Teorema sinus dan. teorema sinus

Saat mempelajari segitiga, pertanyaan tentang menghitung hubungan antara sisi dan sudutnya muncul tanpa disengaja. Geometri dan sinus memberikan jawaban yang paling lengkap untuk memecahkan masalah ini. Dalam kelimpahan berbagai ekspresi dan rumus matematika, hukum, teorema dan aturan, ada yang dibedakan oleh harmoni yang luar biasa, keringkasan dan kesederhanaan penyajian makna yang terkandung di dalamnya. Teorema sinus adalah contoh utama dari formulasi matematika semacam itu. Jika dalam interpretasi verbal juga ada kendala tertentu dalam memahami aturan matematika ini, maka ketika melihat rumus matematika, semuanya langsung jatuh ke tempatnya.

Informasi pertama tentang teorema ini ditemukan dalam bentuk pembuktiannya dalam kerangka kerja matematika Nasir ad-Din At-Tusi, tertanggal abad ketiga belas.

Mendekati pertimbangan rasio sisi dan sudut dalam segitiga apa pun, perlu dicatat bahwa teorema sinus memungkinkan Anda untuk memecahkan banyak masalah matematika, sementara hukum geometri ini menemukan penerapannya di berbagai jenis kegiatan praktis manusia.

Teorema sinus itu sendiri menyatakan bahwa setiap segitiga dicirikan oleh proporsionalitas sisi-sisinya terhadap sinus sudut yang berlawanan. Ada juga bagian kedua dari teorema ini, yang menyatakan bahwa rasio setiap sisi segitiga dengan sinus sudut yang berlawanan sama dengan yang dijelaskan di dekat segitiga yang bersangkutan.

Dalam bentuk formula, ekspresi ini terlihat seperti

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

Memiliki bukti teorema sinus, yang dalam berbagai pilihan buku teks ditawarkan dalam berbagai versi yang kaya.

Sebagai contoh, perhatikan salah satu bukti yang menjelaskan bagian pertama dari teorema. Untuk melakukan ini, kami menetapkan tujuan untuk membuktikan kebenaran ekspresi sebuahsinC= csinA.

Dalam segitiga ABC sewenang-wenang kami membangun tinggi BH. Di salah satu opsi konstruksi, H akan terletak di segmen AC, dan di sisi lain, di luarnya, tergantung pada ukuran sudut di simpul segitiga. Dalam kasus pertama, tinggi dapat dinyatakan dalam sudut dan sisi segitiga sebagai BH = a sinC dan BH = c sinA, yang merupakan bukti yang diperlukan.

Dalam kasus ketika titik H berada di luar segmen AC, kita bisa mendapatkan solusi berikut:

HV = a sinC dan HV = c sin(180-A)= c sinA;

atau VN = a sin(180-C) = a sinC dan VN = c sinA.

Seperti yang Anda lihat, terlepas dari opsi konstruksi, kami sampai pada hasil yang diinginkan.

Pembuktian bagian kedua dari teorema akan mengharuskan kita untuk menggambarkan sebuah lingkaran di sekitar segitiga. Melalui salah satu ketinggian segitiga, misalnya B, kita membangun diameter lingkaran. Kami menghubungkan titik yang dihasilkan pada lingkaran D dengan salah satu ketinggian segitiga, biarkan itu menjadi titik A segitiga.

Jika kita perhatikan segitiga yang diperoleh ABD dan ABC, maka kita dapat melihat persamaan sudut C dan D (mereka bergantung pada satu busur). Dan mengingat sudut A adalah sembilan puluh derajat, maka sin D = c / 2R, atau sin C = c / 2R, yang harus dibuktikan.

Teorema sinus adalah titik awal untuk memecahkan berbagai masalah yang berbeda. Daya tarik khusus terletak pada aplikasi praktisnya, sebagai konsekuensi dari teorema, kita mendapatkan kesempatan untuk menghubungkan nilai-nilai sisi segitiga, sudut yang berlawanan dan jari-jari (diameter) dari lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga. . Kesederhanaan dan aksesibilitas rumus yang menggambarkan ekspresi matematika ini memungkinkan untuk secara luas menggunakan teorema ini untuk menyelesaikan masalah menggunakan berbagai perangkat penghitungan mekanis (tabel, dll.), Tetapi bahkan kedatangan perangkat komputasi yang kuat untuk melayani seseorang tidak mengurangi relevansi teorema ini.

Teorema ini tidak hanya termasuk dalam mata kuliah geometri yang dipersyaratkan sekolah menengah atas, tetapi juga diterapkan lebih lanjut di beberapa cabang kegiatan praktis.

Bagian pertama dari teorema: sisi-sisi segitiga sewenang-wenang sebanding dengan sinus dari sudut-sudut yang berlawanan, yaitu:

Bagian kedua dari teorema: setiap pecahan sama dengan diameter lingkaran yang dibatasi pada segitiga yang diberikan, yaitu: .

Komentar tutor matematika: penggunaan bagian kedua dari teorema sinus diletakkan di hampir setiap detik masalah kompetitif untuk lingkaran. Mengapa? Faktanya adalah bahwa kesetaraan memungkinkan Anda untuk menemukan jari-jari lingkaran yang hanya memiliki dua elemen segitiga. Ini sangat sering digunakan oleh penyusun masalah yang kuat, yang secara khusus memilih kondisi sedemikian rupa sehingga tidak ada elemen lain dari segitiga (dan seluruh gambar) yang akan ditempatkan sama sekali! "Gambar" akan mengambang. Keadaan ini sangat mempersulit pekerjaan pada ujian, karena tidak memungkinkan untuk melewati properti yang melekat.

Bukti teorema sinus:

menurut buku teks Atanasyan
Mari kita buktikan bahwa untuk setiap segitiga dengan sisi a, b, c dan sudut-sudut yang berhadapan A, B dan C, persamaannya benar: .
Gambarlah tinggi BH dari simpul B. Dua kasus mungkin terjadi:
1) Titik H terletak pada sisi AC (hal ini dimungkinkan ketika dan dalam keadaan lancip).
Berdasarkan definisi sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku ABH, kita tuliskan

Demikian pula, dalam segitiga CBH kita . Menyamakan ekspresi untuk BH satu sama lain, kita mendapatkan:
2)Biarkan H terletak pada perpanjangan sisi AC (misalnya, di sebelah kiri A). Ini akan terjadi jika - bodoh. Demikian pula, menurut definisi sinus sudut lancip A dalam segitiga ABH, kami menulis persamaan , tetapi karena sinus sudut yang berdekatan adalah sama, menggantikan persamaan ini dengan , kami mendapatkan seperti dalam kasus pertama. Oleh karena itu, terlepas dari sudut A dan C, persamaan itu benar.
Setelah membagi kedua bagiannya dengan kita dapatkan . Persamaan pasangan kedua pecahan dibuktikan dengan cara yang sama

Bukti teorema sinus menurut buku teks Pogorelov:

Terapkan rumus luas segitiga untuk dua sudut A dan C:

Setelah menyamakan bagian-bagian yang tepat dan direduksi menjadi kita mendapatkan persamaan yang sama seperti pada pembuktian dengan metode pertama. Darinya, dengan cara yang sama, kita memperoleh persamaan pecahan.

Bukti bagian kedua dari teorema sinus:

Mari kita gambarkan sebuah lingkaran di sekitar segitiga yang diberikan dan gambar diameternya BD melalui B. Karena sudut D dan C didasarkan pada busur yang sama, mereka adalah sama (konsekuensi dari teorema sudut tertulis). Kemudian . Mari kita terapkan definisi sinus sudut D dalam segitiga ABD: Inilah yang harus dibuktikan.

Tugas untuk bagian kedua dari teorema sinus:
1) Sebuah trapesium berada pada lingkaran yang berjari-jari 15. Panjang diagonal dan tinggi trapesium berturut-turut adalah 20 dan 6. Tentukan sisinya.
2) Jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar trapesium adalah 25, dan kosinus sudut tumpulnya adalah -0,28 (minus!!!). Diagonal trapesium membentuk sudut dengan alasnya. Cari tinggi trapesium.
3) Sebuah trapesium berada pada lingkaran yang berjari-jari 10. Panjang diagonal dan garis tengah trapesium berturut-turut adalah 15 dan 12. Tentukan panjang sisi lateral trapesium tersebut.
4) Olimpiade di Akademi Keuangan 2009 Tali busur lingkaran berpotongan di titik Q. Diketahui jari-jari lingkaran adalah 4 cm. Hitunglah panjang akord PN. Olimpiade di Akademi Keuangan 2009
5) Dalam segitiga PST . Sebuah lingkaran dengan jari-jari 8 cm dibatasi di sekitar titik potong garis-bagi dan simpul P dan T. Temukan jari-jari lingkaran yang dibatasi tentang segitiga PST (masalah penulis).

Seorang tutor matematika akan selalu membantu Anda menganalisis teorema sinus secara mendetail dan mendapatkan latihan yang diperlukan untuk menggunakannya dalam tugas. Studi sekolah yang direncanakannya berlangsung di kursus geometri kelas 9 dalam topik memecahkan segitiga (untuk semua program). Jika Anda perlu mempersiapkan ujian matematika untuk lulus ujian dengan setidaknya 70 poin, Anda harus berlatih memecahkan masalah planimetris yang kuat dari angka C4. Di dalamnya, teorema sinus sering diterapkan pada segitiga bertulisan mengingat relasinya. Ingat ini!

Hormat kami, Kolpakov Alexander Nikolaevich,
guru matematika

Kami membangun segitiga sewenang-wenang tertulis dalam lingkaran. Mari kita nyatakan sebagai ABC.
Untuk membuktikan seluruh teorema, karena dimensi segitiga dipilih secara sewenang-wenang, cukup untuk membuktikan bahwa rasio satu sisi sewenang-wenang terhadap sudut yang berlawanan dengannya sama dengan 2R. Misalkan 2R = a / sin , yaitu jika kita ambil 2R = BC / sin A sesuai dengan gambar.

Gambarkan diameter BD untuk lingkaran yang dibatasi. Segitiga BCD yang dihasilkan adalah siku-siku karena sisi miringnya terletak pada diameter lingkaran yang dibatasi (sifat sudut-sudut dalam lingkaran).

Karena sudut-sudut dalam lingkaran, berdasarkan busur yang sama, adalah sama, maka sudut CDB sama dengan sudut CAB (jika titik A dan D terletak pada sisi yang sama dari garis BC), atau sama dengan - CAB (jika tidak).

Mari kita lihat propertinya fungsi trigonometri. Karena sin(π ) = sin , maka opsi yang ditunjukkan untuk membangun segitiga akan tetap menghasilkan hasil yang sama.

Hitung nilai 2R = a / sin , sesuai dengan gambar 2R = BC / sin A. Untuk melakukannya, ganti sin A dengan perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku yang bersesuaian.

2R=BC/sin A
2R=BC/(BC/DB)
2R = DB

Dan, karena DB dibangun sebagai diameter lingkaran, maka persamaannya benar.
Mengulangi alasan yang sama untuk dua sisi segitiga lainnya, kita mendapatkan:

Teorema sinus telah terbukti.

teorema sinus

Catatan. Ini adalah bagian dari pelajaran dengan masalah dalam geometri (bagian dari teorema sinus). Jika Anda perlu memecahkan masalah dalam geometri, yang tidak ada di sini - tulis di forum. Dalam tugas, alih-alih simbol "akar kuadrat", fungsi sqrt () digunakan, di mana sqrt adalah simbol akar pangkat dua, dan dalam tanda kurung adalah ekspresi root.

Teorema sinus:
Sisi-sisi segitiga sebanding dengan sinus dari sudut-sudut yang berlawanan, atau, dalam rumusan yang diperluas:
a / sin = b / sin = c / sin = 2R
di mana R adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi

Teori - untuk rumusan dan pembuktian teorema, lihat bab "Teorema sinus" secara rinci .

Tugas

Pada segitiga XYZ sudut X=30 sudut Z=15. Garis tegak lurus YQ ke ZY membagi sisi XZ menjadi bagian XQ dan QZ. Tentukan XY jika QZ=1.5m

Keputusan.
Tinggi membentuk dua segitiga siku-siku XYQ dan ZYQ.
Untuk menyelesaikan masalah, kami menggunakan teorema sinus.
QZ / dosa(QYZ) = QY / dosa(QZY)

QZY = 15 derajat, Dengan demikian, QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

Karena panjang tinggi segitiga sekarang diketahui, kami menemukan XY menggunakan teorema sinus yang sama.

QY / dosa(30) = XY / dosa(90)

Mari kita pertimbangkan nilai tabular dari beberapa fungsi trigonometri:

sinus 30 derajat adalah sin(30) = 1/2
sinus 90 derajat adalah sin(90) = 1

QY = XY sin(30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) 0,8 m

Menjawab: 0,8 m atau 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)

Teorema sinus (bagian 2)

Catatan. Ini adalah bagian dari pelajaran dengan masalah dalam geometri (bagian dari teorema sinus). Jika Anda perlu menyelesaikan masalah dalam geometri, yang tidak ada di sini - tulis di forum .

Lihat teori secara detail pada bab “Teorema sinus” .

Tugas

Sisi AB segitiga ABC adalah 16 cm. Sudut A adalah 30 derajat. Sudut B adalah 105 derajat. Hitunglah panjang sisi BC.

Keputusan.
Menurut teorema sinus, sisi-sisi segitiga sebanding dengan sinus dari sudut-sudut yang berlawanan:
a / sin = b / sin = c / sin

Dengan demikian
BC / sin = AB / sin

Kami menemukan nilai sudut C, berdasarkan fakta bahwa jumlah sudut segitiga adalah 180 derajat.
C \u003d 180 - 30 -105 \u003d 45 derajat.

Di mana:
SM / sin 30° = 16 / sin 45°

SM = 16 sin 30° / sin 45°

Mengacu pada tabel fungsi trigonometri, kami menemukan:

BC = (16 * 1 / 2) / 2/2 = 16 / 2 11,3 cm

Menjawab: 16 / √2

Tugas.
Dalam segitiga ABC, sudut A \u003d , sudut C \u003d , BC \u003d 7cm, BH adalah tinggi segitiga.
Temukan AN

Lulusan yang sedang mempersiapkan diri untuk mengikuti ujian matematika dan ingin mendapatkan nilai yang cukup tinggi tentunya harus menguasai prinsip penyelesaian masalah dengan menggunakan teorema sinus dan kosinus. Praktik jangka panjang menunjukkan bahwa tugas-tugas seperti itu dari bagian "Geometri di pesawat" adalah bagian wajib dari program uji sertifikasi. Oleh karena itu, jika salah satu dari Anda kelemahan adalah tugas pada teorema cosinus dan sinus, kami sarankan Anda mengulangi teori dasar tentang topik ini.

Persiapkan ujian dengan portal pendidikan "Shkolkovo"

Mengejar sebelumnya lulus ujian, banyak lulusan dihadapkan pada masalah menemukan teori dasar yang diperlukan untuk memecahkan masalah praktis pada penerapan teorema sinus dan kosinus.

Buku teks tidak selalu tersedia pada waktu yang tepat. Dan menemukan formula yang diperlukan terkadang cukup bermasalah bahkan di Internet.

Mempersiapkan ujian sertifikasi dengan portal pendidikan Shkolkovo akan memiliki kualitas dan efisiensi tertinggi. Untuk mempermudah tugas teorema sinus dan kosinus, kami sarankan untuk menyegarkan ingatan seluruh teori tentang topik ini. Pakar kami menyiapkan materi ini berdasarkan pengalaman yang kaya dan menyajikannya dalam bentuk yang dapat dimengerti. Anda dapat menemukannya di bagian "Referensi Teoretis".

Mengetahui teorema dan definisi dasar adalah setengah dari kesuksesan ketika lulus ujian sertifikasi. Latihan yang tepat memungkinkan Anda mengasah keterampilan memecahkan contoh. Untuk menemukannya, cukup buka bagian Katalog di situs web pendidikan Shkolkovo. Ada daftar besar tugas. level yang berbeda kompleksitas, yang terus-menerus ditambah dan diperbarui.

Tugas pada teorema sinus dan kosinus, mirip dengan yang ditemukan dalam Unified State Examination dalam matematika, siswa dapat melakukan secara online, saat berada di Moskow atau kota Rusia lainnya.

Jika perlu, latihan apa pun, misalnya, dapat disimpan di bagian "Favorit". Ini akan memungkinkan Anda untuk kembali ke sana di masa mendatang untuk sekali lagi menganalisis algoritme untuk menemukan jawaban yang benar dan mendiskusikannya dengan guru di sekolah atau tutor.

Trigonometri banyak digunakan tidak hanya di bagian aljabar - awal analisis, tetapi juga dalam geometri. Dalam hal ini, masuk akal untuk mengasumsikan keberadaan teorema dan buktinya terkait dengan fungsi trigonometri. Memang, teorema kosinus dan sinus diturunkan sangat menarik, dan yang paling penting, hubungan yang berguna antara sisi dan sudut segitiga.

Dengan menggunakan rumus ini, Anda dapat menurunkan salah satu sisi segitiga:

Bukti pernyataan diperoleh berdasarkan teorema Pythagoras: kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki.

Perhatikan segitiga sembarang ABC. Dari titik C kami menurunkan ketinggian h ke dasar gambar, dalam hal ini panjangnya sama sekali tidak penting. Sekarang, jika kita perhatikan segitiga sembarang ACB, maka kita dapat menyatakan koordinat titik C melalui trigonometri fungsi cos dan dosa.

Ingat kembali definisi cosinus dan tulis perbandingan sisi-sisi segitiga ACD: cos = AD/AC | kalikan kedua sisi persamaan dengan AC; AD = AC * cos .

Mari kita ambil panjang AC sebagai b dan dapatkan ekspresi untuk koordinat pertama titik C:
x = b * cos⁡α. Demikian pula, kami menemukan nilai ordinat C: y = b * sin . Selanjutnya, kita terapkan teorema Pythagoras dan nyatakan h secara bergantian untuk segitiga ACD dan DCB:

Jelas, kedua ekspresi (1) dan (2) sama satu sama lain. Kami menyamakan sisi kanan dan memberikan yang serupa:

Saat latihan rumus yang diberikan memungkinkan Anda untuk menemukan panjang sisi segitiga yang tidak diketahui dengan sudut yang diberikan. Teorema kosinus memiliki tiga konsekuensi: untuk sudut siku-siku, lancip, dan tumpul dari suatu segitiga.

Mari kita ganti nilai cos dengan variabel biasa x, maka untuk sudut lancip segitiga ABC kita peroleh:

Jika sudutnya ternyata benar, maka 2bx akan hilang dari ekspresi, karena cos 90 ° \u003d 0. Secara grafis, konsekuensi kedua dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Dalam kasus sudut tumpul, tanda “-” di depan argumen ganda dalam rumus akan berubah menjadi “+”:

Seperti yang Anda lihat dari penjelasannya, tidak ada yang rumit dalam rasio. Teorema kosinus tidak lebih dari susunan teorema Pythagoras dalam besaran trigonometri.

Aplikasi praktis dari teorema

Latihan 1. Diketahui segitiga ABC dengan sisi BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm, dan cos = . Hitunglah panjang sisi AB.

Untuk menghitung dengan benar, Anda perlu menentukan sudut . Untuk melakukan ini, lihat tabel nilai untuk fungsi trigonometri, yang menurutnya busur kosinus adalah 1/2 untuk sudut 60 °. Berdasarkan ini, kami menggunakan rumus akibat wajar pertama dari teorema:

Tugas 2. Untuk segitiga ABC semua sisi diketahui: AB =4√2,BC=5,AC=7. Diperlukan untuk menemukan semua sudut pada gambar.

Dalam hal ini, Anda tidak dapat melakukannya tanpa menggambar kondisi masalah.

Karena nilai sudut tetap tidak diketahui, seseorang harus menggunakan rumus lengkap untuk sudut lancip.

Dengan analogi, tidak sulit untuk merumuskan dan menghitung nilai sudut lain:

Singkatnya, ketiga sudut segitiga harus 180 °: 53 + 82 + 45 = 180, oleh karena itu, solusinya ditemukan.

teorema sinus

Teorema menyatakan bahwa semua sisi segitiga sewenang-wenang sebanding dengan sinus dari sudut yang berlawanan. Rasio ditulis dalam bentuk persamaan rangkap tiga:

Pembuktian klasik dari pernyataan tersebut dilakukan pada contoh sosok yang tertulis dalam lingkaran.

Untuk memverifikasi kebenaran pernyataan dengan menggunakan contoh segitiga ABC pada gambar, perlu untuk mengkonfirmasi fakta bahwa 2R = BC / sin A. Kemudian buktikan bahwa sisi lain juga sesuai dengan sinus sudut yang berlawanan, seperti 2R atau D sebuah lingkaran.

Untuk melakukan ini, kita menggambar diameter lingkaran dari titik B. Dari sifat-sifat sudut yang tertulis dalam lingkaran, GCB adalah garis lurus, dan CGB sama dengan CAB atau (π - CAB). Dalam kasus sinus, keadaan terakhir tidak signifikan, karena sin (π -α) \u003d sin . Berdasarkan kesimpulan di atas, dapat dikemukakan bahwa:

sin CGB = BC/ BG atau sin A = BC/2R,

Jika kita mempertimbangkan sudut lain dari gambar, kita mendapatkan rumus diperpanjang dari teorema sinus: