दोहरे कोण का मान। त्रिकोणमिति सूत्र

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या दिए गए नमूने के अनुसार किसी दस्तावेज़ पर मुहर लगाना संभव है? जवाब हाँ, यह संभव है। स्कैन की हुई कॉपी या फोटो हमारे ईमेल पते पर भेजें अच्छी गुणवत्ताऔर हम आवश्यक डुप्लिकेट बनाएंगे।

आप किस प्रकार का भुगतान स्वीकार करते हैं? जवाब भरने की शुद्धता और डिप्लोमा की गुणवत्ता की जांच करने के बाद, आप कूरियर द्वारा रसीद के समय दस्तावेज़ के लिए भुगतान कर सकते हैं। यह कैश ऑन डिलीवरी सेवाओं की पेशकश करने वाली डाक कंपनियों के कार्यालय में भी किया जा सकता है।
दस्तावेजों के वितरण और भुगतान की सभी शर्तें "भुगतान और वितरण" अनुभाग में वर्णित हैं। हम दस्तावेज़ के लिए वितरण और भुगतान की शर्तों पर आपके सुझावों को सुनने के लिए भी तैयार हैं।

क्या मुझे यकीन है कि ऑर्डर देने के बाद आप मेरे पैसे के साथ गायब नहीं होंगे? जवाब हमारे पास डिप्लोमा उत्पादन के क्षेत्र में काफी लंबा अनुभव है। हमारे पास कई साइटें हैं जो लगातार अपडेट की जाती हैं। हमारे विशेषज्ञ देश के विभिन्न हिस्सों में काम करते हैं, एक दिन में 10 से अधिक दस्तावेज़ तैयार करते हैं। इन वर्षों में, हमारे दस्तावेज़ों ने कई लोगों को रोज़गार की समस्याओं को हल करने या और अधिक में जाने में मदद की है ऊँची कमाई वाली नौकरी. हमने ग्राहकों के बीच विश्वास और पहचान अर्जित की है, इसलिए हमारे लिए ऐसा करने का कोई कारण नहीं है। इसके अलावा, इसे भौतिक रूप से करना असंभव है: आप इसे अपने हाथों में प्राप्त करने के समय अपने आदेश के लिए भुगतान करते हैं, कोई पूर्व भुगतान नहीं है।

क्या मैं किसी विश्वविद्यालय से डिप्लोमा मंगवा सकता हूँ? जवाब सामान्य तौर पर, हाँ। हम इस क्षेत्र में लगभग 12 वर्षों से काम कर रहे हैं। इस दौरान देश-विदेश के लगभग सभी विश्वविद्यालयों द्वारा जारी दस्तावेजों का लगभग पूरा डेटाबेस तैयार कर लिया गया है। अलग सालजारी करने, निर्गमन। आपको बस एक विश्वविद्यालय, विशेषता, दस्तावेज़ चुनना है और एक ऑर्डर फॉर्म भरना है।

अगर मुझे किसी दस्तावेज़ में टाइपो और त्रुटियां मिलती हैं तो मुझे क्या करना चाहिए? जवाब हमारे कूरियर या डाक कंपनी से कोई दस्तावेज़ प्राप्त करते समय, हम अनुशंसा करते हैं कि आप सभी विवरणों की सावधानीपूर्वक जांच करें। यदि कोई टाइपो, त्रुटि या अशुद्धि पाई जाती है, तो आपको डिप्लोमा नहीं लेने का अधिकार है, और आपको व्यक्तिगत रूप से कूरियर या में पाई गई कमियों को इंगित करना होगा लिखनाको पत्र भेजकर ईमेल.
जितनी जल्दी हो सके, हम दस्तावेज़ को ठीक कर देंगे और उसे निर्दिष्ट पते पर भेज देंगे। बेशक, शिपिंग का भुगतान हमारी कंपनी द्वारा किया जाएगा।
ऐसी गलतफहमी से बचने के लिए, मूल फॉर्म भरने से पहले, हम भविष्य के दस्तावेज़ का एक लेआउट ग्राहक के मेल पर सत्यापन और अनुमोदन के लिए भेजते हैं। अंतिम संस्करण. कूरियर या मेल द्वारा दस्तावेज़ भेजने से पहले, हम भी करते हैं अतिरिक्त फोटोऔर वीडियो (पराबैंगनी प्रकाश सहित) ताकि आपको अंत में जो मिलता है उसका एक दृश्य विचार हो।

अपनी कंपनी से डिप्लोमा ऑर्डर करने के लिए आपको क्या करने की आवश्यकता है? जवाब एक दस्तावेज़ (प्रमाण पत्र, डिप्लोमा, शैक्षणिक प्रमाण पत्र, आदि) का आदेश देने के लिए, आपको हमारी वेबसाइट पर एक ऑनलाइन ऑर्डर फॉर्म भरना होगा या अपना ई-मेल प्रदान करना होगा ताकि हम आपको एक प्रश्नावली फॉर्म भेज सकें, जिसे आपको भरने और भेजने की आवश्यकता है हमारे पास वापस।
यदि आप नहीं जानते कि ऑर्डर फॉर्म/प्रश्नावली के किसी भी क्षेत्र में क्या इंगित करना है, तो उन्हें खाली छोड़ दें। इसलिए, हम सभी लापता जानकारी को फोन पर स्पष्ट करेंगे।

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प्रेमी:

आपने हमारे बेटे को नौकरी से निकाले जाने से बचाया! तथ्य यह है कि स्कूल छोड़ने के बाद, बेटा सेना में चला गया। और जब वह लौटा, तो वह ठीक नहीं होना चाहता था। बिना डिग्री के काम किया। लेकिन हाल ही में उन्होंने उन सभी को आग लगाना शुरू कर दिया जिनके पास "क्रस्ट" नहीं है। इसलिए, हमने आपसे संपर्क करने का फैसला किया और हमें इसका पछतावा नहीं हुआ! अब वह शांति से काम करता है और किसी चीज से नहीं डरता! शुक्रिया!

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क्या दिए गए नमूने के अनुसार किसी दस्तावेज़ पर मुहर लगाना संभव है? जवाब हाँ, यह संभव है। हमारे ईमेल पते पर एक स्कैन की हुई कॉपी या एक अच्छी गुणवत्ता वाली फोटो भेजें, और हम आवश्यक डुप्लिकेट बना देंगे।

आप किस प्रकार का भुगतान स्वीकार करते हैं? जवाब भरने की शुद्धता और डिप्लोमा की गुणवत्ता की जांच करने के बाद, आप कूरियर द्वारा रसीद के समय दस्तावेज़ के लिए भुगतान कर सकते हैं। यह कैश ऑन डिलीवरी सेवाओं की पेशकश करने वाली डाक कंपनियों के कार्यालय में भी किया जा सकता है।
दस्तावेजों के वितरण और भुगतान की सभी शर्तें "भुगतान और वितरण" अनुभाग में वर्णित हैं। हम दस्तावेज़ के लिए वितरण और भुगतान की शर्तों पर आपके सुझावों को सुनने के लिए भी तैयार हैं।

क्या मुझे यकीन है कि ऑर्डर देने के बाद आप मेरे पैसे के साथ गायब नहीं होंगे? जवाब हमारे पास डिप्लोमा उत्पादन के क्षेत्र में काफी लंबा अनुभव है। हमारे पास कई साइटें हैं जो लगातार अपडेट की जाती हैं। हमारे विशेषज्ञ देश के विभिन्न हिस्सों में काम करते हैं, एक दिन में 10 से अधिक दस्तावेज़ तैयार करते हैं। पिछले कुछ वर्षों में, हमारे दस्तावेज़ों ने कई लोगों को उनकी रोज़गार की समस्याओं को हल करने या उच्च वेतन वाली नौकरियों में जाने में मदद की है। हमने अपने ग्राहकों के बीच विश्वास और मान्यता अर्जित की है, इसलिए हमारे लिए ऐसा करने का कोई कारण नहीं है। इसके अलावा, इसे भौतिक रूप से करना असंभव है: आप इसे अपने हाथों में प्राप्त करने के समय अपने आदेश के लिए भुगतान करते हैं, कोई पूर्व भुगतान नहीं है।

क्या मैं किसी विश्वविद्यालय से डिप्लोमा मंगवा सकता हूँ? जवाब सामान्य तौर पर, हाँ। हम इस क्षेत्र में लगभग 12 वर्षों से काम कर रहे हैं। इस दौरान देश के लगभग सभी विश्वविद्यालयों और विभिन्न वर्षों के लिए जारी किए गए दस्तावेजों का लगभग पूरा डेटाबेस तैयार किया गया है। आपको बस एक विश्वविद्यालय, विशेषता, दस्तावेज़ चुनना है और एक ऑर्डर फॉर्म भरना है।

अगर मुझे किसी दस्तावेज़ में टाइपो और त्रुटियां मिलती हैं तो मुझे क्या करना चाहिए? जवाब हमारे कूरियर या डाक कंपनी से कोई दस्तावेज़ प्राप्त करते समय, हम अनुशंसा करते हैं कि आप सभी विवरणों की सावधानीपूर्वक जांच करें। यदि कोई टाइपो, त्रुटि या अशुद्धि पाई जाती है, तो आपको डिप्लोमा न लेने का अधिकार है, और आपको व्यक्तिगत रूप से कूरियर या लिखित रूप में पाई गई कमियों को ई-मेल भेजकर इंगित करना होगा।
जितनी जल्दी हो सके, हम दस्तावेज़ को ठीक कर देंगे और उसे निर्दिष्ट पते पर भेज देंगे। बेशक, शिपिंग का भुगतान हमारी कंपनी द्वारा किया जाएगा।
इस तरह की गलतफहमी से बचने के लिए, मूल फॉर्म भरने से पहले, हम भविष्य के दस्तावेज़ का एक लेआउट ग्राहक के मेल पर सत्यापन और अंतिम संस्करण के अनुमोदन के लिए भेजते हैं। दस्तावेज़ को कूरियर या मेल द्वारा भेजने से पहले, हम एक अतिरिक्त फोटो और वीडियो (पराबैंगनी प्रकाश सहित) भी लेते हैं ताकि आपको एक दृश्य विचार हो कि आपको अंत में क्या मिलेगा।

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कोण α के त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके 2 α के मान वाले कोण के साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोण के कोटेंगेंट को व्यक्त करने के लिए डबल कोण सूत्रों का उपयोग किया जाता है। यह लेख सबूत के साथ सभी दोहरे कोण सूत्रों का परिचय देगा। सूत्रों के आवेदन के उदाहरणों पर विचार किया जाएगा। अंतिम भाग में त्रिगुण, चतुर्भुज कोणों के सूत्र दिखाए जाएंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

द्विकोण सूत्रों की सूची

द्विकोण सूत्रों को परिवर्तित करने के लिए, याद रखें कि त्रिकोणमिति में कोणों का n α संकेतन होता है, जहां n है प्राकृतिक संख्या, व्यंजक का मान बिना कोष्ठक के लिखा जाता है। इस प्रकार, sin n α को sin (n α) के समान अर्थ माना जाता है। संकेतन sin n α के साथ हमारे पास एक समान संकेतन (sin α) n है। नोटेशन का उपयोग n की शक्तियों वाले सभी त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए लागू होता है।

द्विकोण सूत्र निम्नलिखित हैं:

sin 2 α = 2 sin α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - टी जी 2 α सी टी जी 2 α - सी टी जी 2 α - 1 2 सी टी जी α

ध्यान दें कि ये sin और cos सूत्र कोण α के किसी भी मान के साथ लागू होते हैं। दोहरे कोण की स्पर्शरेखा का सूत्र α के किसी भी मान के लिए मान्य होता है, जहाँ t g 2 α समझ में आता है, अर्थात, α 4 + π 2 · z, z कोई पूर्णांक है। किसी भी α के लिए दोहरे कोण का कोटैंजेंट मौजूद होता है, जहां c t g 2 α को α 2 · z पर परिभाषित किया जाता है।

एक दोहरे कोण की कोज्या में एक दोहरे कोण का ट्रिपल अंकन होता है। वे सभी लागू होते हैं।

द्विकोण सूत्रों का प्रमाण

सूत्रों का प्रमाण अतिरिक्त सूत्रों से उत्पन्न होता है। हम योग की ज्या के लिए सूत्र लागू करते हैं:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β और योग cos की कोज्या (α + β) = cos α cos β - sin α sin β। मान लीजिए कि β = α , तो हम पाते हैं कि

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α और cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α = cos 2 α - sin2α

इस प्रकार, दोहरे कोण पाप 2 α \u003d 2 sin α cos α और cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α के साइन और कोसाइन के सूत्र सिद्ध होते हैं।

शेष सूत्र cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α और cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 लीड को cos 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, जब प्रतिस्थापित करते हैं 1 मूल पहचान से वर्गों के योग के साथ पाप 2 α + cos 2 α = 1 . हमें वह sin 2 α + cos 2 α = 1 प्राप्त होता है। तो 1 - 2 पाप 2 α \u003d पाप 2 α + cos 2 α - 2 पाप 2 α \u003d cos 2 α - पाप 2 α और 2 cos 2 α - 1 \u003d 2 cos 2 α - (पाप 2 α + cos 2 α) \u003d क्योंकि 2 α - पाप 2 α।

स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के दोहरे कोण के सूत्रों को साबित करने के लिए, हम समानताएं t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α और c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α लागू करते हैं। परिवर्तन के बाद, हमें वह मिलता है t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α - sin 2 α और c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α \u003d cos 2 α - पाप 2 α 2 · पाप α · cos α । व्यंजक को cos 2 α से विभाजित करें जहां cos 2 α ≠ 0 α के किसी भी मान के साथ जब t g α परिभाषित किया जाता है। एक अन्य व्यंजक को sin 2 α से विभाजित करें, जहां sin 2 α ≠ 0 α के किसी भी मान के साथ, जब c t g 2 α समझ में आता है। स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के लिए द्विकोण सूत्र को सिद्ध करने के लिए, हम प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं: