Основные тригонометрические тождества, их формулировки и вывод. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

Открытый урок по алгебре и началам анализа по теме: «Зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла» (10 класс)

Цель: восприятие учащимися и первичное осознание нового учебного материала, осмысливание связей и отношений в объектах изучения

Образовательная : вывод формул зависимости между синусом и косинусом одного и того же угла (числа); обучение применению этих формул для вычисления значений синуса, косинуса по заданному значению одного из них.

Развивающая : учить анализировать, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать, определять и объяснять понятия, развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в различных ситуациях; развивать грамотную математическую речь учащихся, умение давать лаконичные формулировки

Воспитательная: воспитание добросовестного отношения к труду и положительного отношения к знаниям, воспитывать у учащихся аккуратность, умение слушать, высказывать свое мнение; культуру поведения.

Здоровье-сберегающая : создание комфортного психологического климата на уроке, атмосферы сотрудничества: ученик – учитель.

Знания и умения: определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса); знаков тригонометрических функций по четвертям; множества значений тригонометрических функций; основных формул тригонометрии. У мение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания; работать с простыми дробями; выполнять преобразование тригонометрических выражений.

Ход урока

Организационный момент:

Проверить готовность учащихся к уроку. Открытие на компьютерах сайта учителя(Приложение 1).

Устная работа по пройденной теме : «Знаки синуса, косинуса и тангенса»

На доске:

Задание:

Расставить номера четвертей координатной плоскости и определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Самостоятельная работа по теме: «Знаки синуса, косинуса и тангенса»

Учащиеся открывают на сайте раздел «Задания к уроку по тригонометрии». Самопроверка

(Учащиеся выполняют задание №1, проверяют свои работы и оцениваю себя)

Объяснение нового материала

На доске:

х = … α , … ≤ cos α≤ … 2)* tg α = , α≠ …

y = … α, … ≤ sin α≤ … ctg α = , α≠ …

Задание: дописать формулы

Учитель : «Мы с вами изучили каждое понятие отдельно. Как вы считаете какую тему далее логично изучить?»

( Предполагаемый ответ: «Зависимость между этими понятиями»)

Формулируется тема урока: «Зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла»

Учитель : «Есть несколько путей решения этой проблемы»

Используя уравнение единичной окружности

Используя теорему Пифагора

Учитель : «Давайте рассмотрим оба и выберем наиболее рациональный»

На доске:

Учащиеся выводят равенство cos 2 α + sin 2 α = 1

Учитель : «Мы получили равенство справедливое при любых значениях, входящих в него букв. Как называют такие равенства?»

( Предполагаемый ответ : тождества)

Учитель : «Вспомните, как называется тождество cos 2 α + sin 2 α = 1 »

Закрепление изученного материала

А) Учитель: «Откройте учебник стр.147, № 457(2;4)»(вызванные учащиеся решают у доски)

Б) Учитель: «Приступите к выполнению задания №2. Работаем по вариантам» (Обсуждение полученных результатов)

На доске:

1 вариант 2 вариант

Учитель: «В данных формулах перед корнем стоят знаки « ±» . От чего зависит какой знак ставить в формуле?»

(Предполагаемый ответ: «От того, в какой четверти расположен угол поворота точки P(1;0)»)

В) Учитель: «Приступите к выполнению задания №3». (Учащиеся решают задания, проверка на доске)

Подведение итогов урока

Учитель: «Молодцы! Итог урока мы подведем с помощью кроссворда» (Задание 4) (Учащиеся работают в парах за компьютером)

7) Рефлексия в форме анкетирования (приложение 2)

Учитель: «Сделайте вывод о своей работе на уроке, заполнив тест».

8) Домашнее задание

§25, №456, 457(1;3),460(1;3).

Доклад

КАРТА УРОКА «ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СИНУСОМ, КОСИНУСОМ И ТАНГЕНСОМ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ УГЛА»

Учащийся _______________________________________________________________________

1. Я знаю материал предыдущих уроков	Баллы
Я ответил без конспекта на все вопросы правильно.
Я ответил без конспекта с одной ошибкой.
Я ответил без конспекта и сделал более одной ошибки.
Я ответил правильно на все вопросы, используя конспект.
Я ответил, используя конспект, с одной ошибкой
Я ответил, используя конспект, и сделал более одной ошибки

2. Я завершил запись примеров	Баллы
Я выполнил все задания без ошибок
Я выполнил с одной ошибкой
Я выполнил задания и сделал более двух ошибок

3. Я выполнил вывод формулы для нахождения синуса и косинуса	Баллы
Я вывел формулы правильно
Я вывел формулы и допустил одну ошибку
Я вывел формулы с помощью учителя

4. Я применил свои знания по теме: «Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла» при решении самостоятельной работы	Баллы
Я решил примеры 1 варианта без ошибок.
Я решил примеры 1 варианта и допустил ошибку.
Я решил примеры 2 варианта без ошибок.
Я решил примеры 2 варианта и допустил ошибку.
Я решил примеры 3 варианта без ошибок
Я решил примеры 3 варианта и допустил ошибку.
Я решил примеры 4 варианта без ошибок.
Я решил примеры 4 варианта и допустил ошибку.

5. Оцени себя:
Я понял вывод формул и могу решать примеры по данной теме с тетрадкой и помощью учителя.
Я понял вывод формул и могу решать примеры самостоятельно без тетради, только смотря в формулы.
Я понял вывод формул и могу решать примеры самостоятельно без тетради, если забуду формулу, я смогу ее вывести сам.

Мои баллы: __________

Максимальное кол-во баллов – 22

18 – 22 балла - оценка «5»

15 – 17 баллов - оценка «4»

11 –14 баллов - оценка «3»

Менее 11 баллов - нужно прийти на консультацию в ближайшие дни, материал еще не усвоился.

«Краткий план»

Головатова Вера Анатольевна, преподаватель математики

ГБ ПОУ «Охтинский колледж»

Конспект двух уроков для обучающихся I курса (10кл.) по теме:

«Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла»

Цель: изучить зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.

Для достижения поставленной цели необходимо:

Знать:

формулировки определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса);

знаки тригонометрических функций по четвертям;

множество значений тригонометрических функций;

основные формулы тригонометрии.

Понимать:

что пользоваться основным тригонометрическим тождеством можно только для одного и того же аргумента;

алгоритм вычисления одной тригонометрической функции через другую.

Применить:

умение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания;

умение работать с простыми дробями;

умение выполнять преобразование тригонометрических выражений.

Анализ:

анализировать ошибки в логике рассуждения.

Синтез:

предложить свой способ решения примеров;

составить кроссворд, используя полученные знания.

Оценка:

знаний и умений по данной теме для использования в других разделах алгебры.

Оборудование: макет тригонометрической окружности, раздаточный справочный материал с формулами и таблицами значений тригонометрических функций, компьютер, мультимедийный проектор, презентация, листы с заданиями для самостоятельной работы.

Используемые источники:

Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.В. Сидоров и др. Просвещение, 2006.

Задания Открытого банка для подготовки к ЕГЭ по математике, 2011 г.

Ресурсы сети ИНТЕРНЕТ.

Краткий план урока:

Организационный момент.

Приветствие. Сообщение цели урока и плана работы на уроке – 3-5 мин.

Актуализация знаний и умений.

Учащимся раздаются карты урока и даются пояснения как с ними работать.

На экран выводятся вопросы; учащиеся записывают ответы в тетрадь; преподаватель выводит на экран правильный ответ. После окончания опроса учащиеся выставляют баллы в карту урока для Задания № 1 – 10 мин.

Объяснение нового материала.

Преподаватель выводит формулу для основного тригонометрического тождества – 5 мин.

Учащимся предлагается самостоятельно завершить запись примеров, выведенных на экран, проверить правильность ответов и выставить баллы в карту урока для Задания № 2 – 5 мин.

Учащимся в тетради предлагается самостоятельно выразить из основного тригонометрического тождества синус через косинус и косинус через синус. На экран выводится правильный ответ, учащиеся проверяют и выставляют баллы в карту урока для Задания №3 – 5-7 мин.

Преподаватель на доске решает примеры на применение основного тригонометрического тождества. Учащиеся отвечают на вопросы преподавателя по ходу объяснения и записывают примеры себе в тетрадь – 15 мин.

Преподаватель выводит формулы, показывающие зависимость между тангенсом и котангенсом, учащиеся принимают активное участие в выводе формул, отвечают на вопросы и делают записи в тетрадь – 5 мин.

Преподаватель выводит формулы, показывающие зависимость между тангенсом и косинусом, между синусом и котангенсом – 5 мин.

К доске вызываются учащиеся по желанию и с помощью преподавателя по алгоритму выполняют решение примеров. Все остальные записывают и по мере необходимости отвечают на вопросы – 10 мин.

Закрепление изученного материала

В конце урока на экран выводятся правильные ответы, учащиеся проверяют свои ответы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 4 – 20 мин.

Домашнее задание: Учащиеся записывают в тетрадь задание на дом – 3 мин.

Просмотр содержимого документа
«Рефлексия»

После посещения семинаров по РНС и проведении урока с использованием технологической карты мне стало очевидно, что рейтинговая система стимулирует максимально возможный интерес учащихся к конкретной теме. В моем случае – это основные формулы тригонометрии.

Тригонометрия очень часто не воспринимается учащимися не столько из-за своей сложности, сколько из-за большого количества формул, с которыми нужно уметь работать.

Трудно после одного урока, проведенного с использованием технологической карты, ожидать каких-то невероятных успехов и результатов, но мне кажется, что преимущества рейтинговой системы при изучении тригонометрии и математики в целом состоят в следующем:

появилась возможность организовать и поддерживать как работу на уроке, так и самостоятельную, систематическую работу учащихся дома;

должна повыситься посещаемость и уровень дисциплины на уроках;

повышается мотивация к учебной деятельности;

уменьшаются стрессовые ситуации при получении неудовлетворительных оценок;

стимулируется творческое отношение к работе.

Единственный недостаток РНС (как мне кажется) – это большой объем работы для преподавателя, но это работа на результат. После единственного урока, проведенного по этой системе, учащиеся постоянно спрашивают, будем ли мы еще так работать. Значит, их что-то зацепило. И нужно продолжать работать.

Просмотр содержимого документа
«Самостоятельная работа»

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

Какой бы уровень вы не выбрали, сначала внимательно просмотрите все задания, которые я вам раздала, а затем выполните задание, соответствующее выбранному вами уровню ( перед вами задания четырех вариантов, номер варианта соответствует уровням самооценки.)

1 вариант

Инструкция:

Инструкция:

Решите самостоятельно этим способом пример:

2 вариант

Указание: Для определения функции косинус воспользуйтесь формулой (3) из сегодняшнего урока. Не забудьте определить знак, который будет стоять перед корнем. Для вычисления значений тангенса и котангенса можно воспользоваться определением этих функций ил использовать формулы, которые мы вывели сегодня на уроке.

Указание. Сгруппируйте первый и третий члены выражения, вынесите за скобку общий множитель….

3 вариант

4 вариант

Просмотр содержимого презентации
«Презентация»

Повторение:

1. В какой четверти находится угол в

1 радиан и чему он примерно равен?

В I четверти, 1 рад.  57,3 °

2. Какое слово пропущено в определении функции синус?

Синусом угла  называется ………… точки единичной окружности.

ОРДИНАТА

3. Какое слово пропущено в определении функции косинус?

Косинусом угла  называется

………… точки единичной окружности.

АБСЦИССА

4. Допишите формулу:





tg



5. Определите знак произведения:

tg

6. Какое значение может принимать синус?





или

7. Вычислите:

y

B (x; y)

R

Y=sin 





O

x

x=cos 

Завершите запись:









x

y

x

y

x

x









x

y

x

y

x

x









• Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, но с помощью наводящих вопросов (карточка – инструкция).
• Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, используя указания преподавателя.
• + Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, без наводящих вопросов и указаний.
• + Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, не заглядывая в тетрадь.

1 Вариант:

3 Вариант:

2.Вариант:

4 Вариант:

А синуса график волна за волной
По оси абсцисс убегает.

Из студенческой песни.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УРОКА:

• ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ: вывод формул зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла (числа); обучение применению этих формул для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса числа по заданному значению одного из них.
• РАЗВИВАЮЩАЯ: учить анализировать, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать, определять и объяснять понятия..
• ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ: воспитание добросовестного отношения к труду и положительного отношения к знаниям.

ЗДОРОВЬЕ СБЕРЕГАЮЩАЯ: создание комфортного психологического климата на уроке, атмосферы сотрудничества: ученик – учитель.

МЕТОДИЧЕСКОЕ ОСНАЩЕНИЕ УРОКА:

МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ БАЗА: кабинет математики.

ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УРОКА: учебник, тетрадь, плакаты по теме урока, таблицы, компьютер, диски, экран, проектор.

МЕТОДЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ: групповая и индивидуальная работа за партой и у доски.

ТИП УРОКА: урок усвоения новых знаний.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент: приветствие, проверка явки учащихся, заполнение журнала.

2. Проверка готовности учащихся к уроку: настрой учащихся на работу, доведение до них плана урока.

3. Анализ ошибок домашнего задания. На экране - картинка с верно выполненным домашним заданием. Каждый ученик проверяет с подробным фронтальным объяснением и отмечает правильность выполнения в рабочей карте урока.

РАБОЧАЯ КАРТА УРОКА.

С/о – самооценка.

О/т – оценка товарища.

4. Актуализация знаний, подготовка к восприятию нового материала.

Следующий этап нашего урока-диктант. Записываем кратко ответы – чертеж у нас на слайде.

Диктант (устное повторение необходимых сведений):

1. Дайте определение:

• синуса острого угла А прямоугольного треугольника;
• косинуса острого угла В прямоугольного треугольника;
• тангенса острого угла А прямоугольного треугольника;
• котангенса острого угла В прямоугольного треугольника;
• какие ограничения накладываем мы на синус и косинус при определении тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.

2. Дайте определение:

• синуса угла a a .
• косинуса угла a через координату (какую) точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол a .
• тангенса угла a .
• котангенса угла a .

3. Записать знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса для углов, полученных поворотом точки Р(1;0) на угол

4. Для всех этих углов указать четверти координатной плоскости.

Ребята проверяют диктант по слайду вместе с учителем, объясняя каждое высказывание и выставляя себе оценку в рабочую карту урока.

5. Из истории тригонометрии. Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик 18 столетия Леонард Эйлер – швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской академии наук. Он ввел известные определения тригонометрических функций, сформулировал и доказал формулы приведения, с которыми вам еще предстоит встретиться, выделил классы четных и нечетных функций.

6. Введение нового материала:

Главное не просто сообщить учащимся конечные выводы, а сделать учащихся как бы участниками научного поиска: поставив вопрос, так, чтобы они, разбудив свою любознательность, включились в исследование, что способствует достижению более высокого уровня умственного развития учащихся.

Поэтому при введении нового материала я создаю проблемную ситуацию – как легче и рациональней установить зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла – через уравнение единичной окружности или через теорему Пифагора.

Класс разбивается по вариантам на первый и второй вариант – на экране слайд с условием и чертежами, решения пока нет.

1 вариант устанавливает зависимость между синусом и косинусом через уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1x 2 +y 2 =1; sin 2 +cos 2 =1.

2 вариант устанавливает зависимость между синусом и косинусом через теорему Пифагора – в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: OB 2 +AB 2 =OA 2 - и получаем sin 2 +cos 2 =1.

Сравнивают результаты, делают выводы: главный – равенство выполняется при любых значениях входящих в него букв? Ученики должны ответить, что это тождество

(на слайде показывается верное решение, как для первого, так и для второго вариантов).

Мы получили равенство справедливое при любых значениях входящих в него букв. Как называются такие равенства? Правильно – тождества.

Вспомним – какие еще тождества мы с вами знаем в алгебре – формулы сокращенного умножения:

a 2 -b 2 =(a-b)(a+b),

(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 ,

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 2 ,

(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 3 -b 3 ,

a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2),

a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2).

Следующая проблема – а для чего мы вывели основное тригонометрическое тождество – sin 2 +cos 2 =1.

Правильно – для нахождения по одному известному нам значению синуса, косинуса или тангенса – значений всех остальных функций.

Вот теперь мы с вами всегда сможем пользоваться основным тригонометрическим тождеством, но главное – для одного и того же аргумента.

Применение полученных знаний:

1 ВАРИАНТ – выразить синус через косинус угла.

2 вариант – выразить косинус через синус угла. На слайде верный ответ

Вопрос учителя – никто не забыл проставить знаки +и - ? Каким может быть угол? – любым.

В этих формулах знак перед корнем зависит от чего? от того, в какой четверти расположен угол (аргумент) тригонометрической функции, которую мы определяем.

Выполняем у доски 2 ученика №457. – 1 – й вариант - 1, 2-й вариант - 2.

На слайде – верное решение.

Самостоятельная работа на узнавание основного тригонометрического тождества

1. найти значение выражения:

2. выразить число 1 через угол a , если

Идет взаимопроверка – по готовому слайду и оценивание работ – как самооценкой, так и оценкой товарища.

6. Закрепление нового материала (по технологии Г.Е.Хазанкина – технология опорных задач).

ЗАДАЧА 1. Вычислить ……….., если ………………………………………………………………….

1 ученик у доски самостоятельно – затем слайд с правильным решением.

ЗАДАЧА 2. Вычислить……………., если………………………………………………………………..

2-й ученик у доски, затем слайд с верным решением.

7. Физкультминутка.Я знаю, что вы уже взрослые и считаете, что совсем не устали, особенно сейчас, когда урок идет так активно, что время для нас как –бы и удлиняется– по теории относительности А.Эйнштейна, но давайте проведем гимнастику для сосудов головного мозга:

• повороты и наклоны головы вправо – влево, вверх – вниз
• массаж плечевого пояса и кожи головы – руки от кисти, лицо и затылок – сверху вниз.
• плечи поднять вверх и расслабленно “сбросить” вниз. Каждое упражнение выполняем 5-6 раз!

Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом………………………………………………………………………………………………………

Идет новое исследование на тему – каким может быть угол во втором тригонометрическом тождестве?

ГЛАВНОЕ – ВЫЯСНЕНИЕ МНОЖЕСТВА, НА КОТОРОМ ЭТИ РАВЕНСТВА ВЫПОЛНЯЮТСЯ. ОТМЕТИТЬ НА РИСУНКЕ ТОЧКИ, В КОТОРЫХ ТАНГЕНС И КОТЕНГЕНС УГЛА НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

3-й ученик у доски. Равенства справедливы при……………………….

ЗАДАЧА3. Вычислить………, если………………………….

ЗАДАЧА 4. Вычислить…………….. если ………………………………………………………………

Остальные учащиеся работают у себя в тетрадях.

1 ОПОРА………………………………………………………………………………………………

2 ОПОРА………………………………………………………………………………………………

3 ОПОРА. Применение основного тригонометрического тождества к решению задач.

8. Кроссворд. Анатоль Франс сказал как-то: “Учиться надо весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Для проверки знаний по данной теме вам предлагается кроссворд.

1. Раздел математики, изучающий свойства синуса, косинуса, тангенса…
2. Абсцисса точки на единичной окружности.
3. Отношение косинуса к синусу.
4. Синус – это…..точки на единичной окружности.
5. Равенство не требующее доказательства и верное при любых значениях входящих в него букв. Называется……

Проверив кроссворд, ребята выставляют себе оценки в рабочую карту урока. Учитель выставляет оценки тем ученикам, которые особенно активно проявили себя на уроке. Итог – средний балл за работу на уроке.

9. Инструктаж учителя по выполнению домашнего задания.

10. Подведение учителем итогов урока.

11. Домашнее задание: параграф 25 (до задачи 5), №459 (четные), 460 (четные), 463*(4). Учебник Ш.А Алимов “Алгебра и начала анализа”., 10-11, “Просвещение”., М., 2005г.

«Теорема синусов и косинусов» - 1) Запишите теорему синусов для данного треугольника: Найдите угол В. Запишите формулу для вычисления: Теорема синусов: Найдите длину стороны ВС. Теоремы синусов и косинусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. 2) Запишите теорему косинусов для вычисления стороны МК: Самостоятельная работа:

«Решение тригонометрических неравенств» - Все значения y на промежутке MN. 1. Строим графики функций: Остальные промежутки. Прямая y=-1/2 пересекает синусоиду в бесконечном числе точек, а тригонометрический круг - в точке А. бесконечного множества промежутков. А на синусоиде, ближайший к началу координат промежуток значений x, при которых sinx>-1/2,

«Тригонометрические формулы» - Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Формулы сложения. По тригонометрическим функциям угла?. Формулы двойных углов. Сложив почленно равенства (3) и (4), получим: Выведем вспомогательные формулы, позволяющие находить.

«Решение простейших тригонометрических неравенств» - cos x. Методы решения тригонометрических неравенств. sin x. Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, содержащие переменную в аргументе тригонометрической функции. Решение простейших тригонометрических неравенств.

«Sin и cos» - Верно ли,что косинус 6,5 больше нуля? Синус 60° равен?? Верно ли что соs? х - siп? х = 1? Раздел математики, изучающий свойства синуса, косинуса… Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Абсцисса точки на единичной окружности. Отношение косинуса к синусу…

«Теорема косинусов для треугольника» - Устная работа. Неизвестные элементы. Треугольник. Квадрат стороны треугольника. Сформулируйте теорему косинусов. Теорема. Теорема косинусов. Решение задач на клеточной бумаге. Углы и стороны. Сформулировать теорему косинусов. Задачи по готовым чертежам. Данные, указанные на рисунке.

Всего в теме 21 презентация

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .

Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z , а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2} z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x} , а ctg \alpha=\frac{x}{y} . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1 , равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha , отличных от \frac{\pi}{2}+ \pi z .

1+ctg^{2} \alpha=\frac{1}{\sin^{2}\alpha} — сумма 1 и квадрат котангенса угла \alpha , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha , отличного от \pi z .

Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств

Пример 1

Найдите \sin \alpha и tg \alpha , если \cos \alpha=-\frac12 и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ;

Показать решение

Решение

Функции \sin \alpha и \cos \alpha связывает формула \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 . Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12 , получим:

\sin^{2}\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Это уравнение имеет 2 решения:

\sin \alpha = \pm \sqrt{1-\frac14} = \pm \frac{\sqrt 3}{2}

По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} .

Для того, чтобы найти tg \alpha , воспользуемся формулой tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

tg \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} : \frac12 = \sqrt 3

Пример 2

Найдите \cos \alpha и ctg \alpha , если и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi .

Показать решение

Решение

Подставив в формулу \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 данное по условию число \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2} , получаем \left (\frac{\sqrt3}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14 .

По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12 .

Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} . Соответствующие величины нам известны.

ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3} .