Значение двойного угла. Формулы тригонометрии

Самые часто задаваемые вопросы

Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу? Ответ Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.

Какие виды оплаты вы принимаете? Ответ Вы можете оплатить документ во время получения на руки у курьера, после того, как проверите правильность заполнения и качество исполнения диплома. Также это можно сделать в офисе почтовых компаний, предлагающих услуги наложенного платежа.
Все условия доставки и оплаты документов расписаны в разделе «Оплата и доставка». Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.

Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами? Ответ В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день. За годы работы наши документы помогли многим людям решить проблемы трудоустройства или перейти на более высокооплачиваемую работу. Мы заработали доверие и признание среди клиентов, поэтому у нас совершенно нет причин поступать подобным образом. Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.

Могу я заказать диплом любого ВУЗа? Ответ В целом, да. Мы работаем в этой сфере почти 12 лет. За это время сформировалась практически полная база выдаваемых документов почти всех ВУЗов страны и за разные года выдачи. Все, что Вам нужно – выбрать ВУЗ, специальность, документ, и заполнить форму заказа.

Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок? Ответ Получая документ у нашего курьера или в почтовой компании, мы рекомендуем тщательно проверить все детали. Если будет обнаружена опечатка, ошибка или неточность, Вы имеете право не забирать диплом, при этом нужно указать обнаруженные недочеты лично курьеру или в письменном виде, отправив письмо на электронную почту.
В кратчайшие сроки мы исправим документ и повторно отправим на указанный адрес. Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.
Чтобы избежать подобных недоразумений, перед тем, как заполнять оригинальный бланк, мы отправляем на почту заказчику макет будущего документа, для проверки и утверждения окончательного варианта. Перед отправкой документа курьером или почтой мы также делаем дополнительное фото и видео (в т. ч. в ультрафиолетовом свечении), чтобы Вы имели наглядное представление о том, что получите в итоге.

Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании? Ответ Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.) необходимо заполнить онлайн-форму заказа на нашем сайте или сообщить свою электронную почту, чтобы мы выслали вам бланк анкеты, который нужно заполнить и отправить обратно нам.
Если вы не знаете, что указать в каком-либо поле формы заказа/анкеты, оставьте их незаполненными. Всю недостающую информацию мы потому уточним в телефонном режиме.

Последние отзывы

Валентина:

Вы спасли нашего сына от увольнения! Дело в том что недоучившись в институте, сын пошел в армию. А вернувшись, восстанавливаться не захотел. Работал без диплома. Но недавно начали увольнять всех, кто не имеет «корочки. Поэтому решили обратиться к вам и не пожалели! Теперь спокойно работает и ничего не боится! Спасибо!

Самые часто задаваемые вопросы

Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу? Ответ Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.

Какие виды оплаты вы принимаете? Ответ Вы можете оплатить документ во время получения на руки у курьера, после того, как проверите правильность заполнения и качество исполнения диплома. Также это можно сделать в офисе почтовых компаний, предлагающих услуги наложенного платежа.
Все условия доставки и оплаты документов расписаны в разделе «Оплата и доставка». Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.

Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами? Ответ В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день. За годы работы наши документы помогли многим людям решить проблемы трудоустройства или перейти на более высокооплачиваемую работу. Мы заработали доверие и признание среди клиентов, поэтому у нас совершенно нет причин поступать подобным образом. Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.

Могу я заказать диплом любого ВУЗа? Ответ В целом, да. Мы работаем в этой сфере почти 12 лет. За это время сформировалась практически полная база выдаваемых документов почти всех ВУЗов страны и за разные года выдачи. Все, что Вам нужно – выбрать ВУЗ, специальность, документ, и заполнить форму заказа.

Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок? Ответ Получая документ у нашего курьера или в почтовой компании, мы рекомендуем тщательно проверить все детали. Если будет обнаружена опечатка, ошибка или неточность, Вы имеете право не забирать диплом, при этом нужно указать обнаруженные недочеты лично курьеру или в письменном виде, отправив письмо на электронную почту.
В кратчайшие сроки мы исправим документ и повторно отправим на указанный адрес. Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.
Чтобы избежать подобных недоразумений, перед тем, как заполнять оригинальный бланк, мы отправляем на почту заказчику макет будущего документа, для проверки и утверждения окончательного варианта. Перед отправкой документа курьером или почтой мы также делаем дополнительное фото и видео (в т. ч. в ультрафиолетовом свечении), чтобы Вы имели наглядное представление о том, что получите в итоге.

Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании? Ответ Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.) необходимо заполнить онлайн-форму заказа на нашем сайте или сообщить свою электронную почту, чтобы мы выслали вам бланк анкеты, который нужно заполнить и отправить обратно нам.
Если вы не знаете, что указать в каком-либо поле формы заказа/анкеты, оставьте их незаполненными. Всю недостающую информацию мы потому уточним в телефонном режиме.

Последние отзывы

Валентина:

Вы спасли нашего сына от увольнения! Дело в том что недоучившись в институте, сын пошел в армию. А вернувшись, восстанавливаться не захотел. Работал без диплома. Но недавно начали увольнять всех, кто не имеет «корочки. Поэтому решили обратиться к вам и не пожалели! Теперь спокойно работает и ничего не боится! Спасибо!

Формулы двойного угласлужат для выражения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов угла со значением 2 α , используя тригонометрические функции угла α . Данная статья познакомит со всеми формулами двойного угла с доказательствами. Будут рассмотрены примеры применения формул. В заключительной части будут показаны формулы тройного, четверного углов.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Список формул двойного угла

Для преобразования формул двойного угла следует помнить о том, что углы в тригонометрии имеют вид n α записи, где n является натуральным числом, значение выражение записывается без скобок. Таким образом, считается, что запись sin n α имеет то же значение, что и sin (n α) . При обозначении sin n α имеем аналогичную запись (sin α) n . Использование записи применимо для всех тригонометрических функций со степенями n .

Ниже приведены формулы двойного угла:

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α , cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 · c t g α

Отметим, что данные формулы sin и cos применимы с любым значением угла α . Формула тангенса двойного угла справедлива при любом значении α , где t g 2 α имеет смысл, то есть α ≠ π 4 + π 2 · z , z является любым целым числом. Котангенс двойного угла существует при любом α , где c t g 2 α определен на α ≠ π 2 · z .

Косинус двойного угла имеет тройную запись двойного угла. Все они являются применимыми.

Доказательство формул двойного угла

Доказательство формул берет начало из формул сложения. Применим формулы синуса суммы:

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β и косинуса суммы cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β . Предположим, что β = α , тогда получим, что

sin (α + α) = sin α · cos α + cos α · sin α = 2 · sin α · cos α и cos (α + α) = cos α · cos α - sin α · sin α = cos 2 α - sin 2 α

Таким образом доказываются формулы синуса и косинуса двойного угла sin 2 α = 2 · sin α · cos α и cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α .

Остальные формулы cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 приводят к виду cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , при замене 1 на сумму квадратов по основному тождеству sin 2 α + cos 2 α = 1 . Получаем, что sin 2 α + cos 2 α = 1 . Так 1 - 2 · sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α - 2 · sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α и 2 · cos 2 α - 1 = 2 · cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) = cos 2 α - sin 2 α .

Для доказательства формул двойного угла тангенса и котангенса применим равенства t g 2 α = sin 2 α cos 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α . После преобразования получим, что t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α - sin 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . Разделим выражение на cos 2 α , где cos 2 α ≠ 0 с любым значением α , когда t g α определен. Другое выражение поделим на sin 2 α , где sin 2 α ≠ 0 с любыми значениями α , когда c t g 2 α имеет смысл. Чтобы доказать формулу двойного угла для тангенса и котангенса, подставим и получим: