Funkcije kompleksne spremenljivke.
Diferenciacija funkcij kompleksne spremenljivke.

Ta članek odpira niz lekcij, v katerih bom preučil tipične naloge povezana s teorijo funkcij kompleksne spremenljivke. Za uspešno obvladovanje primerov morate imeti osnovno znanje o kompleksnih številih. Za utrjevanje in ponovitev snovi je dovolj, da obiščete stran. Za iskanje boste potrebovali tudi spretnosti delni odvodi drugega reda. Evo jih, te delne izpeljanke ... že zdaj sem bil malo presenečen, kako pogosto se pojavljajo ...

Tema, ki jo začenjamo analizirati, ni posebej težka, v funkcijah kompleksne spremenljivke pa je načeloma vse jasno in dostopno. Glavna stvar je, da se držim osnovnega pravila, ki sem ga empirično izpeljal. Beri naprej!

Pojem funkcije kompleksne spremenljivke

Najprej osvežimo znanje o šolski funkciji ene spremenljivke:

Funkcija ene spremenljivke je pravilo, po katerem vsaki vrednosti neodvisne spremenljivke (iz domene definicije) ustreza ena in samo ena vrednost funkcije . Seveda sta "x" in "y" realni števili.

V kompleksnem primeru je funkcionalna odvisnost podana podobno:

Enovrednostna funkcija kompleksne spremenljivke je pravilo, da vsak integrirano vrednost neodvisne spremenljivke (iz domene) ustreza eni in edini celovito vrednost funkcije. V teoriji so obravnavane tudi večvrednostne in nekatere druge vrste funkcij, vendar se bom zaradi enostavnosti osredotočil na eno definicijo.

Kakšna je funkcija kompleksne spremenljivke?

Glavna razlika je v tem, da so številke kompleksne. Nisem ironičen. Od takih vprašanj pogosto padejo v stupor, na koncu članka bom povedal kul zgodbo. Na lekciji Kompleksna števila za telebane obravnavali smo kompleksno število v obliki . Od zdaj je postala črka "Z". spremenljivka, potem ga bomo označili na naslednji način: , medtem ko lahko "x" in "y" sprejmeta različne veljaven vrednote. Grobo rečeno, funkcija kompleksne spremenljivke je odvisna od spremenljivk in , ki imajo "običajne" vrednosti. Od to dejstvo logično sledi naslednja točka:

Funkcijo kompleksne spremenljivke lahko zapišemo kot:
, kjer sta in dve funkciji dveh veljaven spremenljivke.

Funkcija se imenuje pravi del funkcije .
Funkcija se imenuje imaginarni del funkcije .

To pomeni, da je funkcija kompleksne spremenljivke odvisna od dveh realnih funkcij in . Da bi končno vse razjasnili, si poglejmo praktične primere:

Primer 1

rešitev: Neodvisna spremenljivka "z", kot se spomnite, je zapisana kot , torej:

(1) Zamenjeno v prvotno funkcijo.

(2) Za prvi člen je bila uporabljena formula zmanjšanega množenja. V izrazu so se odprli oklepaji.

(3) Previdno na kvadrat, ne pozabite na to

(4) Preureditev izrazov: najprej prepišite izraze , v katerem ni namišljene enote(prva skupina), nato izrazi, kjer je (druga skupina). Opozoriti je treba, da izrazov ni treba premešati in tej stopnji lahko preskočite (pravzaprav to storite ustno).

(5) Druga skupina je izvzeta iz oklepaja.

Kot rezultat se je izkazalo, da je naša funkcija predstavljena v obliki

odgovor:
je realni del funkcije.
je imaginarni del funkcije.

Katere so te funkcije? Najbolj običajne funkcije dveh spremenljivk, od katerih lahko najdemo tako priljubljene delni derivati. Brez usmiljenja - našli bomo. Ampak malo kasneje.

Na kratko lahko algoritem rešenega problema zapišemo takole: zamenjamo v izvirno funkcijo, izvedemo poenostavitve in vse člene razdelimo v dve skupini - brez namišljene enote (realni del) in z namišljeno enoto (namišljeni del).

Primer 2

Poiščite realni in imaginarni del funkcije

To je primer "naredi sam". Preden se vržete v boj na kompleksnem letalu z osnutki, naj vam povem največ pomemben nasvet na to temo:

BODI PREVIDEN! Seveda morate biti previdni povsod, toda pri kompleksnih številih morate biti previdni bolj kot kdaj koli prej! Ne pozabite, previdno razširite oklepaje, ne izgubite ničesar. Po mojih opažanjih je najpogostejša napaka izguba predznaka. Ne mudi se!

Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Zdaj kocka. S skrajšano formulo množenja izpeljemo:
.

Formule so zelo priročne za uporabo v praksi, saj močno pospešijo postopek rešitve.

Diferenciacija funkcij kompleksne spremenljivke.

Imam dve novici: dobro in slabo. Začel bom z dobrim. Za funkcijo kompleksne spremenljivke veljajo pravila diferenciacije in tabela odvodov elementarnih funkcij. Tako se odvod vzame na popolnoma enak način kot v primeru funkcije realne spremenljivke.

Slaba novica je, da za veliko funkcij kompleksne spremenljivke sploh ni izpeljanke in morate ugotoviti, je razločljiv eno ali drugo funkcijo. In "ugotoviti", kako se počuti vaše srce, je povezano z dodatnimi težavami.

Razmislite o funkciji kompleksne spremenljivke. Da je ta funkcija diferencibilna, je potrebno in zadostuje, da:

1) Da obstajajo delni odvodi prvega reda. Takoj pozabite na te zapise, saj se v teoriji funkcije kompleksne spremenljivke tradicionalno uporablja druga različica zapisa: .

2) Za izvedbo t.i Cauchy-Riemannovi pogoji:

Le v tem primeru bo izpeljanka obstajala!

Primer 3

rešitev razdeljen na tri zaporedne stopnje:

1) Poiščite realni in imaginarni del funkcije. Ta naloga je bila analizirana v prejšnjih primerih, zato jo bom zapisal brez komentarja:

Od takrat:

V to smer:

je imaginarni del funkcije.

Ustavim se še pri enem tehnična točka: v kakšnem vrstnem redu zapisati izraze v realnih in imaginarnih delih? Ja, v bistvu je vseeno. Na primer, pravi del lahko zapišemo takole: , in namišljeno - takole: .

2) Preverimo izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev. Dva sta.

Začnimo s preverjanjem stanja. Najdemo delni derivati:

Tako je pogoj izpolnjen.

Nedvomno je dobra novica ta, da so delni derivati ​​skoraj vedno zelo preprosti.

Preverimo izpolnjevanje drugega pogoja:

Izkazalo se je isto, vendar z nasprotnimi predznaki, torej je tudi pogoj izpolnjen.

Cauchy-Riemannovi pogoji so izpolnjeni, zato je funkcija diferenciabilna.

3) Poiščite odvod funkcije. Tudi izpeljanka je zelo preprosta in jo najdemo po običajnih pravilih:

Imaginarna enota pri diferenciaciji velja za konstanto.

odgovor: - pravi del je imaginarni del.
Cauchy-Riemannovi pogoji so izpolnjeni, .

Obstajata še dva načina za iskanje izpeljanke, ki se seveda uporabljata manj pogosto, vendar bodo informacije koristne za razumevanje druge lekcije - Kako najti funkcijo kompleksne spremenljivke?

Izpeljanko je mogoče najti s formulo:

V tem primeru:

V to smer

Treba je rešiti inverzni problem - v dobljenem izrazu morate izolirati . Da bi to naredili, je potrebno izraziti in izvzeti iz oklepajev:

Obratno dejanje, kot so mnogi opazili, je nekoliko težje izvesti; za preverjanje je vedno bolje vzeti izraz in na osnutek ali verbalno odpreti oklepaje nazaj in se prepričati, da se izkaže točno

Zrcalna formula za iskanje izpeljanke:

V tem primeru: , zato:

Primer 4

Določite realne in imaginarne dele funkcije . Preverite izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev. Če so Cauchy-Riemannovi pogoji izpolnjeni, poiščite odvod funkcije.

Hitra rešitev in zgleden vzorec dodelave na koncu lekcije.

Ali so Cauchy-Riemannovi pogoji vedno izpolnjeni? Teoretično pogosteje niso izpolnjene kot so. Ampak v praktični primeri Ne spomnim se primera, ko niso bili izpolnjeni =) Torej, če vaši delni derivati ​​"niso konvergirali", potem lahko z zelo veliko verjetnostjo rečemo, da ste nekje naredili napako.

Zakomplicirajmo naše funkcije:

Primer 5

Določite realne in imaginarne dele funkcije . Preverite izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev. Izračunaj

rešitev: Algoritem reševanja je v celoti ohranjen, vendar je na koncu dodana nova modna muha: iskanje odvoda v točki. Za kocko je zahtevana formula že izpeljana:

Opredelimo realne in imaginarne dele te funkcije:

Pozor in še enkrat pozor!

Od takrat:


V to smer:
je realni del funkcije ;
je imaginarni del funkcije.

Preverjanje drugega pogoja:

Izkazalo se je isto, vendar z nasprotnimi predznaki, torej je tudi pogoj izpolnjen.

Cauchy-Riemannovi pogoji so izpolnjeni, zato je funkcija diferenciabilna:

Izračunajte vrednost derivata na zahtevani točki:

odgovor:, , so Cauchy-Riemannovi pogoji izpolnjeni,

Funkcije s kockami so pogoste, zato primer za utrjevanje:

Primer 6

Določite realne in imaginarne dele funkcije . Preverite izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev. Izračunaj.

Odločitev in zaključek vzorca na koncu lekcije.

V teoriji kompleksne analize so opredeljene tudi druge funkcije kompleksnega argumenta: eksponentna, sinusna, kosinusna itd. Te funkcije imajo nenavadne in celo bizarne lastnosti – in res je zanimivo! Resnično vam želim povedati, toda tukaj se je zgodilo, da ni referenčna knjiga ali učbenik, ampak rešitev, zato bom obravnaval isto nalogo z nekaterimi skupnimi funkcijami.

Najprej o t.i Eulerjeve formule:

Za kogarkoli veljavenštevila veljajo naslednje formule:

Lahko ga tudi kopirate v svoj zvezek kot referenco.

Strogo gledano, obstaja samo ena formula, vendar običajno zaradi udobja tudi pišejo poseben primer z indikatorjem minus. Ni nujno, da je parameter ena črka, lahko je kompleksen izraz, funkcija, pomembno je le, da vzamejo samo veljavno vrednote. Pravzaprav ga bomo videli takoj:

Primer 7

Poiščite izpeljanko.

rešitev: Generalna linija stranke ostaja neomajna - treba je ločiti realne in imaginarne dele funkcije. Spodaj bom podal podrobno rešitev in komentiral vsak korak:

Od takrat:

(1) Nadomestilo za "z".

(2) Po zamenjavi je treba ločiti realni in imaginarni del prvi v eksponentu razstavljavci. Če želite to narediti, odprite oklepaje.

(3) Združimo namišljeni del indikatorja, namišljeno enoto damo iz oklepaja.

(4) Uporaba šolska akcija z diplomami.

(5) Za množitelj uporabimo Eulerjevo formulo , medtem ko .

(6) Odpremo oklepaje, kot rezultat:

je realni del funkcije ;
je imaginarni del funkcije.

Nadaljnja dejanja so standardna, preverimo izpolnjevanje pogojev Cauchy-Riemann:

Primer 9

Določite realne in imaginarne dele funkcije . Preverite izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev. Tako bodi, izpeljanke ne bomo našli.

rešitev: Algoritem rešitve je zelo podoben prejšnjima dvema primeroma, vendar obstaja zelo pomembne točke, zato Prva stopnjaŠe enkrat bom komentiral korak za korakom:

Od takrat:

1) Zamenjamo namesto "z".

(2) Najprej izberite realne in namišljene dele znotraj sinusa. V ta namen odprite oklepaje.

(3) Uporabljamo formulo , medtem ko .

(4) Uporaba pariteta hiperboličnega kosinusa: in hiperbolična sinusna lihost: . Hiperbolika, čeprav ni s tega sveta, je v mnogih pogledih podobna podobnim trigonometričnim funkcijam.

Končno:
je realni del funkcije ;
je imaginarni del funkcije.

Pozor! Znak minus se nanaša na imaginarni del in nikakor ga ne smemo izgubiti! Za vizualno ponazoritev lahko zgornji rezultat prepišemo na naslednji način:

Preverimo izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev:

Cauchy-Riemannovi pogoji so izpolnjeni.

odgovor:, , so Cauchy-Riemannovi pogoji izpolnjeni.

S kosinusom, gospe in gospodje, razumemo po svoje:

Primer 10

Določite realni in imaginarni del funkcije. Preverite izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev.

Namenoma sem izbrala bolj zapletene primere, saj lahko vsak obvlada nekaj, kot so olupljeni arašidi. Hkrati trenirajte svojo pozornost! Hrestač na koncu lekcije.

No, za konec bom razmislil še o enem zanimiv primer ko je kompleksen argument v imenovalcu. Nekajkrat smo se srečali v praksi, analizirajmo nekaj preprostega. Oh, staram se...

Primer 11

Določite realni in imaginarni del funkcije. Preverite izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev.

rešitev: Spet je treba ločiti realne in imaginarne dele funkcije.
Če, potem

Postavlja se vprašanje, kaj storiti, ko je v imenovalcu »Z«?

Vse je preprosto - standard bo pomagal metoda množenja števca in imenovalca s konjugiranim izrazom, je bil že uporabljen v primerih lekcije Kompleksna števila za telebane. Spomnimo se šolske formule. V imenovalcu že imamo , zato bo konjugirani izraz . Tako morate števec in imenovalec pomnožiti z: