Kotna točka grafa. Tangenta na graf funkcije v točki

Vrsta dela: 7

Stanje

Premica y=3x+2 je tangentna na graf funkcije y=-12x^2+bx-10. Poiščite b , glede na to, da je abscisa dotične točke manjša od nič.

Pokaži rešitev

Rešitev

Naj bo x_0 abscisa točke na grafu funkcije y=-12x^2+bx-10, skozi katero poteka tangenta na ta graf.

Vrednost odvoda v točki x_0 je enaka naklonu tangente, tj. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Po drugi strani pa tangentna točka pripada tako grafu funkcije kot grafu funkcije. tangenta, tj -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Dobimo sistem enačb \begin(primeri) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(primeri)

Če rešimo ta sistem, dobimo x_0^2=1, kar pomeni ali x_0=-1 ali x_0=1. Glede na pogoj abscise so stične točke manjše od nič, torej x_0=-1, nato b=3+24x_0=-21.

Odgovori

Vrsta dela: 7
tema: geometrijski smisel izpeljanka. Tangenta na funkcijski graf

Stanje

Premica y=-3x+4 je vzporedna s tangento na graf funkcije y=-x^2+5x-7. Poiščite absciso stične točke.

Pokaži rešitev

Rešitev

Naklon črte do grafa funkcije y=-x^2+5x-7 na poljubni točki x_0 je y"(x_0). Toda y"=-2x+5, torej y"(x_0)=- 2x_0+5 Kotni koeficient premice y=-3x+4, določen v pogoju, je -3.Vzporedne premice imajo enake naklonske koeficiente.Zato najdemo takšno vrednost x_0, da je =-2x_0 +5=-3.

Dobimo: x_0 = 4.

Odgovori

Vir: "Matematika. Priprave na izpit 2017. ravni profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabuhova.

Vrsta dela: 7
Tema: Geometrijski pomen izpeljanke. Tangenta na funkcijski graf

Stanje

Pokaži rešitev

Rešitev

Iz slike ugotovimo, da tangenta poteka skozi točki A(-6; 2) in B(-1; 1). S C(-6; 1) označimo točko presečišča premici x=-6 in y=1, z \alpha pa kot ABC (na sliki je razvidno, da je ostra). Nato premica AB tvori tup kot \pi -\alpha s pozitivno smerjo osi Ox.

Kot veste, bo tg(\pi -\alpha) vrednost izvoda funkcije f(x) v točki x_0. opazi, da tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Od tu z redukcijskimi formulami dobimo: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Odgovori

Vir: "Matematika. Priprave na izpit 2017. ravni profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabuhova.

Vrsta dela: 7
Tema: Geometrijski pomen izpeljanke. Tangenta na funkcijski graf

Stanje

Premica y=-2x-4 je tangentna na graf funkcije y=16x^2+bx+12. Poiščite b , glede na to, da je abscisa dotične točke večja od nič.

Pokaži rešitev

Rešitev

Naj bo x_0 abscisa točke na grafu funkcije y=16x^2+bx+12, skozi katero

je tangenta na ta graf.

Vrednost odvoda v točki x_0 je enaka naklonu tangente, tj. y "(x_0)=32x_0+b=-2. Po drugi strani pa tangentna točka pripada tako grafu funkcije kot grafu funkcije. tangenta, tj 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Dobimo sistem enačb \begin(primeri) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(primeri)

Če rešimo sistem, dobimo x_0^2=1, kar pomeni ali x_0=-1 ali x_0=1. Glede na pogoj abscise so stične točke večje od nič, torej x_0=1, nato b=-2-32x_0=-34.

Odgovori

Vir: "Matematika. Priprave na izpit 2017. ravni profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabuhova.

Vrsta dela: 7
Tema: Geometrijski pomen izpeljanke. Tangenta na funkcijski graf

Stanje

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x), definirane na intervalu (-2; 8). Določi število točk, kjer je tangenta na graf funkcije vzporedna z premico y=6.

Pokaži rešitev

Rešitev

Premica y=6 je vzporedna z osjo Ox. Zato najdemo takšne točke, pri katerih je tangenta na graf funkcije vzporedna z osjo Ox. Na tem grafikonu so takšne točke točke ekstrema (največje ali minimalne točke). Kot lahko vidite, obstajajo 4 ekstremne točke.

Odgovori

Vir: "Matematika. Priprave na izpit 2017. ravni profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabuhova.

Vrsta dela: 7
Tema: Geometrijski pomen izpeljanke. Tangenta na funkcijski graf

Stanje

Premica y=4x-6 je vzporedna s tangento na graf funkcije y=x^2-4x+9. Poiščite absciso stične točke.

Pokaži rešitev

Rešitev

Naklon tangente na graf funkcije y \u003d x ^ 2-4x + 9 na poljubni točki x_0 je y "(x_0). Toda y" \u003d 2x-4, kar pomeni y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Naklon tangente y = 4x-7, določen v pogoju, je enak 4. Vzporedne črte imajo enake naklone. Zato najdemo takšno vrednost x_0, da je 2x_0-4 \u003d 4. Dobimo : x_0 \u003d 4.

Odgovori

Vir: "Matematika. Priprave na izpit 2017. ravni profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabuhova.

Vrsta dela: 7
Tema: Geometrijski pomen izpeljanke. Tangenta na funkcijski graf

Stanje

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x_0. Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x_0.

Pokaži rešitev

Rešitev

Iz slike ugotovimo, da tangenta poteka skozi točki A(1; 1) in B(5; 4). S C(5; 1) označimo točko presečišča premici x=5 in y=1, z \alpha pa kot BAC (na sliki je razvidno, da je oster). Nato premica AB tvori kot \alpha s pozitivno smerjo osi Ox.

V tem članku bomo analizirali vse vrste težav za iskanje

Spomnimo se geometrijski pomen izpeljanke: če je na graf funkcije v točki potegnjena tangenta, je naklon tangente (enak tangenti kota med tangento in pozitivno smerjo osi ) enak odvodu funkcije pri točka .

Vzemite poljubno točko na tangenti s koordinatami:

In razmislite o pravokotnem trikotniku:

V tem trikotniku

Od tod

To je enačba tangente, narisane na graf funkcije v točki.

Za pisanje enačbe tangente moramo poznati le enačbo funkcije in točko, kjer je narisana tangenta. Potem lahko najdemo in.

Obstajajo tri glavne vrste problemov tangentnih enačb.

1. Glede na kontaktno točko

2. Glede na koeficient naklona tangente, to je vrednost izvoda funkcije v točki.

3. Glede na koordinate točke, skozi katero je vlečena tangenta, vendar ni tangentna točka.

Poglejmo si vsako vrsto težave.

ena . Napiši enačbo tangente na graf funkcije na točki .

.

b) Poiščite vrednost izpeljanke v točki . Najprej poiščemo izpeljavo funkcije

Najdene vrednosti zamenjajte v tangentno enačbo:

Odprimo oklepaje na desni strani enačbe. Dobimo:

odgovor: .

2. Poiščite absciso točk, na katerih se funkcije tangente na graf vzporedno z osjo x.

Če je tangenta vzporedna z osjo x, potem je kot med tangento in pozitivno smerjo osi nič, zato je tangent naklona tangente nič. Torej vrednost izpeljanke funkcije na stičnih točkah je nič.

a) Poišči izvod funkcije .

b) Izenačite izpeljanko z nič in poiščite vrednosti, pri katerih je tangenta vzporedna z osjo:

Vsak faktor izenačimo z nič, dobimo:

Odgovor: 0;3;5

3 . Napiši enačbe tangent na graf funkcije , vzporedno naravnost .

Tangenta je vzporedna z premico. Naklon te ravne črte je -1. Ker je tangenta vzporedna s to premico, je zato tudi naklon tangente -1. tj poznamo naklon tangente, in s tem vrednost izvedenega finančnega instrumenta na točki stika.

To je druga vrsta problema za iskanje tangentne enačbe.

Torej, dobimo funkcijo in vrednost odvoda na točki stika.

a) Poišči točke, pri katerih je izvod funkcije enak -1.

Najprej poiščimo izpeljano enačbo.

Izenačimo izpeljanko s številom -1.

Poiščite vrednost funkcije v točki .

(po pogoju)

.

b) Poiščite enačbo tangente na graf funkcije v točki .

Poiščite vrednost funkcije v točki .

(po pogoju).

Te vrednosti nadomestite v tangentno enačbo:

.

odgovor:

4 . Napišite enačbo za tangento na krivuljo , prehod skozi točko

Najprej preverite, ali točka ni stična točka. Če je točka tangentna točka, potem pripada grafu funkcije, njene koordinate pa morajo izpolnjevati enačbo funkcije. Nadomestite koordinate točke v enačbo funkcije.

Naslov="(!LANG:1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} ni kontaktna točka.

To je zadnja vrsta problema za iskanje tangentne enačbe. Prva stvar najti moramo absciso stične točke.

Poiščimo vrednost.

Naj bo kontaktna točka. Točka pripada tangenti na graf funkcije. Če koordinate te točke nadomestimo v tangentno enačbo, dobimo pravilno enakost:

.

Vrednost funkcije v točki je .

Poiščite vrednost odvoda funkcije v točki .

Najprej poiščimo izpeljanko funkcije. ta .

Izvod v točki je .

Zamenjajmo izraze za in v enačbo tangente. Dobimo enačbo za:

Rešimo to enačbo.

Zmanjšaj števec in imenovalec ulomka za 2:

Desno stran enačbe pripeljemo do skupnega imenovalca. Dobimo:

Poenostavite števec ulomka in oba dela pomnožite z - ta izraz je strogo večji od nič.

Dobimo enačbo

Rešimo ga. Če želite to narediti, kvadriramo oba dela in gremo v sistem.

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0) ) )) ( )">!}

Rešimo prvo enačbo.

Odločili se bomo kvadratna enačba, dobimo

Drugi koren ne izpolnjuje pogoja title="(!LANG:8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Zapišimo enačbo tangente na krivuljo v točki . Če želite to narediti, nadomestimo vrednost v enačbi To smo že posneli.

odgovor:
.

Naj je podana funkcija f, ki ima v neki točki x 0 končno izpeljanko f (x 0). Nato premica, ki poteka skozi točko (x 0 ; f (x 0)), ima naklon f '(x 0), se imenuje tangenta.

Toda kaj se zgodi, če izvod v točki x 0 ne obstaja? Obstajata dve možnosti:

1. Tangenta na graf tudi ne obstaja. Klasičen primer je funkcija y = |x | v točki (0; 0).
2. Tangenta postane navpična. To velja na primer za funkcijo y = arcsin x v točki (1; π /2).

Tangentna enačba

Vsaka nenavpična ravna črta je podana z enačbo v obliki y = kx + b, kjer je k naklon. Tangenta ni nobena izjema in za sestavo njene enačbe v neki točki x 0 je dovolj, da poznamo vrednost funkcije in izvoda na tej točki.

Torej, naj bo dana funkcija y = f (x), ki ima izpeljanko y = f '(x) na segmentu. Potem lahko v kateri koli točki x 0 ∈ (a; b) narišemo tangento na graf te funkcije, ki je podana z enačbo:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Tukaj je f ’(x 0) vrednost odvoda v točki x 0, f (x 0) pa je vrednost same funkcije.

Naloga. Podano funkcijo y = x 3 . Napišite enačbo za tangento na graf te funkcije v točki x 0 = 2.

Tangentna enačba: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Točka x 0 = 2 nam je dana, vendar bo treba izračunati vrednosti f (x 0) in f '(x 0).

Najprej poiščimo vrednost funkcije. Tukaj je vse enostavno: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Zdaj poiščimo izpeljanko: f '(x) = (x 3) ' = 3x 2;
Nadomestek v izpeljanki x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Tako dobimo: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
To je tangentna enačba.

Naloga. Sestavite enačbo tangente na graf funkcije f (x) \u003d 2sin x + 5 v točki x 0 \u003d π / 2.

Tokrat ne bomo podrobno opisovali vsakega dejanja - navedli bomo le ključne korake. Imamo:

f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;

Tangentna enačba:

y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

V slednjem primeru se je črta izkazala za vodoravno, ker njen naklon k = 0. S tem ni nič narobe - pravkar smo naleteli na točko ekstrema.

Y \u003d f (x) in če je na tej točki na funkcijski graf mogoče narisati tangento, ki ni pravokotna na os x, potem je naklon tangente f "(a). To smo uporabili že nekaj V § 33 je bilo na primer ugotovljeno, da graf funkcije y \u003d sin x (sinusoida) v izhodišču tvori kot 45 ° z osjo abscise (natančneje tangento na graf pri izvor naredi kot 45 ° s pozitivno smerjo osi x), in v primeru 5 § 33 so bile točke najdene na danem urniku funkcije, pri katerem je tangenta vzporedna z osjo x. V primeru 2 § 33 je bila sestavljena enačba za tangento na graf funkcije y = x 2 v točki x = 1 (natančneje v točki (1; 1), vendar pogosteje le je navedena vrednost abscise, ob predpostavki, da če je vrednost abscise znana, potem lahko vrednost ordinate najdemo iz enačbe y = f(x)). V tem razdelku bomo razvili algoritem za sestavljanje enačbe tangente na graf katere koli funkcije.

Naj sta podani funkcija y \u003d f (x) in točka M (a; f (a)), znano pa je tudi, da f "(a) obstaja. Sestavimo enačbo tangente na graf dano funkcijo v dano točko. Ta enačba, tako kot enačba katere koli premice, ki ni vzporedna z osjo y, ima obliko y = kx + m, zato je problem najti vrednosti koeficientov k in m.

Z naklonom k ​​ni težav: vemo, da je k \u003d f "(a). Za izračun vrednosti m uporabimo dejstvo, da želena črta poteka skozi točko M (a; f (a)). To pomeni, da če zamenjamo koordinate točke M v enačbo premice, dobimo pravilno enakost: f (a) = ka + m, od koder ugotovimo, da je m = f (a) - ka.
Še vedno je treba zamenjati najdene vrednosti koeficientov kitov enačbo naravnost:

Dobili smo enačbo tangente na graf funkcije y \u003d f (x) v točki x \u003d a.
Če recimo
Če v enačbo (1) nadomestimo najdene vrednosti a = 1, f (a) = 1 f "(a) \u003d 2, dobimo: y = 1 + 2 (xf), tj. y = 2x -1.
Primerjajte ta rezultat s tistim, ki smo ga dobili v 2. primeru § 33. Seveda se je zgodilo isto.
Sestavimo enačbo tangente na graf funkcije y \u003d tg x v izhodišču. Imamo: torej cos xf "(0) = 1. Če najdene vrednosti a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 nadomestimo v enačbo (1), dobimo: y \u003d x .
Zato smo tangentoid v § 15 (glej sliko 62) narisali skozi izhodišče koordinat pod kotom 45 ° na abscisno os.
Rešitev teh je dovolj preprosti primeri, smo dejansko uporabili določen algoritem, ki je vgrajen v formulo (1). Naredimo ta algoritem eksplicitno.

ALGORITAM ZA SESTAVITEV ENAČBE FUNKCIJE TANGENTE NA GRAF y = f (x)

1) Absciso stične točke označite s črko a.
2) Izračunaj 1 (a).
3) Poiščite f "(x) in izračunajte f" (a).
4) Najdene številke a, f(a), (a) nadomestimo s formulo (1).

Primer 1 Napišite enačbo za tangento na graf funkcije v točki x = 1.
Uporabimo algoritem, pri čemer upoštevamo, da v ta primer

Na sl. 126 prikazuje hiperbolo, zgrajena je ravna črta y \u003d 2x.
Risba potrjuje dane izračune: pravzaprav se črta y \u003d 2-x dotika hiperbole v točki (1; 1).

odgovor: y \u003d 2-x.
Primer 2 Narišite tangento na graf funkcije, tako da je vzporedna z ravno črto y = 4x - 5.
Izboljšajmo formulacijo problema. Zahteva "narisati tangento" običajno pomeni "narediti enačbo za tangento". To je logično, saj če je človek lahko sestavil enačbo za tangento, potem verjetno ne bo imel težav pri konstruiranju ravne črte na koordinatni ravnini v skladu z njeno enačbo.
Uporabimo algoritem za sestavljanje tangentne enačbe, glede na to, da je v tem primeru, vendar za razliko od prejšnjega primera tukaj obstaja nejasnost: abscisa tangentne točke ni eksplicitno navedena.
Začnimo govoriti takole. Želena tangenta mora biti vzporedna z ravno črto y \u003d 4x-5. Dve premici sta vzporedni, če in samo če sta njuna naklona enaka. To pomeni, da mora biti naklon tangente enak naklonu dane premice: Tako lahko najdemo vrednost a iz enačbe f "(a) \u003d 4.
Imamo:
Iz enačbe torej obstajata dve tangenti, ki izpolnjujeta pogoje problema: ena v točki z absciso 2, druga v točki z absciso -2.
Zdaj lahko delujete v skladu z algoritmom.

Primer 3 Iz točke (0; 1) narišite tangento na graf funkcije
Uporabimo algoritem za sestavljanje enačbe tangente, glede na to, da v tem primeru Upoštevajte, da tukaj, tako kot v primeru 2, abscisa tangentne točke ni izrecno navedena. Kljub temu delujemo po algoritmu.

Po pogoju tangenta poteka skozi točko (0; 1). Če v enačbo (2) nadomestimo vrednosti x = 0, y = 1, dobimo:
Kot lahko vidite, nam je v tem primeru šele v četrtem koraku algoritma uspelo najti absciso stične točke. Če zamenjamo vrednost a \u003d 4 v enačbo (2), dobimo:

Na sl. 127 prikazuje geometrijsko ponazoritev obravnavanega primera: graf funkcije

V § 32 smo ugotovili, da za funkcijo y = f(x), ki ima izvod v fiksni točki x, velja približna enakost:

Za udobje nadaljnjega razmišljanja spremenimo zapis: namesto x bomo napisali a, namesto tega bomo napisali x in temu primerno namesto tega zapisali x-a. Potem bo približna enakost, napisana zgoraj, imela obliko:

Zdaj si oglejte sl. 128. Na graf funkcije y \u003d f (x) v točki M (a; f (a)) je narisana tangenta. Označena točka x na osi x blizu a. Jasno je, da je f(x) ordinata grafa funkcije v določeni točki x. In kaj je f (a) + f "(a) (x-a)? To je ordinata tangente, ki ustreza isti točki x - glej formulo (1). Kakšen je pomen približne enakosti (3)? izračunamo približno vrednost funkcije, vzamemo vrednost tangentne ordinate.

Primer 4 Poiščite približno vrednost številskega izraza 1,02 7 .
To je približno o iskanju vrednosti funkcije y = x 7 v točki x = 1,02. Uporabimo formulo (3), pri čemer upoštevamo to v tem primeru
Kot rezultat dobimo:

Če uporabimo kalkulator, dobimo: 1,02 7 = 1,148685667...
Kot lahko vidite, je natančnost približevanja povsem sprejemljiva.
odgovor: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich algebra 10 razred

koledarsko-tematsko načrtovanje pri matematiki, video pri matematiki na spletu, matematika v šoli prenos

Vsebina lekcije povzetek lekcije podpora okvir predstavitev lekcije pospeševalne metode interaktivne tehnologije Vadite naloge in vaje samoizpit delavnice, treningi, primeri, naloge domača naloga razprava vprašanja retorična vprašanja študentov Ilustracije avdio, video posnetke in večpredstavnost fotografije, slike grafike, tabele, sheme humor, anekdote, šale, stripovske prispodobe, izreki, križanke, citati Dodatki povzetkičlanki čipi za radovedne jaslice učbeniki osnovni in dodatni slovarček pojmov drugo Izboljšanje učbenikov in poukapopravljanje napak v učbeniku posodabljanje fragmenta v učbeniku elementi inovativnosti v lekciji zamenjava zastarelo znanje z novim Samo za učitelje popolne lekcije koledarski načrt za eno leto smernice razpravni programi Integrirane lekcije

Upoštevajte naslednjo sliko:

Prikazuje neko funkcijo y = f(x), ki je diferencibilna v točki a. Označena točka M s koordinatami (a; f(a)). Skozi poljubno točko P(a + ∆x; f(a + ∆x)) grafa je narisana sekantna MP.

Če zdaj točko P premaknemo vzdolž grafa do točke M, se bo premica MP zasukala okoli točke M. V tem primeru bo ∆x težil k nič. Od tu lahko formuliramo definicijo tangente na graf funkcije.

Tangenta na funkcijski graf

Tangenta na graf funkcije je mejni položaj sekansa, ko se prirast argumenta nagiba k nič. Treba je razumeti, da obstoj izvoda funkcije f v točki x0 pomeni, da je na tej točki grafa tangenta njemu.

V tem primeru bo naklon tangente enak izvodu te funkcije v tej točki f'(x0). To je geometrijski pomen izpeljanke. Tangenta na graf funkcije f, ki se diferencira v točki x0, je neka ravna črta, ki poteka skozi točko (x0;f(x0)) in ima naklon f’(x0).

Tangentna enačba

Poskusimo dobiti enačbo tangente na graf neke funkcije f v točki A(x0; f(x0)). Enačba premice z naklonom k ​​ima naslednjo obliko:

Ker je naš naklon enak izpeljanki f'(x0), potem bo enačba dobila naslednjo obliko: y = f'(x0)*x + b.

Zdaj pa izračunajmo vrednost b. Za to uporabimo dejstvo, da funkcija poteka skozi točko A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, od tu izrazimo b in dobimo b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Dobljeno vrednost nadomestimo v tangentno enačbo:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Razmislite o naslednjem primeru: poiščite enačbo tangente na graf funkcije f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 v točki x \u003d 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Dobljene vrednosti nadomestimo v tangentno formulo, dobimo: y = 1 + 4*(x - 2). Če odpremo oklepaje in prinesemo podobne člene, dobimo: y = 4*x - 7.

Odgovor: y = 4*x - 7.

Splošna shema za sestavljanje tangentne enačbe na graf funkcije y = f(x):

1. Določi x0.

2. Izračunajte f(x0).

3. Izračunaj f'(x)