Formule de trigonometrie suma sinusului și cosinusului. Cumpărați o diplomă de studii superioare ieftin

Cele mai frecvente întrebări

Este posibil să faceți un sigiliu pe un document conform eșantionului furnizat? Răspuns Da este posibil. Trimiteți o copie sau o fotografie scanată la adresa noastră de e-mail calitate bunăși vom face duplicatul necesar.

Ce tipuri de plată acceptați? Răspuns Puteti achita documentul in momentul primirii de catre curier, dupa ce verificati corectitudinea completarii si calitatea diplomei. Acest lucru se poate face și la biroul companiilor poștale care oferă servicii de ramburs.
Toate condițiile de livrare și de plată a documentelor sunt descrise în secțiunea „Plată și Livrare”. De asemenea, suntem gata să ascultăm sugestiile dumneavoastră cu privire la condițiile de livrare și de plată a documentului.

Pot fi sigur că după plasarea unei comenzi nu vei dispărea cu banii mei? Răspuns Avem o experiență destul de lungă în domeniul producerii de diplome. Avem mai multe site-uri care sunt actualizate constant. Specialiștii noștri lucrează în diferite părți ale țării, producând peste 10 documente pe zi. De-a lungul anilor, documentele noastre au ajutat mulți oameni să rezolve problemele de angajare sau să treacă la mai multe loc de muncă bine plătit. Ne-am câștigat încredere și recunoaștere în rândul clienților, așa că nu există absolut niciun motiv să facem acest lucru. Mai mult decât atât, este pur și simplu imposibil să o faci fizic: plătești comanda în momentul în care o primești în mâinile tale, nu există nicio plată în avans.

Pot comanda o diplomă de la orice universitate? Răspuns În general, da. Lucrăm în acest domeniu de aproape 12 ani. În acest timp, s-a format o bază de date aproape completă de documente emise de aproape toate universitățile din țară și din străinătate. ani diferiti emitere. Tot ce aveți nevoie este să alegeți o universitate, o specialitate, un document și să completați un formular de comandă.

Ce ar trebui să fac dacă găsesc greșeli de tipar și erori într-un document? Răspuns Când primiți un document de la compania noastră de curierat sau poștal, vă recomandăm să verificați cu atenție toate detaliile. Dacă se constată o greșeală de tipar, o eroare sau o inexactitate, aveți dreptul să nu luați diploma și trebuie să indicați personal curierului sau în scris prin trimiterea unei scrisori către e-mail.
În cel mai scurt timp posibil, vom corecta documentul și îl vom retrimite la adresa specificată. Desigur, transportul va fi plătit de compania noastră.
Pentru a evita astfel de neînțelegeri, înainte de a completa formularul original, trimitem un aspect al viitorului document către poșta clientului pentru verificare și aprobare. versiunea finala. Înainte de a trimite un document prin curier sau poștă, facem și noi fotografie suplimentarăși video (inclusiv în lumină ultravioletă), astfel încât să aveți o idee vizuală despre ceea ce obțineți în final.

Ce trebuie să faci pentru a comanda o diplomă de la compania ta? Răspuns Pentru a comanda un document (certificat, diplomă, certificat academic etc.), trebuie să completați un formular de comandă online pe site-ul nostru sau să ne furnizați adresa de e-mail, astfel încât să vă trimitem un formular de chestionar, pe care trebuie să îl completați și să îl trimiteți înapoi la noi.
Dacă nu știți ce să indicați în niciun câmp al formularului de comandă/chestionar, lăsați-le necompletate. Prin urmare, vom clarifica toate informațiile lipsă prin telefon.

Ultimele recenzii

Alexey:

Trebuia să iau o diplomă pentru a obține un loc de muncă ca manager. Și cel mai important, am atât experiență, cât și abilități, dar fără un document nu pot, voi găsi un loc de muncă oriunde. Odată ajuns pe site-ul tău, tot am decis să cumpăr o diplomă. Diploma a fost finalizată în 2 zile! Acum am o meserie la care nu am visat niciodată!! Mulțumiri!

Formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor pentru două unghiuri α și β vă permit să treceți de la suma unghiurilor indicate la produsul unghiurilor α + β 2 și α - β 2 . Remarcăm imediat că nu trebuie să confundați formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor cu formulele pentru sinusuri și cosinusuri ale sumei și diferenței. Mai jos listăm aceste formule, dăm derivarea lor și arătăm exemple de aplicare pentru probleme specifice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formule pentru suma și diferența de sinusuri și cosinusuri

Să scriem cum arată formulele de sumă și diferență pentru sinusuri și cosinusuri

Formule de sumă și diferență pentru sinusuri

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Formule de sumă și diferență pentru cosinus

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α 2

Aceste formule sunt valabile pentru orice unghiuri α și β. Unghiurile α + β 2 și α - β 2 se numesc, respectiv, semisuma și jumătate diferența unghiurilor alfa și beta. Oferim o formulare pentru fiecare formulă.

Definițiile formulelor de sumă și diferență pentru sinusuri și cosinusuri

Suma sinusurilor a două unghiuri este egal cu dublul produsului dintre sinusul semisumei acestor unghiuri și cosinusul semidiferenței.

Diferența sinusurilor a două unghiuri este egal cu dublul produsului dintre sinusul semidiferenței acestor unghiuri și cosinusul semisumei.

Suma cosinusurilor a două unghiuri este egal cu dublul produsului dintre cosinusul semisumei și cosinusul semidiferenței acestor unghiuri.

Diferența cosinusurilor a două unghiuri este egal cu dublul produsului dintre sinusul semisumei și cosinusul semidiferenței acestor unghiuri, luate cu semn negativ.

Derivarea formulelor pentru suma și diferența de sinusuri și cosinusuri

Pentru a obține formule pentru suma și diferența sinusului și cosinusului a două unghiuri, se folosesc formule de adunare. Le prezentăm mai jos

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Reprezentăm, de asemenea, unghiurile în sine ca sumă a semisumelor și a semidiferențelor.

α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Se trece direct la derivarea formulelor de sumă și diferență pentru sin și cos.

Derivarea formulei pentru suma sinusurilor

În suma sin α + sin β, înlocuim α și β cu expresiile pentru aceste unghiuri date mai sus. obține

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Acum aplicăm formula de adunare la prima expresie și formula sinusului diferențelor de unghi la a doua (vezi formulele de mai sus)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Să deschidem parantezele, să adăugăm termeni similari și să obținem formula dorită

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Pașii pentru derivarea restului formulelor sunt similare.

Derivarea formulei pentru diferența de sinuri

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Derivarea formulei pentru suma cosinusurilor

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Derivarea formulei diferenței cosinus

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Exemple de rezolvare a problemelor practice

Pentru început, vom verifica una dintre formule prin înlocuirea unor valori specifice unghiurilor în ea. Fie α = π 2 , β = π 6 . Să calculăm valoarea sumei sinusurilor acestor unghiuri. În primul rând, să folosim tabelul de valori de bază funcții trigonometrice, apoi aplicați formula pentru suma sinusurilor.

Exemplul 1. Verificarea formulei pentru suma sinusurilor a două unghiuri

α \u003d π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin π 2 + sin π 6 \u003d 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

Să luăm acum în considerare cazul în care valorile unghiurilor diferă de valorile de bază prezentate în tabel. Fie α = 165°, β = 75°. Să calculăm valoarea diferenței dintre sinusurile acestor unghiuri.

Exemplul 2. Aplicarea formulei diferenței sinusurilor

α = 165 ° , β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Folosind formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor, puteți trece de la suma sau diferența la produsul funcțiilor trigonometrice. Adesea aceste formule sunt numite formule pentru trecerea de la sumă la produs. Formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor sunt utilizate pe scară largă în rezolvare ecuații trigonometrice iar la conversia expresiilor trigonometrice.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Cosinusul sumei și diferenței a două unghiuri

În această secțiune se vor demonstra următoarele două formule:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Cosinusul sumei (diferența) a două unghiuri este egal cu produsul cosinusurilor acestor unghiuri minus (plus) produsul sinusurilor acestor unghiuri.

Ne va fi mai convenabil să începem cu demonstrarea formulei (2). Pentru simplitate, să presupunem mai întâi că unghiurile α Și β satisfac urmatoarele conditii:

1) fiecare dintre aceste unghiuri este nenegativ și mai mic decât 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Fie partea pozitivă a axei 0x latura inițială comună a unghiurilor α Și β .

Să notăm laturile de capăt ale acestor unghiuri ca 0A și, respectiv, 0B. Evident unghiul α - β poate fi considerată ca unghiul cu care este necesară rotirea fasciculului 0B în jurul punctului 0 în sens invers acelor de ceasornic astfel încât direcția acesteia să coincidă cu direcția fasciculului 0A.

Pe razele 0A și 0B, notăm punctele M și N, care se află la o distanță de 1 de originea coordonatelor 0, astfel încât 0M = 0N = 1.

În sistemul de coordonate x0y, punctul M are coordonate ( cosα, sinα), și punctul N - coordonatele ( cos β , sin β). Deci pătratul distanței dintre ele este:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

În calcule am folosit identitatea

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Acum luați în considerare un alt sistem de coordonate B0C, care se obține prin rotirea axelor 0x și 0y în jurul punctului 0 în sens invers acelor de ceasornic cu un unghi β .

În acest sistem de coordonate, punctul M are coordonate (cos ( α - β ), păcat ( α - β )), iar punctul este N-coordonate (1,0). Deci pătratul distanței dintre ele este:

d 2 2 \u003d 2 + 2 \u003d cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ sin 2 (α - β) \u003d 2.

Dar distanța dintre punctele M și N nu depinde de sistemul de coordonate pe care îl considerăm aceste puncte. De aceea

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Aici urmează formula (2).

Acum ar trebui să ne amintim acele două restricții pe care le-am impus pentru simplitatea prezentării pe colțuri α Și β .

Cerința ca fiecare dintre colțuri α Și β a fost nenegativ, nu chiar semnificativ. La urma urmei, un unghi care este un multiplu al lui 2n poate fi adăugat la oricare dintre aceste unghiuri, ceea ce nu va afecta în niciun fel validitatea formulei (2). În mod similar, din fiecare dintre unghiurile date, puteți scădea un unghi care este un multiplu al 2π. Prin urmare, se poate considera că 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Conditia α > β . Într-adevăr, dacă α < β , apoi β >α ; prin urmare, ținând cont de uniformitatea funcției cos X , primim:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

care coincide în esență cu formula (2). Astfel formula

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

adevărat pentru toate unghiurile α Și β . În special, prin înlocuire β pe - β şi având în vedere că funcţia cosX este pară, iar funcția păcatX ciudat, obținem:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

\u003d cos α cos β - sin α sin β,

care demonstrează formula (1).

Astfel, se demonstrează formulele (1) și (2).

Exemple.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Exerciții

1 . Calculați fără a utiliza tabele trigonometrice:

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8;

e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2.Simplificați expresiile:

A). cos( α + π / 3 ) + cos (π / 3 - α ) .

b). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + sin (36° + α ) păcat ( α - 24°).

în). păcat (π / 4 - α ) sin (π / 4 + α ) - cos(π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

d) cos 2 α +tg α păcatul 2 α .

3 . calculati :

A) cos (α - β), dacă

cosα = - 2 / 5 , sinβ = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

b) cos( α + π / 6) dacă cos α = 0,6;

3π / 2< α < 2π.

4 . A găsi cos(α + β) si cos (α - β) , dacă se știe că păcatul α = 7 / 25 cos β = - 5 / 13 și ambele unghiuri ( α Și β ) se încheie în același trimestru.

5 .Calculati:

dar). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]

b). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .

în). cos [arctg 1 / 2 + arccos (- 2)]