Laipsniai reiškia smailų trikampį. Trikampių tipai: stačiakampis, smailikampis, bukas

Paprastai du trikampiai laikomi panašiais, jei jie yra vienodos formos, net jei jie yra skirtingo dydžio, pasukti ar net apversti.

Paveiksle parodytas dviejų panašių trikampių A 1 B 1 C 1 ir A 2 B 2 C 2 matematinis vaizdavimas parašytas taip:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Du trikampiai yra panašūs, jei:

1. Kiekvienas vieno trikampio kampas lygus atitinkamam kito trikampio kampui:
∠A 1 = ∠ A 2 , ∠ B 1 = ∠ B 2 Ir ∠C1 = ∠C2

2. Vieno trikampio kraštinių ir kito trikampio atitinkamų kraštinių santykiai yra lygūs vienas kitam:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Santykiai dvi pusės vieno trikampio į atitinkamas kito trikampio kraštines yra lygios viena kitai ir tuo pačiu metu
kampai tarp šių kraštų yra lygūs:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ ir $\angle A_1 = \angle A_2$
arba
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ ir $\angle B_1 = \angle B_2$
arba
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ ir $\angle C_1 = \angle C_2$

Panašių trikampių nereikėtų painioti su vienodais trikampiais. Sutampantys trikampiai turi atitinkamą kraštinių ilgį. Taigi vienodiems trikampiams:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Iš to išplaukia, kad visi lygūs trikampiai yra panašūs. Tačiau ne visi panašūs trikampiai yra lygūs.

Nors aukščiau pateiktas žymėjimas rodo, kad norint išsiaiškinti, ar du trikampiai yra panašūs, ar ne, turime žinoti trijų kampų reikšmes arba kiekvieno trikampio trijų kraštinių ilgius, kad galėtume išspręsti panašių trikampių problemas. pakanka žinoti bet kokias tris kiekvieno trikampio reikšmes iš aukščiau pateiktų. Šios vertės gali būti įvairiais deriniais:

1) po tris kiekvieno trikampio kampus (trikampių kraštinių ilgių žinoti nereikia).

Arba bent 2 vieno trikampio kampai turi būti lygūs 2 kito trikampio kampams.
Kadangi jei 2 kampai yra lygūs, tai ir trečiasis kampas bus lygus. (Trečiojo kampo reikšmė yra 180 - kampas1 - kampas2)

2) kiekvieno trikampio kraštinių ilgiai (kampų žinoti nereikia);

3) abiejų kraštinių ilgiai ir kampas tarp jų.

Toliau apsvarstysime kai kurių problemų su panašiais trikampiais sprendimą. Pirmiausia apžvelgsime problemas, kurias galima išspręsti tiesiogiai naudojant aukščiau pateiktas taisykles, o tada aptarsime keletą praktinių problemų, kurias galima išspręsti naudojant panašių trikampių metodą.

Praktinės problemos su panašiais trikampiais

1 pavyzdys: Parodykite, kad du trikampiai žemiau esančiame paveikslėlyje yra panašūs.

Sprendimas:
Kadangi žinomi abiejų trikampių kraštinių ilgiai, čia galima taikyti antrąją taisyklę:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

2 pavyzdys: Parodykite, kad du duoti trikampiai yra panašūs, ir suraskite kraštinių ilgius PQ Ir PR.

Sprendimas:
∠A = ∠P Ir ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(nes ∠C = 180 – ∠A – ∠B ir ∠R = 180 – ∠P – ∠Q)

Iš to išplaukia, kad trikampiai ∆ABC ir ∆PQR yra panašūs. Vadinasi:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8 USD ir
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 USD

3 pavyzdys: Nustatykite ilgį ABšiame trikampyje.

Sprendimas:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED Ir ∠A bendrieji => trikampiai ΔABC Ir ΔADE yra panašūs.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rodyklė dešinėn 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

4 pavyzdys: Nustatyti ilgį AD(x) geometrinė figūra paveiksle.

Trikampiai ∆ABC ir ∆CDE yra panašūs, nes AB || DE ir jie turi bendrą viršutiniame kampe C.
Matome, kad vienas trikampis yra kito mastelio keitimas. Tačiau turime tai įrodyti matematiškai.

AB || DE, CD || AC ir BC || ES
∠BAC = ∠EDC ir ∠ABC = ∠DEC

Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, ir atsižvelgiant į bendro kampo buvimą C, galime teigti, kad trikampiai ∆ABC ir ∆CDE yra panašūs.

Vadinasi:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rodyklė dešinėn CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 USD
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Praktiniai pavyzdžiai

5 pavyzdys: Gamykloje naudojama pasvirusi konvejerio juosta gaminiams transportuoti nuo 1 lygio iki 2 lygio, kuris yra 3 metrais virš 1 lygio, kaip parodyta paveikslėlyje. Nuožulnus konvejeris aptarnaujamas iš vieno galo iki 1 lygio, o iš kito galo į darbo vietą, esančią 8 metrų atstumu nuo 1 lygio veikimo taško.

Gamykla nori atnaujinti konvejerį, kad pasiektų naują lygį, kuris yra 9 metrais virš 1 lygio, išlaikant konvejerio kampą.

Nustatykite atstumą, kuriuo reikia įrengti naują darbo vietą, kad įsitikintumėte, jog konvejeris veikia naujajame gale 2 lygyje. Taip pat apskaičiuokite papildomą atstumą, kurį gaminys nuvažiuos perkeldamas į naują lygį.

Sprendimas:

Pirmiausia pažymėkime kiekvieną sankirtos tašką konkrečia raide, kaip parodyta paveikslėlyje.

Remiantis ankstesniuose pavyzdžiuose pateiktais samprotavimais, galime daryti išvadą, kad trikampiai ∆ABC ir ∆ADE yra panašūs. Vadinasi,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rodyklė dešinėn AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 mln
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Taigi naujas punktas turi būti įrengtas 16 metrų atstumu nuo esamo taško.

Ir kadangi struktūra sudaryta iš stačiųjų trikampių, produkto kelionės atstumą galime apskaičiuoti taip:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Panašiai $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
kuris yra atstumas, kurį nukeliauja produktas Šis momentasįžengus į esamą lygį.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Tai yra papildomas atstumas, kurį gaminys turi nuvažiuoti, kad pasiektų naują lygį.

6 pavyzdys: Steve'as nori aplankyti savo draugą, kuris neseniai persikėlė gyventi naujas namas. Paveiksle parodytas kelių žemėlapis, kaip pasiekti Steve'ą ir jo draugo namus, kartu su Steve žinomais atstumais. Padėkite Steve'ui greičiausiu keliu patekti į jo draugo namus.

Sprendimas:

Geometrinis planas gali būti pavaizduotas tokia forma, kaip parodyta paveikslėlyje.

Matome, kad trikampiai ∆ABC ir ∆CDE yra panašūs, todėl:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Užduoties pareiškime teigiama, kad:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km ir DE = 5 km

Naudodami šią informaciją galime apskaičiuoti šiuos atstumus:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$

Steve'as gali patekti į savo draugo namus šiais maršrutais:

A -> B -> C -> E -> G, bendras atstumas 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, bendras atstumas 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, bendras atstumas 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, bendras atstumas 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Todėl maršrutas #3 yra trumpiausias ir gali būti pasiūlytas Steve'ui.

7 pavyzdys:
Triša nori išmatuoti namo aukštį, bet neturi tinkami įrankiai. Ji pastebėjo, kad priešais namą auga medis, ir nusprendė panaudoti savo sumanumą bei mokykloje įgytas geometrijos žinias pastato aukščiui nustatyti. Ji išmatavo atstumą nuo medžio iki namo, rezultatas buvo 30 m. Tada atsistojo priešais medį ir pradėjo trauktis tol, kol virš medžio viršūnės buvo matyti viršutinis pastato kraštas. Triša pažymėjo vietą ir išmatavo atstumą nuo jos iki medžio. Šis atstumas buvo 5 m.

Medžio aukštis 2,8 m, o Trišos akių aukštis 1,6 m. Padėkite Trišai nustatyti pastato aukštį.

Sprendimas:

Geometrinis uždavinio vaizdas parodytas paveikslėlyje.

Pirmiausia naudojame trikampių ∆ABC ir ∆ADE panašumą.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rodyklė dešinėn 2,8 \times AC = 1,6 \kartai (5) + AC) = 8 + 1,6 \karto AC $

$(2,8–1,6) \times AC = 8 \Darrow AC = \frac(8) (1,2) = 6,67 $

Tada galime panaudoti trikampių ∆ACB ir ∆AFG arba ∆ADE ir ∆AFG panašumą. Pasirinkime pirmąjį variantą.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rodyklė dešinėn H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 m$

Sakoma, kad du trikampiai sutampa, jei juos galima persidengti. 1 paveiksle pavaizduoti lygūs trikampiai ABC ir A 1 B 1 C 1. Kiekvienas iš šių trikampių gali būti uždėtas ant kito taip, kad jie būtų visiškai suderinami, tai yra, jų viršūnės ir kraštinės būtų suporuoti kartu. Aišku, kad šiuo atveju šių trikampių kampai bus sujungti poromis.

Taigi, jei du trikampiai yra lygūs, tai vieno trikampio elementai (t. y. kraštinės ir kampai) yra atitinkamai lygūs kito trikampio elementams. Prisimink tai lygiuose trikampiuose prieš atitinkamai lygias kraštines(t. y. persidengia, kai uždedama) guli lygiais kampais ir atgal: priešingi atitinkamai vienodi kampai yra lygios kraštinės.

Taigi, pavyzdžiui, lygiuose trikampiuose ABC ir A 1 B 1 C 1, parodytuose 1 paveiksle, atitinkamai priešais lygias kraštines AB ir A 1 B 1, yra lygūs kampai C ir C 1. Trikampių ABC ir A 1 B 1 C 1 lygybė bus žymima taip: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Pasirodo, dviejų trikampių lygybę galima nustatyti palyginus kai kuriuos jų elementus.

1 teorema. Pirmasis trikampių lygybės ženklas. Jei vieno trikampio dvi kraštinės ir kampas tarp jų yra atitinkamai lygūs kito trikampio dviem kraštinėms ir kampas tarp jų, tai tokie trikampiai yra lygūs (2 pav.).

Įrodymas. Apsvarstykite trikampius ABC ir A 1 B 1 C 1, kuriuose AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (žr. 2 pav.). Įrodykime, kad Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Kadangi ∠ A \u003d ∠ A 1, tai trikampis ABC gali būti uždėtas ant trikampio A 1 B 1 C 1 taip, kad viršūnė A būtų sulygiuota su viršūne A 1, o kraštinės AB ir AC atitinkamai persidengtų spinduliai A 1 B 1 ir A 1 C vienas . Kadangi AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, tada pusė AB bus sujungta su puse A 1 B 1, o pusė AC - su puse A 1 C 1; visų pirma taškai B ir B 1 , C ir C 1 sutaps. Todėl kraštinės BC ir B 1 C 1 bus išlygintos. Taigi, trikampiai ABC ir A 1 B 1 C 1 yra visiškai suderinami, tai reiškia, kad jie yra lygūs.

2 teorema panašiai įrodoma superpozicijos metodu.

2 teorema. Antrasis trikampių lygybės ženklas. Jei vieno trikampio kraštinė ir du jai besiribojantys kampai yra atitinkamai lygūs kito trikampio kraštinei ir du kampai, esantys šalia jo, tai tokie trikampiai yra lygūs (34 pav.).

komentuoti. Remiantis 2 teorema, nustatoma 3 teorema.

3 teorema. Bet kurių dviejų trikampio vidinių kampų suma yra mažesnė už 180°.

4 teorema išplaukia iš paskutinės teoremos.

4 teorema. Trikampio išorinis kampas yra didesnis už bet kurį vidinis kampas, ne šalia jo.

5 teorema. Trečiasis trikampių lygybės ženklas. Jei trys vieno trikampio kraštinės yra atitinkamai lygios trims kito trikampio kraštinėms, tai tokie trikampiai yra lygūs ().

1 pavyzdys Trikampiuose ABC ir DEF (4 pav.)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm. Palyginkite trikampius ABC ir DEF. Koks trikampio DEF kampas yra lygus kampui B?

Sprendimas. Šie trikampiai yra lygūs pirmajame ženkle. Trikampio DEF kampas F lygus trikampio ABC kampui B, nes šie kampai yra priešais atitinkamas lygias kraštines DE ir AC.

2 pavyzdys Atkarpos AB ir CD (5 pav.) susikerta taške O, kuris yra kiekvieno iš jų vidurio taškas. Kam lygi atkarpa BD, jei atkarpa AC yra 6 m?

Sprendimas. Trikampiai AOC ir BOD yra lygūs (pagal pirmąjį kriterijų): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikali), AO = OB, CO = OD (pagal sąlygą).
Iš šių trikampių lygybės išplaukia jų kraštinių lygybė, ty AC = BD. Bet kadangi pagal sąlygą AC = 6 m, tai BD = 6 m.

Standartinis žymėjimas

Trikampis su viršūnėmis A, B Ir Cžymimas kaip (žr. pav.). Trikampis turi tris kraštines:

Trikampio kraštinių ilgiai žymimi mažosiomis raidėmis su lotyniškomis raidėmis(a, b, c):

Trikampis turi šiuos kampus:

Kampų reikšmės atitinkamose viršūnėse tradiciškai žymimos Graikiškos raidės (α, β, γ).

Trikampių lygybės ženklai

Trikampis Euklido plokštumoje gali būti vienareikšmiškai (iki kongruencijos) apibrėžtas šiais pagrindinių elementų trynukais:

1. a, b, γ (dviejų kraštų lygybė ir kampas tarp jų);
2. a, β, γ (šoninių ir dviejų gretimų kampų lygybė);
3. a, b, c (lygybė iš trijų pusių).

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai:

1. išilgai kojos ir hipotenuzės;
2. ant dviejų kojų;
3. išilgai kojos ir ūmaus kampo;
4. hipotenuzė ir ūminis kampas.

Kai kurie trikampio taškai yra „suporuoti“. Pavyzdžiui, yra du taškai, iš kurių visos pusės matomos arba 60° kampu, arba 120° kampu. Jie vadinami taškais Torricelli. Taip pat yra du taškai, kurių projekcijos šonuose yra taisyklingo trikampio viršūnėse. tai - Apolonijaus punktai. Taškai ir tokie kaip vadinami Brocard taškai.

Tiesioginis

Bet kuriame trikampyje svorio centras, ortocentras ir apibrėžto apskritimo centras yra toje pačioje tiesėje, vadinamoje Eulerio linija.

Tiesė, einanti per apibrėžtojo apskritimo centrą ir Lemoine tašką, vadinama Brokaro ašis. Ant jo guli Apolonijaus taškai. Torricelli taškai ir Lemoine taškai taip pat yra toje pačioje tiesėje. Trikampio kampų išorinių pusių pagrindai yra toje pačioje tiesėje, vadinamoje išorinių bisektorių ašis. Tiesių, kuriose yra stačiakampio kraštinės, susikirtimo taškai su linijomis, kuriose yra trikampio kraštinės, taip pat yra toje pačioje tiesėje. Ši linija vadinama ortocentrinė ašis, jis yra statmenas Eilerio linijai.

Jei paimsime tašką ant trikampio apibrėžtojo apskritimo, tai jo projekcijos trikampio kraštinėse bus vienoje tiesėje, vadinamoje Simsono tiesioji linija duotas taškas. Diametraliai priešingų taškų Simsono linijos yra statmenos.

trikampiai

• Vadinamas trikampis, kurio viršūnės yra per tam tikrą tašką nubrėžtų cevijų pagrindų cevijaus trikampisšį tašką.
• Vadinamas trikampis, kurio viršūnės yra tam tikro taško projekcijose į šonus po oda arba pedalo trikampisšį tašką.
• Trikampis, kurio viršūnės yra antruosiuose tiesių, nubrėžtų per viršūnes ir duotąjį tašką, susikirtimo taškuose su apibrėžtuoju apskritimu, vadinamas cevijaus trikampis. Cevijos trikampis yra panašus į poodinį trikampį.

apskritimai

• Įrašytas apskritimas yra apskritimas, kurio liestinė yra visos trys trikampio kraštinės. Ji vienintelė. Įbrėžto apskritimo centras vadinamas centre.
• Apribotas ratas- apskritimas, einantis per visas tris trikampio viršūnes. Apribotas ratas taip pat yra unikalus.
• Išskleisti aplinką- apskritimas, liečiantis vieną trikampio kraštinę, ir kitų dviejų kraštinių tęsinys. Trikampyje yra trys tokie apskritimai. Jų radikalus centras yra įbrėžto vidurinio trikampio apskritimo centras, vadinamas Spiekerio mintis.

Trikampio trijų kraštinių vidurio taškai, jo trijų aukščių pagrindai ir trijų tiesių atkarpų, jungiančių trikampio viršūnes su ortocentru, vidurio taškai yra viename apskritime, vadinamame devynių taškų ratas arba Eulerio ratas. Devynių taškų apskritimo centras yra ant Eilerio linijos. Devynių taškų apskritimas liečia įbrėžtą apskritimą ir tris apskritimus. Įbrėžto apskritimo ir devynių taškų apskritimo sąlyčio taškas vadinamas Feuerbacho taškas. Jei iš kiekvienos viršūnės tiesiame trikampius tiesiose linijose, turinčiose kraštines, ortezes, kurių ilgis lygus priešingoms kraštinėms, tada gauti šeši taškai yra viename apskritime - Conway apskritimai. Bet kuriame trikampyje trys apskritimai gali būti įrašyti taip, kad kiekvienas iš jų liestų dvi trikampio kraštines ir du kitus apskritimus. Tokie apskritimai vadinami Malfatti apskritimai. Šešių trikampių, į kuriuos trikampis padalintas medianomis, apibrėžtųjų apskritimų centrai yra viename apskritime, kuris vadinamas Lamuno ratas.

Trikampis turi tris apskritimus, kurie liečia dvi trikampio ir apibrėžtojo apskritimo kraštines. Tokie apskritimai vadinami pusiau užrašytas arba Verrier apskritimai. Atkarpos, jungiančios Verrier apskritimų sąlyčio taškus su apibrėžtuoju apskritimu, susikerta viename taške, vadinamame Verrier taškas. Jis tarnauja kaip homotetiškumo centras, kuris nukelia apibrėžtą apskritimą į apskritimą. Verrier apskritimų ir kraštinių liesties taškai yra tiesėje, kuri eina per įbrėžto apskritimo centrą.

Tiesijos atkarpos, jungiančios įbrėžto apskritimo liestinės taškus su viršūnėmis, susikerta viename taške, vadinamame Gergonne tašką, o atkarpas, jungiančias viršūnes su išorinių apskritimų sąlyčio taškais – į Nagel taškas.

Elipsės, parabolės ir hiperbolės

Įbrėžtas kūgis (elipsė) ir jo perspektyva

Į trikampį galima įrašyti begalinį skaičių kūgių (elipsių, parabolių arba hiperbolių). Jei į trikampį įrašysime savavališką kūgį ir sujungsime sąlyčio taškus su priešingomis viršūnėmis, tai gautos linijos susikirs viename taške, vadinamame perspektyvą kūginiai. Bet kuriame plokštumos taške, kuris nėra ant šono ar jo tęsinio, yra įbrėžtas kūgis su perspektyva tame taške.

Steinerio elipsė apribota ir per jos židinius einantys ceviai

Elipsė gali būti įrašyta į trikampį, kuris liečia kraštines vidurio taškuose. Tokia elipsė vadinama Steinerio įrašyta elipsė(jo perspektyva bus trikampio centroidas). Apibūdinta elipsė, kuri yra liestinė tiesių, einančių per viršūnes lygiagrečiai kraštams, vadinama apribotas Šteinerio elipsės. Jei afininė transformacija ("kreipimas") paverčia trikampį taisyklingu, tada jo įrašyta ir apibrėžta Steinerio elipsė pateks į įbrėžtą ir apibrėžtą apskritimą. Cevians, nubrėžtos per aprašytos Šteinerio elipsės židinius (Skutino taškai), yra lygūs (Skutino teorema). Iš visų apribotų elipsių turi apibrėžtoji Steinerio elipsė mažiausias plotas, o iš visų įbrėžtų elipsių Steinerio įbrėžta elipsė turi didžiausią plotą.

Brokaro elipsė ir jos žvalgytojas – Lemoine taškas

Vadinama elipsė su židiniais Brokaro taškuose Brocard elipsė. Jo perspektyva yra Lemoine taškas.

Įbrėžtos parabolės savybės

Kieperto parabolė

Įbrėžtų parabolių perspektyvos guli ant apribotos Steinerio elipsės. Įbrėžtos parabolės židinys yra ant apibrėžto apskritimo, o kryptis eina per ortocentrą. Vadinama parabolė, įrašyta į trikampį, kurio kryptis yra Eulerio linija Kieperto parabolė. Jo perspektyva yra ketvirtasis apibrėžtojo apskritimo ir apibrėžtosios Steinerio elipsės susikirtimo taškas, vadinamas Steinerio taškas.

Kiperto hiperbolė

Jei aprašyta hiperbolė eina per aukščių susikirtimo tašką, tada ji yra lygiakraštė (tai yra, jos asimptotės yra statmenos). Lygiakraščio hiperbolės asimptotų susikirtimo taškas yra devynių taškų apskritime.

Transformacijos

Jeigu tiesės, einančios per viršūnes ir kurį nors šonuose negulantį tašką ir jų plėtinius, atsispindės atitinkamų bisektorių atžvilgiu, tai jų atvaizdai taip pat susikirs viename taške, kuris vadinamas izogoniškai konjuguotas originalus (jei taškas buvo ant apibrėžto apskritimo, tada gautos linijos bus lygiagrečios). Daugelis žymių taškų porų yra izogoniškai susijungusios: apibrėžto apskritimo centras ir ortocentras, centroidas ir Lemoine taškas, Brokaro taškai. Apolonijaus taškai yra izogoniškai konjuguoti su Torricelli taškais, o apskritimo centras yra izogoniškai susietas su pačiu savimi. Veikiant izogoninei konjugacijai, tiesios linijos pereina į apibrėžtuosius kūgius, o apribotos kūgius į tiesias linijas. Taigi Kieperto hiperbolė ir Brokaro ašis, Enžabeko hiperbolė ir Eilerio linija, Feuerbacho hiperbolė ir įbrėžto apskritimo centrų linija yra izogoniškai konjuguotos. Izogoniškai susietų taškų subderminių trikampių apibrėžtieji apskritimai sutampa. Įrašytų elipsių židiniai yra izogoniškai susijungę.

Jei vietoj simetrinio ceviano imsime tokį, kurio pagrindas yra taip toli nuo kraštinės vidurio, kiek ir pradinio pagrindo, tai tokie cevianai taip pat susikirs viename taške. Gauta transformacija vadinama izotominė konjugacija. Jis taip pat susieja linijas su apibrėžtais kūgiais. Gergonne ir Nagel taškai yra izotomiškai konjuguoti. Afininių transformacijų metu izotomiškai konjuguoti taškai pereina į izotomiškai konjuguotus. Izotomijos konjugacijos metu aprašyta Steinerio elipsė eina į tiesią liniją begalybėje.

Jei atkarpose, kurias trikampio kraštinės atskiria nuo apibrėžtojo apskritimo, įbrėžiami apskritimai, kurie liečiasi per tam tikrą tašką nubrėžtų cevijų pagrindų kraštines, ir tada šių apskritimų sąlyčio taškai sujungiami su apibrėžtuoju apskritimas su priešingomis viršūnėmis, tada tokios tiesės susikirs viename taške. Vadinama plokštumos transformacija, suderinant pradinį tašką su gautuoju izocirkuliacinė transformacija. Izogoninių ir izotominių konjugacijų sudėtis yra izocirkuliarinės transformacijos su savimi kompozicija. Ši kompozicija yra projekcinė transformacija, kuri palieka trikampio kraštines vietoje, o išorinių bisektorių ašis paverčia tiesia linija begalybėje.

Jei tęsime kokio nors taško Ceviano trikampio kraštines ir paimsime jų susikirtimo taškus su atitinkamomis kraštinėmis, tada susikirtimo taškai bus vienoje tiesėje, vadinamoje trilinijinis poliarinis atspirties taškas. Ortocentrinė ašis – trilinijinė ortocentro poliarinė; įbrėžto apskritimo centro tritiesė poliarinė yra išorinių bisektorių ašis. Taškų, esančių ant apibrėžtojo kūgio, tritiesės poliai susikerta viename taške (apibrėžtajam apskritimui tai yra Lemoine taškas, apibrėžtajai Steinerio elipsei - centroidas). Izogoninės (arba izotominės) konjugacijos ir tritiesės poliarinės konjugacijos sudėtis yra dvilypė transformacija (jei taškas, sujungtas izogoniškai (izotomiškai) su tašku, yra ant taško tritiesės poliarinės linijos, tada taško trilinijinis polius izogoniškai (izotomiškai) konjugatas su tašku yra ant taško tritiesės poliarinės linijos).

Kubeliai

Santykiai trikampyje

Pastaba:Šiame skyriuje, , , yra trijų trikampio kraštinių ilgiai, ir , yra kampai, esantys atitinkamai priešais šias tris puses (priešingi kampai).

trikampio nelygybė

Neišsigimusiame trikampyje jo dviejų kraštinių ilgių suma yra didesnė už trečiosios kraštinės ilgį, išsigimusiame – lygi. Kitaip tariant, trikampio kraštinių ilgiai yra susieti su šiomis nelygybėmis:

Trikampio nelygybė yra viena iš metrikos aksiomų.

Trikampio kampų sumos teorema

Sinuso teorema

,

čia R yra apskritimo, apibrėžiamo aplink trikampį, spindulys. Iš teoremos išplaukia, kad jei a< b < c, то α < β < γ.

Kosinuso teorema

Tangento teorema

Kiti santykiai

Metriniai santykiai trikampyje pateikiami:

Trikampių sprendimas

Nežinomų trikampio kraštinių ir kampų skaičiavimas, remiantis žinomomis, istoriškai buvo vadinamas „trikampio sprendiniais“. Šiuo atveju naudojamos aukščiau pateiktos bendrosios trigonometrinės teoremos.

Trikampio plotas

Ypatingi atvejai Žymėjimas

Šioje srityje galioja šios nelygybės:

Trikampio ploto erdvėje apskaičiavimas naudojant vektorius

Tegul trikampio viršūnės yra taškuose , , .

Įveskime ploto vektorių . Šio vektoriaus ilgis lygus trikampio plotui ir nukreiptas išilgai normalios trikampio plokštumos:

Leisti , Kur , , yra trikampio projekcijos į koordinačių plokštumas. Kuriame

ir taip pat

Trikampio plotas yra.

Alternatyva yra apskaičiuoti kraštinių ilgius (naudojant Pitagoro teoremą) ir tada naudojant Herono formulę.

Trikampio teoremos

Desargueso teorema: jei du trikampiai yra perspektyviniai (tiesės, einančios per atitinkamas trikampių viršūnes, susikerta viename taške), tai jų atitinkamos kraštinės susikerta vienoje tiesėje.

Sondo teorema: jei du trikampiai yra perspektyvūs ir ortologiniai (statmenys, nuleisti iš vieno trikampio viršūnių į kraštines, priešingas atitinkamoms trikampio viršūnėms, ir atvirkščiai), tai abu ortologijos centrai (šių statmenų susikirtimo taškai) ir perspektyvos centras guli ant vienos tiesės, statmenos perspektyvos ašiai (tiesė iš Desargueso teoremos).

Šiandien vykstame į Geometrijos šalį, kur susipažinsime įvairių tipų trikampiai.

Apsvarstykite geometrines figūras ir rasti tarp jų „papildomą“ (1 pav.).

Ryžiai. 1. Pavyzdžiui, iliustracija

Matome, kad skaičiai Nr. 1, 2, 3, 5 yra keturkampiai. Kiekvienas iš jų turi savo pavadinimą (2 pav.).

Ryžiai. 2. Keturkampiai

Tai reiškia, kad „papildoma“ figūra yra trikampis (3 pav.).

Ryžiai. 3. Pavyzdžiui, iliustracija

Trikampis yra figūra, kurią sudaro trys taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje, ir trys atkarpos, jungiančios šiuos taškus poromis.

Taškai vadinami trikampio viršūnės, segmentai - jo vakarėliams. Susiformuoja trikampio kraštinės Trikampio viršūnėse yra trys kampai.

Pagrindinės trikampio savybės yra trys šonai ir trys kampai. Trikampiai klasifikuojami pagal kampą aštrus, stačiakampis ir bukas.

Trikampis vadinamas smailiuoju, jei visi trys jo kampai yra smailieji, tai yra mažesni nei 90° (4 pav.).

Ryžiai. 4. Smailus trikampis

Trikampis vadinamas stačiu kampu, jei vienas jo kampas yra 90° (5 pav.).

Ryžiai. 5. Statusis trikampis

Trikampis vadinamas buku, jei vienas iš jo kampų yra bukas, t.y. didesnis nei 90° (6 pav.).

Ryžiai. 6. Bukas trikampis

Pagal lygių kraštinių skaičių trikampiai yra lygiakraščiai, lygiašoniai, skalės.

Lygiašonis trikampis yra trikampis, kurio dvi kraštinės lygios (7 pav.).

Ryžiai. 7. Lygiašonis trikampis

Šios pusės vadinamos šoninis, Trečioji pusė - pagrindu. Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs.

Lygiašoniai trikampiai yra ūmus ir bukas(8 pav.) .

Ryžiai. 8. Smailieji ir bukieji lygiašoniai trikampiai

Vadinamas lygiakraštis trikampis, kurio visos trys kraštinės lygios (9 pav.).

Ryžiai. 9. Lygiakraštis trikampis

Lygiakraščiame trikampyje visi kampai lygūs. Lygiakraščiai trikampiai visada smailaus kampo.

Universaliu vadinamas trikampis, kurio visos trys kraštinės yra skirtingo ilgio (10 pav.).

Ryžiai. 10. Skaleninis trikampis

Atlikite užduotį. Padalinkite šiuos trikampius į tris grupes (11 pav.).

Ryžiai. 11. Užduoties iliustracija

Pirma, paskirstykime pagal kampų dydį.

Smailūs trikampiai: Nr.1, Nr.3.

Statieji trikampiai: #2, #6.

Bukieji trikampiai: #4, #5.

Šie trikampiai skirstomi į grupes pagal lygių kraštinių skaičių.

Skaleniniai trikampiai: Nr.4, Nr.6.

Lygiašoniai trikampiai: Nr.2, Nr.3, Nr.5.

Lygiakraštis trikampis: Nr. 1.

Peržiūrėkite brėžinius.

Pagalvokite, iš kokios vielos gabalo pagamintas kiekvienas trikampis (12 pav.).

Ryžiai. 12. Užduoties iliustracija

Galite ginčytis taip.

Pirmasis vielos gabalas padalintas į tris lygias dalis, todėl iš jo galite padaryti lygiakraštį trikampį. Paveiksle jis parodytas trečias.

Antroji vielos dalis yra padalinta į tris skirtingas dalis, todėl iš jos galite padaryti skaleno trikampį. Nuotraukoje jis parodytas pirmiausia.

Trečias vielos gabalas padalintas į tris dalis, kur dvi dalys yra vienodo ilgio, todėl iš jos galite padaryti lygiašonį trikampį. Nuotraukoje jis parodytas antras.

Šiandien pamokoje susipažinome su įvairių tipų trikampiais.

Bibliografija

1. M.I. Moro, M.A. Bantova ir kt.. Matematika: vadovėlis. 3 klasė: iš 2 dalių, 1 dalis. - M .: "Švietimas", 2012 m.
2. M.I. Moro, M.A. Bantova ir kt.. Matematika: vadovėlis. 3 klasė: iš 2 dalių, 2 dalis. - M .: "Švietimas", 2012 m.
3. M.I. Moreau. Matematikos pamokos: Gairės už mokytoją. 3 klasė - M.: Švietimas, 2012 m.
4. Reguliavimo dokumentas. Mokymosi rezultatų stebėjimas ir vertinimas. - M.: „Švietimas“, 2011 m.
5. „Rusijos mokykla“: programos pradinė mokykla. - M.: „Švietimas“, 2011 m.
6. S.I. Volkovas. Matematika: Patikrinimo darbai. 3 klasė - M.: Švietimas, 2012 m.
7. V.N. Rudnickaja. Testai. - M.: „Egzaminas“, 2012 m.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Namų darbai

1. Užbaikite frazes.

a) Trikampis yra figūra, sudaryta iš ..., esanti ne vienoje tiesėje, ir ..., jungianti šiuos taškus poromis.

b) Taškai vadinami … , segmentai - jo … . Trikampio kraštinės susidaro trikampio viršūnėse ….

c) Pagal kampo dydį trikampiai yra ..., ..., ....

d) Pagal lygių kraštinių skaičių trikampiai yra ..., ..., ....

2. Pieškite

a) stačiakampis trikampis

b) smailusis trikampis;

c) bukas trikampis;

d) lygiakraštis trikampis;

e) skalės trikampis;

e) lygiašonis trikampis.

3. Pamokos tema padarykite užduotį savo bendražygiams.

Geometrijos mokslas mums sako, kas yra trikampis, kvadratas, kubas. IN modernus pasaulis jo mokosi mokyklose visi be išimties. Taip pat mokslas, tiesiogiai tiriantis, kas yra trikampis ir kokias jo savybes turi trigonometrija. Ji išsamiai tiria visus su duomenimis susijusius reiškinius.Apie tai, kas šiandien yra trikampis, kalbėsime mūsų straipsnyje. Jų tipai bus aprašyti toliau, taip pat kai kurios su jais susijusios teoremos.

Kas yra trikampis? Apibrėžimas

Tai plokščias daugiakampis. Jis turi tris kampus, kas aišku iš pavadinimo. Ji taip pat turi tris kraštines ir tris viršūnes, iš kurių pirmoji yra atkarpos, antroji – taškai. Žinodami, kam yra lygūs du kampai, galite rasti trečiąjį, atėmę pirmųjų dviejų sumą iš skaičiaus 180.

Kas yra trikampiai?

Juos galima klasifikuoti pagal įvairius kriterijus.

Visų pirma, jie skirstomi į smailaus kampo, bukokampius ir stačiakampius. Pirmieji turi smailius kampus, ty tuos, kurie yra mažesni nei 90 laipsnių. Bukus kampuose vienas iš kampų yra bukas, tai yra, didesnis nei 90 laipsnių, kiti du yra smailieji. Smailieji trikampiai taip pat apima lygiakraščius trikampius. Tokių trikampių visos kraštinės ir kampai yra vienodi. Visi jie lygūs 60 laipsnių, tai galima nesunkiai apskaičiuoti visų kampų sumą (180) padalijus iš trijų.

Taisyklingas trikampis

Neįmanoma nekalbėti apie tai, kas yra stačiakampis trikampis.

Tokios figūros vienas kampas lygus 90 laipsnių (tiesus), tai yra, dvi jos kraštinės yra statmenos. Kiti du kampai yra smailūs. Jie gali būti lygūs, tada jis bus lygiašonis. Pitagoro teorema yra susijusi su stačiu trikampiu. Su jo pagalba galite rasti trečiąją pusę, žinodami pirmąsias dvi. Pagal šią teoremą, jei vienos kojos kvadratą pridėsite prie kitos kvadrato, galite gauti hipotenuzės kvadratą. Kojos kvadratą galima apskaičiuoti iš hipotenuzės kvadrato atėmus žinomos kojos kvadratą. Kalbėdami apie tai, kas yra trikampis, galime prisiminti lygiašonius. Tai yra toks, kurio dvi kraštinės yra lygios, o du kampai taip pat yra lygūs.

Kas yra koja ir hipotenuzė?

Koja yra viena iš trikampio kraštinių, sudarančių 90 laipsnių kampą. Hipotenuzė yra likusi pusė, kuri yra priešinga stačiu kampu. Iš jo ant kojos galima nuleisti statmeną. Gretimos kojos ir hipotenuzės santykis vadinamas kosinusu, o priešingas – sinusu.

- kokios jo savybės?

Jis yra stačiakampis. Jo kojos yra trys ir keturios, o hipotenuzė yra penkios. Jei pamatėte, kad šio trikampio kojos yra lygios trims ir keturioms, galite būti tikri, kad hipotenuzė bus lygi penkioms. Taip pat pagal šį principą nesunkiai galima nustatyti, kad koja bus lygi trims, jei antroji lygi keturioms, o hipotenuzė – penkioms. Norėdami įrodyti šį teiginį, galite pritaikyti Pitagoro teoremą. Jei dvi kojos yra 3 ir 4, tada 9 + 16 \u003d 25, 25 šaknis yra 5, tai yra, hipotenuzė yra 5. Taip pat Egipto trikampis vadinamas stačiu trikampiu, kurio kraštinės yra 6, 8 ir 10 ; 9, 12 ir 15 ir kiti skaičiai, kurių santykis yra 3:4:5.

Kas dar gali būti trikampis?

Trikampiai taip pat gali būti užrašyti ir apibrėžti. Figūra, aplink kurią aprašomas apskritimas, vadinama įrašyta, visos jos viršūnės yra taškai, esantys ant apskritimo. Apribotasis trikampis yra tas, kuriame įbrėžtas apskritimas. Visos jo pusės tam tikruose taškuose liečiasi su juo.

Kaip yra

Bet kurios figūros plotas matuojamas kvadratinių vienetų(kvadratiniai metrai, kvadratiniai milimetrai, kvadratiniai centimetrai, kvadratiniai decimetrai ir kt.) Šią reikšmę galima apskaičiuoti įvairiais būdais, priklausomai nuo trikampio tipo. Bet kurios figūros su kampais plotą galima rasti padauginus jos kraštą iš statmens, numesto ant jos priešingas kampas, ir padalijus šį skaičių iš dviejų. Šią vertę taip pat galite rasti padauginę dvi puses. Tada padauginkite šį skaičių iš kampo tarp šių kraštinių sinuso ir padalykite iš dviejų. Žinodami visas trikampio kraštines, bet nežinodami jo kampų, plotą galite rasti kitu būdu. Norėdami tai padaryti, turite rasti pusę perimetro. Tada pakaitomis iš šio skaičiaus atimkite skirtingas puses ir padauginkite keturias gautas vertes. Tada sužinokite numerį, kuris pasirodė. Įbrėžto trikampio plotą galima rasti padauginus visas kraštines ir gautą skaičių, kuriuo apibrėžiamas aplink jį, padalijus iš keturių.

Aprašyto trikampio plotas randamas tokiu būdu: pusę perimetro padauginame iš jame įrašyto apskritimo spindulio. Jei tada jo plotą galima rasti taip: kraštinę padalijame kvadratu, gautą skaičių padauginame iš trijų šaknies, tada šį skaičių padaliname iš keturių. Panašiai galite apskaičiuoti trikampio, kuriame visos kraštinės yra lygios, aukštį, tam reikia padauginti vieną iš jų iš trijų šaknies, o tada padalyti šį skaičių iš dviejų.

Trikampio teoremos

Pagrindinės su šia figūra susijusios teoremos yra aukščiau aprašyta Pitagoro teorema ir kosinusai. Antrasis (sinusas) yra tas, kad padalijus bet kurią kraštinę iš priešingo kampo sinuso, galite gauti aplink ją aprašyto apskritimo spindulį, padaugintą iš dviejų. Trečiasis (kosinusas) yra tas, kad jei iš jų sandaugos atimama dviejų kraštinių kvadratų suma, padauginta iš dviejų ir tarp jų esančio kampo kosinuso, tada bus gautas trečiosios kraštinės kvadratas.

Dali trikampis - kas tai?

Daugelis, susidūrę su šia koncepcija, iš pradžių mano, kad tai yra tam tikras geometrijos apibrėžimas, tačiau taip nėra. Dali trikampis yra Dažnas vardas trys vietos, glaudžiai susijusios su garsaus menininko gyvenimu. Jo „viršūnės“ yra namas, kuriame gyveno Salvadoras Dali, pilis, kurią jis padovanojo savo žmonai, ir siurrealistinių paveikslų muziejus. Keliaudami po šias vietas galite daug sužinoti. Įdomūs faktai apie šį visame pasaulyje žinomą savotišką kūrybingą menininką.