Równoległobok wszystkich wzorów i właściwości. Projekt badawczy „Równoległobok i jego właściwości”

Pojęcie równoległoboku

Definicja 1

Równoległobok jest czworobokiem, w którym przeciwległe boki są do siebie równoległe (ryc. 1).

Obrazek 1.

Równoległobok ma dwie główne właściwości. Rozważmy je bez dowodu.

Właściwość 1: Przeciwne boki i kąty równoległoboku są sobie równe.

Właściwość 2: Przekątne narysowane w równoległoboku są przecinane przez ich punkt przecięcia.

Funkcje równoległoboku

Rozważ trzy cechy równoległoboku i przedstaw je w postaci twierdzeń.

Twierdzenie 1

Jeśli dwa boki czworokąta są sobie równe i równoległe, to ten czworokąt będzie równoległobokiem.

Dowód.

Daj nam czworokąt $ABCD$. W którym $AB||CD$ i $AB=CD$ Narysujmy w nim przekątną $AC$ (rys. 2).

Rysunek 2.

Rozważmy równoległe linie $AB$ i $CD$ oraz ich sieczną $AC$. Następnie

\[\kąt CAB=\kąt DCA\]

jak poprzeczne rogi.

Zgodnie z kryterium $I$ dla równości trójkątów,

ponieważ $AC$ jest ich wspólną stroną, a $AB=CD$ z założenia. Znaczy

\[\kąt DAC=\kąt ACB\]

Rozważmy proste $AD$ i $CB$ oraz ich sieczną $AC$; przez ostatnią równość kątów przecięcia otrzymujemy $AD||CB$.) Zatem z definicji $1$ ten czworokąt jest równoległobokiem.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 2

Jeśli przeciwległe boki czworokąta są równe, to jest to równoległobok.

Dowód.

Daj nam czworokąt $ABCD$. W którym $AD=BC$ i $AB=CD$. Narysujmy w nim przekątną $AC$ (rys. 3).

Rysunek 3

Ponieważ $AD=BC$, $AB=CD$ i $AC$ jest stroną wspólną, to przez test równości trójkąta $III$,

\[\trójkąt DAC=\trójkąt ACB\]

\[\kąt DAC=\kąt ACB\]

Rozważmy proste $AD$ i $CB$ oraz ich sieczną $AC$, przez ostatnią równość kątów przecięcia otrzymujemy $AD||CB$. Dlatego, zgodnie z definicją 1 $, ten czworokąt jest równoległobokiem.

\[\kąt DCA=\kąt CAB\]

Rozważmy proste $AB$ i $CD$ oraz ich sieczną $AC$, przez ostatnią równość kątów przecięcia otrzymujemy $AB||CD$. Dlatego zgodnie z definicją 1 ten czworokąt jest równoległobokiem.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 3

Jeśli przekątne narysowane w czworoboku są podzielone na dwie równe części przez ich punkt przecięcia, to ten czworokąt jest równoległobokiem.

Dowód.

Daj nam czworokąt $ABCD$. Narysujmy w nim przekątne $AC$ i $BD$. Niech przecinają się w punkcie $O$ (rys. 4).

Rysunek 4

Ponieważ przy warunku $BO=OD,\ AO=OC$, a kąty $\angle COB=\angle DOA$ są pionowe, to w teście równości trójkątów $I$

\[\trójkąt BOC=\trójkąt AOD\]

\[\kąt DBC=\kąt BDA\]

Rozważmy proste $BC$ i $AD$ oraz ich sieczną $BD$, przez ostatnią równość przecinających się kątów otrzymujemy $BC||AD$. Również $BC=AD$. Zatem, według Twierdzenia $1$, ten czworokąt jest równoległobokiem.

1. Definicja równoległoboku.

Jeśli przetniemy parę równoległych linii z inną parą równoległych linii, otrzymamy czworokąt, którego przeciwległe boki są parami równoległe.

W czworokątach ABDC i EFNM (ryc. 224) BD || AC i AB || PŁYTA CD;

EF || MN i EM || F.N.

Czworobok, którego przeciwległe boki są parami równoległe, nazywany jest równoległobokiem.

2. Właściwości równoległoboku.

Twierdzenie. Przekątna równoległoboku dzieli go na dwie części równy trójkąt.

Niech będzie równoległobok ABDC (ryc. 225), w którym AB || CD i AC || BD.

Należy wykazać, że przekątna dzieli ją na dwa równe trójkąty.

Narysujmy przekątną CB w równoległoboku ABDC. Udowodnijmy, że $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ.

Strona NE jest wspólna dla tych trójkątów; ∠ABC = ∠BCD, jako wewnętrzne kąty leżące z równoległymi AB i CD oraz sieczną CB; ∠ACB = ∠CBD, tak samo jak wewnętrzne kąty leżące z równoległymi AC i BD oraz sieczną CB.

Stąd $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ.

W ten sam sposób można udowodnić, że przekątna AD dzieli równoległobok na dwa równe trójkąty ACD i ABD.

Konsekwencje:

1 . Przeciwne kąty równoległoboku są równe.

∠A = ∠D, wynika to z równości trójkątów CAB i CDB.

Podobnie ∠C = ∠B.

2. Przeciwne boki równoległoboku są równe.

AB \u003d CD i AC \u003d BD, ponieważ są to boki równych trójkątów i leżą pod przeciwległymi równymi kątami.

Twierdzenie 2. Przekątne równoległoboku są przecięte w punkcie ich przecięcia.

Niech BC i AD będą przekątnymi równoległoboku ABDC (ryc. 226). Udowodnijmy, że AO = OD i CO = OB.

Aby to zrobić, porównajmy parę przeciwnych trójkątów, na przykład $\Delta$AOB i $\Delta$COD.

W tych trójkątach AB = CD, jako przeciwległe boki równoległoboku;

∠1 = ∠2, jako kąty wewnętrzne w poprzek leżące w równoległych AB i CD oraz siecznej AD;

∠3 = ∠4 z tego samego powodu, ponieważ AB || CD i CB są ich sekantami.

Wynika z tego, że $\Delta$AOB = $\Delta$COD. A w równych trójkątach przeciwległe równe kąty są równymi bokami. Dlatego AO = OD i CO = OB.

Twierdzenie 3. Suma kątów przylegających do jednego boku równoległoboku jest równa 180°.

Narysuj przekątną AC w równoległoboku ABCD i uzyskaj dwa trójkąty ABC i ADC.

Trójkąty są przystające, ponieważ ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (kąty przecięcia na liniach równoległych), a bok AC jest wspólny.
Równość $\Delta$ABC = $\Delta$ADC implikuje, że AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Suma kątów sąsiadujących z jednym bokiem, na przykład kątów A i D, jest równa 180 ° jako jednostronna z równoległymi liniami.

Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe boki są parami równoległe. Poniższy rysunek pokazuje równoległobok ABCD. Ma bok AB równoległy do boku CD i bok BC równoległy do boku AD.

Jak można się domyślić, równoległobok jest wypukłym czworobokiem. Rozważ podstawowe właściwości równoległoboku.

Właściwości równoległoboku

1. W równoległoboku przeciwległe rogi a przeciwne strony są równe. Udowodnijmy tę właściwość - rozważmy równoległobok pokazany na poniższym rysunku.

Diagonal BD dzieli go na dwa równe trójkąty: ABD i CBD. Są one równe na boku BD i dwóch sąsiadujących z nim kątach, ponieważ kąty leżące na siecznej BD są odpowiednio liniami równoległymi BC i AD oraz AB i CD. Dlatego AB = CD i
BC=AD. A z równości kątów 1, 2,3 i 4 wynika, że kąt A = kąt1 + kąt3 = kąt2 + kąt4 = kąt C.

2. Przekątne równoległoboku są przecięte przez punkt przecięcia. Niech punkt O będzie punktem przecięcia przekątnych AC i BD równoległoboku ABCD.

Wtedy trójkąt AOB i trójkąt COD są sobie równe, wzdłuż boku i dwóch sąsiadujących z nim kątów. (AB=CD, ponieważ są to przeciwległe boki równoległoboku. A kąt1 = kąt2 i kąt3 = kąt4 jako kąty krzyżowe na przecięciu linii AB i CD przez sieczne AC i BD, odpowiednio.) Wynika z tego, że AO = OC i OB = OD, które i trzeba było udowodnić.

Wszystkie główne właściwości zilustrowano na trzech poniższych rysunkach.

Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe boki są parami równoległe. Ta definicja jest już wystarczająca, ponieważ pozostałe właściwości równoległoboku wynikają z niej i są udowodnione w postaci twierdzeń.

Główne właściwości równoległoboku to:

równoległobok jest wypukłym czworobokiem;
równoległobok ma przeciwne boki równe parami;
równoległobok ma przeciwne kąty, które są równe parami;
przekątne równoległoboku są przecinane przez punkt przecięcia.

Równoległobok - wypukły czworobok

Najpierw udowodnijmy twierdzenie, że równoległobok jest wypukłym czworobokiem. Wielokąt jest wypukły, gdy którakolwiek jego strona jest przedłużona do linii prostej, wszystkie inne boki wielokąta będą po tej samej stronie tej prostej.

Niech zostanie podany równoległobok ABCD, w którym AB jest stroną przeciwną dla CD, a BC jest stroną przeciwną dla AD. Wtedy z definicji równoległoboku wynika, że AB || CD, BC || OGŁOSZENIE.

Odcinki równoległe nie mają wspólnych punktów, nie przecinają się. Oznacza to, że CD leży po jednej stronie AB. Ponieważ odcinek BC łączy punkt B odcinka AB z punktem C odcinka CD, a odcinek AD łączy inne punkty AB i CD, odcinki BC i AD również leżą po tej samej stronie prostej AB, gdzie leży CD. Tak więc wszystkie trzy strony - CD, BC, AD - leżą po tej samej stronie AB.

Podobnie udowodniono, że w odniesieniu do pozostałych boków równoległoboku pozostałe trzy boki leżą po tej samej stronie.

Przeciwne boki i kąty są równe

Jedną z właściwości równoległoboku jest to, że w równoległoboku przeciwne boki i przeciwne kąty są równe. Na przykład, jeśli podano równoległobok ABCD, to ma on AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Twierdzenie to jest udowodnione w następujący sposób.

Równoległobok jest czworobokiem. Więc ma dwie przekątne. Ponieważ równoległobok jest wypukłym czworobokiem, każdy z nich dzieli go na dwa trójkąty. Rozważ trójkąty ABC i ADC w równoległoboku ABCD uzyskane przez narysowanie przekątnej AC.

Te trójkąty mają jedną wspólną stronę - AC. Kąt BCA jest równy kątowi CAD, podobnie jak piony z równoległymi BC i AD. Kąty BAC i ACD są również równe, podobnie jak kąty pionowe, gdy AB i CD są równoległe. Dlatego ∆ABC = ∆ADC nad dwoma kątami i bokiem między nimi.

W tych trójkątach bok AB odpowiada bokowi CD, a bok BC odpowiada AD. Dlatego AB = CD i BC = AD.

Kąt B odpowiada kątowi D, tj. ∠B = ∠D. Kąt A równoległoboku jest sumą dwóch kątów - ∠BAC i ∠CAD. Kąt C równa się składa się z ∠BCA i ∠ACD. Ponieważ pary kątów są sobie równe, to ∠A = ∠C.

W ten sposób udowodniono, że w równoległoboku przeciwne boki i kąty są równe.

Przekątne przecięte na pół

Ponieważ równoległobok jest wypukłym czworobokiem, ma dwie przekątne i przecinają się. Niech dany będzie równoległobok ABCD, którego przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Rozważmy utworzone przez nie trójkąty ABE i CDE.

Trójkąty te mają boki AB i CD równe przeciwległym bokom równoległoboku. Kąt ABE jest równy kątowi CDE, gdy leżą w poprzek równoległych linii AB i CD. Z tego samego powodu ∠BAE = ∠DCE. Stąd ∆ABE = ∆CDE nad dwoma kątami i bokiem między nimi.

Można również zauważyć, że kąty AEB i CED są pionowe, a więc również równe sobie.

Ponieważ trójkąty ABE i CDE są sobie równe, tak samo wszystkie odpowiadające im elementy. Bok AE pierwszego trójkąta odpowiada bokowi CE drugiego, czyli AE = CE. Podobnie BE = DE. Każda para równych segmentów tworzy przekątną równoległoboku. Udowodniono więc, że przekątne równoległoboku są przecięte przez punkt przecięcia.

W dzisiejszej lekcji powtórzymy główne właściwości równoległoboku, a następnie zwrócimy uwagę na rozważenie dwóch pierwszych cech równoległoboku i udowodnimy je. W trakcie dowodu przypomnijmy zastosowanie znaków równości trójkątów, które studiowaliśmy w zeszłym roku i powtórzyliśmy w pierwszej lekcji. Na koniec zostanie podany przykład zastosowania badanych cech równoległoboku.

Temat: czworokąty

Lekcja: Znaki równoległoboku

Zacznijmy od przypomnienia definicji równoległoboku.

Definicja. Równoległobok- czworobok, w którym co dwa przeciwległe boki są równoległe (patrz rys. 1).

Ryż. 1. Równoległobok

Zapamiętajmy podstawowe właściwości równoległoboku:

Aby móc korzystać ze wszystkich tych właściwości, należy upewnić się, że liczba o której w pytaniu, jest równoległobokiem. Aby to zrobić, musisz znać takie fakty, jak znaki równoległoboku. Pierwsze dwie z nich rozważymy dzisiaj.

Twierdzenie. Pierwsza cecha równoległoboku. Jeśli w czworoboku dwa przeciwległe boki są równe i równoległe, to ten czworokąt jest równoległobok. .

Ryż. 2. Pierwszy znak równoległoboku

Dowód. Narysujmy przekątną w czworoboku (patrz ryc. 2), podzieliła ją na dwa trójkąty. Zapiszmy, co wiemy o tych trójkątach:

zgodnie z pierwszym znakiem równości trójkątów.

Z równości tych trójkątów wynika, że na podstawie równoległości prostych na przecięciu ich siecznych. Mamy to:

Udowodniony.

Twierdzenie. Drugi znak równoległoboku. Jeśli w czworoboku co dwa przeciwległe boki są równe, to ten czworokąt jest równoległobok. .

Ryż. 3. Drugi znak równoległoboku

Dowód. Narysujmy przekątną w czworoboku (patrz rys. 3), dzieli ją na dwa trójkąty. Zapiszmy, co wiemy o tych trójkątach na podstawie sformułowania twierdzenia:

według trzeciego kryterium równości trójkątów.