단원 "함수 y=sinx, y=cosx의 주기". 사인(sin x) 및 코사인(cos x) - 속성, 그래프, 공식

>> 함수의 주기성 y = sin x, y = cos x

§ 11. 함수 y \u003d sin x, y \u003d cos x의 주기성

이전 단락에서 7가지 속성을 사용했습니다. 기능: 도메인, 짝수 또는 홀수, 단조, 제한, 최대 및 가장 작은 값, 연속성, 기능의 범위. 우리는 이러한 속성을 사용하여 함수 그래프를 구성하거나(예: § 9에서) 구성된 그래프를 읽기 위해(예: § 10에서) 사용했습니다. 이제 왔다 상서로운 순간위에서 구성된 함수에서 완벽하게 볼 수 있는 함수의 하나 이상의(여덟 번째) 속성을 소개합니다. 차트기능 y \u003d sin x (그림 37 참조), y \u003d cos x (그림 41 참조).

정의. 0이 아닌 숫자 T가 존재하는 경우 함수는 주기적이라고 하며 집합의 x에 대해 이중 평등:

를 만족하는 숫자 T 지정된 조건, 함수 y \u003d f (x)의 주기라고 합니다.
임의의 x에 대해 평등이 참이기 때문에 다음과 같습니다.

함수 y \u003d sin x, y \u003d cos x는 주기적이고 숫자 2 피두 기능의 기간으로 사용됩니다.
함수의 주기성은 약속된 함수의 여덟 번째 속성입니다.

이제 함수 y \u003d sin x의 그래프를 보십시오(그림 37). 정현파를 만들려면 파동 중 하나를 만드는 것으로 충분합니다(세그먼트에서 이 파동을 x축을 따라 이동합니다. 결과적으로 하나의 파동을 사용하여 전체 그래프를 작성합니다.

함수 y \u003d cos x (그림 41)의 그래프에서 동일한 관점에서 살펴 보겠습니다. 여기에서도 그래프를 그리려면 먼저 하나의 파동을 그리는 것으로 충분하다는 것을 알 수 있습니다(예: 세그먼트에

그런 다음 x축을 따라 이동합니다.
요약하면 다음과 같은 결론을 내립니다.

함수 y \u003d f (x)에 주기 T가 있는 경우 함수의 그래프를 그리려면 먼저 길이 T의 간격에 그래프의 가지(파동, 부분)를 그려야 합니다(대부분의 경우 점에서 끝이 있는 간격을 만든 다음 이 분기를 x축을 따라 오른쪽과 왼쪽으로 T, 2T, ZT 등으로 이동합니다.
주기 함수에는 무한히 많은 주기가 있습니다. T가 주기이면 2T는 주기이고 3T는 주기이며 -T는 주기입니다. 일반적으로 기간은 k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... 일반적으로 가능한 경우 가장 작은 양수 기간을 선택하려고 시도하며 주 기간이라고합니다.
따라서 k = ±1, ± 2, ± 3인 2pc 형식의 임의의 수는 함수 y = sinp x, y = cos x의 주기입니다. 2p는 두 기능의 주요 기간입니다.

예시.함수의 주요 기간 찾기:

ㅏ) T를 함수 y \u003d sin x의 주요 기간이라고 가정합니다. 넣어보자

숫자 T가 함수의 기간이 되려면 항등 Ho가 유지되어야 합니다. 우리는 얘기하고있다주요 기간을 찾을 때 우리는
비) T를 함수 y = cos 0.5x의 주요 기간이라고 합시다. f(x)=cos 0.5x라고 합시다. 그런 다음 f (x + T) \u003d cos 0.5 (x + T) \u003d cos (0.5x + 0.5 T)입니다.

숫자 T가 함수의 주기가 되려면 항등 cos(0.5x + 0.5T) \u003d cos 0.5x가 충족되어야 합니다.

따라서 0.5t = 2pp입니다. 그러나 주요 기간을 찾는 것에 대해 이야기하고 있기 때문에 0.5T = 2l, T = 4l을 얻습니다.

예제에서 얻은 결과를 일반화하면 다음과 같은 문장이 나옵니다. 함수의 주요 기간

A.G. 모르드코비치 대수학 10학년

수업 내용 수업 요약지원 프레임 수업 프레젠테이션 가속 방법 대화형 기술 관행 과제 및 연습 자체 검사 워크샵, 교육, 사례, 퀘스트 숙제 토론 질문 학생들의 수사학적 질문 삽화 오디오, 비디오 클립 및 멀티미디어사진, 그림 그래픽, 표, 계획 유머, 일화, 농담, 만화 비유, 속담, 십자말풀이 퍼즐, 인용문 애드온 초록기사 호기심을 위한 칩 치트 시트 교과서 기본 및 추가 용어집 기타 교과서 및 수업 개선교과서의 오류 수정오래된 지식을 새로운 지식으로 교체하는 수업에서 혁신의 교과서 요소의 단편 업데이트 교사 전용 완벽한 수업 달력 계획 1년 동안 지침토론 프로그램 통합 수업

한 점을 중심으로 ㅏ.
α 라디안으로 표시되는 각도입니다.

정의
공동빗변과 다리 사이의 각도 α에 따른 삼각 함수 정삼각형, 반대쪽 다리 길이의 비율과 동일 |BC| 빗변의 길이 |AC|.

코사인(cos α)빗변과 직각 삼각형의 다리 사이의 각도 α에 따른 삼각 함수이며, 인접한 다리 |AB|의 길이 비율과 같습니다. 빗변의 길이 |AC|.

허용되는 지정

;
;
.

사인 함수의 그래프, y = sin x

코사인 함수의 그래프, y = cos x

사인과 코사인의 속성

주기성

기능 y= 죄 x및 y= 코엑스기간이 있는 주기적 2파이.

동등

사인 함수가 이상합니다. 코사인 함수는 짝수입니다.

정의 및 가치의 영역, 극값, 증가, 감소

함수 사인과 코사인은 정의 영역, 즉 모든 x에 대해 연속적입니다(연속성 증명 참조). 주요 속성은 표(n - 정수)에 나와 있습니다.

	y= 죄 x	y= 코엑스
범위 및 연속성	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
값 범위	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
오름차순
내림차순
최대값, y= 1
최소값, y = - 1
0, y= 0
y축과의 교차점, x = 0	y= 0	y= 1

기본 공식

제곱 사인과 코사인의 합

합과 차에 대한 사인 및 코사인 공식

;
;

사인과 코사인의 곱에 대한 공식

합과 차 공식

코사인을 통한 사인의 표현

;
;
;
.

사인을 통한 코사인 표현

;
;
;
.

접선으로 표현

; .

에 대해 다음이 있습니다.
; .

에 :
; .

사인 및 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 표

이 표는 인수의 일부 값에 대한 사인 및 코사인 값을 보여줍니다.

복잡한 변수를 통한 표현

;

오일러 공식

쌍곡선 함수의 표현

;
;

파생상품

; . 공식의 유도 >> >

n차 도함수:
{ -∞ < x < +∞ }

시컨트, 코시컨트

역함수

역함수사인과 코사인은 각각 아크사인과 아크코사인입니다.

아크신, 아크신

아크코사인, 아크코스

참조:
에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 고등 교육 기관의 엔지니어 및 학생을 위한 수학 핸드북, Lan, 2009.

지침

삼각 함수의 거듭제곱을 구하려면 거듭제곱의 균등성을 평가하십시오. 표준 기간을 절반으로 줄이려면. 예를 들어, 함수 y \u003d 3 cos ^ 2x가 주어지면 표준 기간 2P는 2배 감소하므로 기간은 P와 같습니다. 함수 tg, ctg는 어느 정도 주기적입니다. 피.

두 개의 삼각 함수를 포함하거나 몫인 방정식이 주어지면 먼저 각 함수에 대한 기간을 별도로 찾으십시오. 그런 다음 둘 다의 정수 양에 맞는 최소 수를 찾으십시오. 예를 들어, y=tgx*cos5x 함수가 있다고 가정합니다. 탄젠트의 경우 기간은 P이고 코사인 5x의 경우 기간은 2P/5입니다. 이 두 기간에 모두 들어갈 수 있는 최소 수는 2P이므로 필요한 기간은 2P입니다.

제안된 방식으로 행동하기 어렵거나 답이 의심스럽다면 정의에 따라 행동해 보세요. T를 함수의 기간으로 취하면 0보다 큽니다. 방정식의 식 (x + T)를 x로 대체하고 T가 매개변수 또는 숫자인 것처럼 결과 평등을 풉니다. 결과적으로 삼각 함수의 값을 찾고 최소 기간을 선택할 수 있습니다. 예를 들어, 단순화의 결과로 sin (T / 2) \u003d 0이라는 정체성을 얻습니다. 수행되는 T의 최소값은 2P이며 이것이 작업이 됩니다.

출처:

죄의 기간

주기적 함수는 0이 아닌 기간 후에 값을 반복하는 함수입니다. 함수의 마침표는 함수 인수에 추가해도 함수 값이 변경되지 않는 숫자입니다.

필요할 것이예요

초등 수학에 대한 지식과 분석의 시작.

지침

관련 동영상

삼각법은 빗변에서 예각의 크기에 대한 직각 삼각형의 변의 다양한 의존성을 표현하는 연구를 위한 수학의 한 분야입니다. 이러한 함수를 삼각 함수라고 하며 작업을 단순화하기 위해 삼각 함수가 파생되었습니다. 신원.

개념 신원 in은 평등을 의미하며 포함 된 함수의 인수 값에 대해 만족합니다. 삼각법 신원- 이들은 삼각 함수의 평등이며 삼각 공식으로 작업을 용이하게 하기 위해 입증되고 허용됩니다. 삼각 함수는 빗변에서 예각의 크기에 대한 직각 삼각형의 다리 중 하나의 의존성의 기본 함수입니다 . 가장 일반적으로 사용되는 6개의 기본 삼각 함수는 sin(사인), cos(코사인), tg(탄젠트), ctg(코탄젠트), sec(시컨트) 및 cosec(코시컨트)입니다. 이러한 기능을 직접이라고 합니다.

목적 : "기능의 주기성"주제에 대한 학생들의 지식을 일반화하고 체계화합니다. 주기 함수의 속성을 적용하고 함수의 가장 작은 양수 주기를 찾고 주기 함수를 그리는 기술을 형성합니다. 수학 연구에 대한 관심을 촉진합니다. 관찰력, 정확성을 기른다.

장비: 컴퓨터, 멀티미디어 프로젝터, 작업 카드, 슬라이드, 시계, 장식용 테이블, 민속 공예품

"수학은 사람들이 자연과 자신을 통제하는 데 사용하는 것"
A.N. 콜모고로프

수업 중

I. 조직 단계.

수업에 대한 학생들의 준비 상태를 확인합니다. 수업의 주제와 목표의 발표.

Ⅱ. 숙제를 확인 중입니다.

우리는 샘플에 따라 숙제를 확인하고 가장 어려운 점에 대해 토론합니다.

III. 지식의 일반화 및 체계화.

1. 구강 정면 작업.

이론의 질문.

1) 기능 기간의 정의를 형성
2) 함수 y=sin(x), y=cos(x)의 최소 양수 주기는 얼마입니까?
삼). 함수 y=tg(x), y=ctg(x)의 가장 작은 양수 기간은 얼마입니까?
4) 관계의 정확성을 증명하기 위해 원을 사용:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) 주기 함수를 그리는 방법은 무엇입니까?

구강 운동.

1) 다음 관계를 증명하라

ㅏ) 죄(740º) = 죄(20º)
비) cos(54º) = cos(-1026º)
씨) sin(-1000º) = sin(80º)

2. 540º의 각도가 함수 y= cos(2x)의 주기 중 하나임을 증명하십시오.

3. 360º의 각도가 함수 y=tg(x)의 주기 중 하나임을 증명하십시오.

4. 이 식에 포함된 각도가 절대값으로 90º를 초과하지 않도록 이 식을 변형합니다.

ㅏ) tg375º
비) CTG530º
씨) 죄1268º
디) 코스(-7363º)

5. PERIOD, PERIODICITY라는 단어는 어디에서 만났습니까?

학생들의 답변: 음악에서 기간은 어느 정도 완전한 음악적 생각이 진술되는 구성입니다. 지질학적 기간은 시대의 일부이며 3천 5백만 년에서 9천만 년의 기간으로 시대로 나뉩니다.

방사성 물질의 반감기. 주기적 분수. 정기간행물은 엄격하게 정의된 날짜에 발행되는 인쇄 출판물입니다. 멘델레예프의 주기율표.

6. 그림은 주기 함수 그래프의 일부를 보여줍니다. 함수의 기간을 정의합니다. 함수의 기간을 결정합니다.

답변: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. 인생에서 반복되는 요소의 구성을 어디서 만났습니까?

학생들은 대답합니다: 장식품, 민속 예술의 요소.

IV. 집단적 문제 해결.

(슬라이드에서 문제를 해결합니다.)

주기성에 대한 함수를 연구하는 방법 중 하나를 고려합시다.

이 방법은 하나 또는 다른 주기가 가장 작다는 것을 증명하는 것과 관련된 어려움을 우회하고 주기 함수의 산술 연산과 복소수 함수의 주기성에 대한 질문을 만질 필요도 없습니다. 추론은 주기 함수의 정의와 다음 사실에 기초합니다. T가 함수의 주기이면 nT(n? 0)은 주기입니다.

문제 1. 함수 f(x)=1+3(x+q>5)의 가장 작은 양수 주기 찾기

솔루션: 이 함수의 T-주기를 가정해 보겠습니다. 그러면 모든 x ∈ D(f)에 대해 f(x+T)=f(x), 즉

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

x=-0.25라고 하자

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

고려된 함수의 모든 기간(존재하는 경우)이 정수 사이임을 얻었습니다. 이 숫자 중에서 가장 작은 양수를 선택하십시오. 이것은 1 . 실제로 기간인지 확인하자 1 .

f(x+1)=3(x+1+0.25)+1

임의의 T에 대해 (T+1)=(T)이므로 f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x), 즉 1 - 기간 f. 1은 모든 양의 정수 중에서 가장 작기 때문에 T=1입니다.

작업 2. 함수 f(x)=cos 2 (x)가 주기적임을 보여주고 주요 주기를 찾으십시오.

작업 3. 기능의 주요 기간 찾기

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

함수의 T-주기를 가정한 다음, 엑스비율

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

x=0이면

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

죄(1.5T)+5cos(0.75T)=5

x=-T이면

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - 죄(1.5T)+5cos(0.75T)

죄(1.5T)+5cos(0.75T)=5

– sin(1.5Т)+5cos(0.75Т)=5

추가하면 다음을 얻습니다.

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

기간에 대해 "의심스러운" 모든 숫자 중에서 가장 작은 양수를 선택하고 f에 대한 기간인지 확인합시다. 이 번호

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

따라서 는 함수 f의 주요 기간입니다.

작업 4. f(x)=sin(x) 함수가 주기적인지 확인

T를 함수 f의 주기라고 하자. 그런 다음 모든 x에 대해

죄|x+T|=죄|x|

x=0이면 sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z입니다.

가정하다. 어떤 n에 대해 숫자 π n은 기간입니다.

함수 π n>0으로 간주됩니다. 그러면 sin|π n+x|=sin|x|

이것은 n이 동시에 짝수이면서 홀수여야 한다는 것을 의미하며 이는 불가능합니다. 따라서 이 함수는 주기적이지 않습니다.

Task 5. 기능이 주기적인지 확인

f(x)=

T를 기간 f라고 하면

, 따라서 sinT=0, T=π n, n € Z입니다. 일부 n에 대해 숫자 π n이 실제로 주어진 함수의 주기라고 가정합시다. 그러면 숫자 2π n도 마침표가 됩니다.

분자가 같으면 분모도 같으므로

따라서 함수 f는 주기적이 아닙니다.

그룹 과제.

그룹 1의 작업.

그룹 2의 작업.

함수 f가 주기적인지 확인하고 주요 주기(존재하는 경우)를 찾습니다.

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

그룹 3의 작업.

작업이 끝나면 그룹이 솔루션을 제시합니다.

VI. 수업을 요약합니다.

반사.

교사는 학생들에게 그림이 있는 카드를 주고, 주기성 기능을 연구하는 방법을 습득한 정도에 따라 첫 번째 그림의 일부와 두 번째 그림의 일부를 칠할 것을 제안합니다. , 수업의 작업에 대한 기여도에 따라.

VII. 숙제

하나). 함수 f가 주기적인지 확인하고 주요 주기를 찾습니다(존재하는 경우).

비). f(x)=x 2 -2x+4

씨). f(x)=2tg(3x+5)

2). 함수 y=f(x)는 기간 T=2 및 f(x)=x 2 +2x for x € [-2; 0]. 표현식 -2f(-3)-4f(3,5)의 값 찾기

문학/

모르드코비치 A.G.대수와 심층 연구를 통한 분석의 시작.
수학. 시험 준비. 에드. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
셰레메티예바 T.G. , 타라소바 E.A. 10-11학년을 위한 대수 및 시작 분석.

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