Formulės lygiagretainio abcd plotui rasti. Lygiagretaus plotas

4 užduotis.

Viena iš 4√6 ilgio lygiagretainio įstrižainių sudaro 60° kampą su pagrindu, o antroji įstrižainė sudaro 45° kampą su tuo pačiu pagrindu. Raskite antrąją įstrižainę.

Sprendimas.

1. AO = 2√6.

2. Taikykite sinuso teoremą trikampiui AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Atsakymas: 12.

5 užduotis.

Lygiagretainio, kurio kraštinės yra 5√2 ir 7√2, mažesnis kampas tarp įstrižainių yra lygus mažesniam lygiagretainio kampui. Raskite įstrižainių ilgių sumą.

Sprendimas.

Tegu lygiagretainio įstrižainės yra d 1, d 2, o kampas tarp įstrižainių ir mažesniojo lygiagretainio kampo lygus φ.

1. Suskaičiuokime du skirtingus
savo srities būdai.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Gauname lygybę 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f arba

2 5√2 7√2 = d 1 d 2;

2. Naudodami santykį tarp lygiagretainio kraštinių ir įstrižainių, užrašome lygybę

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Sukurkime sistemą:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Antrąją sistemos lygtį padauginkite iš 2 ir pridėkite prie pirmosios.

Gauname (d 1 + d 2) 2 = 576. Taigi Id 1 + d 2 I = 24.

Kadangi d 1, d 2 yra lygiagretainio įstrižainių ilgiai, tai d 1 + d 2 = 24.

Atsakymas: 24.

6 užduotis.

Lygiagretainio kraštinės yra 4 ir 6. Smailusis kampas tarp įstrižainių lygus 45 o. Raskite lygiagretainio plotą.

Sprendimas.

1. Iš trikampio AOB, naudodamiesi kosinuso teorema, užrašome ryšį tarp lygiagretainio kraštinės ir įstrižainių.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Panašiai rašome santykį trikampiui AOD.

Atsižvelgiame į tai<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Gauname lygtį d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Mes turime sistemą
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Iš antrosios lygties atėmę pirmąjį, gauname 2d 1 d 2 √2 = 80 arba

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Pastaba:Šiame ir ankstesniame uždavinyje nereikia visiškai spręsti sistemos, numatant, kad šiame uždavinyje plotui apskaičiuoti reikia įstrižainių sandaugos.

Atsakymas: 10.

7 užduotis.

Lygiagretainio plotas yra 96, o jo kraštinės yra 8 ir 15. Raskite mažesnės įstrižainės kvadratą.

Sprendimas.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Atlikime pakeitimą formulėje.

Gauname 96 = 8 15 sin VAD. Taigi nuodėmė VAD = 4/5.

2. Rasti cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BLOGAS = 1. cos 2 BLOGAS = 9/25.

Pagal uždavinio sąlygą randame mažesnės įstrižainės ilgį. Įstrižainė BD bus mažesnė, jei kampas BAD smailus. Tada BLOGAS = 3/5.

3. Iš trikampio ABD, pasitelkę kosinuso teoremą, randame įstrižainės BD kvadratą.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Atsakymas: 145.

Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip išspręsti geometrijos problemą?
Norėdami gauti korepetitoriaus pagalbą – registruokitės.
Pirma pamoka nemokama!

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Kaip ir Euklido geometrijoje, taškas ir tiesė yra pagrindiniai plokštumų teorijos elementai, taip lygiagretainis yra viena iš pagrindinių išgaubtų keturkampių figūrų. Iš jo, kaip siūlai iš rutulio, išplaukia „stačiakampio“, „kvadrato“, „rombo“ ir kitų geometrinių dydžių sąvokos.

Susisiekus su

Lygiagretainio apibrėžimas

išgaubtas keturkampis, susidedantis iš atkarpų, kurių kiekviena pora yra lygiagreti, geometrijoje žinomas kaip lygiagretainis.

Kaip atrodo klasikinis lygiagretainis, yra keturkampis ABCD. Kraštinės vadinamos pagrindais (AB, BC, CD ir AD), statmenas, nubrėžtas iš bet kurios viršūnės į priešingą šios viršūnės pusę, vadinamas aukščiu (BE ir BF), tiesės AC ir BD – įstrižainėmis.

Dėmesio! Kvadratas, rombas ir stačiakampis yra specialūs lygiagretainio atvejai.

Šonai ir kampai: santykio ypatybės

Pagrindinės savybės, apskritai, iš anksto nustatytas paties pavadinimo, jie įrodomi teorema. Šios savybės yra tokios:

1. Priešingos pusės poromis yra identiškos.
2. Kampai, kurie yra priešingi vienas kitam, yra lygūs poromis.

Įrodymas: apsvarstykite ∆ABC ir ∆ADC, kurie gaunami keturkampį ABCD padalijus tiese AC. ∠BCA=∠CAD ir ∠BAC=∠ACD, nes AC yra bendras (atitinkamai vertikalūs kampai BC||AD ir AB||CD). Iš to išplaukia: ∆ABC = ∆ADC (antrasis trikampių lygybės kriterijus).

Atkarpos AB ir BC ∆ABC poromis atitinka tieses CD ir AD ∆ADC, o tai reiškia, kad jie yra identiški: AB = CD, BC = AD. Taigi ∠B atitinka ∠D ir jie yra lygūs. Kadangi ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, kurios taip pat yra identiškos poromis, tai ∠A = ∠C. Turtas įrodytas.

Figūros įstrižainių charakteristikos

Pagrindinis bruožasšios lygiagretainės tiesės: susikirtimo taškas dalija jas pusiau.

Įrodymas: tegul m. E yra figūros ABCD įstrižainių AC ir BD susikirtimo taškas. Jie sudaro du proporcingus trikampius – ∆ABE ir ∆CDE.

AB = CD, nes jie yra priešingi. Pagal linijas ir sekantus ∠ABE = ∠CDE ir ∠BAE = ∠DCE.

Pagal antrąjį lygybės ženklą ∆ABE = ∆CDE. Tai reiškia, kad elementai ∆ABE ir ∆CDE yra: AE = CE, BE = DE ir, be to, jie yra proporcingos AC ir BD dalys. Turtas įrodytas.

Gretimų kampų ypatybės

Gretimose pusėse kampų suma yra 180°, nes jie yra toje pačioje lygiagrečių linijų ir sekanto pusėje. Keturkampiui ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bisektoriaus savybės:

1. , nuleistas į vieną pusę, yra statmenos;
2. priešingos viršūnės turi lygiagrečius bisektorius;
3. trikampis, gautas nubrėžus pusiausvyrą, bus lygiašonis.

Lygiagretainio charakteristikų nustatymas teorema

Šios figūros ypatybės išplaukia iš pagrindinės jo teoremos, kuri skamba taip: keturkampis laikomas lygiagretainiu tuo atveju, jei jo įstrižainės susikerta, ir šis taškas padalija jas į lygias atkarpas.

Įrodymas: Tegul keturkampio ABCD linijos AC ir BD susikerta t. E. Kadangi ∠AED = ∠BEC ir AE+CE=AC BE+DE=BD, tai ∆AED = ∆BEC (pirmuoju trikampių lygybės ženklu). Tai yra, ∠EAD = ∠ECB. Jie taip pat yra vidiniai sekanto AC susikirtimo kampai linijoms AD ir BC. Taigi, pagal paralelizmo apibrėžimą - AD || pr. Kr. Taip pat gaunama panaši eilučių BC ir CD savybė. Teorema įrodyta.

Figūros ploto apskaičiavimas

Šios figūros plotas rasti keliais būdais vienas iš paprasčiausių: padauginti aukštį ir pagrindą, prie kurio jis traukiamas.

Įrodymas: Iš viršūnių B ir C nubrėžkite statmenis BE ir CF. ∆ABE ir ∆DCF yra lygūs, nes AB = CD ir BE = CF. ABCD yra lygus stačiakampiui EBCF, nes jie taip pat susideda iš proporcingų skaičių: S ABE ir S EBCD, taip pat S DCF ir S EBCD. Iš to išplaukia, kad šios geometrinės figūros plotas yra toks pat kaip ir stačiakampio:

S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD.

Norėdami nustatyti bendrą lygiagretainio ploto formulę, pažymime aukštį kaip hb, ir šoną b. Atitinkamai:

Kiti būdai rasti plotą

Ploto skaičiavimai per lygiagretainio kraštines ir kampą, kurį jie sudaro, yra antrasis žinomas metodas.

,

Spr-ma – plotas;

a ir b yra jos kraštinės

α - kampas tarp atkarpų a ir b.

Šis metodas praktiškai pagrįstas pirmuoju, bet tuo atveju, jei jis nežinomas. visada nupjauna statųjį trikampį, kurio parametrus randa trigonometrinės tapatybės, t.y. Pavertę santykį, gauname . Pirmojo metodo lygtyje aukštį pakeičiame šiuo produktu ir gauname šios formulės pagrįstumo įrodymą.

Per lygiagretainio ir kampo įstrižaines, kurią jie sukuria susikirsdami, taip pat galite rasti sritį.

Įrodymas: AC ir BD susikerta sudaro keturis trikampius: ABE, BEC, CDE ir AED. Jų suma lygi šio keturkampio plotui.

Kiekvieno iš šių ∆ plotą galima rasti iš išraiškos , kur a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Kadangi , tada skaičiavimuose naudojama viena sinuso reikšmė. Tai yra . Kadangi AE+CE=AC= d 1 ir BE+DE=BD= d 2 , ploto formulė sumažinama iki:

.

Taikymas vektorinėje algebroje

Šio keturkampio sudedamųjų dalių savybės buvo pritaikytos vektorių algebroje, būtent: dviejų vektorių pridėjimas. Lygiagretainio taisyklė teigia, kad jei pateikti vektoriaiirneyra kolinearūs, tada jų suma bus lygi šios figūros, kurios pagrindai atitinka šiuos vektorius, įstrižai.

Įrodymas: nuo savavališkai pasirinktos pradžios – tai yra. - kuriame vektorius ir . Toliau statome lygiagretainį OASV, kur atkarpos OA ir OB yra kraštinės. Taigi, OS yra ant vektoriaus arba sumos.

Lygiagretainio parametrų skaičiavimo formulės

Tapatybės suteikiamos tokiomis sąlygomis:

1. a ir b, α - kraštinės ir kampas tarp jų;
2. d 1 ir d 2 , γ - įstrižainės ir jų susikirtimo taške;
3. h a ir h b - aukščiai nuleisti į a ir b puses;

Parametras	Formulė
Šalių paieška
išilgai įstrižainių ir kampo tarp jų kosinuso
įstrižai ir į šonus
per aukštį ir priešingą viršūnę
Įstrižainių ilgio radimas
šonuose ir viršaus dydis tarp jų

Geometrinis plotas- geometrinės figūros skaitinė charakteristika, rodanti šios figūros dydį (paviršiaus dalis, apribota uždaru šios figūros kontūru). Ploto dydis išreiškiamas jame esančių kvadratinių vienetų skaičiumi.

Trikampio ploto formulės

1. Trikampio ploto formulė kraštinei ir aukščiui
   Trikampio plotas lygi pusei trikampio kraštinės ilgio ir aukščio, nubrėžto į šią kraštinę, sandaugos
   
2. Trikampio ploto formulė, kurioje nurodytos trys kraštinės ir apibrėžto apskritimo spindulys
   
3. Trikampio ploto formulė, kurioje nurodytos trys kraštinės ir įbrėžto apskritimo spindulys
   Trikampio plotas lygi trikampio pusės perimetro ir įbrėžto apskritimo spindulio sandaugai.
   
kur S yra trikampio plotas,
- trikampio kraštinių ilgiai,
- trikampio aukštis,
- kampas tarp šonų ir
- įbrėžto apskritimo spindulys,
R - apibrėžto apskritimo spindulys,

Kvadratinių plotų formulės

1. Kvadrato ploto formulė atsižvelgiant į kraštinės ilgį
   kvadratinis plotas yra lygus jo kraštinės ilgio kvadratui.
2. Kvadrato ploto formulė atsižvelgiant į įstrižainės ilgį
   kvadratinis plotas lygus pusei jo įstrižainės ilgio kvadrato.
   

   S =	1	2
   	2

kur S yra kvadrato plotas,
yra kvadrato kraštinės ilgis,
yra kvadrato įstrižainės ilgis.

Stačiakampio ploto formulė

Stačiakampio plotas yra lygus dviejų gretimų jo kraštinių ilgių sandaugai

kur S yra stačiakampio plotas,
yra stačiakampio kraštinių ilgiai.

Lygiagretainio ploto formulės

1. Lygiagretaus ploto formulė šonų ilgiui ir aukščiui
   Lygiagretaus plotas
2. Lygiagretainio ploto formulė, nurodyta dviem kraštinėmis ir kampas tarp jų
   Lygiagretaus plotas yra lygus jo kraštinių ilgių sandaugai, padaugintam iš kampo tarp jų sinuso.
   

   a b sinα

kur S yra lygiagretainio plotas,
yra lygiagretainio kraštinių ilgiai,
yra lygiagretainio aukštis,
yra kampas tarp lygiagretainio kraštinių.

Rombo ploto formulės

1. Rombo ploto formulė, nurodyta kraštinės ilgiu ir aukščiu
   Rombo sritis yra lygus jo kraštinės ilgio ir į šią pusę nuleisto aukščio ilgio sandaugai.
2. Rombo ploto formulė atsižvelgiant į kraštinės ilgį ir kampą
   Rombo sritis yra lygus jo kraštinės ilgio kvadrato ir kampo tarp rombo kraštinių sinuso sandaugai.
3. Rombo ploto formulė iš jo įstrižainių ilgių
   Rombo sritis yra lygus pusei jo įstrižainių ilgių sandaugos.
kur S yra rombo plotas,
- rombo kraštinės ilgis,
- rombo aukščio ilgis,
- kampas tarp rombo kraštų,
1, 2 - įstrižainių ilgiai.

Trapecijos ploto formulės

1. Garnio trapecijos formulė

   kur S yra trapecijos plotas,
   - trapecijos pagrindų ilgis,
   - trapecijos kraštinių ilgis,
   

Lygiagretainis yra keturkampė figūra, kurios priešingos kraštinės yra poromis lygiagrečios ir poromis lygios. Jo priešingi kampai taip pat lygūs, o lygiagretainio įstrižainių susikirtimo taškas dalija jas pusiau, būdamas figūros simetrijos centru. Ypatingi lygiagretainio atvejai yra tokios geometrinės figūros kaip kvadratas, stačiakampis ir rombas. Lygiagretainio plotą galima rasti įvairiais būdais, priklausomai nuo to, kokius pradinius duomenis lydi problemos formuluotė.

1. Paprasčiausiu atveju lygiagretainio plotas apibrėžiamas kaip jo pagrindo ir aukščio sandauga.
   

   S = DC ∙ val

   
   

   kur S yra lygiagretainio plotas;
   a - bazė;
   h yra aukštis, nubrėžtas iki nurodyto pagrindo.

   Šią formulę labai lengva suprasti ir prisiminti, jei pažvelgsite į toliau pateiktą paveikslėlį.

   

   Kaip matote iš šio paveikslėlio, jei nupjausime įsivaizduojamą trikampį kairėje nuo lygiagretainio ir pritvirtinsime jį dešinėje, tada gausime stačiakampį. Ir kaip žinote, stačiakampio plotas randamas jo ilgį padauginus iš aukščio. Tik lygiagretainio atveju ilgis bus pagrindas, o stačiakampio aukštis – į šią pusę nuleisto lygiagretainio aukštis.

2. Lygiagretainio plotą taip pat galima rasti padauginus dviejų gretimų bazių ilgius ir kampo tarp jų sinusą:
   

   S = AD∙AB∙sinα

   
   

   kur AD, AB yra gretimos bazės, kurios sudaro susikirtimo tašką ir kampą a tarpusavyje;
   α – kampas tarp bazių AD ir AB.

   

3. Taip pat lygiagretainio plotą galima rasti lygiagretainio įstrižainių ilgių sandaugą padalijus per pusę iš kampo tarp jų sinuso.
   

   S = ½∙AC∙BD∙sinβ

   
   

   čia AC, BD yra lygiagretainio įstrižainės;
   β yra kampas tarp įstrižainių.

   

4. Taip pat yra formulė, kaip rasti lygiagretainio plotą pagal jame įrašyto apskritimo spindulį. Tai parašyta taip:

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas temas, reikalingas sėkmingai išlaikyti matematikos egzaminą 60-65 balais. Visiškai visos profilio 1-13 užduotys USE matematikoje. Taip pat tinka išlaikyti matematikos pagrindinį USE. Jeigu norite išlaikyti egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo egzaminui kursas 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti 1 matematikos egzamino dalį (12 pirmų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei šimtabalsis studentas, nei humanistas.

Visa reikalinga teorija. Greiti sprendimai, spąstai ir egzamino paslaptys. Išnagrinėtos visos aktualios 1 dalies užduotys iš FIPI užduočių banko. Kursas visiškai atitinka USE-2018 reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai egzamino užduočių. Tekstinės problemos ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų tipų USE užduočių analizė. Stereometrija. Gudrios gudrybės sprendžiant, naudingi lapeliai, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio – iki 13 užduoties. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus sudėtingų sąvokų paaiškinimas. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Pagrindas sudėtingiems II egzamino dalies uždaviniams spręsti.