прямокутного трикутника дорівнює 180 кв. див. знайдіть менший катет трикутника, якщо він менший за другий на 31 см.
Рішення: позначимо катети aі b. Тепер підставимо дані у формулу площі:, ще ми знаємо, що один катет менший за інший a – b= 31 см
З першої умови отримуємо, що
Підставляємо цю умову у друге рівняння: