Pi attityd. Börja med naturvetenskap

Matematiker över hela världen äter en tårta varje år den 14 mars – det här är trots allt Pis dag, det mest kända irrationella talet. Detta datum är direkt relaterat till numret vars första siffror är 3,14. Pi är förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter. Eftersom det är irrationellt är det omöjligt att skriva det som ett bråk. Detta är en oändligt lång siffra. Den upptäcktes för tusentals år sedan och har ständigt studerats sedan dess, men har Pi några hemligheter kvar? Från forntida ursprung till en osäker framtid, här är några av de mest intressanta fakta om pi.

Att memorera Pi

Rekordet för att komma ihåg siffror efter decimaltecknet tillhör Rajveer Meena från Indien, som lyckades memorera 70 000 siffror – rekordet satte han den 21 mars 2015. Innan dess var rekordhållaren Chao Lu från Kina, som lyckades memorera 67 890 siffror – detta rekord sattes 2005. Den inofficiella rekordhållaren är Akira Haraguchi, som filmade hans upprepning av 100 000 siffror 2005 och nyligen postade en video där han lyckas komma ihåg 117 000 siffror. Ett officiellt rekord skulle bara bli om den här videon spelades in i närvaro av en representant för Guinness Book of Records, och utan bekräftelse förblir det bara ett imponerande faktum, men anses inte vara en prestation. Matematikentusiaster älskar att memorera talet Pi. Många använder olika mnemoniska tekniker, till exempel poesi, där antalet bokstäver i varje ord är detsamma som pi. Varje språk har sina egna varianter av sådana fraser, som hjälper till att komma ihåg både de första siffrorna och ett helt hundratal.

Det finns ett Pi-språk

Fascinerade av litteraturen uppfann matematiker en dialekt där antalet bokstäver i alla ord motsvarar siffrorna i Pi i exakt ordning. Författaren Mike Keith skrev till och med en bok, Not a Wake, som är helt skriven på pi-språket. Entusiaster av sådan kreativitet skriver sina verk i full överensstämmelse med antalet bokstäver och siffrornas betydelse. Detta har ingen praktisk tillämpning, men är ett ganska vanligt och välkänt fenomen i kretsar av entusiastiska forskare.

Exponentiell tillväxt

Pi är ett oändligt tal, så människor, per definition, kommer aldrig att kunna räkna ut de exakta siffrorna för detta nummer. Antalet siffror efter decimaltecknet har dock ökat kraftigt sedan den första användningen av Pi. Även babylonierna använde det, men en bråkdel av tre och en åttondel räckte för dem. Kineserna och skaparna av Gamla testamentet var helt begränsade till de tre. År 1665 hade Sir Isaac Newton beräknat 16 siffror i pi. År 1719 hade den franske matematikern Tom Fante de Lagny beräknat 127 siffror. Tillkomsten av datorer har radikalt förbättrat människans kunskap om Pi. Från 1949 till 1967 höjde antalet siffror som människan känner till från 2037 till 500 000. För inte så länge sedan kunde Peter Trueb, en vetenskapsman från Schweiz, beräkna 2,24 biljoner siffror av Pi! Detta tog 105 dagar. Detta är naturligtvis inte gränsen. Det är troligt att med teknikens utveckling kommer det att vara möjligt att fastställa en ännu mer exakt siffra - eftersom Pi är oändlig finns det helt enkelt ingen gräns för noggrannheten, och bara de tekniska egenskaperna hos datorteknik kan begränsa den.

Beräknar Pi för hand

Om du vill hitta numret själv kan du använda den gammaldags tekniken - du behöver en linjal, en burk och snöre, du kan även använda en gradskiva och en penna. Nackdelen med att använda en burk är att den måste vara rund och noggrannheten avgörs av hur väl personen kan vira repet runt den. Det är möjligt att rita en cirkel med en gradskiva, men detta kräver också skicklighet och precision, eftersom en ojämn cirkel allvarligt kan förvränga dina mätningar. En mer exakt metod innebär användning av geometri. Dela cirkeln i många segment, som pizzaskivor, och beräkna sedan längden på en rät linje som skulle göra varje segment till en likbent triangel. Summan av sidorna ger ett ungefärligt antal pi. Ju fler segment du använder, desto mer exakt blir siffran. Naturligtvis kommer du inte i dina beräkningar att kunna komma i närheten av resultaten från en dator, men dessa enkla experiment låter dig förstå mer detaljerat vad Pi är i allmänhet och hur det används i matematik.

Upptäckten av Pi

De gamla babylonierna visste om förekomsten av talet Pi redan för fyra tusen år sedan. De babyloniska tavlorna beräknar Pi som 3,125, och den egyptiska matematiska papyrusen innehåller talet 3,1605. I Bibeln ges talet Pi i en föråldrad längd - i alnar, och den grekiske matematikern Archimedes använde Pythagoras sats för att beskriva Pi, det geometriska förhållandet mellan längden på sidorna av en triangel och arean av \u200b Figurerna i och utanför cirklarna. Således är det säkert att säga att Pi är ett av de äldsta matematiska begreppen, även om det exakta namnet på detta nummer har dykt upp relativt nyligen.

En ny version av Pi

Redan innan pi var relaterad till cirklar hade matematiker redan många sätt att ens namnge detta nummer. Till exempel kan man i gamla läroböcker i matematik hitta en fras på latin, som grovt kan översättas till "den kvantitet som visar längden när diametern multipliceras med den." Det irrationella talet blev känt när den schweiziska vetenskapsmannen Leonhard Euler använde det i sitt arbete med trigonometri 1737. Den grekiska symbolen för pi användes dock fortfarande inte – det hände bara i en bok av den mindre kända matematikern William Jones. Han använde den redan 1706, men den var länge eftersatt. Med tiden antog forskare detta namn, och nu är detta den mest kända versionen av namnet, även om det tidigare också kallades Ludolf-numret.

Är pi normalt?

Talet pi är definitivt konstigt, men hur lyder det de normala matematiska lagarna? Forskare har redan löst många frågor relaterade till detta irrationella nummer, men några mysterier kvarstår. Det är till exempel inte känt hur ofta alla siffror används - siffrorna från 0 till 9 ska användas i lika stora proportioner. Statistik kan dock spåras för de första biljonerna siffrorna, men på grund av att antalet är oändligt är det omöjligt att bevisa något säkert. Det finns andra problem som fortfarande undviker forskarna. Det är möjligt att den fortsatta utvecklingen av vetenskapen kommer att bidra till att kasta ljus över dem, men för närvarande ligger detta utanför gränserna för mänsklig intelligens.

