Punto linea retta segmento spezzato. Punto, linea, retta, raggio, segmento, linea spezzata

Un punto è un oggetto astratto che non ha caratteristiche di misura: nessuna altezza, nessuna lunghezza, nessun raggio. Nell'ambito dell'attività, solo la sua posizione è importante

Il punto è indicato da un numero o da una lettera latina maiuscola (grande). Diversi punti - numeri diversi o lettere diverse in modo che possano essere distinti

punto A, punto B, punto C

A B C

punto 1, punto 2, punto 3

1 2 3

Puoi disegnare tre punti "A" su un pezzo di carta e invitare il bambino a tracciare una linea attraverso i due punti "A". Ma come capire attraverso quale? A A A

Una linea è un insieme di punti. Misura solo la lunghezza. Non ha né larghezza né spessore.

Indicato da minuscolo (piccolo) con lettere latine

riga a, riga b, riga c

a b c

La linea potrebbe essere

1. chiuso se il suo inizio e la sua fine sono nello stesso punto,
2. aperto se il suo inizio e la sua fine non sono collegati

linee chiuse

linee aperte

Hai lasciato l'appartamento, hai comprato il pane nel negozio e sei tornato nell'appartamento. Che linea hai preso? Esatto, chiuso. Sei tornato al punto di partenza. Hai lasciato l'appartamento, hai comprato il pane nel negozio, sei entrato nell'ingresso e hai parlato con il tuo vicino. Che linea hai preso? Aprire. Non sei tornato al punto di partenza. Hai lasciato l'appartamento, hai comprato il pane al negozio. Che linea hai preso? Aprire. Non sei tornato al punto di partenza.

1. autointersecante
2. senza autointersezioni

linee autointersecanti

linee senza autointersezioni

1. dritto
2. linea spezzata
3. storto

linee rette

linee spezzate

linee curve

Una retta è una retta che non curva, non ha né inizio né fine, può essere estesa indefinitamente in entrambe le direzioni

Anche quando visto piccola trama rettilineo, si presume che continui indefinitamente in entrambe le direzioni

È indicato da una lettera latina minuscola (piccola). O due lettere latine maiuscole (grandi) - punti che giacciono su una linea retta

linea retta a

un

retta AB

B A

le linee rette possono essere

1. intersecano se hanno un punto in comune. Due linee possono intersecarsi solo in un punto.
   • perpendicolari se si intersecano ad angolo retto (90°).
2. parallelamente, se non si intersecano, non hanno un punto in comune.

linee parallele

linee di intersezione

Linee perpendicolari

Un raggio è una parte di una retta che ha un inizio ma non una fine, può essere esteso indefinitamente in una sola direzione

Il punto di partenza per il raggio di luce nell'immagine è il sole.

sole

Il punto divide la linea in due parti: due raggi A A

La trave è indicata da una lettera latina minuscola (piccola). Oppure due lettere latine maiuscole (grandi), dove la prima è il punto da cui inizia il raggio e la seconda è il punto che giace sul raggio

trave a

un

trave AB

B A

I raggi corrispondono se

1. situato sulla stessa retta
2. iniziare da un punto
3. diretto da un lato

i raggi AB e AC coincidono

i raggi CB e CA coincidono

C B A

Un segmento è una parte di una retta che è delimitata da due punti, cioè ha sia un inizio che una fine, il che significa che la sua lunghezza può essere misurata. La lunghezza di un segmento è la distanza tra i suoi punti di inizio e fine.

Un numero qualsiasi di linee può essere tracciato attraverso un punto, comprese le linee rette.

Attraverso due punti: numero illimitato di curve, ma solo una linea retta

linee curve passanti per due punti

B A

retta AB

B A

Un pezzo è stato "tagliato" dalla linea retta e un segmento è rimasto. Dall'esempio sopra, puoi vedere che la sua lunghezza è la distanza più breve tra due punti. ✂ B A ✂

Un segmento è indicato da due lettere latine maiuscole (grandi), dove la prima è il punto da cui inizia il segmento e la seconda è il punto da cui termina il segmento

segmento AB

B A

Compito: dov'è la linea, il raggio, il segmento, la curva?

Una linea spezzata è una linea composta da segmenti collegati successivamente non con un angolo di 180°

Un segmento lungo è stato "spezzato" in più segmenti brevi.

Gli anelli di una polilinea (simili agli anelli di una catena) sono i segmenti che compongono la polilinea. I collegamenti adiacenti sono collegamenti in cui la fine di un collegamento è l'inizio di un altro. I collegamenti adiacenti non devono trovarsi sulla stessa linea retta.

I vertici della polilinea (simili alle cime delle montagne) sono il punto da cui inizia la polilinea, i punti in cui sono collegati i segmenti che formano la polilinea, il punto in cui la polilinea finisce.

Una polilinea è indicata elencando tutti i suoi vertici.

linea tratteggiata ABCDE

vertice della polilinea A, vertice della polilinea B, vertice della polilinea C, vertice della polilinea D, vertice della polilinea E

collegamento di linea spezzata AB, collegamento di linea spezzata BC, collegamento di linea spezzata CD, collegamento di linea spezzata DE

il collegamento AB e il collegamento BC sono adiacenti

link BC e link CD sono adiacenti

link CD e link DE sono adiacenti

A B C D E 64 62 127 52

La lunghezza di una polilinea è la somma delle lunghezze dei suoi collegamenti: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Un compito: quale linea spezzata è più lunga, ma quale ha più picchi? Nella prima riga, tutte le maglie hanno la stessa lunghezza, ovvero 13 cm. La seconda linea ha tutte le maglie della stessa lunghezza, ovvero 49 cm. La terza riga ha tutte le maglie della stessa lunghezza, ovvero 41 cm.

Un poligono è una polilinea chiusa

I lati del poligono (ti aiuteranno a ricordare le espressioni: "vai da tutti e quattro i lati", "corri verso la casa", "a che lato del tavolo ti siedi?") sono gli anelli della linea spezzata. I lati adiacenti di un poligono sono collegamenti adiacenti di una linea spezzata.

I vertici del poligono sono i vertici della polilinea. I vertici vicini sono gli estremi di un lato del poligono.

Un poligono è indicato elencando tutti i suoi vertici.

polilinea chiusa senza autointersezione, ABCDEF

poligono ABCDEF

vertice del poligono A, vertice del poligono B, vertice del poligono C, vertice del poligono D, vertice del poligono E, vertice del poligono F

il vertice A e il vertice B sono adiacenti

il vertice B e il vertice C sono adiacenti

il vertice C e il vertice D sono adiacenti

il vertice D e il vertice E sono adiacenti

il vertice E e il vertice F sono adiacenti

il vertice F e il vertice A sono adiacenti

lato poligono AB, lato poligono BC, lato poligono CD, lato poligono DE, lato poligono EF

il lato AB e il lato BC sono adiacenti

il lato BC e il lato CD sono adiacenti

il lato CD e il lato DE sono adiacenti

il lato DE e il lato EF sono adiacenti

il lato EF e il lato FA sono adiacenti

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Il perimetro di un poligono è la lunghezza della polilinea: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Un poligono con tre vertici è chiamato triangolo, con quattro - un quadrilatero, con cinque - un pentagono e così via.

In questo articolo, ci soffermeremo in dettaglio su uno dei concetti primari della geometria: il concetto di linea retta su un piano. Per prima cosa, definiamo i termini e la notazione di base. Successivamente, discutiamo la posizione relativa di una retta e di un punto, nonché di due rette su un piano, e diamo gli assiomi necessari. In conclusione, considereremo i modi per impostare una linea retta su un piano e fornire illustrazioni grafiche.

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Una linea retta su un piano è un concetto.

Prima di dare il concetto di linea retta su un piano, si dovrebbe capire chiaramente cos'è un piano. Rappresentazione dell'aereo permette di ottenere, ad esempio, una superficie piana del tavolo o il muro di casa. Tuttavia, va tenuto presente che le dimensioni del tavolo sono limitate e il piano si estende oltre questi limiti all'infinito (come se avessimo un tavolo arbitrariamente grande).

Se prendiamo una matita ben affilata e tocchiamo il suo nucleo sulla superficie del "tavolo", otterremo l'immagine di un punto. Quindi otteniamo rappresentazione di un punto su un piano.

Ora puoi andare a concetto di linea retta su un piano.

Mettiamo sulla superficie del tavolo (sull'aereo) un foglio di carta pulito. Per tracciare una linea retta, dobbiamo prendere un righello e tracciare una linea con una matita per quanto consentito dalle dimensioni del righello e del foglio di carta utilizzati. Va notato che in questo modo otteniamo solo una parte della retta. Una linea retta nella sua interezza, che si estende all'infinito, possiamo solo immaginare.

Posizione reciproca di una retta e di un punto.

Dovresti iniziare con un assioma: ci sono punti su ogni retta e in ogni piano.

I punti sono solitamente indicati con lettere latine maiuscole, ad esempio i punti A e F. A loro volta, le linee rette sono indicate da minuscole lettere latine, ad esempio linee rette a e d.

Possibile due opzioni posizione relativa retta e punti sul piano: o il punto giace sulla retta (in questo caso si dice che la retta passa anche per il punto), oppure il punto non giace sulla retta (si dice anche che il punto non appartiene alla retta, oppure la linea non passa per il punto).

Per indicare che un punto appartiene a una determinata linea, viene utilizzato il simbolo "". Ad esempio, se il punto A giace sulla linea a, puoi scrivere. Se il punto A non appartiene alla riga a, annota.

La seguente affermazione è vera: per due punti qualsiasi c'è una sola retta.

Questa affermazione è un assioma e dovrebbe essere accettata come un dato di fatto. Inoltre, questo è abbastanza ovvio: segniamo due punti su carta, applichiamo loro un righello e tracciamo una linea retta. Una retta passante per due punti dati (ad esempio per i punti A e B) può essere indicata da queste due lettere (nel nostro caso, retta AB o BA).

Dovrebbe essere inteso che su una retta data su un piano, ci sono infiniti punti diversi e tutti questi punti giacciono sullo stesso piano. Questa affermazione è stabilita dall'assioma: se due punti di una retta giacciono su un certo piano, allora tutti i punti di questa retta giacciono su questo piano.

Viene chiamato l'insieme di tutti i punti situati tra due punti dati su una retta, insieme a questi punti retta o semplicemente segmento. I punti che delimitano il segmento sono chiamati estremità del segmento. Un segmento è indicato da due lettere corrispondenti ai punti delle estremità del segmento. Ad esempio, siano i punti A e B le estremità di un segmento, quindi questo segmento può essere indicato con AB o BA. Si noti che questa designazione di un segmento è la stessa della designazione di una retta. Per evitare confusione, si consiglia di aggiungere la parola "segmento" o "diretto" alla designazione.

Per un breve record di appartenenza e non appartenenza a un certo punto a un determinato segmento, vengono utilizzati tutti gli stessi simboli e. Per mostrare che un segmento giace o non giace su una linea retta, vengono utilizzati rispettivamente i simboli e . Ad esempio, se il segmento AB appartiene alla riga a, puoi scrivere brevemente.

Dovremmo anche soffermarci sul caso in cui tre punti diversi appartengano alla stessa linea. In questo caso, uno, e solo un punto, si trova tra gli altri due. Questa affermazione è un altro assioma. Lascia che i punti A, B e C giacciono sulla stessa retta e il punto B si trovi tra i punti A e C. Allora possiamo dire che i punti A e C sono ai lati opposti del punto B. Puoi anche dire che i punti B e C giacciono dallo stesso lato del punto A e i punti A e B dallo stesso lato del punto C.

Per completare il quadro, notiamo che qualsiasi punto di una retta divide questa retta in due parti: due trave. Per questo caso, è dato un assioma: un punto arbitrario O, appartenente a una linea, divide questa linea in due raggi, e due punti qualsiasi di un raggio giacciono dalla stessa parte del punto O, e due punti qualsiasi di raggi diversi giacciono ai lati opposti del punto O.

Disposizione reciproca di rette su un piano.

Ora rispondiamo alla domanda: "Come possono essere posizionate due rette su un piano l'una rispetto all'altra"?

Innanzitutto, due linee in un piano possono coincidere.

Questo è possibile quando le linee hanno almeno due punti in comune. Infatti, in virtù dell'assioma espresso nel paragrafo precedente, una sola retta passa per due punti. In altre parole, se due rette passano per due punti dati, allora coincidono.

In secondo luogo, due rette in un piano possono attraverso.

In questo caso, le linee hanno un punto comune, chiamato punto di intersezione delle linee. L'intersezione delle linee è indicata dal simbolo "", ad esempio, il record significa che le linee aeb si intersecano nel punto M. Le linee che si intersecano ci portano al concetto di angolo tra le linee che si intersecano. Separatamente, vale la pena considerare la posizione delle linee rette su un piano quando l'angolo tra loro è di novanta gradi. In questo caso, le linee vengono chiamate perpendicolare(si consiglia l'articolo linee perpendicolari, perpendicolarità delle linee). Se la retta a è perpendicolare alla retta b, è possibile utilizzare la notazione breve.

Terzo, due rette in un piano possono essere parallele.

Da un punto di vista pratico, è conveniente considerare una retta su un piano insieme ai vettori. Di particolare importanza sono vettori diversi da zero giacenti su una data retta o su una qualsiasi delle rette parallele, sono chiamati vettori di direzione della retta. L'articolo vettore di direzione di una linea retta su un piano fornisce esempi di vettori di direzione e mostra le opzioni per il loro uso nella risoluzione di problemi.

Dovresti anche prestare attenzione ai vettori diversi da zero che giacciono su una qualsiasi delle linee perpendicolari a quella data. Tali vettori sono chiamati vettori normali della retta. L'uso di vettori normali di una retta è descritto nell'articolo vettore normale di una retta su un piano.

Quando sono date tre o più rette su un piano, allora sorge un insieme varie opzioni la loro posizione relativa. Tutte le linee possono essere parallele, altrimenti alcune o tutte si intersecano. In questo caso, tutte le linee possono intersecare in un unico punto (vedi articolo una matita di linee), oppure possono avere vari punti incroci.

Non ci soffermeremo su questo in dettaglio, ma citeremo senza prove diversi fatti notevoli e molto spesso usati:

• se due rette sono parallele ad una terza retta, allora sono parallele tra loro;
• se due rette sono perpendicolari ad una terza retta, allora sono parallele tra loro;
• se in un piano una retta interseca una delle due rette parallele, allora interseca anche la seconda retta.

Metodi per impostare una linea retta su un piano.

Ora elencheremo i modi principali in cui puoi definire una linea specifica nel piano. Questa conoscenza è molto utile da un punto di vista pratico, poiché su di essa si basa la soluzione di tanti esempi e problemi.

Innanzitutto, una retta può essere definita specificando due punti sul piano.

Infatti, dall'assioma considerato nel primo paragrafo di questo articolo, sappiamo che una retta passa per due punti, e inoltre uno solo.

Se le coordinate di due punti non coincidenti sono indicate in un sistema di coordinate rettangolare su un piano, allora è possibile scrivere l'equazione di una retta passante per due punti dati.

In secondo luogo, una retta può essere specificata specificando il punto attraverso il quale passa e la retta a cui è parallela. Questo metodo è valido, poiché una sola retta passa per un dato punto del piano, parallela a una data retta. La prova di questo fatto è stata effettuata durante le lezioni di geometria al liceo.

Se una retta su un piano è impostata in questo modo rispetto al sistema di coordinate cartesiane rettangolari introdotto, allora è possibile comporre la sua equazione. Questa è scritta nell'articolo l'equazione di una retta passante per un dato punto parallelo a una data retta.

In terzo luogo, una linea può essere definita specificando il punto attraverso il quale passa e il suo vettore di direzione.

Se una retta viene data in un sistema di coordinate rettangolare in questo modo, allora è facile comporre la sua equazione canonica di una retta su un piano e le equazioni parametriche di una retta su un piano.

Il quarto modo per specificare una linea è specificare il punto attraverso il quale passa e la linea a cui è perpendicolare. Infatti, attraverso dato punto C'è solo una linea nel piano che è perpendicolare alla linea data. Lasciamo questo fatto senza prove.

Infine, una linea nel piano può essere specificata specificando il punto attraverso il quale passa e il vettore normale della linea.

Se sono note le coordinate di un punto che giace su una determinata retta e le coordinate del vettore normale della retta, è possibile scrivere l'equazione generale della retta.

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev SB, Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. Classi 7 - 9: un libro di testo per le istituzioni educative.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev SB, Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Libro di testo per 10-11 classi di scuola superiore.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky SM matematica superiore. Volume uno: Elementi di algebra lineare e geometria analitica.
• Ilyin VA, Poznyak E.G. Geometria analitica.

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Esamineremo ciascuno degli argomenti e alla fine ci saranno dei test sugli argomenti.

Punta in matematica

Qual è il punto in matematica? Un punto matematico non ha dimensioni ed è indicato con lettere latine maiuscole: A, B, C, D, F, ecc.

Nella figura potete vedere l'immagine dei punti A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Segmento in matematica

Che cos'è un segmento in matematica? Nelle lezioni di matematica, puoi ascoltare la seguente spiegazione: un segmento matematico ha una lunghezza e termina. Un segmento in matematica è un insieme di tutti i punti che giacciono su una linea retta tra le estremità di un segmento. Le estremità del segmento sono due punti di confine.

Nella figura vediamo quanto segue: segmenti ,,, e , oltre a due punti B e S.

Rette in matematica

Che cos'è una retta in matematica? Definizione di retta in matematica: una retta non ha estremità e può continuare in entrambe le direzioni fino all'infinito. Una retta in matematica è indicata da due punti qualsiasi su una retta. Per spiegare il concetto di retta ad uno studente, possiamo dire che una retta è un segmento che non ha due estremità.

La figura mostra due rette: CD ed EF.

Ray in matematica

Cos'è un raggio? Definizione di raggio in matematica: un raggio è una parte di una linea che ha un inizio e non una fine. Il nome della trave contiene due lettere, ad esempio DC. Inoltre, la prima lettera indica sempre il punto di inizio del raggio, quindi non puoi scambiare le lettere.

La figura mostra i raggi: DC, KC, EF, MT, MS. Travi KC e KD: un raggio, perché hanno un'origine comune.

Riga dei numeri in matematica

Definizione di retta numerica in matematica: una retta i cui punti segnano numeri è chiamata retta numerica.

La figura mostra una linea numerica, nonché un raggio OD e ED