Աստիճանները նշանակում է սուր եռանկյուն: Եռանկյունների տեսակները՝ ուղղանկյուն, սուրանկյուն, բութանկյուն

Որպես կանոն, երկու եռանկյունները համարվում են նման, եթե նրանք ունեն նույն ձևը, նույնիսկ եթե դրանք տարբեր չափերի են, պտտված կամ նույնիսկ գլխիվայր:

Նկարում ներկայացված A 1 B 1 C 1 և A 2 B 2 C 2 միանման եռանկյունների մաթեմատիկական պատկերը գրված է հետևյալ կերպ.

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Երկու եռանկյուններ նման են, եթե.

1. Մի եռանկյան յուրաքանչյուր անկյուն հավասար է մեկ այլ եռանկյան համապատասխան անկյան.
∠A 1 = ∠A 2, ∠B 1 = ∠B 2և ∠C1 = ∠C2

2. Մի եռանկյան կողմերի հարաբերությունները մյուս եռանկյան համապատասխան կողմերի հարաբերությունները հավասար են միմյանց.
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Հարաբերություններ երկու կողմմի եռանկյունի մյուս եռանկյան համապատասխան կողմերին հավասար են միմյանց և միևնույն ժամանակ
Այս կողմերի միջև անկյունները հավասար են.
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ և $\անկյուն A_1 = \անկյուն A_2$
կամ
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ և $\անկյուն B_1 = \անկյուն B_2$
կամ
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ և $\անկյուն C_1 = \անկյուն C_2$

Նմանատիպ եռանկյունները չպետք է շփոթել հավասար եռանկյունների հետ: Համապատասխան եռանկյունները ունեն համապատասխան կողմերի երկարություններ: Այսպիսով, հավասար եռանկյունների համար.

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Այստեղից հետևում է, որ բոլոր հավասար եռանկյունները նման են։ Այնուամենայնիվ, ոչ բոլոր նման եռանկյուններն են հավասար:

Թեև վերը նշված նշումը ցույց է տալիս, որ երկու եռանկյունների նման են, թե ոչ, պարզելու համար, մենք պետք է իմանանք յուրաքանչյուր եռանկյան երեք անկյունների արժեքները կամ երեք կողմերի երկարությունները, նմանատիպ եռանկյունների հետ խնդիրներ լուծելու համար. Բավական է յուրաքանչյուր եռանկյունու համար վերը նշվածից որևէ երեք արժեք իմանալու համար: Այս արժեքները կարող են լինել տարբեր համակցություններով.

1) յուրաքանչյուր եռանկյան երեք անկյուն (եռանկյունների կողմերի երկարությունները պետք չէ իմանալ):

Կամ մեկ եռանկյան առնվազն 2 անկյունը պետք է հավասար լինի մեկ այլ եռանկյան 2 անկյունին:
Քանի որ եթե 2 անկյունները հավասար են, ապա երրորդ անկյունը նույնպես հավասար կլինի (երրորդ անկյան արժեքը 180 - անկյուն1 - անկյուն 2)

2) յուրաքանչյուր եռանկյունու կողմերի երկարությունները (անկյունները իմանալու կարիք չկա);

3) երկու կողմերի երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը.

Հաջորդիվ դիտարկում ենք նմանատիպ եռանկյուններով որոշ խնդիրների լուծումը։ Նախ, մենք կդիտարկենք խնդիրներ, որոնք կարող են լուծվել վերը նշված կանոնների ուղղակիորեն օգտագործելով, այնուհետև մենք կքննարկենք մի քանի գործնական խնդիրներ, որոնք կարող են լուծվել նմանատիպ եռանկյունների մեթոդով:

Գործնական խնդիրներ նմանատիպ եռանկյունների հետ

Օրինակ #1: Ցույց տվեք, որ ստորև նկարում պատկերված երկու եռանկյունները նման են:

Որոշում:
Քանի որ երկու եռանկյունների կողմերի երկարությունները հայտնի են, այստեղ կարող է կիրառվել երկրորդ կանոնը.

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Օրինակ #2: Ցույց տվեք, որ տրված երկու եռանկյունները նման են և գտե՛ք կողմերի երկարությունները PQև PR.

Որոշում:
∠A = ∠Pև ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(քանի որ ∠C = 180 - ∠A - ∠B և ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Այստեղից հետևում է, որ ∆ABC և ∆PQR եռանկյունները նման են։ Հետևաբար.
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ և
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 դոլար

Օրինակ #3: Որոշեք երկարությունը ԱԲայս եռանկյունու մեջ:

Որոշում:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AEDև ∠ Աընդհանուր => եռանկյուններ ΔABCև ΔADEնման են.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Աջ սլաք 2\անգամ AB = AB + 4 \Աջ սլաք AB = 4$

Օրինակ #4: Որոշեք երկարությունը AD (x)երկրաչափական գործիչ նկարում:

∆ABC և ∆CDE եռանկյունները նման են, քանի որ AB || DE-ն և նրանք ունեն ընդհանուր վերին անկյունԳ.
Մենք տեսնում ենք, որ մի եռանկյունը մյուսի մասշտաբային տարբերակն է: Այնուամենայնիվ, մենք պետք է դա ապացուցենք մաթեմատիկորեն:

ԱԲ || DE, CD || AC և BC || ԵՄ
∠BAC = ∠EDC և ∠ABC = ∠DEC

Ելնելով վերը նշվածից և հաշվի առնելով ընդհանուր անկյան առկայությունը Գ, կարող ենք փաստել, որ ∆ABC և ∆CDE եռանկյունները նման են։

Հետևաբար.
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \անգամ 11)(7 ) = 23,57 դոլար
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Գործնական օրինակներ

Օրինակ #5: Գործարանը օգտագործում է թեք փոխակրիչ՝ արտադրանքը 1 մակարդակից 2 մակարդակ տեղափոխելու համար, որը 1 մակարդակից 3 մետր բարձր է, ինչպես ցույց է տրված նկարում: Թեք փոխակրիչը սպասարկվում է մի ծայրից մինչև 1-ին մակարդակ, իսկ մյուս ծայրից՝ 1-ին մակարդակի աշխատանքային կետից 8 մետր հեռավորության վրա գտնվող աշխատակայան:

Գործարանը ցանկանում է արդիականացնել փոխակրիչը՝ նոր մակարդակ մուտք գործելու համար, որը գտնվում է 1 մակարդակից 9 մետր բարձրության վրա՝ պահպանելով փոխակրիչի անկյունը:

Որոշեք այն հեռավորությունը, որով դուք պետք է ստեղծեք նոր աշխատանքային կայան, որպեսզի փոխակրիչը աշխատի իր նոր ծայրում՝ 2-րդ մակարդակում: Նաև հաշվարկեք հավելյալ հեռավորությունը, որը կանցնի արտադրանքը նոր մակարդակ տեղափոխվելու ժամանակ:

Որոշում:

Նախ, եկեք յուրաքանչյուր հատման կետ պիտակավորենք որոշակի տառով, ինչպես ցույց է տրված նկարում:

Ելնելով նախորդ օրինակներում վերը բերված պատճառաբանությունից՝ կարող ենք եզրակացնել, որ ∆ABC և ∆ADE եռանկյունները նման են: Հետևաբար,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Աջ սլաք AB = \frac(8 \անգամ 9)(3 ) = 24 մ$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 մ

Այսպիսով, նոր կետը պետք է տեղադրվի գործող կետից 16 մետր հեռավորության վրա։

Եվ քանի որ կառուցվածքը կազմված է ուղղանկյուն եռանկյուններից, մենք կարող ենք հաշվարկել արտադրանքի ճանապարհորդության հեռավորությունը հետևյալ կերպ.

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Նմանապես, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25.63 m$
որն է այն հեռավորությունը, որով անցնում է ապրանքը այս պահինառկա մակարդակը մտնելուց հետո:

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 մ
Սա այն լրացուցիչ հեռավորությունն է, որը պետք է անցնի ապրանքը նոր մակարդակի հասնելու համար:

Օրինակ #6: Սթիվը ցանկանում է այցելել իր ընկերոջը, ով վերջերս է տեղափոխվել նոր տուն. Սթիվի և նրա ընկերոջ տուն հասնելու ճանապարհային քարտեզը Սթիվին հայտնի հեռավորությունների հետ միասին ներկայացված է նկարում: Օգնեք Սթիվին ամենակարճ ճանապարհով հասնել իր ընկերոջ տուն:

Որոշում:

Ճանապարհային քարտեզը կարող է երկրաչափորեն ներկայացված լինել հետևյալ ձևով, ինչպես ցույց է տրված նկարում:

Մենք տեսնում ենք, որ ∆ABC և ∆CDE եռանկյունները նման են, հետևաբար.
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Առաջադրանքի հայտարարության մեջ ասվում է.

AB = 15 կմ, AC = 13,13 կմ, CD = 4,41 կմ և DE = 5 կմ

Օգտագործելով այս տեղեկատվությունը, մենք կարող ենք հաշվարկել հետևյալ հեռավորությունները.

$BC = \frac (AB \ անգամ CD) (DE) = \frac (15 \ անգամ 4,41) (5) = 13,23 կմ $
$CE = \frac (AC \ անգամ CD) (BC) = \frac (13.13 \ անգամ 4.41) (13.23) = 4.38 կմ $

Սթիվը կարող է հասնել իր ընկերոջ տուն հետևյալ երթուղիներով.

A -> B -> C -> E -> G, ընդհանուր հեռավորությունը 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 կմ է:

F -> B -> C -> D -> G, ընդհանուր հեռավորությունը 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 կմ է:

F -> A -> C -> E -> G, ընդհանուր հեռավորությունը 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 կմ է:

F -> A -> C -> D -> G, ընդհանուր հեռավորությունը 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 կմ է:

Հետևաբար, թիվ 3 երթուղին ամենակարճն է և կարող է առաջարկվել Սթիվին:

Օրինակ 7:
Տրիշան ուզում է չափել տան բարձրությունը, բայց չունի ճիշտ գործիքներ. Նա նկատեց, որ տան դիմաց ծառ է աճում, և որոշեց օգտագործել իր հնարամտությունն ու դպրոցում ձեռք բերած երկրաչափական գիտելիքները՝ որոշելու շենքի բարձրությունը: Նա չափեց ծառից մինչև տուն հեռավորությունը, արդյունքը դարձավ 30 մ, այնուհետև նա կանգնեց ծառի առջև և սկսեց նահանջել, մինչև շենքի վերին եզրը երևաց ծառի վերևում: Տրիշան նշել է կետը և չափել հեռավորությունը դրանից մինչև ծառը: Այս հեռավորությունը 5 մ էր։

Ծառի բարձրությունը 2,8 մ է, իսկ Տրիշայի աչքերի բարձրությունը՝ 1,6 մ: Օգնեք Տրիշային որոշել շենքի բարձրությունը:

Որոշում:

Խնդրի երկրաչափական պատկերը ներկայացված է նկարում:

Սկզբում օգտագործում ենք ∆ABC և ∆ADE եռանկյունների նմանությունը:

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Աջ սլաք 2.8 \անգամ AC = 1.6 \անգամ (5) + AC) = 8 + 1.6 \ անգամ AC$

$(2.8 - 1.6) \անգամ AC = 8 \Աջ սլաք AC = \frac(8) (1.2) = 6.67$

Այնուհետև մենք կարող ենք օգտագործել ∆ACB և ∆AFG կամ ∆ADE և ∆AFG եռանկյունների նմանությունը: Եկեք ընտրենք առաջին տարբերակը.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Աջ սլաք H = \frac(1.6 )(0.16) = 10 մ$

Ասում են, որ երկու եռանկյունները համընկնում են, եթե դրանք կարող են համընկնել: Նկար 1-ում ներկայացված են ABC և A 1 B 1 C 1 հավասար եռանկյունները: Այս եռանկյուններից յուրաքանչյուրը կարող է դրվել մյուսի վրա այնպես, որ դրանք լիովին համատեղելի լինեն, այսինքն՝ դրանց գագաթներն ու կողմերը զուգակցվեն միասին: Հասկանալի է, որ այս դեպքում այս եռանկյունների անկյունները կմիավորվեն զույգերով։

Այսպիսով, եթե երկու եռանկյունները հավասար են, ապա մի եռանկյան տարրերը (այսինքն՝ կողմերը և անկյունները) համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան տարրերին։ Նշենք, որ հավասար եռանկյուններում՝ համապատասխանաբար հավասար կողմերի դեմ(այսինքն՝ համընկնումը, երբ վերադրվում է) պառկած հավասար անկյուններև ետ: Հակառակ համապատասխանաբար հավասար անկյունները գտնվում են հավասար կողմերով:

Այսպիսով, օրինակ, ABC և A 1 B 1 C 1 հավասար եռանկյուններում, որոնք ներկայացված են Նկար 1-ում, համապատասխանաբար AB և A 1 B 1 հավասար կողմերին հակառակ, գտնվում են C և C 1 հավասար անկյուններ: ABC և A 1 B 1 C 1 եռանկյունների հավասարությունը կնշանակվի հետևյալ կերպ. Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1: Ստացվում է, որ երկու եռանկյունների հավասարությունը կարելի է հաստատել՝ համեմատելով դրանց որոշ տարրեր։

Թեորեմ 1. Եռանկյունների հավասարության առաջին նշանը.Եթե ​​մեկ եռանկյան երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը համապատասխանաբար հավասար են երկու կողմերին և նրանց միջև գտնվող մեկ այլ եռանկյան անկյունին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են (նկ. 2):

Ապացույց. Դիտարկենք ABC և A 1 B 1 C 1 եռանկյունները, որոնցում AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (տես նկ. 2): Եկեք ապացուցենք, որ Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1:

Քանի որ ∠ A \u003d ∠ A 1, ապա ABC եռանկյունը կարող է դրվել A 1 B 1 C 1 եռանկյունու վրա այնպես, որ A գագաթը հավասարեցվի A 1 գագաթին, իսկ AB և AC կողմերը համապատասխանաբար համընկնեն: ճառագայթներ A 1 B 1 և A 1 C մեկ: Քանի որ AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, ապա AB կողմը կմիավորվի A 1 B 1 և AC կողմը ՝ A 1 C 1 կողմի հետ; մասնավորապես B և B 1, C և C 1 կետերը կհամընկնեն: Հետևաբար, BC և B 1 C 1 կողմերը կհավասարեցվեն: Այսպիսով, ABC և A 1 B 1 C 1 եռանկյունները լիովին համատեղելի են, ինչը նշանակում է, որ դրանք հավասար են:

Թեորեմ 2-ը նույնպես ապացուցված է սուպերպոզիցիայի մեթոդով։

Թեորեմ 2. Եռանկյունների հավասարության երկրորդ նշանը.Եթե ​​մեկ եռանկյան կողմը և նրան կից երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան կողմին և նրան հարող երկու անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են (նկ. 34):

Մեկնաբանություն. Թեորեմ 2-ի հիման վրա հաստատվում է 3-րդ թեորեմը:

Թեորեմ 3. Եռանկյան ցանկացած երկու ներքին անկյունների գումարը 180°-ից փոքր է:

Թեորեմ 4-ը բխում է վերջին թեորեմից:

Թեորեմ 4. Եռանկյան արտաքին անկյունը ցանկացածից մեծ է ներքին անկյուն, ոչ կից դրան։

Թեորեմ 5. Եռանկյունների հավասարության երրորդ նշանը.Եթե ​​մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են ():

Օրինակ 1 ABC և DEF եռանկյուններում (նկ. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 սմ, AC = 18 սմ, DE = 18 սմ, EF = 20 սմ Համեմատեք ABC և DEF եռանկյունները: DEF եռանկյան ո՞ր անկյունն է հավասար B անկյունին:

Որոշում. Այս եռանկյունները առաջին նշանով հավասար են։ DEF եռանկյան F անկյունը հավասար է ABC եռանկյան B անկյունին, քանի որ այս անկյունները գտնվում են DE և AC համապատասխան հավասար կողմերի դեմ:

Օրինակ 2 AB և CD հատվածները (նկ. 5) հատվում են O կետում, որը նրանցից յուրաքանչյուրի միջնակետն է: Ինչի՞ է հավասար BD հատվածը, եթե AC հատվածը 6 մ է:

Որոշում. AOC և BOD եռանկյունները հավասար են (առաջին չափանիշով) ∠ AOC = ∠ BOD (ուղղահայաց), AO = OB, CO = OD (ըստ պայմանի):
Այս եռանկյունների հավասարությունից հետևում է նրանց կողմերի հավասարությունը, այսինքն՝ AC = BD: Բայց քանի որ, ըստ պայմանի, AC = 6 մ, ապա BD = 6 մ:

Ստանդարտ նշում

Եռանկյուն գագաթներով Ա, Բև Գնշվում է որպես (տես նկ.): Եռանկյունն ունի երեք կողմ.

Եռանկյան կողմերի երկարությունները նշվում են փոքրատառերով լատինական տառերով(ա, բ, գ):

Եռանկյունն ունի հետևյալ անկյունները.

Համապատասխան գագաթներում գտնվող անկյունների արժեքները ավանդաբար նշվում են Հունարեն տառեր (α, β, γ).

Եռանկյունների հավասարության նշաններ

Էվկլիդեսյան հարթության վրա եռանկյունը կարող է եզակիորեն (մինչև համընկնում) սահմանվել հիմնական տարրերի հետևյալ եռյակներով.

1. a, b, γ (երկու կողմերի հավասարությունը և նրանց միջև ընկած անկյունը);
2. a, β, γ (կողային և երկու հարակից անկյունների հավասարություն);
3. a, b, c (հավասարություն երեք կողմերից):

Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության նշաններ.

1. ոտքի և հիպոթենուսի երկայնքով;
2. երկու ոտքերի վրա;
3. ոտքի և սուր անկյան երկայնքով;
4. հիպոթենուզա և սուր անկյուն:

Եռանկյան որոշ կետեր «զույգված են»: Օրինակ, կան երկու կետեր, որոնցից բոլոր կողմերը տեսանելի են կամ 60° կամ 120° անկյան տակ: Նրանք կոչվում են կետեր Տորիչելլի. Կան նաև երկու կետեր, որոնց կողքերի ելքերը գտնվում են կանոնավոր եռանկյան գագաթներում: Սա - Ապոլոնիուսի կետերը. Միավորներ և այնպիսիք, որոնք կոչվում են Բրոկարդի միավորներ.

Ուղղակի

Ցանկացած եռանկյունում ծանրության կենտրոնը, ուղղանկյունը և շրջանագծի կենտրոնը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա, որը կոչվում է. Էյլերի գիծ.

Սահմանված շրջանագծի կենտրոնով և Լեմուանի կետով անցնող ուղիղը կոչվում է Բրոկարի առանցքը. Ապոլոնիուսի կետերը ընկած են դրա վրա: Տորիչելիի և Լեմուանի կետերը նույնպես գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա: Եռանկյան անկյունների արտաքին կիսադիրների հիմքերը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա, որը կոչվում է. արտաքին բիսեկտորների առանցք. Նույն գծի վրա են գտնվում նաև ուղղանկյունի կողմերը պարունակող ուղիղների հատման կետերը եռանկյան կողմերը պարունակող գծերի հետ։ Այս տողը կոչվում է ուղղակենտրոն առանցք, այն ուղղահայաց է Էյլերի գծին։

Եթե ​​եռանկյան շրջագծով մի կետ վերցնենք, ապա եռանկյան կողմերի վրա նրա ելքերը կգտնվեն մեկ ուղիղ գծի վրա, որը կոչվում է. Սիմսոնի ուղիղ գիծտրված կետ. Սիմսոնի տրամագծորեն հակառակ կետերի ուղիղները ուղղահայաց են։

եռանկյուններ

• Տրված կետի միջով գծված cevians հիմքերի գագաթներով եռանկյունը կոչվում է սևյան եռանկյունայս կետը.
• Կոչվում է այն եռանկյունը, որի գագաթները գտնվում են կողմերի վրա տրված կետի ելուստներում մաշկի տակկամ ոտնակ եռանկյունիայս կետը.
• Գողերով գծված ուղիղների երկրորդ հատման կետերում գագաթներով եռանկյունը և շրջագծով տրված կետը կոչվում է. սևյան եռանկյուն. Ցեվյան եռանկյունին նման է ենթամաշկային եռանկյունին:

շրջանակներ

• Արձանագրված շրջանեռանկյան բոլոր երեք կողմերին շոշափող շրջան է: Նա միակն է։ Ներգրված շրջանագծի կենտրոնը կոչվում է կենտրոն.
• Սահմանափակ շրջան- եռանկյան բոլոր երեք գագաթներով անցնող շրջան: Եզակի է նաև շրջագիծը.
• Շրջել- եռանկյան մի կողմին շոշափող շրջան և մյուս երկու կողմերի երկարացում: Եռանկյունու մեջ կան երեք այդպիսի շրջանակներ. Նրանց արմատական ​​կենտրոնը միջին եռանկյան ներգծված շրջանագծի կենտրոնն է, որը կոչվում է Սփիքերի միտքը.

Եռանկյան երեք կողմերի միջնակետերը, նրա երեք բարձրությունների հիմքերը և նրա գագաթները ուղղանկյունին միացնող երեք ուղիղ հատվածների միջնակետերը գտնվում են մեկ շրջանագծի վրա, որը կոչվում է. ինը կետից բաղկացած շրջանկամ Էյլերի շրջան. Ինը կետանոց շրջանագծի կենտրոնն ընկած է Էյլերի գծի վրա։ Ինը կետից բաղկացած շրջանագիծը դիպչում է ներգծված շրջանագծին և երեք շրջանագծին: Ներգրված շրջանագծի և ինը կետերից բաղկացած շրջանագծի շփման կետը կոչվում է Ֆոյերբախի կետ. Եթե ​​յուրաքանչյուր գագաթից մենք եռանկյուններ ենք դնում ուղիղ գծերի վրա, որոնք պարունակում են կողմեր, օրթեզներ, որոնք երկարությամբ հավասար են հակառակ կողմերին, ապա ստացված վեց կետերը ընկած են մեկ շրջանագծի վրա. Քոնվեյի շրջանակները. Ցանկացած եռանկյան մեջ երեք շրջան կարելի է մակագրել այնպես, որ դրանցից յուրաքանչյուրը դիպչի եռանկյան երկու կողմերին և երկու այլ շրջանակներին: Նման շրջանակները կոչվում են Մալֆատիի շրջանակները. Վեց եռանկյունների շրջագծերի կենտրոնները, որոնց եռանկյունը բաժանվում է միջնամասերով, գտնվում են մեկ շրջանագծի վրա, որը կոչվում է. Լամուն շրջան.

Եռանկյունն ունի երեք շրջան, որոնք դիպչում են եռանկյան երկու կողմերին և շրջագծված շրջանին: Նման շրջանակները կոչվում են կիսամակագրվածկամ Verrier շրջանակներ. Վերիեի շրջանների շփման կետերը շրջագծված շրջանագծի հետ կապող հատվածները հատվում են մի կետում, որը կոչվում է. Verrier կետ. Այն ծառայում է որպես հոմոթետի կենտրոն, որը շրջագծված շրջանակը տանում է դեպի շրջանագիծ։ Վերիեի շրջանագծերի շոշափման կետերը կողքերի հետ ընկած են ուղիղ գծի վրա, որն անցնում է ներգծված շրջանագծի կենտրոնով:

Ներգծված շրջանագծի շոշափող կետերը գագաթներով միացնող ուղիղ հատվածները հատվում են մի կետում, որը կոչվում է. Gergonne կետ, իսկ գագաթները շրջանագծերի շփման կետերի հետ կապող հատվածները՝ in Նագելի կետ.

Էլիպսներ, պարաբոլներ և հիպերբոլաներ

Արձանագրված կոն (էլիպս) և դրա հեռանկարը

Անսահման թվով կոնիկներ (էլիպսներ, պարաբոլներ կամ հիպերբոլաներ) կարելի է մակագրել եռանկյունու մեջ։ Եթե ​​եռանկյան մեջ կամայական կոնաձև գրենք և շփման կետերը միացնենք հակադիր գագաթներով, ապա ստացված գծերը կհատվեն մի կետում, որը կոչվում է. հեռանկարկոնիկներ. Հարթության ցանկացած կետի համար, որը չի գտնվում մի կողմի վրա կամ դրա երկարացման վրա, այս կետում կա ներգծված կոնաձև՝ հեռանկարով:

Շտայների էլիպսը շրջագծված է, և սևիանսները անցնում են դրա օջախներով

Էլիպսը կարելի է մակագրել եռանկյունու մեջ, որը դիպչում է կողմերին միջին կետերում: Նման էլիպսը կոչվում է Շտայները մակագրված էլիպս(դրա հեռանկարը կլինի եռանկյան կենտրոնաձևը): Նկարագրված էլիպսը, որը շոշափում է կողերին զուգահեռ գագաթներով անցնող գծերը, կոչվում է. շրջագծված Շտայների էլիպսով. Եթե ​​աֆինային փոխակերպումը («թեք») եռանկյունին վերածում է կանոնավորի, ապա նրա մակագրված և շրջագծված Շտայների էլիպսը կանցնի ներգծված և շրջագծված շրջանի մեջ։ Նկարագրված Շտայների էլիպսի օջախների միջով գծված Սևիանները (Սկուտինի կետեր) հավասար են (Սկուտինի թեորեմ): Բոլոր շրջագծված էլիպսներից ունի շրջագծված Շտայների էլիպսը ամենափոքր տարածքը, և բոլոր մակագրված էլիպսներից ամենամեծ մակերեսն ունի Շտայների ներգծված էլիպսը։

Բրոկարդի էլիպսը և նրա դիտորդը - Լեմուան կետ

Բրոկարի կետերում օջախներով էլիպսը կոչվում է Բրոկարդային էլիպս. Դրա հեռանկարը Լեմուանի կետն է:

Ներգրված պարաբոլայի հատկությունները

Կիպերտի պարաբոլա

Ներգրված պարաբոլների հեռանկարները գտնվում են շրջագծված Շտայների էլիպսի վրա: Ներգրված պարաբոլայի կիզակետը ընկած է շրջագծված շրջանագծի վրա, իսկ ուղղաձիգը անցնում է ուղղանկյունով: Եռանկյունու մեջ գրված պարաբոլան, որի ուղղագիծը Էյլերի գիծն է, կոչվում է Կիպերտի պարաբոլան. Նրա հեռանկարը շրջագծված շրջանագծի և շրջագծված Շտայների էլիպսի հատման չորրորդ կետն է, որը կոչվում է. Շտայներ կետ.

Սիպերտի հիպերբոլիա

Եթե ​​նկարագրված հիպերբոլան անցնում է բարձրությունների հատման կետով, ապա այն հավասարակողմ է (այսինքն՝ նրա ասիմպտոտները ուղղահայաց են)։ Հավասարակողմ հիպերբոլայի ասիմպտոտների հատման կետը գտնվում է ինը կետից բաղկացած շրջանագծի վրա:

Փոխակերպումներ

Եթե ​​գագաթներով անցնող և կողքերի վրա չգտնվող ինչ-որ կետով ուղիղները և դրանց ընդարձակումները արտացոլվեն համապատասխան կիսատների նկատմամբ, ապա դրանց պատկերները նույնպես կհատվեն մի կետում, որը կոչվում է. isogagonally conjugatedբնօրինակը (եթե կետը ընկած է շրջագծված շրջանագծի վրա, ապա ստացված գծերը կլինեն զուգահեռ): Ուշագրավ կետերի շատ զույգեր իզոգոնալ կերպով խոնարհված են՝ շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը և ուղղանկյունը, կենտրոնաձևը և Լեմուան կետը, Բրոկարդի կետերը: Ապոլոնիուսի կետերը իզոգոնալ կերպով կապված են Տորիչելիի կետերի հետ, իսկ շրջանագծի կենտրոնը իզոգոնալ կերպով կապված է ինքն իրեն։ Իզոգոնալ խոնարհման գործողության ներքո ուղիղ գծերը անցնում են շրջագծված կոնների, իսկ շրջագծված կոնները՝ ուղիղ գծերի: Այսպիսով, Կիպերտի հիպերբոլան և Բրոկարի առանցքը, Էնժաբեկի հիպերբոլան և Էյլերի ուղիղը, Ֆոյերբախի հիպերբոլան և ներգծված շրջանագծի կենտրոնների գիծը իզոգոնալ են: Իզոգոնալ խոնարհված կետերի ենթամաշկային եռանկյունների շրջագծված շրջանակները համընկնում են: Արձանագրված էլիպսների օջախները իզոգոնալ կերպով խոնարհված են։

Եթե ​​սիմետրիկ ցևիանի փոխարեն վերցնենք մի սևիան, որի հիմքը կողքի կեսից այնքան հեռու է, որքան սկզբնականի հիմքը, ապա այդպիսի սևիանները նույնպես կհատվեն մի կետում: Ստացված փոխակերպումը կոչվում է isotomy conjugation. Այն նաև քարտեզագրում է գծերը շրջագծված կոնների վրա: Գերգոնի և Նագելի կետերը իզոտոմիկորեն կապված են: Աֆինային փոխակերպումների ժամանակ իզոտոմիկորեն զուգակցված կետերը անցնում են իզոտոմիկորեն խոնարհվածների։ Իզոտոմիայի կոնյուգացիայի ժամանակ նկարագրված Շտայների էլիպսը անցնում է ուղիղ գծի մեջ անսահմանության մեջ:

Եթե ​​շրջագծված շրջանից եռանկյունու կողմերից կտրված հատվածներում գրվում են շրջաններ, որոնք շոշափում են կողքերը որոշակի կետով գծված ցևիների հիմքերի վրա, այնուհետև այդ շրջանակների շփման կետերը միացված են շրջագծին: շրջանագիծ հակառակ գագաթներով, ապա այդպիսի ուղիղները հատվելու են մի կետում։ Ինքնաթիռի փոխակերպումը, որը համապատասխանում է սկզբնական կետին ստացվածին, կոչվում է isocircular փոխակերպում. Իզոգոնալ և իզոտոմային խոնարհումների բաղադրությունը ինքն իր հետ իզոցիկլային փոխակերպման բաղադրությունն է։ Այս կոմպոզիցիան պրոյեկտիվ փոխակերպում է, որը թողնում է եռանկյան կողմերը տեղում և արտաքին կիսատների առանցքը վերածում է ուղիղ գծի անսահմանության ժամանակ։

Եթե ​​մենք շարունակենք որոշ կետի Սևյան եռանկյունու կողմերը և վերցնենք դրանց հատման կետերը համապատասխան կողմերի հետ, ապա արդյունքում առաջացող հատման կետերը կգտնվեն մեկ ուղիղ գծի վրա, որը կոչվում է. եռագիծ բևեռԵլակետ. Orthocentric առանցք - ուղղանկյուն կենտրոնի եռագիծ բևեռ; ներգծված շրջանագծի կենտրոնի եռագիծ բևեռը արտաքին կիսադիրների առանցքն է։ Շրջագծված կոնի վրա ընկած կետերի եռագիծ բևեռները հատվում են մեկ կետում (շրջագծված շրջանագծի համար սա Լեմուանի կետն է, շրջագծված Շտայների էլիպսի համար՝ կենտրոնաձևը)։ Իզոգոնալ (կամ իզոտոմային) խոնարհման և եռագիծ բևեռի բաղադրությունը երկակի փոխակերպում է (եթե կետը իզոգոնալ (իզոտոմային) հարում է կետին, գտնվում է կետի եռագիծ բևեռի վրա, ապա կետի եռագիծ բևեռը իզոգոնալ (իզոտոմիկ) զուգակցել կետի եռագիծ բևեռի վրա ընկած կետին):

Խորանարդներ

Հարաբերություններ եռանկյունու մեջ

Նշում:Այս հատվածում , , եռանկյան երեք կողմերի երկարություններն են, իսկ , , այս երեք կողմերին համապատասխանաբար (հակառակ անկյունները) հակառակ ընկած անկյուններն են։

եռանկյունի անհավասարություն

Ոչ այլասերված եռանկյան մեջ նրա երկու կողմերի երկարությունների գումարը մեծ է երրորդ կողմի երկարությունից, այլասերված եռանկյունում՝ հավասար։ Այլ կերպ ասած, եռանկյան կողմերի երկարությունները կապված են հետևյալ անհավասարություններով.

Եռանկյունի անհավասարությունը չափումների աքսիոմներից մեկն է։

Եռանկյունի անկյունների գումարի թեորեմ

Սինուսի թեորեմ

,

որտեղ R-ն եռանկյան շուրջը շրջագծված շրջանագծի շառավիղն է: Թեորեմից հետևում է, որ եթե ա< b < c, то α < β < γ.

Կոսինուսների թեորեմ

Շոշափող թեորեմ

Այլ հարաբերակցություններ

Եռանկյունու մետրային հարաբերակցությունները տրվում են հետևյալի համար.

Եռանկյունների լուծում

Եռանկյան անհայտ կողմերի և անկյունների հաշվարկը, հիմնվելով հայտնիների վրա, պատմականորեն անվանվել է «եռանկյունի լուծումներ»։ Այս դեպքում օգտագործվում են վերը նշված ընդհանուր եռանկյունաչափական թեորեմները։

Եռանկյունի մակերեսը

Հատուկ դեպքեր Նշում

Տարածքի համար պահպանվում են հետևյալ անհավասարությունները.

Տիեզերքում եռանկյան տարածքի հաշվարկը վեկտորների միջոցով

Եռանկյան գագաթները թող լինեն , , , կետերում:

Ներկայացնենք տարածքի վեկտորը: Այս վեկտորի երկարությունը հավասար է եռանկյան մակերեսին, և այն ուղղվում է եռանկյան հարթության նորմալ երկայնքով.

Թող , որտեղ , , են եռանկյան ելքերը կոորդինատային հարթությունների վրա: Որտեղ

և նույնպես

Եռանկյան մակերեսը կազմում է.

Այլընտրանք է կողմերի երկարությունների հաշվարկը (օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը), այնուհետև օգտագործելով Հերոնի բանաձևը։

Եռանկյունի թեորեմներ

Դեզարգի թեորեմԵթե ​​երկու եռանկյուններ հեռանկարային են (եռանկյունների համապատասխան գագաթներով անցնող ուղիղները հատվում են մեկ կետում), ապա դրանց համապատասխան կողմերը հատվում են մեկ ուղիղ գծի վրա։

Սոնդի թեորեմեթե երկու եռանկյունները հեռանկարային են և ուղղահայաց (ուղղահայացները, որոնք իջնում ​​են մեկ եռանկյան գագաթներից դեպի եռանկյան համապատասխան գագաթներին հակառակ կողմերը, և հակառակը), ապա երկու ուղղահայաց կենտրոնները (այս ուղղանկյունների հատման կետերը) և հեռանկարային կենտրոնը։ պառկեք հեռանկարային առանցքին ուղղահայաց մեկ ուղիղ գծի վրա (Ուղիղ գիծ՝ Դեսարգի թեորեմից):

Այսօր մենք գնում ենք Երկրաչափության երկիր, որտեղ կծանոթանանք տարբեր տեսակներեռանկյուններ.

Հաշվի առեք երկրաչափական պատկերներև դրանց մեջ գտե՛ք «լրացուցիչը» (նկ. 1):

Բրինձ. 1. Օրինակ՝ նկարազարդում

Մենք տեսնում ենք, որ թիվ 1, 2, 3, 5 թվերը քառանկյուն են։ Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի իր անունը (նկ. 2):

Բրինձ. 2. Քառանկյուններ

Սա նշանակում է, որ «լրացուցիչ» պատկերը եռանկյուն է (նկ. 3):

Բրինձ. 3. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եռանկյունը այն պատկերն է, որը բաղկացած է երեք կետերից, որոնք չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա, և երեք գծային հատվածներից, որոնք զույգերով միացնում են այդ կետերը:

Կետերը կոչվում են եռանկյունի գագաթները, հատվածները՝ իր կուսակցություններ. Եռանկյան կողմերը ձևավորվում են Եռանկյան գագաթներում երեք անկյուն կա.

Եռանկյան հիմնական հատկանիշներն են երեք կողմ և երեք անկյուն:Եռանկյունները դասակարգվում են ըստ անկյան սուր, ուղղանկյուն և բութ:

Եռանկյունը կոչվում է սուր-անկյուն, եթե նրա բոլոր երեք անկյունները սուր են, այսինքն՝ 90 °-ից պակաս (նկ. 4):

Բրինձ. 4. Սուր եռանկյուն

Եռանկյունը կոչվում է ուղղանկյուն, եթե նրա անկյուններից մեկը 90° է (նկ. 5):

Բրինձ. 5. Ուղղանկյուն եռանկյուն

Եռանկյունը կոչվում է բութ, եթե նրա անկյուններից մեկը բութ է, այսինքն՝ 90°-ից մեծ (նկ. 6):

Բրինձ. 6. Բութ եռանկյուն

Ըստ հավասար կողմերի քանակի՝ եռանկյունները լինում են հավասարակողմ, հավասարաչափ, մասշտաբային։

Հավասարաչափ եռանկյունը եռանկյուն է, որի երկու կողմերը հավասար են (նկ. 7):

Բրինձ. 7. Հավասարաչափ եռանկյուն

Այս կողմերը կոչվում են կողային, երրորդ կողմը - հիմք. Հավասարաչափ եռանկյունում հիմքի անկյունները հավասար են:

Հավասարաչափ եռանկյուններն են սուր և բութ(նկ. 8) .

Բրինձ. 8. Սուր և բութ հավասարաչափ եռանկյուններ

Կոչվում է հավասարակողմ եռանկյուն, որի բոլոր երեք կողմերը հավասար են (նկ. 9):

Բրինձ. 9. Հավասարակողմ եռանկյուն

Հավասարակողմ եռանկյան մեջ բոլոր անկյունները հավասար են. Հավասարակողմ եռանկյուններմիշտ սուր անկյունային.

Եռանկյունը կոչվում է բազմակողմանի, որի բոլոր երեք կողմերն ունեն տարբեր երկարություններ (նկ. 10):

Բրինձ. 10. Scalene եռանկյունի

Կատարեք առաջադրանքը: Այս եռանկյունները բաժանեք երեք խմբի (նկ. 11):

Բրինձ. 11. Առաջադրանքի նկարազարդում

Նախ բաշխենք ըստ անկյունների մեծության։

Սուր եռանկյուններ՝ թիվ 1, թիվ 3։

Ուղղանկյուն եռանկյուններ՝ #2, #6:

Բութ եռանկյուններ՝ #4, #5:

Այս եռանկյունները բաժանվում են խմբերի՝ ըստ հավասար կողմերի թվի։

Scalene եռանկյուններ՝ No 4, No 6։

Հավասարաչափ եռանկյուններ՝ թիվ 2, թիվ 3, թիվ 5։

Հավասարակողմ եռանկյուն՝ թիվ 1։

Վերանայեք գծագրերը:

Մտածեք, թե ինչ մետաղալարից է կազմված յուրաքանչյուր եռանկյունին (նկ. 12):

Բրինձ. 12. Առաջադրանքի նկարազարդում

Դուք կարող եք վիճել այսպես.

Լարի առաջին կտորը բաժանված է երեք հավասար մասերի, այնպես որ կարող եք դրանից հավասարակողմ եռանկյունի կազմել։ Նկարում ներկայացված է երրորդը:

Երկրորդ կտոր մետաղալարը բաժանված է երեք տարբեր մասերի, այնպես որ կարող եք դրանից սկալեն եռանկյունի կազմել: Այն առաջինը պատկերված է նկարում։

Երրորդ մետաղալարը բաժանված է երեք մասի, որտեղ երկու մասերն ունեն նույն երկարությունը, այնպես որ կարող եք դրանից հավասարաչափ եռանկյունի կազմել։ Նկարում ցուցադրված է երկրորդը:

Այսօր դասին մենք ծանոթացանք տարբեր տեսակի եռանկյունների հետ։

Մատենագիտություն

1. Մ.Ի. Մորո, Մ.Ա. Բանտովա և ուրիշներ Մաթեմատիկա՝ Դասագիրք. Դասարան 3. 2 մասից, մաս 1. - Մ .: «Լուսավորություն», 2012 թ.
2. Մ.Ի. Մորո, Մ.Ա. Բանտովա և ուրիշներ Մաթեմատիկա՝ Դասագիրք. Դասարան 3. 2 մասից, մաս 2. - Մ .: «Լուսավորություն», 2012 թ.
3. Մ.Ի. Մորո. Մաթեմատիկայի դասեր. Ուղեցույցներուսուցչի համար. 3-րդ դասարան - Մ.: Կրթություն, 2012:
4. Կարգավորող փաստաթուղթ. Ուսուցման արդյունքների մոնիտորինգ և գնահատում. - Մ.: «Լուսավորություն», 2011 թ.
5. «Ռուսաստանի դպրոց». Ծրագրեր տարրական դպրոց. - Մ.: «Լուսավորություն», 2011 թ.
6. Ս.Ի. Վոլկովը։ Մաթեմատիկա: Ստուգման աշխատանք. 3-րդ դասարան - Մ.: Կրթություն, 2012:
7. Վ.Ն. Ռուդնիցկայա. Թեստեր. - Մ.՝ «Քննություն», 2012 թ.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Տնային աշխատանք

1. Ավարտի՛ր արտահայտությունները։

ա) Եռանկյունը այն պատկերն է, որը բաղկացած է ...-ից, չպառկած նույն ուղիղ գծի վրա, և ...-ից, որոնք զույգերով միացնում են այս կետերը:

բ) Կետերը կոչվում են … , հատվածները՝ իր … . Եռանկյան կողմերը ձևավորվում են եռանկյան գագաթներում ….

գ) Ըստ անկյան մեծության՝ եռանկյունները լինում են ..., ..., ....

դ) Ըստ հավասար կողմերի թվի եռանկյունները լինում են ..., ..., ....

2. Նկարել

ա) ուղղանկյուն եռանկյուն

բ) սուր եռանկյունի;

գ) բութ եռանկյունի;

դ) հավասարակողմ եռանկյուն.

ե) սկալեն եռանկյունի;

ե) հավասարաչափ եռանկյուն.

3. Դասի թեմայով առաջադրանք կազմեք ձեր ընկերների համար:

Երկրաչափության գիտությունը մեզ ասում է, թե ինչ է եռանկյունը, քառակուսին, խորանարդը: AT ժամանակակից աշխարհայն դպրոցներում ուսումնասիրում են բոլորն առանց բացառության։ Նաև գիտությունը, որն ուղղակիորեն ուսումնասիրում է, թե ինչ է եռանկյունը և ինչ հատկություններ ունի, դա եռանկյունաչափությունն է: Նա մանրամասնորեն ուսումնասիրում է տվյալների հետ կապված բոլոր երևույթները: Ինչ է եռանկյունին այսօր մենք կխոսենք մեր հոդվածում: Նրանց տեսակները կնկարագրվեն ստորև, ինչպես նաև դրանց հետ կապված որոշ թեորեմներ։

Ի՞նչ է եռանկյունը: Սահմանում

Սա հարթ բազմանկյուն է: Այն ունի երեք անկյուն, ինչը պարզ է իր անունից։ Այն ունի նաև երեք կողմ և երեք գագաթ, որոնցից առաջինը հատվածներ են, երկրորդը՝ կետեր։ Իմանալով, թե երկու անկյունները ինչին են հավասար, կարող եք գտնել երրորդը՝ 180 թվից հանելով առաջին երկուսի գումարը։

Ի՞նչ են եռանկյունները:

Նրանք կարող են դասակարգվել ըստ տարբեր չափանիշների:

Առաջին հերթին դրանք բաժանվում են սուր անկյունային, բութանկյուն և ուղղանկյուն: Առաջիններն ունեն սուր անկյուններ, այսինքն՝ 90 աստիճանից պակաս: Բութ անկյուններում անկյուններից մեկը բութ է, այսինքն՝ մեկը, որը հավասար է 90 աստիճանից ավելի, մյուս երկուսը սուր են։ Սուր եռանկյունները ներառում են նաև հավասարակողմ եռանկյուններ: Նման եռանկյունները ունեն բոլոր կողմերն ու անկյունները հավասար: Նրանք բոլորը հավասար են 60 աստիճանի, դա կարելի է հեշտությամբ հաշվարկել՝ բոլոր անկյունների գումարը (180) բաժանելով երեքի:

Ուղղանկյուն եռանկյուն

Անհնար է չխոսել այն մասին, թե ինչ է ուղղանկյուն եռանկյունը։

Նման գործիչը ունի մեկ անկյուն, որը հավասար է 90 աստիճանի (ուղիղ), այսինքն՝ նրա երկու կողմերն ուղղահայաց են։ Մյուս երկու անկյունները սուր են: Նրանք կարող են լինել հավասար, ապա դա կլինի հավասարաչափ: Պյութագորասի թեորեմը կապված է ուղղանկյուն եռանկյունու հետ։ Նրա օգնությամբ դուք կարող եք գտնել երրորդ կողմը, իմանալով առաջին երկուսը: Այս թեորեմի համաձայն, եթե մի ոտքի քառակուսին գումարեք մյուսի քառակուսին, կարող եք ստանալ հիպոթենուսի քառակուսին: Ոտքի քառակուսին կարելի է հաշվարկել՝ հանելով հայտնի ոտքի քառակուսին հիպոթենուսի քառակուսուց: Խոսելով այն մասին, թե ինչ է եռանկյունը, մենք կարող ենք հիշել հավասարաչափերը: Սա մեկն է, որի կողմերից երկուսը հավասար են, և երկու անկյունները նույնպես հավասար են:

Ի՞նչ է ոտքը և հիպոթենուսը:

Ոտքը եռանկյան այն կողմերից մեկն է, որը կազմում է 90 աստիճանի անկյուն։ Հիպոթենուսը մնացած կողմն է, որը հակառակն է Աջ անկյունը. Դրանից ուղղահայաց կարելի է իջեցնել ոտքի վրա: Հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունը կոչվում է կոսինուս, իսկ հակառակը՝ սինուս։

- Որո՞նք են դրա առանձնահատկությունները:

Այն ուղղանկյուն է։ Նրա ոտքերը երեք և չորս են, իսկ հիպոթենուսը՝ հինգ։ Եթե ​​տեսաք, որ այս եռանկյան ոտքերը հավասար են երեքի և չորսի, կարող եք վստահ լինել, որ հիպոթենուսը հավասար կլինի հինգի։ Նաև այս սկզբունքով կարելի է հեշտությամբ որոշել, որ ոտքը հավասար կլինի երեքի, եթե երկրորդը հավասար է չորսի, իսկ հիպոթենուսը՝ հինգ։ Այս պնդումն ապացուցելու համար կարող եք կիրառել Պյութագորասի թեորեմը։ Եթե ​​երկու ոտքը 3 և 4 է, ապա 9 + 16 \u003d 25, 25-ի արմատը 5 է, այսինքն՝ հիպոթենուսը 5 է։ Նաև եգիպտական ​​եռանկյունը կոչվում է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի կողմերը 6, 8 և 10 են։ ; 9, 12 և 15 և այլ թվեր՝ 3։4։5 հարաբերակցությամբ։

Էլ ի՞նչ կարող է լինել եռանկյունը:

Եռանկյունները կարող են լինել նաև մակագրված և շրջագծված: Այն պատկերը, որի շուրջ նկարագրված է շրջանագիծը, կոչվում է ներգրված, նրա բոլոր գագաթները շրջանագծի վրա ընկած կետեր են: Շրջապատված եռանկյունն այն եռանկյունն է, որի մեջ մակագրված է շրջան։ Նրա բոլոր կողմերը որոշակի կետերում շփվում են նրա հետ։

Ինչպես է

Ցանկացած գործչի տարածքը չափվում է քառակուսի միավորներ(քառակուսի մետր, քառակուսի միլիմետր, քառակուսի սանտիմետր, քառակուսի դեցիմետր և այլն) Այս արժեքը կարող է հաշվարկվել տարբեր ձևերով՝ կախված եռանկյունու տեսակից: Անկյուններով ցանկացած գործչի մակերեսը կարելի է գտնել՝ նրա կողմը բազմապատկելով դրա վրա ընկած ուղղահայացով: հակառակ անկյուն, և այս թիվը բաժանելով երկուսի: Այս արժեքը կարող եք գտնել նաև երկու կողմերը բազմապատկելով: Այնուհետև այս թիվը բազմապատկեք այս կողմերի միջև ընկած անկյան սինուսով և բաժանեք այն երկուսի: Իմանալով եռանկյան բոլոր կողմերը, բայց չիմանալով նրա անկյունները, կարող եք տարածքը գտնել այլ կերպ: Դա անելու համար անհրաժեշտ է գտնել պարագծի կեսը: Այնուհետև այս թվից հերթափոխով հանեք տարբեր կողմերը և բազմապատկեք ստացված չորս արժեքները: Հաջորդը, պարզեք դուրս եկած թիվը: Ներգրված եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել՝ բազմապատկելով բոլոր կողմերը և բաժանելով ստացված թիվը, որով շրջագծված է նրա շուրջ չորս անգամ։

Նկարագրված եռանկյունու տարածքը հայտնաբերվում է այսպես. մենք պարագծի կեսը բազմապատկում ենք դրա մեջ ներգծված շրջանագծի շառավղով: Եթե ​​այդ դեպքում նրա մակերեսը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ. քառակուսի ենք դնում, ստացված թիվը բազմապատկում ենք երեքի արմատով, այնուհետև այս թիվը բաժանում ենք չորսի: Նմանապես, դուք կարող եք հաշվարկել եռանկյան բարձրությունը, որի բոլոր կողմերը հավասար են, դրա համար անհրաժեշտ է նրանցից մեկը բազմապատկել երեքի արմատով, այնուհետև այս թիվը բաժանել երկուսի:

Եռանկյունի թեորեմներ

Հիմնական թեորեմները, որոնք կապված են այս գործչի հետ, վերը նկարագրված Պյութագորասի թեորեմն են և կոսինուսները։ Երկրորդը (սինուսը) այն է, որ եթե որևէ կողմ բաժանեք նրան հակառակ անկյան սինուսով, ապա կարող եք ստանալ շուրջը նկարագրված շրջանագծի շառավիղը, որը բազմապատկվում է երկուսով: Երրորդը (կոսինուսը) այն է, որ եթե երկու կողմերի քառակուսիների գումարը հանվի նրանց արտադրյալից, բազմապատկենք երկուսով և նրանց միջև գտնվող անկյան կոսինուսով, ապա կստացվի երրորդ կողմի քառակուսին։

Դալի եռանկյուն - ինչ է դա:

Շատերը, բախվելով այս հայեցակարգին, սկզբում կարծում են, որ սա ինչ-որ սահմանում է երկրաչափության մեջ, բայց դա ամենևին էլ այդպես չէ: Դալի եռանկյունին է ընդհանուր անուներեք վայրեր, որոնք սերտորեն կապված են հայտնի նկարչի կյանքի հետ. Նրա «գագաթները» տունն է, որտեղ ապրել է Սալվադոր Դալին, դղյակը, որը նա նվիրել է իր կնոջը և սյուրռեալիստական ​​նկարների թանգարանը։ Այս վայրերով շրջագայության ընթացքում դուք կարող եք շատ բան սովորել: հետաքրքիր փաստերամբողջ աշխարհում հայտնի այս յուրօրինակ ստեղծագործ արտիստի մասին։