Pi låter gudomlig

Forskare kan inte svara på vissa frågor om talet Pi, men varje år förstår de dess väsen bättre. Redan på sjuttonhundratalet bevisades irrationaliteten i detta nummer. Dessutom har det bevisats att antalet är transcendentalt. Det betyder att det inte finns någon bestämd formel som gör att du kan beräkna pi med rationella tal.

Missnöje med Pi

Många matematiker är helt enkelt förälskade i Pi, men det finns de som tror att dessa siffror inte har någon speciell betydelse. Dessutom hävdar de att talet Tau, som är dubbelt så stort som Pi, är bekvämare att använda som ett irrationellt. Tau visar förhållandet mellan omkretsen och radien, vilket enligt vissa representerar en mer logisk beräkningsmetod. Det är dock omöjligt att entydigt bestämma någonting i denna fråga, och det ena och det andra antalet kommer alltid att ha supportrar, båda metoderna har rätt till liv, så detta är bara ett intressant faktum och inte en anledning att tro att du inte borde använd talet Pi.

Vad är talet pi vi känner och minns från skolan. Det är lika med 3,1415926 och så vidare... Det räcker för en vanlig person att veta att detta tal erhålls genom att dividera en cirkels omkrets med dess diameter. Men många vet att talet Pi dyker upp i oväntade områden, inte bara i matematik och geometri, utan också i fysik. Tja, om du fördjupar dig i detaljerna om detta nummers karaktär kan du se många överraskningar bland den oändliga serien av nummer. Är det möjligt att Pi döljer universums djupaste hemligheter?

Oändligt antal

Själva talet Pi uppstår i vår värld som längden på en cirkel, vars diameter är lika med en. Men trots att segmentet lika med Pi är ganska ändligt, börjar talet Pi som 3,1415926 och går till oändlighet i rader med tal som aldrig upprepas. Det första överraskande faktumet är att detta tal, som används i geometri, inte kan uttryckas som en bråkdel av heltal. Du kan med andra ord inte skriva det som ett förhållande mellan två tal a/b. Dessutom är talet Pi transcendentalt. Detta betyder att det inte finns någon sådan ekvation (polynom) med heltalskoefficienter, vars lösning skulle vara Pi.

Att talet Pi är transcendent bevisades 1882 av den tyske matematikern von Lindemann. Det var detta bevis som besvarade frågan om det är möjligt att rita en kvadrat med en kompass och en rätlinje, vars area är lika med arean av en given cirkel. Detta problem är känt som sökandet efter kvadreringen av en cirkel, vilket har bekymrat mänskligheten sedan urminnes tider. Det verkade som att detta problem hade en enkel lösning och var på väg att avslöjas. Men det var en obegriplig egenskap hos pi som visade att problemet med att kvadrera en cirkel inte har någon lösning.

I minst fyra och ett halvt årtusende har mänskligheten försökt få ett allt mer exakt värde på pi. Till exempel, i Bibeln i 1:a kungaboken (7:23), tas talet pi lika med 3.

Anmärkningsvärt i noggrannhet, värdet av Pi kan hittas i pyramiderna i Giza: förhållandet mellan pyramidernas omkrets och höjd är 22/7. Denna bråkdel ger ett ungefärligt värde på Pi, lika med 3,142 ... Om inte, naturligtvis, egyptierna satte ett sådant förhållande av misstag. Samma värde redan i förhållande till beräkningen av talet Pi mottogs på III-talet f.Kr. av den store Arkimedes.

I Ahmes Papyrus, en forntida egyptisk matematiklärobok som går tillbaka till 1650 f.Kr., beräknas Pi som 3,160493827.

I forntida indiska texter runt 900-talet f.Kr. uttrycktes det mest exakta värdet med siffran 339/108, vilket motsvarade 3,1388 ...

I nästan två tusen år efter Arkimedes har människor försökt hitta sätt att beräkna pi. Bland dem fanns både kända och okända matematiker. Till exempel den romerske arkitekten Mark Vitruvius Pollio, den egyptiske astronomen Claudius Ptolemaios, den kinesiske matematikern Liu Hui, den indiske vismannen Ariabhata, den medeltida matematikern Leonardo av Pisa, känd som Fibonacci, den arabiska vetenskapsmannen Al-Khwarizmi, från vars namn ordet ordet "algoritm" dök upp. Alla av dem och många andra människor letade efter de mest exakta metoderna för att beräkna Pi, men fram till 1400-talet fick de aldrig mer än 10 siffror efter decimalkomma på grund av beräkningarnas komplexitet.

Slutligen, år 1400, beräknade den indiske matematikern Madhava från Sangamagram Pi med en noggrannhet på upp till 13 siffror (även om han fortfarande gjorde ett misstag i de två sista).

Antal skyltar

På 1600-talet upptäckte Leibniz och Newton analysen av infinitesimala storheter, vilket gjorde det möjligt att beräkna pi mer progressivt - genom potensserier och integraler. Newton räknade själv med 16 decimaler, men nämnde inte detta i sina böcker – detta blev känt efter hans död. Newton hävdade att han bara beräknade Pi av tristess.

Ungefär samtidigt drog sig även andra mindre kända matematiker upp och föreslog nya formler för att beräkna talet Pi genom trigonometriska funktioner.

Till exempel, här är formeln som användes för att beräkna Pi av astronomiläraren John Machin 1706: PI / 4 = 4arctg(1/5) - arctg(1/239). Med hjälp av analysmetoder härledde Machin från denna formel talet Pi med hundra decimaler.

Förresten, samma 1706 fick numret Pi en officiell beteckning i form av en grekisk bokstav: den användes av William Jones i hans arbete med matematik, med den första bokstaven i det grekiska ordet "periferi", vilket betyder "cirkel". Född 1707, den store Leonhard Euler populariserade denna beteckning, som nu är känd för alla skolbarn.

Före datorernas era var matematiker angelägna om att beräkna så många tecken som möjligt. I detta avseende fanns det ibland kuriosa. Amatörmatematikern W. Shanks beräknade 707 siffror i pi 1875. Dessa sjuhundra skyltar förevigades på väggen i Palais des Discoveries i Paris 1937. Nio år senare fann dock observanta matematiker att endast de första 527 tecknen var korrekt beräknade. Museet fick dra på sig hyggliga utgifter för att rätta till misstaget – nu stämmer alla siffror.

När datorer dök upp började antalet siffror i Pi att beräknas i helt ofattbara ordningsföljder.

En av de första elektroniska datorerna ENIAC, skapad 1946, som var enorm och genererade så mycket värme att rummet värmdes upp till 50 grader Celsius, beräknade de första 2037 siffrorna i Pi. Denna beräkning tog bilen 70 timmar.

När datorerna förbättrades, gick vår kunskap om pi längre och längre in i det oändliga. År 1958 beräknades 10 tusen siffror av antalet. 1987 beräknade japanerna 10 013 395 tecken. 2011 passerade den japanska forskaren Shigeru Hondo 10 biljoner.

Var annars kan du hitta Pi?

Så, ofta finns vår kunskap om talet Pi kvar på skolnivå, och vi vet med säkerhet att detta nummer är oumbärligt i första hand inom geometri.

Förutom formlerna för längden och arean av en cirkel, används talet Pi i formlerna för ellipser, sfärer, koner, cylindrar, ellipsoider och så vidare: någonstans är formlerna enkla och lätta att komma ihåg, och någonstans innehåller de mycket komplexa integraler.

Då kan vi möta talet Pi i matematiska formler, där geometrin vid första anblicken inte är synlig. Till exempel är den obestämda integralen av 1/(1-x^2) Pi.

Pi används ofta i serieanalys. Till exempel, här är en enkel serie som konvergerar till pi:

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - .... = PI/4

Bland serier dyker pi upp mest oväntat i den välkända Riemann zeta-funktionen. Det kommer inte att vara möjligt att berätta om det i ett nötskal, vi kommer bara att säga att en dag kommer talet Pi att hjälpa till att hitta en formel för att beräkna primtal.

Och det är helt fantastiskt: Pi förekommer i två av matematikens vackraste "kungliga" formler - Stirlingformeln (som hjälper till att hitta det ungefärliga värdet av faktorial- och gammafunktionen) och Eulerformeln (som relaterar så många som fem matematiska konstanter).

Men den mest oväntade upptäckten väntade matematiker inom sannolikhetsteorin. Pi är också där.

Till exempel är sannolikheten att två tal är relativt primtal 6/PI^2.

Pi förekommer i Buffons nålkastningsproblem från 1700-talet: vad är sannolikheten att en nål som kastas på ett pappersark med ett mönster kommer att korsa en av linjerna. Om nålens längd är L, och avståndet mellan linjerna är L, och r > L, så kan vi ungefär beräkna värdet av Pi med sannolikhetsformeln 2L/rPI. Föreställ dig bara - vi kan få Pi från slumpmässiga händelser. Och förresten Pi är närvarande i den normala sannolikhetsfördelningen, visas i ekvationen för den berömda Gaussiska kurvan. Betyder detta att pi är ännu mer fundamental än bara förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter?

Vi kan möta Pi i fysiken också. Pi förekommer i Coulombs lag, som beskriver kraften i växelverkan mellan två laddningar, i Keplers tredje lag, som visar rotationsperioden för en planet runt solen, och till och med förekommer i arrangemanget av elektronorbitaler i en väteatom. Och återigen, det mest otroliga är att Pi-talet är gömt i formeln för Heisenbergs osäkerhetsprincip, kvantfysikens grundläggande lag.

Pis hemligheter

I Carl Sagans roman "Kontakt", som är baserad på filmen med samma namn, informerar utomjordingar hjältinnan om att bland tecknen på Pi finns ett hemligt budskap från Gud. Från en viss position upphör siffrorna i numret att vara slumpmässiga och representerar en kod där alla universums hemligheter är registrerade.

Den här romanen återspeglade faktiskt gåtan som upptar matematikers sinnen över hela planeten: är talet Pi ett normalt tal där siffrorna är utspridda med samma frekvens, eller är det något fel med detta nummer. Och även om forskare tenderar till det första alternativet (men inte kan bevisa det), ser Pi väldigt mystisk ut. En japansk man räknade en gång ut hur många gånger siffrorna från 0 till 9 förekommer i de första biljonerna siffrorna i pi. Och jag såg att siffrorna 2, 4 och 8 är vanligare än resten. Detta kan vara ett av tipsen om att Pi inte är helt normalt, och att siffrorna i den verkligen inte är slumpmässiga.

Låt oss komma ihåg allt som vi har läst ovan och fråga oss själva, vilket annat irrationellt och transcendentalt tal är så vanligt i den verkliga världen?

Och det finns andra konstigheter på gång. Till exempel är summan av de första tjugo siffrorna i Pi 20, och summan av de första 144 siffrorna är lika med "ondjurets antal" 666.

Huvudpersonen i den amerikanska tv-serien The Suspect, professor Finch, sa till eleverna att på grund av pis oändlighet kan vilken kombination av tal som helst förekomma i den, från siffrorna på ditt födelsedatum till mer komplexa tal. Till exempel, i den 762:a positionen finns en sekvens av sex nior. Denna position kallas Feynman-punkten, efter den berömda fysikern som lade märke till denna intressanta kombination.

Vi vet också att numret Pi innehåller sekvensen 0123456789, men det finns på den 17 387 594 880:e siffran.

Allt detta betyder att du i Pis oändlighet inte bara kan hitta intressanta kombinationer av siffror, utan också den kodade texten till "Krig och fred", Bibeln och till och med universums huvudhemlighet, om den existerar.

Förresten, om Bibeln. Matematikens välkända popularisator Martin Gardner 1966 konstaterade att det miljonte tecknet i talet Pi (vid den tiden fortfarande okänt) skulle vara talet 5. Han förklarade sina beräkningar med det faktum att i den engelska versionen av Bibeln, i den 3:e boken, 14:e kapitel, 16 -m vers (3-14-16) det sjunde ordet innehåller fem bokstäver. Miljonsiffran mottogs åtta år senare. Det var nummer fem.

Är det värt det efter detta att hävda att talet pi är slumpmässigt?

Jag tänkte aldrig på historien om Pis ursprung. Jag läste ganska intressanta fakta om Leibniz och Newton. Newton beräknade 16 decimaler men berättade inte i sin bok. Tack för den bra artikeln.

Svar

En gång läste jag på ett forum om magi att talet PI inte bara har en magisk betydelse, utan också en rituell. Många ritualer är förknippade med detta nummer och har använts av magiker sedan antiken av upptäckten av detta nummer.

Svar

summan av de första tjugo siffrorna i pi är 20... Är detta allvarligt? I ett binärt system, eller hur?

Svar

1. Svar

   1. 100 är inte summan av de första 20 siffrorna, utan 20 decimaler.

      Svar

1. med diameter = 1, omkretsen = pi, och därför kommer cirkeln aldrig att slutas!

   Svar

SIFFRA sid - förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter, - värdet är konstant och beror inte på cirkelns storlek. Siffran som uttrycker detta förhållande betecknas vanligtvis med den grekiska bokstaven 241 (från "perijereia" - cirkel, periferi). Denna beteckning blev vanlig efter Leonhard Eulers arbete, med hänvisning till 1736, men den användes först av William Jones (1675–1749) 1706. Som alla irrationella tal representeras den av ett oändligt icke-periodiskt decimaltal:

sid= 3,141592653589793238462643… Behoven av praktiska beräkningar relaterade till cirklar och runda kroppar tvingade oss att söka efter 241 approximationer med hjälp av rationella tal redan i antiken. Information om att omkretsen är exakt tre gånger längre än diametern finns i kilskriftstavlorna i det antika Mesopotamien. Samma nummervärde sid Det finns också i bibeltexten: "Och han gjorde ett hav av gjuten koppar, från ände till ände var det tio alnar, helt runt, fem alnar högt, och ett snöre på trettio alnar kramade om det" (1 Kungaboken 7:23). Det gjorde även de gamla kineserna. Men redan år 2000 f.Kr. de forntida egyptierna använde ett mer exakt värde för talet 241, som erhålls från formeln för arean av en cirkel med diameter d:

Denna regel från det 50:e problemet med Rhind-papyrusen motsvarar värdet 4(8/9) 2 » 3.1605. Rhinda-papyrusen, som hittades 1858, är uppkallad efter sin första ägare, den kopierades av skrivaren Ahmes omkring 1650 f.Kr., författaren till originalet är okänd, det är bara fastställt att texten skapades under andra hälften av 1800-talet. århundrade. FÖRE KRISTUS. Även om hur egyptierna fick själva formeln framgår inte av sammanhanget. I den så kallade Moskva-papyrusen, som kopierades av en viss student mellan 1800 och 1600 f.Kr. från en äldre text, cirka 1900 f.Kr., finns ett annat intressant problem med att beräkna ytan på en korg "med ett hål på 4½". Det är inte känt vilken form korgen hade, men det är alla forskare överens om här för antalet sid samma ungefärliga värde 4(8/9) 2 tas.

För att förstå hur de forntida forskarna fick det här eller det resultatet, bör man försöka lösa problemet med bara kunskapen och metoderna för beräkningar från den tiden. Det är precis vad forskare av antika texter gör, men de lösningar de lyckas hitta är inte nödvändigtvis "samma". Mycket ofta erbjuds flera lösningar för en uppgift, alla kan välja efter sin smak, men ingen kan säga att det användes i antiken. När det gäller arean av en cirkel, verkar hypotesen av A.E. Raik, författaren till många böcker om matematikens historia, rimlig: arean av en cirkel med diameter d jämförs med arean av kvadraten som beskrivs runt den, från vilken små rutor med sidor och tas bort i sin tur (fig. 1). I vår notation kommer beräkningarna att se ut så här: i den första approximationen, cirkelns yta S lika med skillnaden mellan arean av en kvadrat med en sida d och den totala ytan av fyra små rutor MEN med en fest d:

Denna hypotes stöds av liknande beräkningar i ett av problemen med Moskva-papyrusen, där det föreslås att räkna

Från 600-talet. FÖRE KRISTUS. matematiken utvecklades snabbt i antikens Grekland. Det var de antika grekiska geometrarna som strikt bevisade att en cirkels omkrets är proportionell mot dess diameter ( l = 2sid R; Rär cirkelns radie, l - dess längd), och arean av en cirkel är hälften av produkten av omkretsen och radien:

S = ½ l R = sid R 2 .

Detta bevis tillskrivs Eudoxus av Cnidus och Archimedes.

På 300-talet FÖRE KRISTUS. Arkimedes i skrift Om att mäta en cirkel beräknade omkretsen av regelbundna polygoner inskrivna i en cirkel och beskrev runt den (Fig. 2) - från en 6- till en 96-gon. Därmed konstaterade han att antalet sid ligger mellan 3 10/71 och 3 1/7, dvs. 3,14084< sid < 3,14285. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности. Более точное приближение 3 17/120 (sid» 3.14166) hittades av den berömda astronomen, skaparen av trigonometri, Claudius Ptolemaios (2:a århundradet), men den kom inte till användning.

Indianer och araber trodde det sid= . Detta värde ges också av den indiske matematikern Brahmagupta (598 - ca 660). I Kina, forskare på 300-talet. använde värdet 3 7/50, vilket är sämre än Archimedes approximation, men under andra hälften av 500-talet. Zu Chun Zhi (ca 430 - ca 501) fick för sid ungefär 355/113 ( sid» 3,1415927). Den förblev okänd för européer och hittades återigen av den holländska matematikern Adrian Antonis först 1585. Denna approximation ger ett fel endast i sjunde decimalen.

Sökandet efter en mer exakt uppskattning sid fortsatte vidare. Till exempel, al-Kashi (första hälften av 1400-talet) i Avhandling om cirkeln(1427) beräknade 17 decimaler sid. I Europa hittades samma betydelse 1597. För att göra detta var han tvungen att beräkna sidan av en vanlig 800 335 168-gon. Den holländska vetenskapsmannen Ludolph Van Zeilen (1540–1610) hittade 32 korrekta decimaler för det (publicerat postumt 1615), denna uppskattning kallas Ludolf-talet.

siffra sid dyker inte bara upp för att lösa geometriska problem. Sedan F. Vietas tid (1540–1603) har sökandet efter gränserna för vissa aritmetiska sekvenser sammanställda enligt enkla lagar lett till samma antal sid. Av denna anledning, vid fastställandet av antalet sid nästan alla kända matematiker deltog: F. Viet, H. Huygens, J. Wallis, G. V. Leibniz, L. Euler. De fick olika uttryck för 241 i form av en oändlig produkt, summan av en serie, en oändlig bråkdel.

Till exempel, 1593 härledde F. Viet (1540–1603) formeln

År 1658 hittade engelsmannen William Brounker (1620–1684) en representation av talet sid som en oändlig fortsatt bråkdel

det är dock inte känt hur han kom fram till detta resultat.

År 1665 bevisade John Wallis (1616–1703) det

Denna formel bär hans namn. För den praktiska bestämningen av talet 241 är det till liten nytta, men är användbart i olika teoretiska resonemang. Det kom in i vetenskapens historia som ett av de första exemplen på oändliga verk.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) fastställde följande formel 1673:

uttrycker antal sid/4 som summan av serien. Denna serie konvergerar dock väldigt långsamt. Att beräkna sid exakt till tio siffror, skulle det vara nödvändigt, som Isaac Newton visade, att hitta summan av 5 miljarder siffror och spendera omkring tusen års kontinuerligt arbete på detta.

London-matematikern John Machin (1680–1751) 1706, med hjälp av formeln

fick uttrycket

som fortfarande anses vara en av de bästa för ungefärlig beräkning sid. Det tar bara några timmars manuell räkning för att hitta samma tio exakta decimaler. John Machin själv räknade sid med 100 korrekta tecken.

Använder samma rad för arctg x och formler

talvärde sid mottas på en dator med en noggrannhet på hundra tusen decimaler. Sådana beräkningar är av intresse i samband med begreppet slumpmässiga och pseudoslumpmässiga tal. Statistisk bearbetning av en beställd uppsättning av ett specificerat antal tecken sid visar att den har många av egenskaperna hos en slumpmässig sekvens.

Det finns några roliga sätt att komma ihåg ett nummer sid mer exakt än bara 3,14. När du till exempel har lärt dig följande kvat kan du enkelt namnge sju decimaler sid:

Du behöver bara prova

Och kom ihåg allt som det är:

Tre, fjorton, femton

nittiotvå och sex.

(S.Bobrov Magic Bicorn)

Att räkna antalet bokstäver i varje ord i följande fraser ger också värdet på siffran sid:

"Vad vet jag om cirklar?" ( sid» 3,1416). Detta ordspråk föreslogs av Ya.I. Perelman.

"Så jag vet numret som heter Pi. - Bra gjort!" ( sid» 3,1415927).

"Lär dig och känn i numret som är känt bakom numret numret, hur man märker lycka" ( sid» 3.14159265359).

Läraren vid en av skolorna i Moskva kom med raden: "Jag vet det här och minns det perfekt," och hans elev komponerade en rolig fortsättning: "Många tecken är överflödiga för mig, förgäves." Denna kuplett låter dig definiera 12 siffror.

Och så här ser 101 siffror i ett nummer ut sid utan avrundning

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

Numera, med hjälp av en dator, värdet av ett tal sid beräknas med miljontals korrekta siffror, men sådan precision behövs inte i några beräkningar. Men möjligheten till analytisk bestämning av antalet ,

I den sista formeln innehåller täljaren alla primtal, och nämnarna skiljer sig från dem med en, och nämnaren är större än täljaren om den har formen 4 n+ 1, och mindre annars.

Även om sedan slutet av 1500-talet, d.v.s. sedan själva begreppen rationella och irrationella tal bildades har många forskare varit övertygade om att sid- talet är irrationellt, men först 1766 bevisade den tyske matematikern Johann Heinrich Lambert (1728–1777), baserat på det förhållande som upptäcktes av Euler mellan exponential- och trigonometriska funktioner, detta strikt. siffra sid kan inte representeras som ett enkelt bråk, oavsett hur stora täljaren och nämnaren är.

1882 bevisade professorn vid universitetet i München, Carl Louis Ferdinand Lindemann (1852–1939), med hjälp av de resultat som erhållits av den franske matematikern C. Hermite, att sid- ett transcendentalt tal, dvs. det är inte roten till någon algebraisk ekvation a n x n + a n– 1 x n– 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 med heltalskoefficienter. Detta bevis satte stopp för historien om det äldsta matematiska problemet med att kvadrera en cirkel. I tusentals år har detta problem inte vikat för matematikernas ansträngningar, uttrycket "squaring the circle" har blivit synonymt med ett olösligt problem. Och det hela visade sig ligga i numrets transcendentala natur sid.

Till minne av denna upptäckt restes en byst av Lindemann i hallen framför det matematiska auditoriet vid universitetet i München. På piedestalen under hans namn finns en cirkel som korsas av en kvadrat med lika stor yta, inuti vilken bokstaven är inskriven sid.

Marina Fedosova

Introduktion

Artikeln innehåller matematiska formler, så för läsning gå till webbplatsen för korrekt visning. Numret \(\pi \) har en rik historia. Denna konstant anger förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter.

Inom vetenskapen används talet \(\pi \) i alla beräkningar där det finns cirklar. Från volymen av en burk läsk, till satelliternas banor. Och inte bara cirklar. I studien av böjda linjer hjälper numret \(\pi \) faktiskt till att förstå periodiska och oscillerande system. Till exempel elektromagnetiska vågor och till och med musik.

År 1706, i boken "A New Introduction to Mathematics" av den brittiske vetenskapsmannen William Jones (1675-1749), användes bokstaven i det grekiska alfabetet \(\pi\) för första gången för att beteckna siffran 3.141592. .. Denna beteckning kommer från begynnelsebokstaven i de grekiska orden περιϕερεια - cirkel, periferi och περιµετρoς - omkrets. Den allmänt accepterade beteckningen kom efter Leonhard Eulers arbete 1737.

geometrisk period

Konstansen i förhållandet mellan längden av en cirkel och dess diameter har märkts under lång tid. Invånarna i Mesopotamien använde en ganska grov approximation av antalet \(\pi \). Som följer av gamla problem använder de värdet \(\pi ≈ 3 \) i sina beräkningar.

Ett mer exakt värde för \(\pi \) användes av de gamla egyptierna. I London och New York förvaras två delar av en forntida egyptisk papyrus, som kallas "Rhinda Papyrus". Papyrusen sammanställdes av skrivaren Armes mellan ca 2000-1700 f.Kr. BC Armes skrev i sin papyrus att arean av en cirkel med en radie \(r\) är lika med arean av en kvadrat med en sida lika med \(\frac(8)(9) \) från cirkelns diameter \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), dvs. \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Därför \(\pi = 3,16\).

Den antike grekiske matematikern Arkimedes (287-212 f.Kr.) satte först uppgiften att mäta en cirkel på vetenskaplig grund. Han fick poängen \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Metoden är ganska enkel, men i avsaknad av färdiga tabeller över trigonometriska funktioner kommer rotextraktion att krävas. Dessutom konvergerar approximationen till \(\pi \) mycket långsamt: med varje iteration minskar felet bara med en faktor fyra.

Analytisk period

Trots detta, fram till mitten av 1600-talet, reducerades alla försök från europeiska vetenskapsmän att beräkna antalet \ (\ pi \) till att öka polygonens sidor. Till exempel beräknade den holländska matematikern Ludolf van Zeilen (1540-1610) det ungefärliga värdet av talet \(\pi \) med en noggrannhet på 20 decimalsiffror.

Det tog honom 10 år att komma på det. Genom att dubbla antalet sidor av inskrivna och omskrivna polygoner enligt Arkimedes metod, kom han fram till \(60 \cdot 2^(29) \) - en gon för att beräkna \(\pi \) med 20 decimaler platser.

Efter hans död hittades 15 mer exakta siffror av numret \(\pi \) i hans manuskript. Ludolph testamenterade att tecknen han hittade var ristade på hans gravsten. För att hedra honom kallades talet \(\pi \) ibland för "Ludolf-talet" eller "Ludolf-konstanten".

En av de första som introducerade en annan metod än Arkimedes var François Viet (1540-1603). Han kom fram till att en cirkel vars diameter är lika med en har en area:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) ) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt (\frac(1)(2) \cdots )))) \]

Å andra sidan är området \(\frac(\pi)(4) \). Genom att ersätta och förenkla uttrycket kan vi få följande oändliga produktformel för att beräkna det ungefärliga värdet \(\frac(\pi)(2) \):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2) )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Den resulterande formeln är det första exakta analytiska uttrycket för talet \(\pi \). Utöver denna formel gav Viet, med hjälp av Arkimedes metod, med hjälp av inskrivna och omskrivna polygoner, som började med en 6-gon och slutade med en polygon med \(2^(16) \cdot 6 \) sidor, en approximation av talet \(\pi \) med 9 korrekta tecken.

Den engelske matematikern William Brounker (1620-1684) använde det fortsatta bråket för att beräkna \(\frac(\pi)(4)\) enligt följande:

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots ))))))) \]

Denna metod för att beräkna approximationen av talet \(\frac(4)(\pi) \) kräver ganska många beräkningar för att få åtminstone en liten approximation.

Värdena som erhålls som ett resultat av substitutionen är antingen större eller mindre än talet \(\pi \), och varje gång närmare det sanna värdet, men att få värdet 3,141592 kommer att kräva en ganska stor beräkning.

En annan engelsk matematiker John Machin (1686-1751) 1706 använde formeln som härleddes av Leibniz 1673 för att beräkna talet \(\pi \) med 100 decimaler, och använde den enligt följande:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) - arctg\frac(1)(239) \]

Serien konvergerar snabbt och kan användas för att beräkna talet \(\pi \) med stor noggrannhet. Formler av denna typ användes för att sätta flera rekord i datoråldern.

På 1600-talet med början av perioden för matematik av variabel storlek började ett nytt steg i beräkningen av \(\pi \). Den tyske matematikern Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fann 1673 expansionen av talet \(\pi \), i allmän form kan det skrivas som följande oändliga serie:

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

Serien erhålls genom att ersätta x = 1 i \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) - \cdots\)

Leonhard Euler utvecklar idén om Leibniz i hans arbete om användningen av serier för arctg x vid beräkning av talet \(\pi \). Avhandlingen "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" (Om de olika metoderna för att uttrycka kvadraten av en cirkel med ungefärliga tal), skriven 1738, diskuterar metoder för att förbättra beräkningar med Leibniz-formeln.

Euler skriver att bågtangensserien kommer att konvergera snabbare om argumentet tenderar mot noll. För \(x = 1\) är konvergensen av serien mycket långsam: för att beräkna med en noggrannhet på upp till 100 siffror är det nödvändigt att lägga till \(10^(50)\) termer i serien. Du kan påskynda beräkningarna genom att minska värdet på argumentet. Om vi ​​tar \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), så får vi serien

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 - \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) - \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

Enligt Euler, om vi tar 210 termer av denna serie får vi 100 korrekta siffror av numret. Den resulterande serien är obekväm, eftersom det är nödvändigt att känna till ett tillräckligt exakt värde på det irrationella talet \(\sqrt(3)\). I sina beräkningar använde Euler också expansioner av bågtangenser till summan av bågtangenser för mindre argument:

\[där x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Långt ifrån alla formler för att beräkna \(\pi \) som Euler använde i sina anteckningsböcker har publicerats. I publicerade arbeten och anteckningsböcker övervägde han 3 olika serier för beräkning av bågtangens, och gjorde också många påståenden om antalet summerbara termer som behövs för att få ett ungefärligt värde \(\pi \) med en given noggrannhet.

Under de efterföljande åren skedde förfiningen av värdet på talet \(\pi \) snabbare och snabbare. Så till exempel, 1794, identifierade George Vega (1754-1802) redan 140 tecken, varav endast 136 visade sig vara korrekta.

Beräkningsperiod

1900-talet präglades av ett helt nytt skede i beräkningen av antalet \(\pi \). Den indiske matematikern Srinivasa Ramanujan (1887-1920) upptäckte många nya formler för \(\pi \). 1910 fick han en formel för att beräkna \(\pi \) genom expansionen av bågtangensen i en Taylor-serie:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

Med k=100 uppnås en noggrannhet på 600 korrekta siffror av talet \(\pi \).

Tillkomsten av datorer gjorde det möjligt att avsevärt öka noggrannheten hos de erhållna värdena på kortare tid. 1949, med hjälp av ENIAC, fick en grupp forskare under ledning av John von Neumann (1903-1957) 2037 decimaler av \(\pi \) på bara 70 timmar. David och Gregory Chudnovsky fick 1987 en formel med vilken de kunde sätta flera rekord i beräkningen \(\pi \):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Varje medlem i serien ger 14 siffror. 1989 erhölls 1 011 196 691 decimaler. Denna formel är väl lämpad för att beräkna \(\pi \) på persondatorer. För tillfället är bröderna professorer vid Polytechnic Institute vid New York University.

En viktig ny utveckling var upptäckten av formeln 1997 av Simon Pluff. Det låter dig extrahera vilken hexadecimal siffra som helst i talet \(\pi \) utan att beräkna de föregående. Formeln kallas "Bailey-Borwain-Pluff-formeln" för att hedra författarna till artikeln där formeln först publicerades. Det ser ut så här:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) - \frac(2)(8k+4) ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

2006 kom Simon, med hjälp av PSLQ, på några trevliga formler för att beräkna \(\pi \). Till exempel,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) - 1) - \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

där \(q = e^(\pi)\). År 2009 fick japanska forskare, som använde superdatorn T2K Tsukuba System, talet \(\pi \) med 2 576 980 377 524 decimaler. Beräkningarna tog 73 timmar 36 minuter. Datorn var utrustad med 640 fyrkärniga AMD Opteron-processorer, som gav en prestanda på 95 biljoner operationer per sekund.

Nästa prestation i att beräkna \(\pi \) tillhör den franske programmeraren Fabrice Bellard, som i slutet av 2009 på sin persondator som kör Fedora 10 satte rekord genom att beräkna 2 699 999 990 000 decimaler av talet \(\pi \). Under de senaste 14 åren är detta det första världsrekordet utan användning av superdator. För hög prestanda använde Fabrice Chudnovsky-brödernas formel. Totalt tog beräkningen 131 dagar (103 dagars beräkning och 13 dagars verifiering). Bellars prestation visade att för sådana beräkningar är det inte nödvändigt att ha en superdator.

Bara sex månader senare slogs François rekord av ingenjörerna Alexander Yi och Singer Kondo. För att sätta ett rekord på 5 biljoner decimaler \(\pi \) användes också en persondator, men med mer imponerande egenskaper: två Intel Xeon X5680-processorer på 3,33 GHz, 96 GB RAM, 38 TB diskminne och drift system Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. För beräkningar använde Alexander och Singer formeln för bröderna Chudnovsky. Beräkningsprocessen tog 90 dagar och 22 TB diskutrymme. 2011 satte de ytterligare ett rekord genom att beräkna 10 biljoner decimaler för talet \(\pi \). Beräkningarna skedde på samma dator som hade satt deras tidigare rekord och tog totalt 371 dagar. I slutet av 2013 förbättrade Alexander och Singeru rekordet till 12,1 biljoner siffror av numret \(\pi \), vilket tog dem bara 94 dagar att beräkna. Denna förbättring av prestanda uppnås genom att optimera mjukvarans prestanda, öka antalet processorkärnor och avsevärt förbättra programvarans feltolerans.

Det nuvarande rekordet är Alexander Yi och Singeru Kondo, vilket är 12,1 biljoner decimaler av \(\pi \).

Således undersökte vi metoderna för att beräkna antalet \(\pi \) som användes i antiken, analytiska metoder, och undersökte även moderna metoder och register för att beräkna antalet \(\pi \) på datorer.

Lista över källor

1. Zhukov A.V. Det allestädes närvarande antalet Pi - M.: LKI Publishing House, 2007 - 216 sid.
2. F. Rudio. Om cirkelns kvadratur, med bilaga till frågans historia, sammanställd av F. Rudio. / Rudio F. - M .: ONTI NKTP USSR, 1936. - 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. - Springer, 2001. - 270p.
4. Shukhman, E.V. Ungefärlig beräkning av Pi med hjälp av en serie för arctg x i publicerade och opublicerade verk av Leonhard Euler / E.V. Shukhman. - Vetenskapens och teknikens historia, 2008 - nr 4. - S. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuliaturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 - volym 9 - 222-236 sid.
6. Shumikhin, S. Number Pi. 4000 års historia / S. Shumikhin, A. Shumikhina. — M.: Eksmo, 2011. — 192s.
7. Borwein, J.M. Ramanujan och Pi. / Borwein, J.M., Borwein P.B. I vetenskapens värld. 1988 - nr 4. - S. 58-66.
8. Alex Yee. nummervärlden. Åtkomstläge: numberworld.org

Gillade?

Säga

13 januari 2017

***

Vad är vanligt mellan ett hjul från Lada Priora, en vigselring och ett fat till din katt? Naturligtvis kommer du att säga skönhet och stil, men jag vågar argumentera med dig. Pi! Detta är ett nummer som förenar alla cirklar, cirklar och rundhet, som i synnerhet inkluderar min mammas ring och hjulet från min pappas favoritbil, och till och med fatet till min älskade katt Murzik. Jag är villig att slå vad om att i rankningen av de mest populära fysiska och matematiska konstanterna kommer talet Pi utan tvekan att ta första raden. Men vad ligger bakom? Kanske några fruktansvärda förbannelser av matematiker? Låt oss försöka förstå denna fråga.

Vad är numret "Pi" och var kom det ifrån?

Modern nummerbeteckning π (Pi) dök upp tack vare den engelske matematikern Johnson 1706. Detta är den första bokstaven i det grekiska ordet περιφέρεια (periferi eller omkrets). För dem som har gått igenom matematik under lång tid, och dessutom tidigare, minns vi att talet Pi är förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter. Värdet är en konstant, det vill säga det är konstant för vilken cirkel som helst, oavsett dess radie. Folk har vetat om detta sedan urminnes tider. Så i det gamla Egypten togs talet Pi lika med förhållandet 256/81, och i de vediska texterna ges värdet 339/108, medan Arkimedes föreslog förhållandet 22/7. Men varken dessa eller många andra sätt att uttrycka talet pi gav ett korrekt resultat.

Det visade sig att talet Pi är transcendentalt respektive irrationellt. Det betyder att det inte kan representeras som ett enkelt bråk. Om det uttrycks i termer av decimal, kommer sekvensen av siffror efter decimalkomma att rusa till oändlighet, dessutom utan att periodiskt upprepas. Vad betyder allt detta? Väldigt enkelt. Vill du veta telefonnumret till tjejen du gillar? Det kan säkert hittas i siffrorna efter decimalkomma för Pi.

Telefonen kan ses här ↓

Pi-nummer upp till 10 000 tecken.

π= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

Hittade du den inte? Titta sedan.

I allmänhet kan det inte bara vara ett telefonnummer, utan all information kodad med nummer. Till exempel, om vi representerar alla verk av Alexander Sergeevich Pushkin i digital form, lagrades de i numret Pi redan innan han skrev dem, även innan han föddes. Där förvaras de i princip fortfarande. Förresten, förbannelser av matematiker i π är också närvarande, och inte bara matematiker. Med ett ord, Pi har allt, även tankar som kommer att besöka ditt ljusa huvud imorgon, i övermorgon, om ett år, eller kanske om två. Detta är väldigt svårt att tro, men även om vi låtsas tro det så blir det ännu svårare att få information därifrån och dechiffrera den. Så istället för att fördjupa sig i dessa siffror kanske det är lättare att gå fram till tjejen du gillar och be henne om ett nummer? .. Men för de som inte letar efter enkla vägar, ja, eller bara är intresserade av vad numret Pi är, Jag erbjuder flera sätt att beräkningar. Räkna med hälsa.

Vad är värdet av Pi? Metoder för dess beräkning:

1. Experimentell metod. Om pi är förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter, så kanske det första och mest uppenbara sättet att hitta vår mystiska konstant är att manuellt ta alla mätningar och beräkna pi med formeln π=l/d. Där l är cirkelns omkrets och d är dess diameter. Allt är väldigt enkelt, du behöver bara beväpna dig med en tråd för att bestämma omkretsen, en linjal för att hitta diametern och faktiskt längden på själva tråden och, ja, en kalkylator om du har problem med att dela i en kolumn. En kastrull eller en burk med gurkor kan fungera som ett uppmätt prov, det spelar ingen roll, huvudsaken? så att basen är en cirkel.

Den övervägda beräkningsmetoden är den enklaste, men tyvärr har den två betydande nackdelar som påverkar noggrannheten hos det resulterande Pi-talet. För det första, felet i mätinstrument (i vårt fall är detta en linjal med en tråd), och för det andra finns det ingen garanti för att cirkeln vi mäter kommer att ha rätt form. Därför är det inte förvånande att matematiken har gett oss många andra metoder för att beräkna π, där det inte finns något behov av att göra exakta mätningar.

2. Leibniz-serien. Det finns flera oändliga serier som låter dig exakt beräkna antalet pi till ett stort antal decimaler. En av de enklaste serierna är Leibniz-serien. π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
Det är enkelt: vi tar bråk med 4 i täljaren (detta är den överst) och ett tal från sekvensen av udda tal i nämnaren (detta är den på botten), adderar och subtraherar dem i tur och ordning med varandra och få numret Pi. Ju fler iterationer eller upprepningar av våra enkla handlingar, desto mer exakt blir resultatet. Enkelt, men inte effektivt, förresten, det tar 500 000 iterationer för att få det exakta värdet av Pi till tio decimaler. Det vill säga, vi kommer att behöva dela de olyckliga fyra så många som 500 000 gånger, och utöver detta måste vi subtrahera och addera de erhållna resultaten 500 000 gånger. Vill du pröva?

3. Nilakanta-serien. Har du inte tid att pilla med Leibniz härnäst? Det finns ett alternativ. Nilakanta-serien, även om den är lite mer komplicerad, gör att vi kan få önskat resultat snabbare. π = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11) *12) - (4/(12*13*14) ... Jag tror att om du noggrant tittar på det givna initiala fragmentet av serien, blir allt tydligt och kommentarer är överflödiga. På detta går vi vidare.

4. Monte Carlo metoden En ganska intressant metod för att beräkna pi är Monte Carlo-metoden. Ett sådant extravagant namn fick han för att hedra staden med samma namn i kungariket Monaco. Och anledningen till detta är slumpmässig. Nej, det namngavs inte av en slump, det är bara det att metoden är baserad på slumpmässiga siffror, och vad kan vara mer slumpmässigt än siffrorna som faller ut på Monte Carlos casinorouletter? Beräkningen av pi är inte den enda tillämpningen av denna metod, eftersom den på femtiotalet användes i beräkningarna av vätebomben. Men låt oss inte avvika.

Låt oss ta en kvadrat med en sida lika med 2r, och inskriv i den en cirkel med en radie r. Nu om du slumpmässigt sätter prickar i en kvadrat, då är sannolikheten P att en punkt passar in i en cirkel är förhållandet mellan cirkelns ytor och kvadraten. P \u003d S cr / S q \u003d 2πr 2 / (2r) 2 \u003d π / 4.

Härifrån uttrycker vi nu talet Pi π=4P. Det återstår bara att erhålla experimentella data och hitta sannolikheten P som förhållandet mellan träffar i cirkeln N cr att träffa torget N kvm. I allmänhet kommer beräkningsformeln att se ut så här: π=4N cr/N sq.

Jag skulle vilja notera att för att implementera denna metod är det inte nödvändigt att gå till kasinot, det räcker med att använda något mer eller mindre anständigt programmeringsspråk. Tja, noggrannheten av resultaten kommer att bero på antalet inställda poäng, respektive, ju fler, desto mer exakt. Jag önskar dig lycka till 😉

Tau nummer (istället för slutsats).

Människor som är långt ifrån matematik vet med största sannolikhet inte, men det hände sig att talet Pi har en bror som är dubbelt så stor som den. Detta är talet Tau(τ), och om Pi är förhållandet mellan omkretsen och diametern, så är Tau förhållandet mellan den längden och radien. Och idag finns det förslag från vissa matematiker att överge talet Pi och ersätta det med Tau, eftersom detta är på många sätt bekvämare. Men än så länge är det bara förslag, och som Lev Davidovich Landau sa: "En ny teori börjar dominera när anhängarna till den gamla dör ut."