Trigonometrijske formule zbroj sinusa i kosinusa. Kupite diplomu visokog obrazovanja jeftino

Najčešća pitanja

Je li moguće izraditi pečat na dokumentu prema priloženom uzorku? Odgovor Da, moguće je. Pošaljite skeniranu kopiju ili fotografiju na našu e-mail adresu dobra kvaliteta a mi ćemo napraviti potreban duplikat.

Koje vrste plaćanja prihvaćate? Odgovor Dokument možete platiti u trenutku primitka od strane kurirske službe, nakon što provjerite ispravnost popunjavanja i kvalitetu diplome. To se također može učiniti u uredima poštanskih tvrtki koje nude usluge pouzeća.
Svi uvjeti dostave i plaćanja dokumenata opisani su u odjeljku "Plaćanje i dostava". Spremni smo saslušati i Vaše prijedloge o uvjetima dostave i plaćanja dokumenta.

Mogu li biti siguran da nakon narudžbe nećete nestati s mojim novcem? Odgovor Imamo dosta dugo iskustvo u području izrade diploma. Imamo nekoliko stranica koje se stalno ažuriraju. Naši stručnjaci rade u različitim dijelovima zemlje, izrađujući preko 10 dokumenata dnevno. Tijekom godina naši su dokumenti pomogli mnogim ljudima da riješe probleme sa zapošljavanjem ili pređu na više visoko plaćen posao. Zaslužili smo povjerenje i priznanje među kupcima, tako da nema razloga da to činimo. Štoviše, to je jednostavno nemoguće učiniti fizički: plaćate narudžbu u trenutku kada je primite u ruke, nema plaćanja unaprijed.

Mogu li naručiti diplomu s bilo kojeg sveučilišta? Odgovor Općenito, da. Na ovom području radimo skoro 12 godina. Za to vrijeme formirana je gotovo potpuna baza dokumenata koje izdaju gotovo sva sveučilišta u zemlji i inozemstvu. različite godine izdavanje. Sve što trebate je odabrati sveučilište, specijalnost, dokument i ispuniti obrazac za narudžbu.

Što trebam učiniti ako pronađem pravopisne i pogreške u dokumentu? Odgovor Prilikom zaprimanja dokumenta od naše kurirske ili poštanske tvrtke, preporučamo da pažljivo provjerite sve detalje. Ako se pronađe tipkarska pogreška, pogreška ili netočnost, imate pravo ne preuzeti diplomu, a uočene nedostatke morate osobno naznačiti kuriru ili u pisanje slanjem pisma na email.
U najkraćem mogućem roku ispravit ćemo dokument i ponovno ga poslati na navedenu adresu. Naravno, dostavu će platiti naša tvrtka.
Kako bismo izbjegli takve nesporazume, prije popunjavanja originalnog obrasca, šaljemo izgled budućeg dokumenta kupcu poštom na provjeru i odobrenje. završna verzija. Prije slanja dokumenta kurirskom ili poštom, također radimo dodatna fotografija i video (uključujući ultraljubičasto svjetlo) tako da imate vizualnu predodžbu o tome što ćete na kraju dobiti.

Što trebate učiniti da biste naručili diplomu svoje tvrtke? Odgovor Za naručivanje dokumenta (svjedodžbe, diplome, akademske svjedodžbe i sl.), morate ispuniti online obrazac za narudžbu na našoj web stranici ili navesti svoju e-mail adresu kako bismo vam poslali upitnik koji trebate ispuniti i poslati natrag k nama.
Ako ne znate što naznačiti u bilo kojem polju narudžbenice/upitnika, ostavite ih praznim. Stoga ćemo sve informacije koje nedostaju razjasniti telefonom.

Najnovije recenzije

Aleksej:

Trebao sam dobiti diplomu da bih se zaposlio kao menadžer. I što je najvažnije, imam i iskustvo i vještine, ali bez dokumenta ne mogu, zaposlit ću se bilo gdje. Jednom na vašoj stranici, ipak sam odlučio kupiti diplomu. Diploma je završena za 2 dana! Sada imam posao o kojem nisam ni sanjao!! Hvala vam!

Formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa za dva kuta α i β omogućuju prelazak od zbroja naznačenih kutova na umnožak kutova α + β 2 i α - β 2 . Odmah napominjemo da ne smijete miješati formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa s formulama za sinuse i kosinuse zbroja i razlike. U nastavku navodimo ove formule, navodimo njihovu derivaciju i prikazujemo primjere njihove primjene na određene probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa

Zapišimo kako izgledaju formule zbroja i razlike za sinuse i kosinuse

Formule zbroja i razlike za sinuse

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Formule zbroja i razlike za kosinuse

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α 2

Ove formule vrijede za sve kutove α i β. Kutovi α + β 2 i α - β 2 nazivaju se poluzbroj i polurazlika kutova alfa i beta. Za svaku formulu dajemo formulaciju.

Definicije formula zbroja i razlike za sinuse i kosinuse

Zbroj sinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku sinusa poluzbroja ovih kutova i kosinusa polurazlike.

Razlika sinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku sinusa polurazlike ovih kutova i kosinusa poluzbroja.

Zbroj kosinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku kosinusa poluzbroja i kosinusa polurazlike ovih kutova.

Razlika kosinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku sinusa poluzbroja i kosinusa polurazlike ovih kutova, uzetih s negativnim predznakom.

Izvođenje formula za zbroj i razliku sinusa i kosinusa

Za izvođenje formula za zbroj i razliku sinusa i kosinusa dvaju kutova koriste se formule zbrajanja. Predstavljamo ih u nastavku

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Same kutove također predstavljamo kao zbroj poluzbroja i polurazlika.

α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + - β

Nastavljamo izravno s izvođenjem formula zbroja i razlike za sin i cos.

Derivacija formule za zbroj sinusa

U zbroju sin α + sin β, zamjenjujemo α i β s izrazima za ove kutove dane gore. Dobiti

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Sada primjenjujemo formulu zbrajanja na prvi izraz, a sinusnu formulu razlike kutova na drugi (vidi gornje formule)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Koraci za izvođenje ostalih formula su slični.

Izvođenje formule za razliku sinusa

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Derivacija formule za zbroj kosinusa

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Derivacija formule kosinusne razlike

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Primjeri rješavanja praktičnih problema

Za početak ćemo provjeriti jednu od formula zamjenom određenih vrijednosti kuta u nju. Neka je α = π 2 , β = π 6 . Izračunajmo vrijednost zbroja sinusa ovih kutova. Prvo se poslužimo tablicom osnovnih vrijednosti trigonometrijske funkcije, a zatim primijeni formulu za zbroj sinusa.

Primjer 1. Provjera formule za zbroj sinusa dvaju kutova

α \u003d π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin π 2 + sin π 6 \u003d 2 sin π 2 + π 6 2 π cos π 2 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

Razmotrimo sada slučaj kada se vrijednosti kutova razlikuju od osnovnih vrijednosti prikazanih u tablici. Neka je α = 165°, β = 75°. Izračunajmo vrijednost razlike između sinusa ovih kutova.

Primjer 2. Primjena formule sinusne razlike

α = 165 ° , β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Koristeći formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa, možete prijeći od zbroja ili razlike na umnožak trigonometrijskih funkcija. Često se te formule nazivaju formulama za prijelaz sa zbroja na umnožak. Formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa se široko koriste u rješavanju trigonometrijske jednadžbe a kod pretvaranja trigonometrijskih izraza.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Kosinus zbroja i razlike dvaju kutova

U ovom dijelu će se dokazati sljedeće dvije formule:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Kosinus zbroja (razlike) dvaju kutova jednak je umnošku kosinusa tih kutova minus (plus) umnožak sinusa tih kutova.

Bit će nam zgodnije započeti s dokazom formule (2). Radi jednostavnosti, pretpostavimo prvo da su kutovi α i β zadovoljiti sljedeće uvjete:

1) svaki od ovih kutova je nenegativan i manji od 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Neka je pozitivni dio osi 0x zajednička početna strana kutova α i β .

Označimo krajnje strane ovih kutova kao 0A, odnosno 0B. Očito kut α - β može se smatrati kutom za koji je potrebno zarotirati snop 0B oko točke 0 u smjeru suprotnom od kazaljke na satu tako da se njegov smjer poklapa sa smjerom snopa 0A.

Na zrakama 0A i 0B označavamo točke M i N, koje su udaljene 1 od ishodišta koordinata 0, tako da je 0M = 0N = 1.

U koordinatnom sustavu x0y točka M ima koordinate ( cosα, sinα), a točka N - koordinate ( cos β , sin β). Dakle, kvadrat udaljenosti između njih je:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

U izračunima smo koristili identitet

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Sada razmotrite drugi koordinatni sustav B0C, koji se dobiva rotacijom osi 0x i 0y oko točke 0 u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za kut β .

U ovom koordinatnom sustavu točka M ima koordinate (cos ( α - β ), grijeh ( α - β )), a točka su N-koordinate (1,0). Dakle, kvadrat udaljenosti između njih je:

d 2 2 \u003d 2 + 2 \u003d cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ sin 2 (α - β) \u003d 2.

Ali udaljenost između točaka M i N ne ovisi o tome koji koordinatni sustav razmatramo te točke. Tako

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Ovdje slijedi formula (2).

Sada se trebamo prisjetiti ona dva ograničenja koja smo nametnuli radi lakšeg predstavljanja na uglovima α i β .

Zahtjev da svaki od uglova α i β bila nenegativna, nije baš značajna. Uostalom, svakom od ovih kutova može se dodati kut koji je višekratnik 2n, što ni na koji način neće utjecati na valjanost formule (2). Slično, od svakog od zadanih kutova možete oduzeti kut koji je višekratnik 2π. Stoga se može smatrati da 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Stanje α > β . Doista, ako α < β , onda β >α ; dakle, vodeći računa o ravnomjernosti funkcije cos x , dobivamo:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

što se u biti poklapa s formulom (2). Dakle, formula

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

vrijedi za sve kutove α i β . Konkretno, zamjenom β na - β a s obzirom da je funkcija cosx je paran, a funkcija grijehx čudno, dobivamo:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

\u003d cos α cos β - sin α sin β,

što dokazuje formulu (1).

Dakle, formule (1) i (2) su dokazane.

Primjeri.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =