Izris y cos x. Trigonometrične funkcije

Če želite uporabiti predogled predstavitev, si ustvarite račun ( račun) Google in se prijavite: https://accounts.google.com

Napisi diapozitivov:

Funkcije y = sin x in y = cos x in njihovi grafi (spremna predstavitev k lekciji) TATYANA SERGEEVNA KORPUSOVA učiteljica matematike MBOU LSOSH št. N.F.Struchenkova Brjanska regija

DEFINICIJA Številčne funkcije, podane s formulama y = sin x in y = cos x, se imenujejo sinus in kosinus. 10.11.2013 Korpusova T.S.

Funkcija y=sin x , graf in lastnosti. 10.11.2013 Korpusova T.S.

Sinusoida y 1 - π / 2 π 2 π 3 π x -3 π / 2 - π 0 π / 2 3 π / 2 5 π / 2 -1 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

y \u003d sin (x + a) PRIMER y 1 -1 π 2 π - π 10.11.2013 Korpusova T.S.

y \u003d sin x + a 1) y = sin x + 1; y 1 x - π 0 π 2 π x -1 x 2) y = sin x - 1

Izris y=sin(x+m)+l y 1 - π 0 π 2 π 3 π x -1 10.11.2013 Korpusova T.S.

Funkcija y = cos x , njene lastnosti in graf. 10.11.2013 Korpusova T.S.

y \u003d cos x y 1 - π / 2 π 2 π 3 π x - π 0 π / 2 3 π / 2 5 π / 2 -1 Korpusova T.S.

Izris y = cos (x+m)+l 1)y =- cos x; y 2 y x 0 x -1 2)y= cos (x- π/4)+2 10.11.2013 Korpusova T.S.

Izris y=k sin x y 2,5 1 x -1 -2,5 10.11.2013 Korpusova T.S.

Iskanje obdobja trigonometrične funkcijeČe je y=f(x) periodična in ima najmanjšo pozitivno obdobje T₁, potem je tudi funkcija y=A f(kx+b), kjer so A, k in b konstante in k ≠ 0 , periodična s periodo Primeri : 10.11.2013 Korpusova T.S. 1) y=sin 6 x +2, T₁=2 π T₁=2 π

Izris periodičnih funkcij 10. november 2013 Korpusova T.S. y x 1 1 y x 1 1 1)T= 4 2)T= 4 Dana je funkcija y= f(x) . Narišite njegov graf, če je obdobje znano. y x 1 1 3)T= 3

Sestavite graf funkcije: y=2cos(2x- π/3)-0,5 in poiščite domeno definicije in obseg vrednosti funkcije 10.11.2013 Korpusova T.S. y x 1 -1 π - π 2 π -2 π T= π

V tej lekciji bomo podrobno obravnavali funkcijo y \u003d cos x, njene glavne lastnosti in graf. Na začetku lekcije bomo definirali trigonometrično funkcijo y = strošek na koordinatnem krogu in upoštevali graf funkcija na krogu in črti. Pokažimo periodičnost te funkcije na grafu in razmislimo o glavnih lastnostih funkcije. Na koncu lekcije bomo rešili nekaj preprostih nalog z uporabo grafa funkcije in njenih lastnosti.

Tema: Trigonometrične funkcije

Lekcija: Funkcija y=strošek, njene glavne lastnosti in graf

Funkcija je zakon, po katerem je vsaki vrednosti neodvisnega argumenta dodeljena edinstvena vrednost funkcije.

Spomnimo se definicija funkcije Naj bo t- katero koli pravo število. Ustreza eni točki M na številčnem krogu. Na točki M obstaja samo ena abscisa. Imenuje se kosinus števila. t. Vsaka vrednost argumenta t ustreza samo eni vrednosti funkcije (slika 1).

Osrednji kot je številčno enak velikosti loka v radianih, t.j. število Zato je argument lahko realno število ali kot v radianih.

Če lahko določimo za vsako vrednost, lahko grafično prikažemo funkcijo

Graf funkcije lahko dobite na drug način. Po redukcijskih formulah tako je kosinusni graf sinusoida, premaknjena vzdolž osi x na levo (slika 2).

Lastnosti funkcije

1) Področje definicije:

2) Obseg vrednosti:

3) Funkcija je enakomerna:

4) Najmanjše pozitivno obdobje:

5) Koordinate presečišč z abscisno osjo:

6) Koordinate presečišča z osjo y:

7) Intervali, na katerih funkcija zavzame pozitivne vrednosti:

8) Intervali, v katerih funkcija prevzame negativne vrednosti:

9) Povečanje intervalov:

10) Padajoči intervali:

11) Nizke točke:

12) Najmanjša funkcija: .

13) Visoke točke:

14) Največje funkcije:

Upoštevali smo glavne lastnosti in graf funkcije, ki jih bomo uporabljali tudi pri reševanju problemov.

Bibliografija

1. Algebra in začetek analize, 10. ocena (v dveh delih). Vadnica za izobraževalne ustanove(profilna raven) izd. A. G. Mordkovič. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra in začetek analize, 10. ocena (v dveh delih). Opravilnik za izobraževalne ustanove (profilna raven), ur. A. G. Mordkovič. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra in matematična analiza za 10. razred ( vadnica za dijake šol in razredov s poglobljenim študijem matematike).-M .: Izobraževanje, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Poglobljen študij algebre in matematične analize.-M .: Izobraževanje, 1997.

5. Zbirka problemov iz matematike za prijavitelje na tehniške univerze (pod uredništvom M.I.Skanavi).-M.: Višja šola, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrični trener.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Naloge iz algebre in začetki analize (priročnik za učence od 10. do 11. razreda splošnoizobraževalnih ustanov).-M .: Izobraževanje, 2003.

8. Karp A.P. Zbirka problemov iz algebre in začetki analize: uč. dodatek za 10-11 celic. z globokim študij matematika.-M.: Izobraževanje, 2006.

Domača naloga

Algebra in začetki analize, 10. razred (v dveh delih). Opravilnik za izobraževalne ustanove (profilna raven), ur. A. G. Mordkovič. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.6, 16.7, 16.9.

Dodatni spletni viri

3. Izobraževalni portal za pripravo na izpite ().

Nazaj naprej

Pozor! Predogled diapozitiva je samo informativne narave in morda ne predstavlja celotnega obsega predstavitve. Če vas zanima to delo prosim prenesite celotno različico.

Tema lekcije: "Funkcija y=cosx"

Lekcija #1

Cilji lekcije: Učencem predstaviti lastnosti funkcije

Cilji lekcije.

Izobraževalni - oblikovanje funkcionalnih predstavitev na vizualnem materialu, oblikovanje sposobnosti risanja grafov funkcije y \u003d cosx, oblikovanje veščin prostega branja grafov, sposobnost odražanja lastnosti funkcije na grafu.

Med poukom

№	Faza lekcije	Diaprojekcija	Čas
1	Organiziranje časa. Pozdravi
2	Napoved teme in namena pouka
3	Posodabljanje osnovnega znanja Izvajanje ustnih vaj.	Frontalna anketa
4	Predstavitev novega gradiva Naloga risanja y \u003d cosx na segmentu Razprava o lastnostih funkcije y = cosx na segmentu Naloga izdelave skice grafa funkcije y = cosx Razprava o lastnostih funkcije y = cosx	Vnos lastnosti v tabelo
5	Reševanje nalog po učbeniku št.708, št.709	Odločitev spremlja diapozitiv številka 4
6	Naloga risanja grafa funkcije s premikom vzdolž ordinatne osi in vzdolž abscisne osi. Razprava o lastnostih funkcije
7	Samostojno delo po učbeniku	№710 (1;3), №711 (1;3), №711 (1;3)
	Povzetek. Rezultati lekcije. Ocenjevanje.
9	Domača naloga	§40 #710(2;4), #711(2;4), #711(2;4). Zgradite grafe funkcij y = cosx in opišite lastnosti te funkcije. Dodatno #717 (1)

Namen lekcije: Učence seznaniti z lastnostmi funkcije y = cosx, naučiti se risati graf funkcije y = cosx, brati ta graf, uporabiti lastnosti in graf funkcije pri reševanju enačb in neenakosti. .

2. Objavo teme in namena pouka spremlja diapozitiv št. 2.

3. Aktualizacija temeljnega znanja

Izvajanje ustnih vaj.

1. Ponovite definicijo trigonometričnih funkcij in predznake vrednosti teh funkcij.
2. Učence opozorite na dejstvo, da za katero koli pravo število lahko določite ustrezno točko na enotnem krogu in s tem njeno absciso in ordinato, t.j. kosinus in sinus števila x: y \u003d cosx in y \u003d sinx, katerih področje definicije so vsa realna števila.

Nato učenci odgovorijo na vprašanja:

1. Pri katerih vrednostih x funkcija y=cosx prevzame vrednost, ki je enaka 0? eno? -eno?
2. Ali lahko funkcija y=cosx sprejme vrednost, večjo od 1, manjšo od -1?
3. Pri katerih vrednostih x funkcija y=cosx prevzame največjo (najmanjšo) vrednost?
4. Kakšen je nabor vrednosti funkcije y=cosx?

Odgovore na ta in naslednja vprašanja spremlja ilustracija na enotnem krogu.

Po ponovitvi znakov vrednosti trigonometričnih funkcij v vsaki četrtini koordinatne ravnine študente prosimo, da pokažejo več točk enotnega kroga, ki ustrezajo številkam, katerih kosinus je pozitivno (negativno) število. Nato odgovori na vprašanja:

1) Kakšen je predznak funkcije y \u003d cosx, če je x \u003d, x \u003d,

0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?

2) Navedite več vrednosti x, pri katerih so vrednosti funkcije y \u003d cosx pozitivne, negativne.

3) Ali je mogoče poimenovati vse vrednosti števila, katerega kosinus je pozitiven, negativen?

4) Ali je mogoče poimenovati vse vrednosti argumenta x, za katere so vrednosti funkcije y = cosx pozitivne ali negativne?

5) Soda ali liha funkcija y = cosx.

6) Kakšno je obdobje te funkcije?

4. Predstavitev novega gradiva.

Posplošitev in konkretizacija znanja, pridobljenega prej: preučevanje področja definicije, niza vrednosti, parnosti, periodičnosti vam omogoča, da sestavite graf najprej na segmentu, nato na segmentu in nato na celotni številski premici. Razlagi je priložen diapozitiv št. 3.

Nato se učenci naučijo risati skico grafa funkcije y \u003d cosx v točkah (0; 1), (; 0),

(:-1), (;0), (;1) in posplošite lastnosti funkcije tako, da jih zapišete v tabelo.

Preverjamo s pomočjo diapozitiva številka 4.

(Na tej stopnji se izdajo spremne opombe (Dodatek 1))

5. Utrjevanje primarnega znanja.

S pomočjo skice grafa funkcije y = cosx učenci odgovarjajo na vprašanja št. 708, pri čemer uporabljajo tabelo lastnosti funkcije y = cosx odgovarjajo na vprašanja št. 709

6. Naloga risanja funkcijskega grafa s premikom po ordinatni osi in po abscisni osi.

1. Diapozitiv številka 5, 6

Med pogovorom se razpravlja o lastnostih teh funkcij.

7. Samostojno delo pri učbeniku

№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710

Ta segment razdelite na dva segmenta, tako da se funkcija y \u003d cosx na enem od njih poveča, na drugem pa zmanjša:

Zmanjša; - poveča

Zmanjša; - poveča

Z uporabo naraščajoče ali padajoče lastnosti funkcije y = cosx primerjajte številke:

Na segmentu se funkcija y \u003d cosx zmanjša; , torej, .

Na segmentu se poveča funkcija y \u003d cosx;

<, следовательно, cos < cos

Poiščite vse korene enačbe, ki pripadajo segmentu:

1) cosx \u003d x \u003d ± +2 n, n Z

Odgovor: ; ; .

2) cosx = - x = ±

8. Povzetek.

Ocenjevanje.

V lekciji smo se naučili grafično prikazati funkcijo y = cosx, prebrati lastnosti tega grafa, zgraditi skico grafa, rešiti probleme v zvezi z uporabo grafa in lastnosti funkcije y = cosx.

9. Domača naloga.

§40 #710(2;4), #711(2;4), #711(2;4). Zgradite grafe funkcij y = cosx in opišite lastnosti te funkcije.

Dodatno št. 717(1).

Tema: “Funkcija y=cosx”

Lekcija #2

Cilji lekcije: Ponovite pravila za sestavo grafa funkcije y \u003d cosx, naučite se uporabljati tehnike preoblikovanja grafov, prebrati ta graf, uporabiti lastnosti in graf funkcije pri reševanju enačb in neenakosti.

Cilji lekcije.

Izobraževalni - oblikovanje funkcionalnih predstavitev na vizualnem materialu, oblikovanje sposobnosti risanja grafov funkcije y \u003d cosx z različnimi transformacijami, oblikovanje veščin prostega branja grafov, sposobnost odražanja lastnosti funkcije na graf.

Razvijanje - oblikovanje sposobnosti analiziranja, posploševanja pridobljenega znanja. Oblikovanje logičnega mišljenja.

Izobraževalni - aktivirati zanimanje za pridobivanje novega znanja, vzgajati grafično kulturo, oblikovati natančnost in natančnost pri izdelavi risb.

Oprema: multimedijski projektor, platno, operacijski sistem Microsoft Windows 98/Me/2000/XP, MS Office 2003: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.

Med poukom

№	Faza lekcije	Diaprojekcija	Čas
1	Organiziranje časa. Pozdravi		1
2	Napoved teme in namena pouka		2
3	Preverjanje domače naloge	№717(1), diapozitiv №7	5
4	Predstavitev novega gradiva Naloga risanja grafa s stiskanjem in raztezanjem na os OX Razprava o lastnostih funkcije y =k cosx za k>1 in 0 Naloga risanja grafa s stiskanjem in raztezanjem do ori OU Razprava o lastnostih funkcije y = cos(k x) za k>1 in 0	Diapozitiv št. 8, 9	12
5	Utrjevanje primarnega znanja. Reševanje problemov v učbeniku №713(1;3), №715(1) №716(1)	717 (2) učbenik str 208. Pri reševanju št. 715 (1), št. 716 (1) uporabite zgrajen graf funkcije y = cos2x. Diapozitiv št. 10	5
6	Naloga je narisati graf funkcije, ki je simetričen glede na os x. 1. Organizacijski trenutek. Pozdravi. 2. Objavo teme in namena pouka spremlja diapozitiv številka 2. 3. Preverjanje domače naloge 4. Predstavitev novega gradiva 1. Naloga risanja grafa s stiskanjem in raztezanjem na os OX. Razprava o lastnostih funkcije y =k cosx za k>1 in 0 diapozitiv številka 8 2. Naloga risanja grafa s stiskanjem in raztezanjem na os y. Razprava o lastnostih funkcije y = cos(kx) za k>1 in 0 diapozitiv številka 9 5. Utrjevanje primarnega znanja Reševanje nalog po učbeniku št. 713 (1; 3), št. 715 (1) št. 716 (1) Naloga št. 715 (1) št. 716 (1) se preveri z diapozitivom št. 10 6. Naloga risanja grafa funkcije, simetrične glede na os x Razprava o lastnostih funkcije . Diapozitiv številka 11 (uporabite referenčni oris (Dodatek 1)) 7. Samostojno delo Rešitev testnih težav . (Polovica učencev rešuje teste v XL (Priloga 2), na računalnikih, druga polovica na izročkih (Priloga 3). Nato učenci zamenjajo mesta.) 8. Rezultati lekcije. Kot rezultat preučevanja teme so se učenci naučili grafirati funkcijo y \u003d cosx, brati lastnosti funkcije, graditi grafe funkcije z različnimi transformacijami, brati lastnosti grafov s transformacijami, reševati preproste probleme z uporabo grafov in lastnosti funkcije y \u003d cosx. Ocenjevanje. 9. Domača naloga. §40 #717(3), #713(4), #715(4), #716(2). Dodatno št. 719(2) (Preverite diapozitiv št. 13) Na začetku naslednje lekcije lahko povabite študente, da delajo pri izdelavi grafov na že pripravljenih izročkih (

Centrirano na točki A.
α je kot, izražen v radianih.

Opredelitev
Sinus je trigonometrična funkcija, ki je odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, enaka razmerju dolžine nasprotnega kraka |BC| na dolžino hipotenuze |AC|.

kosinus (cos α) je trigonometrična funkcija, ki je odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, enaka razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino hipotenuze |AC|.

Sprejete oznake

;
;
.

;
;
.

Graf sinusne funkcije, y = sin x

Graf kosinusne funkcije, y = cos x

Lastnosti sinusa in kosinusa

Periodičnost

Funkcije y= greh x in y= cos x periodično s piko 2 pi.

Pariteta

Sinusna funkcija je čudna. Kosinusna funkcija je soda.

Področje definicije in vrednosti, ekstremi, povečanje, zmanjšanje

Funkciji sinus in kosinus sta neprekinjeni na svoji domeni definicije, to je za vse x (glej dokaz kontinuitete). Njihove glavne lastnosti so predstavljene v tabeli (n - celo število).

	y= greh x	y= cos x
Obseg in kontinuiteta	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Razpon vrednosti	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Naraščajoče
Padajoče
Maksimumi, y= 1
Minimum, y = - 1
Ničele, y= 0
Točke presečišča z osjo y, x = 0	y= 0	y= 1

Osnovne formule

Vsota kvadrata sinusa in kosinusa

Sinusne in kosinusne formule za vsoto in razliko

;
;

Formule za zmnožek sinusov in kosinusov

Formule vsote in razlike

Izraz sinusa skozi kosinus

;
;
;
.

Izraz kosinusa skozi sinus

;
;
;
.

Izraz v obliki tangente

; .

Za imamo:
; .

na:
; .

Tabela sinusov in kosinusov, tangentov in kotangensov

Ta tabela prikazuje vrednosti sinusov in kosinusov za nekatere vrednosti argumenta.

Izrazi skozi kompleksne spremenljivke

;

Eulerjeva formula

Izrazi v smislu hiperboličnih funkcij

;
;

Odvod

; . Izpeljava formul >> >

Izpeljanke n-toga reda:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekans, kosekans

Inverzne funkcije

Inverzni funkciji za sinus in kosinus sta arcsin in arkkosinus.

Arcsin, arcsin

Arkosinus, arccos

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik za matematiko za inženirje in študente visokošolskih zavodov, Lan, 2009.