मरोड़ के साथ झुकने के लिए एक गोल पट्टी की गणना। स्थानिक (जटिल) मोड़

झुकने और मरोड़ (चित्र। 34.3) की कार्रवाई के तहत एक गोल पट्टी की गणना के मामले में, सामान्य और कतरनी तनावों को ध्यान में रखना आवश्यक है, क्योंकि दोनों मामलों में अधिकतम तनाव मान सतह पर होते हैं। गणना को ताकत के सिद्धांत के अनुसार किया जाना चाहिए, जटिल तनाव की स्थिति को समान रूप से खतरनाक सरल के साथ बदलना चाहिए।

सेक्शन में अधिकतम मरोड़ वाला तनाव

अनुभाग में अधिकतम झुकने का तनाव

शक्ति सिद्धांतों में से एक के अनुसार, बीम की सामग्री के आधार पर, खतरनाक खंड के लिए समान तनाव की गणना की जाती है और बीम की सामग्री के लिए स्वीकार्य झुकने वाले तनाव का उपयोग करके बीम की ताकत का परीक्षण किया जाता है।

एक गोल बीम के लिए, खंड मापांक क्षण इस प्रकार हैं:

ताकत के तीसरे सिद्धांत के अनुसार गणना करते समय, अधिकतम कतरनी तनाव का सिद्धांत, समकक्ष तनाव की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

सिद्धांत प्लास्टिक सामग्री पर लागू होता है।

ऊर्जा बनाने के सिद्धांत के अनुसार गणना करते समय, समतुल्य तनाव की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

सिद्धांत नमनीय और भंगुर सामग्री पर लागू होता है।

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल का सिद्धांत:

समतुल्य वोल्टेज जब के अनुसार गणना की जाती है आकार परिवर्तन की ऊर्जा के सिद्धांत:

समतुल्य क्षण कहाँ है।

ताकत की स्थिति

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1किसी दिए गए तनाव की स्थिति (चित्र। 34.4) के लिए, अधिकतम कतरनी तनाव की परिकल्पना का उपयोग करते हुए, सुरक्षा कारक की गणना करें यदि टी \u003d 360 एन / मिमी 2।

1. एक बिंदु पर तनाव की स्थिति क्या दर्शाती है और कैसे चित्रित की जाती है?

2. किन साइटों और किन वोल्टेज को मुख्य कहा जाता है?

3. तनाव की अवस्थाओं के प्रकारों की सूची बनाइए।

4. एक बिंदु पर विकृत अवस्था की क्या विशेषता है?

5. तन्य और भंगुर पदार्थों में किन मामलों में सीमा तनाव अवस्थाएँ होती हैं?

6. समतुल्य वोल्टेज क्या है?

7. शक्ति सिद्धांतों के उद्देश्य की व्याख्या करें।

8. अधिकतम अपरूपण प्रतिबल के सिद्धांत और विरूपण की ऊर्जा के सिद्धांत के अनुसार गणनाओं में समतुल्य प्रतिबलों की गणना के लिए सूत्र लिखिए। उनका उपयोग कैसे करें समझाएं।

व्याख्यान 35

विषय 2.7. बुनियादी विकृतियों के संयोजन के साथ परिपत्र क्रॉस सेक्शन की एक बार की गणना

सबसे बड़े स्पर्शरेखा तनाव और विरूपण की ऊर्जा की परिकल्पना के अनुसार समतुल्य तनावों के सूत्रों को जानें।

बुनियादी विकृतियों के संयोजन के साथ ताकत के लिए परिपत्र क्रॉस-सेक्शन के बीम की गणना करने में सक्षम होने के लिए।

समतुल्य प्रतिबलों की गणना के लिए सूत्र

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल की परिकल्पना के अनुसार समतुल्य प्रतिबल

विरूपण ऊर्जा परिकल्पना के अनुसार समतुल्य तनाव

झुकने और मरोड़ की संयुक्त कार्रवाई के तहत ताकत की स्थिति

कहाँ पे एम ईक्यूसमतुल्य क्षण है।

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल की परिकल्पना के अनुसार समतुल्य आघूर्ण

आकार परिवर्तन ऊर्जा परिकल्पना के अनुसार समतुल्य क्षण

शाफ्ट की गणना की सुविधा

अधिकांश शाफ्ट झुकने और मरोड़ विकृतियों के संयोजन का अनुभव करते हैं। शाफ्ट आमतौर पर एक गोल या कुंडलाकार खंड के साथ सीधी पट्टियाँ होती हैं। शाफ्ट की गणना करते समय, अनुप्रस्थ बलों की कार्रवाई से कतरनी तनाव को उनके महत्व के कारण ध्यान में नहीं रखा जाता है।

खतरनाक क्रॉस सेक्शन के लिए गणना की जाती है। शाफ्ट के स्थानिक लोडिंग के तहत, बलों की कार्रवाई की स्वतंत्रता की परिकल्पना का उपयोग किया जाता है और झुकने के क्षणों को दो परस्पर लंबवत विमानों में माना जाता है, और कुल झुकने का क्षण ज्यामितीय योग द्वारा निर्धारित किया जाता है।

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1एक गोल बीम के खतरनाक क्रॉस सेक्शन में, आंतरिक बल कारक उत्पन्न होते हैं (चित्र 35.1) एम एक्स; मेरे; एम जेड।

एम एक्सऔर मेरे- विमानों में झुकने के क्षण उहऔर zOxक्रमश; मज़ू- टोक़। सबसे बड़े अपरूपण प्रतिबल की परिकल्पना के अनुसार सामर्थ्य की जाँच करें, यदि [ σ ] = 120 एमपीए। आरंभिक डेटा: एम एक्स= 0.9 केएन एम; एम वाई = 0.8 केएन एम; एमजेड = 2.2 केएन * एम; डी= 60 मिमी।

समाधान

हम कुल्हाड़ियों के सापेक्ष झुकने वाले क्षणों की क्रिया से सामान्य तनाव के आरेख बनाते हैं ओहऔर कहांऔर मरोड़ से कतरनी तनाव का एक आरेख (चित्र। 35.2)।

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल सतह पर होता है। पल से अधिकतम सामान्य तनाव एम एक्सबिंदु पर होता है लेकिन,पल से अधिकतम सामान्य तनाव मेरेबिंदु पर में।सामान्य तनाव बढ़ जाते हैं क्योंकि परस्पर लंबवत विमानों में झुकने वाले क्षण ज्यामितीय रूप से अभिव्यक्त होते हैं।

कुल झुकने का क्षण:

हम अधिकतम अपरूपण प्रतिबल के सिद्धांत के अनुसार समतुल्य क्षण की गणना करते हैं:

ताकत की स्थिति:

धारा मापांक: डब्ल्यू ओई इन ओई \u003d 0.1 60 3 \u003d 21600 मिमी 3.

ताकत की जाँच:

स्थायित्व की गारंटी है।

उदाहरण 2ताकत की स्थिति से आवश्यक शाफ्ट व्यास की गणना करें। शाफ्ट पर दो पहिए लगे होते हैं। पहियों पर कार्य करने वाले दो परिधीय बल हैं एफ टी 1 = 1.2kN; एफ टी 2= 2kN और ऊर्ध्वाधर तल में दो रेडियल बल एफ आर 1= 0.43 केएन; एफ आर 2 = 0.72 kN (चित्र। 35.3)। पहिए के व्यास क्रमशः बराबर होते हैं d1= 0.1m; d2= 0.06 मी.

शाफ्ट सामग्री के लिए स्वीकार करें [ σ ] = 50 एमपीए।

गणना अधिकतम अपरूपण प्रतिबल की परिकल्पना के अनुसार की जाती है। शाफ्ट और पहियों के वजन पर ध्यान न दें।

समाधान

निर्देश।हम बलों की कार्रवाई की स्वतंत्रता के सिद्धांत का उपयोग करते हैं, ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज विमानों में शाफ्ट की डिजाइन योजनाएं तैयार करते हैं। हम क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर विमानों में समर्थन में प्रतिक्रियाओं को अलग-अलग निर्धारित करते हैं। हम झुकने वाले क्षणों के आरेख बनाते हैं (चित्र। 35.4)। परिधीय बलों की कार्रवाई के तहत, शाफ्ट मुड़ जाता है। शाफ्ट पर अभिनय करने वाले टोक़ का निर्धारण करें।

आइए शाफ्ट की गणना योजना बनाएं (चित्र। 35.4)।

1. दस्ता टोक़:

2. हम दो विमानों में मोड़ पर विचार करते हैं: क्षैतिज (pl। H) और ऊर्ध्वाधर (pl। V)।

क्षैतिज तल में, हम समर्थन में प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करते हैं:

सेऔर में:

ऊर्ध्वाधर विमान में, हम समर्थन में प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करते हैं:

बिंदुओं पर झुकने के क्षण निर्धारित करें सी और बी:

बिंदुओं पर कुल झुकने के क्षण सी और बी:

बिंदु पर मेंअधिकतम झुकने वाला क्षण, टोक़ भी यहां कार्य करता है।

शाफ्ट व्यास की गणना सबसे अधिक लोड किए गए अनुभाग के अनुसार की जाती है।

3. एक बिंदु पर समतुल्य क्षण मेंशक्ति के तीसरे सिद्धांत के अनुसार

4. ताकत की स्थिति से एक गोलाकार क्रॉस सेक्शन के साथ शाफ्ट का व्यास निर्धारित करें

हम परिणामी मूल्य को गोल करते हैं: डी= 36 मिमी।

ध्यान दें।शाफ्ट व्यास चुनते समय, व्यास की मानक श्रेणी का उपयोग करें (परिशिष्ट 2)।

5. हम शाफ्ट के आवश्यक आयामों को c \u003d 0.8 पर एक कुंडलाकार खंड के साथ निर्धारित करते हैं, जहां d शाफ्ट का बाहरी व्यास है।

कुंडलाकार शाफ्ट का व्यास सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है

स्वीकार करना डी = 42 मिमी।

भार मामूली है। डी बीएच = 0.8d = 0.8 42 = 33.6mm।

मूल्य के लिए गोल डीबीएच= 33 मिमी।

6. आइए दोनों मामलों में शाफ्ट के क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र द्वारा धातु की लागत की तुलना करें।

ठोस शाफ्ट का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र

खोखले शाफ्ट का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र

एक ठोस शाफ्ट का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र एक कुंडलाकार शाफ्ट से लगभग दोगुना होता है:

उदाहरण 3. शाफ्ट के क्रॉस सेक्शन के आयाम निर्धारित करें (चित्र। 2.70, लेकिन)नियंत्रण ड्राइव। पेडल पुल बल पी 3, तंत्र द्वारा प्रेषित बल पी 1, आर 2, आर 4. शाफ्ट सामग्री - उपज शक्ति के साथ एसटीजेड स्टील σ टी = 240 एन/मिमी 2, आवश्यक सुरक्षा कारक [ एन] = 2.5. गणना रूप परिवर्तन की ऊर्जा की परिकल्पना के अनुसार की जाती है।

समाधान

बलों को लाने के बाद, शाफ्ट के संतुलन पर विचार करें आर 1, आर 2, आर 3, आर 4अपनी धुरी पर बिंदुओं के लिए।

बलों को स्थानांतरित करना आर 1अंक में खुद के समानांतर प्रतिऔर इ, बलों के क्षणों के बराबर क्षणों के साथ बलों के जोड़े जोड़ना आवश्यक है आर 1अंक के सापेक्ष प्रतिऔर इ,अर्थात।

बलों के इन युग्मों (क्षणों) को पारंपरिक रूप से अंजीर में दिखाया गया है। 2.70 , बीतीरों के साथ धनुषाकार रेखाओं के रूप में। इसी तरह, बलों को स्थानांतरित करते समय आर 2, आर 3, आर 4अंक के लिए के, ई, एल, एनआपको पलों के साथ युगल बलों को जोड़ने की आवश्यकता है

अंजीर में दिखाए गए शाफ्ट के बीयरिंग। 2.70, ए, को स्थानिक टिका हुआ समर्थन माना जाना चाहिए जो कुल्हाड़ियों की दिशा में गति को रोकता है एक्सऔर पर(चयनित समन्वय प्रणाली चित्र 2.70 में दिखाई गई है, बी)।

अंजीर में दिखाई गई गणना योजना का उपयोग करना। 2.70 में, हम संतुलन समीकरण बनाते हैं:

इसलिए समर्थन प्रतिक्रियाएं परऔर एच बीसही ढंग से परिभाषित।

टॉर्क प्लॉट मज़ूऔर झुकने के क्षण मेरेअंजीर में प्रस्तुत किए जाते हैं। 2.70 जी. बिंदु L के बाईं ओर का खंड खतरनाक है।

ताकत की स्थिति का रूप है:

आकार परिवर्तन की ऊर्जा की परिकल्पना के अनुसार समतुल्य क्षण कहाँ है

व्यास के बाहर आवश्यक शाफ्ट

हम d \u003d 45 मिमी, फिर d 0 \u003d 0.8 * 45 \u003d 36 मिमी स्वीकार करते हैं।

उदाहरण 4स्पर गियर के मध्यवर्ती शाफ्ट (चित्र 2.71) की ताकत की जांच करें, यदि शाफ्ट शक्ति संचारित करता है एन= 12.2 kW गति से पी= 355 आरपीएम। शाफ्ट उपज शक्ति के साथ St5 स्टील से बना है σ टी \u003d 280 एन / मिमी 2। आवश्यक सुरक्षा कारक [ एन] = 4. गणना करते समय, उच्चतम अपरूपण प्रतिबल की परिकल्पना लागू करें।

निर्देश।जिला प्रयास आर 1और आर 2एक क्षैतिज तल में झूठ बोलते हैं और स्पर्शरेखा के साथ गियर के मंडलियों के लिए निर्देशित होते हैं। रेडियल बल टी1और टी 2ऊर्ध्वाधर तल में झूठ बोलते हैं और उन्हें संबंधित परिधि बल के रूप में निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है: टी = 0,364आर.

समाधान

अंजीर पर। 2.71, लेकिनशाफ्ट का एक योजनाबद्ध चित्र प्रस्तुत किया गया है; अंजीर में। 2.71, बी शाफ्ट के आरेख और गियरिंग में उत्पन्न होने वाले बलों को दर्शाता है।

शाफ्ट द्वारा प्रेषित क्षण का निर्धारण करें:

स्पष्टतः, एम = एम 1 = एम 2(समान घुमाव के साथ शाफ्ट पर लगाए गए घुमा क्षण, परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत होते हैं)।

गियर्स पर अभिनय करने वाले बलों का निर्धारण करें।

जिला प्रयास:

रेडियल बल:

शाफ्ट के संतुलन पर विचार करें अब, पूर्व लाने वाले बल आर 1और आर 2शाफ्ट की धुरी पर स्थित बिंदुओं के लिए।

स्थानांतरण शक्ति आर 1एक बिंदु के समानांतर ली, बल के क्षण के बराबर कुछ बलों को जोड़ना आवश्यक है आर 1बिंदु के सापेक्ष ली, अर्थात।

बलों की यह जोड़ी (पल) पारंपरिक रूप से अंजीर में दिखाई गई है। 2.71, मेंएक तीर के साथ एक धनुषाकार रेखा के रूप में। इसी तरह, बल स्थानांतरित करते समय आर 2बिल्कुल सही प्रतिएक पल के साथ कुछ बलों को जोड़ना (जोड़ना) आवश्यक है

अंजीर में दिखाए गए शाफ्ट के बीयरिंग। 2.71, लेकिन, को स्थानिक टिका हुआ समर्थन माना जाना चाहिए जो कुल्हाड़ियों की दिशाओं में रैखिक गति को रोकता है एक्सऔर पर(चयनित समन्वय प्रणाली चित्र 2.71 में दिखाई गई है, बी).

अंजीर में दिखाई गई गणना योजना का उपयोग करना। 2.71, जी, हम ऊर्ध्वाधर तल में शाफ्ट के लिए संतुलन समीकरण बनाते हैं:

आइए एक परीक्षण समीकरण बनाएं:

इसलिए, ऊर्ध्वाधर विमान में समर्थन प्रतिक्रियाएं सही ढंग से निर्धारित की जाती हैं।

क्षैतिज तल में शाफ्ट के संतुलन पर विचार करें:

आइए एक परीक्षण समीकरण बनाएं:

इसलिए, क्षैतिज तल में समर्थन प्रतिक्रियाएं सही ढंग से निर्धारित की जाती हैं।

टॉर्क प्लॉट मज़ूऔर झुकने के क्षण एम एक्सऔर मेरेअंजीर में प्रस्तुत किए जाते हैं। 2.71, डी.

खतरनाक है खंड प्रति(अंजीर देखें। 2.71, जी,डी) सबसे बड़े अपरूपण तनाव की परिकल्पना के अनुसार समतुल्य क्षण

शाफ्ट के खतरनाक बिंदु के लिए सबसे बड़े कतरनी तनाव की परिकल्पना के अनुसार समतुल्य तनाव

सुरक्षा का पहलू

जो बहुत अधिक है [ एन] = 4, इसलिए शाफ्ट की मजबूती सुनिश्चित की जाती है।

ताकत के लिए शाफ्ट की गणना करते समय, समय के साथ तनाव में बदलाव को ध्यान में नहीं रखा गया था, यही वजह है कि इतना महत्वपूर्ण सुरक्षा कारक प्राप्त किया गया था।

उदाहरण 5बीम के क्रॉस सेक्शन के आयाम निर्धारित करें (चित्र 2.72, लेकिन)।बीम सामग्री स्टील 30XGS है जिसमें तनाव और संपीड़न में सशर्त उपज ताकत है o, 2p = σ tr = 850 N/mm 2, σ 0.2 c = Tc = 965 N/mm 2। सुरक्षा का पहलू [ एन] = 1,6.

समाधान

बार तनाव (संपीड़न) और मरोड़ की संयुक्त क्रिया पर काम करता है। इस तरह के लोडिंग के तहत, क्रॉस सेक्शन में दो आंतरिक बल कारक उत्पन्न होते हैं: अनुदैर्ध्य बल और टोक़।

अनुदैर्ध्य बलों के भूखंड एनऔर टोक़ मज़ूअंजीर में दिखाया गया है। 2.72, बी, सी.इस मामले में, आरेखों के अनुसार खतरनाक खंड की स्थिति निर्धारित करें एनऔर मज़ूअसंभव है, क्योंकि बीम के वर्गों के क्रॉस सेक्शन के आयाम अलग-अलग हैं। खतरनाक खंड की स्थिति निर्धारित करने के लिए, बीम की लंबाई के साथ सामान्य और अधिकतम कतरनी तनाव के भूखंडों को प्लॉट किया जाना चाहिए।

सूत्र के अनुसार

हम बीम के क्रॉस सेक्शन में सामान्य तनाव की गणना करते हैं और एक आरेख बनाते हैं o (चित्र। 2.72, जी).

सूत्र के अनुसार

हम बीम के क्रॉस सेक्शन में अधिकतम कतरनी तनाव की गणना करते हैं और आरेख को प्लॉट करते हैं t मैक्स(चावल* 2.72, इ)।

अनुभागों के क्रॉस सेक्शन के समोच्च बिंदु संभवतः खतरनाक हैं अबऔर सीडी(अंजीर देखें। 2.72, लेकिन)।

अंजीर पर। 2.72, इभूखंड दिखाए जाते हैं σ और τ अनुभाग पार अनुभागों के लिए अब.

याद रखें कि इस मामले में (एक गोल क्रॉस-सेक्शन बीम तनाव की संयुक्त क्रिया पर काम करता है - संपीड़न और मरोड़), क्रॉस-सेक्शन समोच्च के सभी बिंदु समान रूप से खतरनाक हैं।

अंजीर पर। 2.72, कुंआ

अंजीर पर। 2.72, एचखंड के क्रॉस सेक्शन के लिए प्लॉट ए और टी दिखाए जाते हैं सीडी.

अंजीर पर। 2.72, औरखतरनाक बिंदु पर प्रारंभिक पैड पर तनाव दिखाया गया है।

साइट के खतरनाक बिंदु पर मुख्य तनाव सीडी:

मोहर की शक्ति परिकल्पना के अनुसार, विचाराधीन खंड के खतरनाक बिंदु के लिए समतुल्य तनाव है

खंड एबी के क्रॉस सेक्शन के समोच्च बिंदु खतरनाक निकले।

ताकत की स्थिति का रूप है:

उदाहरण 2.76।स्वीकार्य बल मान निर्धारित करें आररॉड ताकत की स्थिति से रवि(अंजीर। 2.73)। रॉड सामग्री तन्य शक्ति σ वीआर = 150 एन / मिमी 2 और संपीड़न शक्ति σ सूर्य = 450 एन / मिमी 2 के साथ कच्चा लोहा है। आवश्यक सुरक्षा कारक [ एन] = 5.

निर्देश। टूटी हुई लकड़ी एबीसीएक क्षैतिज तल में स्थित है, और छड़ अबके लम्बवत रवि।ताकतों आर, 2आर, 8आरएक ऊर्ध्वाधर विमान में झूठ बोलना; ताकत 0.5 आर, 1.6 आर- रॉड के क्षैतिज और लंबवत में रवि;ताकत 10आर, 16आररॉड की धुरी के साथ मेल खाता है रवि; एक क्षण m = 25Pd के साथ बलों की एक जोड़ी रॉड की धुरी के लंबवत एक लंबवत विमान में स्थित है रवि।

समाधान

चलो ताकत लाते हैं आरऔर 0.5P क्रॉस सेक्शन B के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र में।

बल P को बिंदु B के समानांतर स्थानांतरित करते हुए, हमें बल के क्षण के बराबर बल की एक जोड़ी जोड़नी चाहिए आरबिंदु के सापेक्ष में, अर्थात एक युग्म जिसका क्षण m 1 = 10 . है पं.

ताकत 0.5Rबिंदु B पर अपनी कार्रवाई की रेखा के साथ आगे बढ़ें।

रॉड पर अभिनय करने वाले भार रवि,अंजीर में दिखाया गया है। 2.74 लेकिन.

हम छड़ के लिए आंतरिक बल कारकों के आरेख बनाते हैं रवि।इसके क्रॉस सेक्शन में रॉड के निर्दिष्ट लोडिंग के तहत, उनमें से छह उत्पन्न होते हैं: अनुदैर्ध्य बल एन, अनुप्रस्थ बल क्यूएक्सऔर क्यू,टॉर्कः एमजेडईझुकने के क्षण एमएक्सऔर म्यू.

भूखंडों एन, एमजेड, एमएक्स, म्यूअंजीर में प्रस्तुत किए जाते हैं। 2.74 बी(आरेखों के निर्देशांक के रूप में व्यक्त किए जाते हैं आरऔर डी).

भूखंडों क्यूऔर क्यूएक्सहम निर्माण नहीं करते हैं, क्योंकि अनुप्रस्थ बलों के अनुरूप कतरनी तनाव छोटे होते हैं।

विचाराधीन उदाहरण में, खतरनाक खंड की स्थिति स्पष्ट नहीं है। संभवतः, खंड K खतरनाक हैं (अनुभाग का अंत मैं) और एस.

प्रधानाचार्य बिंदु L पर बल देता है:

मोहर की शक्ति परिकल्पना के अनुसार, बिंदु L . के लिए समतुल्य प्रतिबल

आइए हम खंड सी में झुकने वाले क्षण एमआई की कार्रवाई के परिमाण और विमान को निर्धारित करें, अंजीर में अलग से दिखाया गया है। 2.74 डी. वही आंकड़ा आरेख दिखाता है I, σ N , τ सेक्शन सी के लिए

बिंदु पर प्रारंभिक साइटों पर तनाव एच(चित्र 2.74, इ)

प्रिंसिपल ने एक बिंदु पर जोर दिया एच:

मोहर की शक्ति परिकल्पना के अनुसार, एक बिंदु के लिए बराबर तनाव एच

बिंदु E पर प्रारंभिक स्थलों पर प्रतिबल (चित्र 2.74, जी):

प्रधानाचार्य बिंदु E पर जोर देता है:

मोहर की शक्ति परिकल्पना के अनुसार, बिंदु E . के लिए समतुल्य प्रतिबल

खतरनाक बिंदु लीजिसके लिए

ताकत की स्थिति का रूप है:

प्रश्नों और कार्यों को नियंत्रित करें

1. झुकने और मरोड़ की संयुक्त क्रिया के तहत शाफ्ट के क्रॉस सेक्शन में तनाव की स्थिति क्या होती है?

2. शाफ्ट की गणना के लिए ताकत की स्थिति लिखें।

3. अधिकतम अपरूपण प्रतिबल परिकल्पना और विरूपण ऊर्जा परिकल्पना की गणना करते समय समतुल्य क्षण की गणना के लिए सूत्र लिखें।

4. शाफ्ट की गणना करते समय खतरनाक खंड का चयन कैसे किया जाता है?

झुकने और मरोड़ (चित्र। 34.3) की कार्रवाई के तहत एक गोल पट्टी की गणना के मामले में, सामान्य और कतरनी तनावों को ध्यान में रखना आवश्यक है, क्योंकि दोनों मामलों में अधिकतम तनाव मान सतह पर होते हैं। गणना को ताकत के सिद्धांत के अनुसार किया जाना चाहिए, जटिल तनाव की स्थिति को समान रूप से खतरनाक सरल के साथ बदलना चाहिए।

सेक्शन में अधिकतम मरोड़ वाला तनाव

अनुभाग में अधिकतम झुकने का तनाव

शक्ति सिद्धांतों में से एक के अनुसार, बीम की सामग्री के आधार पर, खतरनाक खंड के लिए समान तनाव की गणना की जाती है और बीम की सामग्री के लिए स्वीकार्य झुकने वाले तनाव का उपयोग करके बीम की ताकत का परीक्षण किया जाता है।

एक गोल बीम के लिए, खंड मापांक क्षण इस प्रकार हैं:

ताकत के तीसरे सिद्धांत के अनुसार गणना करते समय, अधिकतम कतरनी तनाव का सिद्धांत, समकक्ष तनाव की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

सिद्धांत प्लास्टिक सामग्री पर लागू होता है।

ऊर्जा बनाने के सिद्धांत के अनुसार गणना करते समय, समतुल्य तनाव की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

सिद्धांत नमनीय और भंगुर सामग्री पर लागू होता है।

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल का सिद्धांत:

समतुल्य वोल्टेज जब के अनुसार गणना की जाती है आकार परिवर्तन की ऊर्जा के सिद्धांत:

समतुल्य क्षण कहाँ है।

ताकत की स्थिति

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1किसी दिए गए तनाव की स्थिति (चित्र। 34.4) के लिए, अधिकतम कतरनी तनाव की परिकल्पना का उपयोग करते हुए, सुरक्षा कारक की गणना करें यदि टी \u003d 360 एन / मिमी 2।

प्रश्नों और कार्यों को नियंत्रित करें

1. एक बिंदु पर तनाव की स्थिति क्या दर्शाती है और कैसे चित्रित की जाती है?

2. किन साइटों और किन वोल्टेज को मुख्य कहा जाता है?

3. तनाव की अवस्थाओं के प्रकारों की सूची बनाइए।

4. एक बिंदु पर विकृत अवस्था की क्या विशेषता है?

5. तन्य और भंगुर पदार्थों में किन मामलों में सीमा तनाव अवस्थाएँ होती हैं?

6. समतुल्य वोल्टेज क्या है?

7. शक्ति सिद्धांतों के उद्देश्य की व्याख्या करें।

8. अधिकतम अपरूपण प्रतिबल के सिद्धांत और विरूपण की ऊर्जा के सिद्धांत के अनुसार गणनाओं में समतुल्य प्रतिबलों की गणना के लिए सूत्र लिखिए। उनका उपयोग कैसे करें समझाएं।

व्याख्यान 35

विषय 2.7. बुनियादी विकृतियों के संयोजन के साथ परिपत्र क्रॉस सेक्शन की एक बार की गणना

सबसे बड़े स्पर्शरेखा तनाव और विरूपण की ऊर्जा की परिकल्पना के अनुसार समतुल्य तनावों के सूत्रों को जानें।

बुनियादी विकृतियों के संयोजन के साथ ताकत के लिए परिपत्र क्रॉस-सेक्शन के बीम की गणना करने में सक्षम होने के लिए।

सिद्धांत से संक्षिप्त जानकारी

बीम जटिल प्रतिरोध की स्थिति में है, यदि क्रॉस सेक्शन में एक ही समय में कई आंतरिक बल कारक शून्य के बराबर नहीं हैं।

जटिल लोडिंग के निम्नलिखित मामले सबसे बड़े व्यावहारिक हित के हैं:

1. तिरछा मोड़।

2. अनुप्रस्थ में होने पर तनाव या संपीड़न के साथ झुकना
खंड, एक अनुदैर्ध्य बल और झुकने के क्षण उत्पन्न होते हैं, जैसे,
उदाहरण के लिए, बीम के सनकी संपीड़न के साथ।

3. मरोड़ के साथ झुकना, पोप में उपस्थिति की विशेषता है
एक झुकने (या दो झुकने) और घुमा के नदी खंड
क्षण।

तिरछा मोड़।

तिरछा झुकना बीम झुकने का एक ऐसा मामला है, जिसमें खंड में कुल झुकने वाले क्षण की क्रिया का तल जड़त्व के किसी भी मुख्य अक्ष के साथ मेल नहीं खाता है। एक तिरछा मोड़ को दो मुख्य विमानों ज़ोय और ज़ोक्स में एक बीम के एक साथ झुकने के रूप में सबसे आसानी से माना जाता है, जहां जेड-अक्ष बीम की धुरी है, और एक्स और वाई अक्ष क्रॉस सेक्शन के मुख्य केंद्रीय अक्ष हैं।

आयताकार क्रॉस सेक्शन के एक कैंटिलीवर बीम पर विचार करें, जो एक बल P (चित्र 1) से भरा हुआ है।

क्रॉस सेक्शन के मुख्य केंद्रीय अक्षों के साथ बल P का विस्तार करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

आर वाई \u003d आर कॉस , आर एक्स \u003d आर पाप

बीम के वर्तमान खंड में झुकने के क्षण होते हैं

एम एक्स \u003d - पी वाई जेड \u003d - पी जेड कॉस ,

एम वाई \u003d पी एक्स जेड \u003d पी जेड पाप ।

झुकने वाले क्षण M x का संकेत उसी तरह निर्धारित किया जाता है जैसे सीधे झुकने के मामले में। क्षण M y को सकारात्मक माना जाएगा यदि x के धनात्मक मान वाले बिंदुओं पर यह क्षण तन्यता तनाव का कारण बनता है। वैसे, क्षण का संकेत M y झुकने वाले क्षण M x के संकेत की परिभाषा के साथ सादृश्य द्वारा स्थापित करना आसान है, यदि आप मानसिक रूप से अनुभाग को घुमाते हैं ताकि x अक्ष y अक्ष की प्रारंभिक दिशा के साथ मेल खाता हो .

बीम के क्रॉस सेक्शन के एक मनमाना बिंदु पर तनाव को फ्लैट मोड़ के मामले के लिए तनाव का निर्धारण करने के लिए सूत्रों का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। बलों की कार्रवाई की स्वतंत्रता के सिद्धांत के आधार पर, हम प्रत्येक झुकने वाले क्षण के कारण होने वाले तनावों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं

(1)

झुकने वाले क्षणों के मूल्यों (उनके संकेतों के साथ) और उस बिंदु के निर्देशांक जिस पर तनाव की गणना की जाती है, को इस अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित किया जाता है।

खंड के खतरनाक बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए, शून्य या तटस्थ रेखा (अनुभाग के बिंदुओं का स्थान, जिसमें तनाव σ = 0) निर्धारित करना आवश्यक है। अधिकतम तनाव शून्य रेखा से सबसे दूर के बिंदुओं पर होता है।

शून्य रेखा समीकरण समीकरण (1) से =0 पर प्राप्त होता है:

यह इस प्रकार है कि शून्य रेखा क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरती है।

बीम वर्गों में उत्पन्न होने वाले कतरनी तनाव (क्यू एक्स 0 और क्यू वाई ≠ 0) पर, एक नियम के रूप में, उपेक्षित किया जा सकता है। यदि उन्हें निर्धारित करने की आवश्यकता है, तो कुल कतरनी तनाव x और τ y के घटकों की गणना पहले D.Ya के सूत्र के अनुसार की जाती है। ज़ुरावस्की, और फिर बाद वाले को ज्यामितीय रूप से संक्षेपित किया जाता है:

बीम की ताकत का आकलन करने के लिए, खतरनाक खंड में अधिकतम सामान्य तनाव निर्धारित करना आवश्यक है। चूंकि सबसे अधिक भारित बिंदुओं पर तनाव की स्थिति एकतरफा होती है, इसलिए स्वीकार्य तनावों की विधि द्वारा गणना में ताकत की स्थिति का रूप ले लेती है

प्लास्टिक सामग्री के लिए

भंगुर सामग्री के लिए

n सुरक्षा कारक है।

यदि गणना सीमा राज्यों की विधि के अनुसार की जाती है, तो शक्ति की स्थिति का रूप है:

जहां आर डिजाइन प्रतिरोध है,

एम काम करने की स्थिति का गुणांक है।

ऐसे मामलों में जहां बीम सामग्री तनाव और संपीड़न का अलग-अलग प्रतिरोध करती है, अधिकतम तन्यता और अधिकतम संपीड़न तनाव दोनों को निर्धारित करना आवश्यक है, और अनुपात से बीम की ताकत के बारे में निष्कर्ष निकालना आवश्यक है:

जहां आर पी और आर सी क्रमशः तनाव और संपीड़न में सामग्री के डिजाइन प्रतिरोध हैं।

बीम के विक्षेपण को निर्धारित करने के लिए, पहले मुख्य विमानों में खंड के विस्थापन को x और y अक्षों की दिशा में खोजना सुविधाजनक है।

इन विस्थापनों की गणना x और y को बीम के मुड़े हुए अक्ष के लिए या ऊर्जा विधियों द्वारा एक सार्वभौमिक समीकरण बनाकर किया जा सकता है।

कुल विक्षेपण को एक ज्यामितीय योग के रूप में पाया जा सकता है:

बीम की कठोरता की स्थिति का रूप है:

जहां - बीम का अनुमेय विक्षेपण है।

सनकी संपीड़न

इस मामले में, बीम को संपीड़ित करने वाला बल पी बीम की धुरी के समानांतर निर्देशित होता है और उस बिंदु पर लगाया जाता है जो खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से मेल नहीं खाता है। मान लें कि X p और Y p, मुख्य केंद्रीय अक्षों के सापेक्ष मापा गया बल P के अनुप्रयोग बिंदु के निर्देशांक हैं (चित्र 2)।

अभिनय भार निम्नलिखित आंतरिक बल कारकों को क्रॉस सेक्शन में प्रकट करने का कारण बनता है: N= -P, Mx= -Py p , My=-Px p

झुकने वाले क्षणों के संकेत नकारात्मक हैं, क्योंकि बाद वाले पहले तिमाही से संबंधित बिंदुओं पर संपीड़न का कारण बनते हैं। खंड के एक मनमाना बिंदु पर तनाव अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है

(9)

N, Mx और My के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(10)

चूँकि Yx= F, Yy= F (जहाँ i x और i y जड़त्व की मुख्य त्रिज्याएँ हैं), अंतिम व्यंजक को रूप में घटाया जा सकता है

(11)

शून्य रेखा समीकरण =0 . सेट करके प्राप्त किया जाता है

1+ (12)

खंड के निर्देशांक अक्षों पर शून्य रेखा से काटे गए और , निम्नानुसार व्यक्त किए जाते हैं:

निर्भरता (13) का उपयोग करके, कोई आसानी से खंड (छवि 3) में शून्य रेखा की स्थिति का पता लगा सकता है, जिसके बाद इस रेखा से सबसे दूर के बिंदु निर्धारित किए जाते हैं, जो खतरनाक होते हैं, क्योंकि उनमें अधिकतम तनाव उत्पन्न होता है।

खंड के बिंदुओं पर तनाव की स्थिति एकतरफा है, इसलिए बीम की ताकत की स्थिति बीम के तिरछे झुकने के पहले माने गए मामले के समान है - सूत्र (5), (6)।

सलाखों के सनकी संपीड़न के साथ, जिसकी सामग्री कमजोर रूप से खिंचाव का विरोध करती है, क्रॉस सेक्शन में तन्यता तनाव की उपस्थिति को रोकने के लिए वांछनीय है। खंड में, एक ही संकेत के तनाव उत्पन्न होंगे यदि शून्य रेखा खंड के बाहर से गुजरती है या चरम मामलों में इसे छूती है।

यह स्थिति तब संतुष्ट होती है जब उस क्षेत्र के अंदर संपीड़ित बल लगाया जाता है जिसे खंड का मूल कहा जाता है। खंड का मूल भाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को कवर करने वाला एक क्षेत्र है और इस तथ्य की विशेषता है कि इस क्षेत्र के अंदर लागू कोई भी अनुदैर्ध्य बल बार के सभी बिंदुओं पर एक ही संकेत के तनाव का कारण बनता है।

खंड के मूल का निर्माण करने के लिए, शून्य रेखा की स्थिति निर्धारित करना आवश्यक है ताकि यह अनुभाग को कहीं भी प्रतिच्छेद किए बिना स्पर्श करे, और बल P के लागू होने के संबंधित बिंदु का पता लगाएं। स्पर्शरेखा के एक परिवार को खींचकर खंड, हम उनके अनुरूप ध्रुवों का एक सेट प्राप्त करते हैं, जिसका ठिकाना मुख्य खंडों की रूपरेखा (समोच्च) देगा।

उदाहरण के लिए, अंजीर में दिखाया गया खंड। 4 प्रमुख केंद्रीय अक्षों x और y के साथ।

खंड के मूल के निर्माण के लिए, हम पाँच स्पर्शरेखाएँ देते हैं, जिनमें से चार भुजाएँ AB, DE, EF और FA से मेल खाती हैं, और पाँचवाँ बिंदु B और D को जोड़ता है। कट से माप या गणना करके, संकेत द्वारा काट दिया जाता है स्पर्शरेखा II, . . . ।, कुल्हाड़ियों x, y पर 5-5 और निर्भरता (13) में इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम पांच ध्रुवों 1, 2 .... 5 के लिए निर्देशांक xp, yp निर्धारित करते हैं, जो कि पांच पदों के अनुरूप है। शून्य रेखा। स्पर्शरेखा II को बिंदु A के चारों ओर घुमाकर स्थिति 2-2 में स्थानांतरित किया जा सकता है, जबकि ध्रुव I को एक सीधी रेखा में चलना चाहिए और स्पर्शरेखा के घूमने के परिणामस्वरूप, बिंदु 2 पर जाना चाहिए। इसलिए, सभी ध्रुवों की मध्यवर्ती स्थिति के अनुरूप II और 2-2 के बीच की स्पर्शरेखा सीधे 1-2 पर स्थित होगी। इसी तरह, कोई यह साबित कर सकता है कि खंड के मूल के अन्य पक्ष भी आयताकार होंगे, यानी। खंड का मूल एक बहुभुज है, जिसके निर्माण के लिए यह डंडे 1, 2, ... 5 को सीधी रेखाओं से जोड़ने के लिए पर्याप्त है।

एक गोल पट्टी के मरोड़ के साथ झुकना।

बीम के क्रॉस सेक्शन में मरोड़ के साथ झुकते समय, सामान्य स्थिति में, पांच आंतरिक बल कारक शून्य के बराबर नहीं होते हैं: M x, M y, M k, Q x और Q y। हालांकि, ज्यादातर मामलों में, कतरनी बलों Q x और Q y के प्रभाव की उपेक्षा की जा सकती है यदि अनुभाग पतली दीवार वाला नहीं है।

एक क्रॉस सेक्शन में सामान्य तनाव परिणामी झुकने वाले क्षण के परिमाण से निर्धारित किया जा सकता है

इसलिये तटस्थ अक्ष क्षण M u की क्रिया की गुहा के लंबवत है।

अंजीर पर। 5 झुकने वाले क्षण M x और M y को वैक्टर के रूप में दिखाता है (दिशाएं M x और M y को सकारात्मक चुना जाता है, अर्थात इस तरह से कि खंड के पहले चतुर्थांश के बिंदुओं पर तनाव तन्य हैं)।

वैक्टर M x और M y की दिशा को चुना जाता है ताकि पर्यवेक्षक, वेक्टर के अंत से देख रहा हो, उन्हें वामावर्त निर्देशित किया गया हो। इस मामले में, तटस्थ रेखा परिणामी क्षण M u के वेक्टर की दिशा के साथ मेल खाती है, और खंड A और B के सबसे अधिक भारित बिंदु इस क्षण की क्रिया के तल में स्थित हैं।

झुकने को एक प्रकार के लोडिंग के रूप में समझा जाता है जिसमें बीम के क्रॉस सेक्शन में झुकने वाले क्षण होते हैं। यदि खंड में झुकने का क्षण एकमात्र बल कारक है, तो झुकने को शुद्ध कहा जाता है। यदि, झुकने के क्षण के साथ, बीम के क्रॉस सेक्शन में अनुप्रस्थ बल भी उत्पन्न होते हैं, तो मोड़ को अनुप्रस्थ कहा जाता है।

यह माना जाता है कि झुकने का क्षण और अनुप्रस्थ बल बीम के मुख्य विमानों में से एक में होता है (हम मानते हैं कि यह विमान ZOY है)। इस तरह के मोड़ को फ्लैट कहा जाता है।

नीचे दिए गए सभी मामलों में, बीम का एक सपाट अनुप्रस्थ मोड़ होता है।

बीम की ताकत या कठोरता की गणना करने के लिए, इसके वर्गों में उत्पन्न होने वाले आंतरिक बल कारकों को जानना आवश्यक है। इस उद्देश्य के लिए, अनुप्रस्थ बलों (epure Q) और झुकने वाले क्षणों (M) के आरेख बनाए जाते हैं।

झुकते समय, बीम का सीधा अक्ष मुड़ा हुआ होता है, तटस्थ अक्ष खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरता है। निश्चितता के लिए, झुकने वाले क्षणों के अनुप्रस्थ बलों के आरेखों का निर्माण करते समय, हम उनके लिए संकेत नियम स्थापित करते हैं। आइए मान लें कि झुकने का क्षण सकारात्मक माना जाएगा यदि बीम तत्व नीचे की ओर उत्तलता के साथ मुड़ा हुआ है, अर्थात। इस तरह से कि उसके संपीडित रेशे सबसे ऊपर हों।

यदि क्षण बीम को एक उभार के साथ ऊपर की ओर झुकाता है, तो यह क्षण नकारात्मक माना जाएगा।

प्लॉटिंग करते समय झुकने वाले क्षणों के सकारात्मक मूल्य, हमेशा की तरह, Y अक्ष की दिशा में प्लॉट किए जाते हैं, जो एक संपीड़ित फाइबर पर प्लॉटिंग से मेल खाती है।

इसलिए, झुकने वाले क्षणों के आरेख के लिए संकेतों का नियम निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: बीम परतों के किनारे से क्षणों के निर्देशांक प्लॉट किए जाते हैं।

एक खंड में झुकने का क्षण खंड के एक तरफ (किसी भी) पर स्थित सभी बलों के इस खंड के सापेक्ष क्षणों के योग के बराबर होता है।

अनुप्रस्थ बलों (क्यू) को निर्धारित करने के लिए, हम संकेतों का नियम स्थापित करते हैं: अनुप्रस्थ बल को सकारात्मक माना जाता है यदि बाहरी बल बीम के कटे हुए हिस्से को दक्षिणावर्त घुमाता है। अक्ष बिंदु के सापेक्ष तीर जो खींचे गए अनुभाग से मेल खाता है।

बीम के एक मनमाने क्रॉस-सेक्शन में अनुप्रस्थ बल (क्यू) संख्यात्मक रूप से इसके काटे गए हिस्से पर लागू बाहरी बलों के y के अक्ष पर अनुमानों के योग के बराबर है।

झुकने वाले क्षणों के अनुप्रस्थ बलों की साजिश रचने के कई उदाहरणों पर विचार करें। सभी बल पुंजों की धुरी के लंबवत होते हैं, इसलिए प्रतिक्रिया का क्षैतिज घटक शून्य होता है। बीम और बलों की विकृत धुरी मुख्य विमान ZOY में स्थित है।

बीम की लंबाई को बाएं सिरे से पिन किया जाता है और एक केंद्रित बल F और एक क्षण m=2F के साथ लोड किया जाता है।

हम अनुप्रस्थ बलों Q और झुकने वाले क्षणों M से आरेख बनाते हैं।

हमारे मामले में, दाहिनी ओर बीम पर कोई बाधा नहीं लगाई गई है। इसलिए, समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित नहीं करने के लिए, बीम के दाहिने कट-ऑफ हिस्से के संतुलन पर विचार करना उचित है। दिए गए बीम में दो भार क्षेत्र हैं। अनुभागों-अनुभागों की सीमाएं जिनमें बाहरी बल लागू होते हैं। 1 खंड - एनई, 2 - वीए।

हम खंड 1 में एक मनमाना खंड करते हैं और लंबाई Z 1 के दाहिने कट-ऑफ भाग के संतुलन पर विचार करते हैं।

संतुलन की स्थिति से यह निम्नानुसार है:

क्यू = एफ; एम आउट = -fz 1 ()

अपरूपण बल धनात्मक होता है, क्योंकि बाहरी बल F कटे हुए भाग को दक्षिणावर्त घुमाता है। झुकने का क्षण नकारात्मक माना जाता है, क्योंकि यह बीम के माने हुए भाग को उत्तलता के साथ ऊपर की ओर मोड़ता है।

संतुलन के समीकरणों को संकलित करते समय, हम मानसिक रूप से खंड के स्थान को ठीक करते हैं; समीकरणों () से यह इस प्रकार है कि खंड I में अनुप्रस्थ बल Z 1 पर निर्भर नहीं है और एक स्थिर मान है। धनात्मक बल Q=F को बीम की केंद्र रेखा से लम्बवत बढ़ाया जाता है।

झुकने का क्षण Z 1 पर निर्भर करता है।

जब Z 1 \u003d O M \u003d O से Z 1 \u003d M से \u003d

परिणामी मान () को अलग रखा जाता है, अर्थात। आरेख एम से संपीड़ित फाइबर पर बनाया गया है।

चलिए दूसरे भाग पर चलते हैं

हम खंड II को बीम के मुक्त दाहिने छोर से मनमानी दूरी Z 2 पर काटते हैं और लंबाई Z 2 के कट-ऑफ भाग के संतुलन पर विचार करते हैं। संतुलन की स्थिति के आधार पर कतरनी बल और झुकने के क्षण में परिवर्तन निम्नलिखित समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

Q=FM से = - FZ 2 +2F

अनुप्रस्थ बल का परिमाण और चिन्ह नहीं बदला।

झुकने वाले क्षण का परिमाण Z 2 पर निर्भर करता है।

Z 2 पर = M से =, Z 2 पर =

झुकने का क्षण सकारात्मक निकला, दोनों खंड II की शुरुआत में और इसके अंत में। खंड II में, बीम नीचे की ओर एक उभार के साथ झुकता है।

एक पैमाने पर बीम की केंद्र रेखा तक क्षणों की परिमाण को अलग सेट करें (यानी, आरेख एक संपीड़ित फाइबर पर बनाया गया है)। सबसे बड़ा झुकने वाला क्षण उस खंड में होता है जहां बाहरी क्षण m लागू होता है और निरपेक्ष मान के बराबर होता है

ध्यान दें कि बीम की लंबाई पर, जहां क्यू स्थिर रहता है, झुकने का क्षण एम रैखिक रूप से बदलता है और प्लॉट पर तिरछी सीधी रेखाओं द्वारा दर्शाया जाता है। आरेख Q और M से यह देखा जा सकता है कि जिस खंड में एक बाहरी अनुप्रस्थ बल लगाया जाता है, आरेख Q में इस बल के मान से एक छलांग होती है, और आरेख M से एक किंक होता है। एक खंड में जहां एक बाहरी झुकने का क्षण लागू होता है, मिज़ आरेख में इस क्षण के मूल्य से एक छलांग होती है। यह क्यू प्लॉट में परिलक्षित नहीं होता है। आरेख M से हम देखते हैं कि

मैक्सएम आउट =

इसलिए, खतरनाक खंड तथाकथित के बाईं ओर बेहद करीब है।

अंजीर में दिखाए गए बीम के लिए। 13, ए, अनुप्रस्थ बलों और झुकने वाले क्षणों के आरेख बनाएं। बीम की लंबाई तीव्रता q(KN/cm) के साथ समान रूप से वितरित भार से भरी हुई है।

समर्थन A (स्थिर काज) पर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया होगी R a (क्षैतिज प्रतिक्रिया शून्य है), और समर्थन B (चल टिका) पर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया R v होती है।

आइए हम A और B को सहारा देने वाले आघूर्णों के समीकरण की रचना करके समर्थनों की ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रियाओं का निर्धारण करें।

आइए प्रतिक्रिया की परिभाषा की शुद्धता की जाँच करें:

वे। समर्थन प्रतिक्रियाओं को सही ढंग से परिभाषित किया गया है।

दिए गए बीम में दो लोडिंग सेक्शन हैं: सेक्शन I - AC।

खंड II - एनई।

पहले खंड a पर, वर्तमान खंड Z 1 में, कट-ऑफ भाग के संतुलन की स्थिति से, हमारे पास है

बीम के 1 खंड पर झुकने वाले क्षणों का समीकरण:

प्रतिक्रिया से क्षण आर एक खंड 1 में बीम को झुकता है, उत्तल नीचे की ओर, इसलिए प्रतिक्रिया रा से झुकने का क्षण एक प्लस चिह्न के साथ समीकरण में पेश किया जाता है। लोड qZ 1 बीम को उत्तलता के साथ ऊपर की ओर झुकाता है, इसलिए इससे आने वाले क्षण को माइनस साइन के साथ समीकरण में पेश किया जाता है। झुकने का क्षण एक वर्ग परवलय के नियम के अनुसार बदलता है।

इसलिए, यह पता लगाना आवश्यक है कि क्या कोई चरम सीमा है। अनुप्रस्थ बल Q और झुकने वाले क्षण के बीच एक अंतर निर्भरता है, जिसका हम आगे विश्लेषण करेंगे

जैसा कि आप जानते हैं, फ़ंक्शन में एक चरम सीमा होती है जहां व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है। इसलिए, यह निर्धारित करने के लिए कि Z 1 के किस मूल्य पर, झुकने का क्षण चरम होगा, अनुप्रस्थ बल के समीकरण को शून्य के बराबर करना आवश्यक है।

चूंकि अनुप्रस्थ बल इस खंड में साइन को प्लस से माइनस में बदलता है, इसलिए इस सेक्शन में झुकने का क्षण अधिकतम होगा। यदि क्यू साइन को माइनस से प्लस में बदलता है, तो इस सेक्शन में झुकने का क्षण न्यूनतम होगा।

तो झुकने का क्षण

अधिकतम है।

इसलिए, हम तीन बिंदुओं पर एक परवलय बनाते हैं

जब Z 1 \u003d 0 M \u003d 0 . से

हम दूसरे खंड को समर्थन बी से Z 2 की दूरी पर काटते हैं। बीम के दाहिने कट-ऑफ हिस्से के संतुलन की स्थिति से, हमारे पास है:

जब क्यू = स्थिरांक,

झुकने का क्षण होगा:

पर, पर, अर्थात्। मैं वहां से हूँ

रैखिक रूप से बदलता है।

दो समर्थनों पर एक बीम, जिसकी लंबाई 2 के बराबर होती है और एक लंबाई के साथ एक बायां कंसोल होता है, जैसा कि चित्र 14, ए में दिखाया गया है, जहां q (Kn / cm) रैखिक भार है। समर्थन ए मुख्य रूप से तय है, समर्थन बी एक चल रोलर है। से प्लॉट क्यू और एम बनाएं।

समर्थन की प्रतिक्रियाओं के निर्धारण के साथ समस्या का समाधान शुरू होना चाहिए। इस शर्त से कि Z अक्ष पर सभी बलों के प्रक्षेपणों का योग शून्य के बराबर है, यह इस प्रकार है कि समर्थन A पर प्रतिक्रिया का क्षैतिज घटक 0 है।

जाँच करने के लिए, हम समीकरण का उपयोग करते हैं

संतुलन समीकरण संतुष्ट है, इसलिए प्रतिक्रियाओं की गणना सही ढंग से की जाती है। हम आंतरिक बल कारकों की परिभाषा की ओर मुड़ते हैं। किसी दिए गए बीम में तीन भार क्षेत्र होते हैं:

• 1 खंड - एसए,
• दूसरा खंड - एडी,
• 3 खंड - डीवी।

हमने बीम के बाएं छोर से Z 1 की दूरी पर 1 खंड काट दिया।

जेड 1 \u003d 0 क्यू \u003d 0 एम से \u003d 0 . पर

Z 1 \u003d Q \u003d -q M IZ \u003d . पर

इस प्रकार, अनुप्रस्थ बलों के आरेख पर, एक झुकी हुई सीधी रेखा प्राप्त होती है, और झुकने वाले क्षणों के आरेख पर, एक परवलय प्राप्त होता है, जिसका शीर्ष बीम के बाएं छोर पर स्थित होता है।

खंड II (a Z 2 2a) में, आंतरिक बल कारकों को निर्धारित करने के लिए, लंबाई Z 2 के साथ बीम के बाएं कट-ऑफ हिस्से के संतुलन पर विचार करें। संतुलन की स्थिति से हमारे पास है:

इस खंड में अनुप्रस्थ बल स्थिर है।

खंड III पर ()

आरेख से हम देखते हैं कि बल F के तहत खंड में सबसे बड़ा झुकने वाला क्षण होता है और इसके बराबर होता है। यह खंड सबसे खतरनाक होगा।

आरेख एम पर इस खंड में लागू बाहरी क्षण के बराबर समर्थन बी पर एक छलांग है।

ऊपर निर्मित आरेखों को ध्यान में रखते हुए, झुकने वाले क्षणों के आरेखों और अनुप्रस्थ बलों के आरेखों के बीच एक निश्चित नियमित संबंध को नोटिस करना मुश्किल नहीं है। आइए इसे साबित करें।

बीम की लंबाई के साथ अनुप्रस्थ बल का व्युत्पन्न भार तीव्रता के मापांक के बराबर होता है।

छोटेपन के उच्च क्रम के मूल्य को छोड़कर, हम प्राप्त करते हैं:

वे। अनुप्रस्थ बल बीम की लंबाई के साथ झुकने वाले क्षण का व्युत्पन्न है।

प्राप्त अंतर निर्भरता को ध्यान में रखते हुए, सामान्य निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। यदि बीम को तीव्रता q=const के समान रूप से वितरित भार के साथ लोड किया जाता है, तो जाहिर है, फ़ंक्शन Q रैखिक होगा, और M से - द्विघात।

यदि बीम केंद्रित बलों या क्षणों से भरा हुआ है, तो उनके आवेदन के बिंदुओं के बीच के अंतराल में तीव्रता q=0. इसलिए, क्यू = कॉन्स्ट, और एम से जेड का एक रैखिक कार्य है। केंद्रित बलों के आवेदन के बिंदुओं पर, आरेख क्यू बाहरी बल के मूल्य से कूदता है, और आरेख एम में, एक संबंधित ब्रेक होता है (व्युत्पन्न में एक अंतर)।

बाहरी झुकने के क्षण के आवेदन के स्थान पर, क्षण आरेख में एक अंतराल होता है, जो लागू क्षण के परिमाण के बराबर होता है।

यदि Q>0, तो M बढ़ता है, और यदि Q<0, то М из убывает.

डिफरेंशियल डिपेंडेंसीज का उपयोग क्यू और एम को प्लॉट करने के लिए संकलित समीकरणों की जांच करने के साथ-साथ इन आरेखों के रूप को स्पष्ट करने के लिए किया जाता है।

झुकने का क्षण एक परवलय के नियम के अनुसार बदलता है, जिसकी उत्तलता हमेशा बाहरी भार की ओर निर्देशित होती है।

परिचय।

झुकना एक प्रकार की विकृति है जो बाहरी बलों या तापमान के प्रभाव में एक विकृत वस्तु (बार, बीम, स्लैब, शेल, आदि) की धुरी या मध्य सतह की वक्रता (वक्रता में परिवर्तन) की विशेषता है। झुकना बीम के क्रॉस सेक्शन में झुकने वाले क्षणों की घटना से जुड़ा है। यदि बीम खंड में छह आंतरिक बल कारकों में से केवल एक शून्य नहीं है, तो मोड़ को शुद्ध कहा जाता है:

यदि, झुकने के क्षण के अलावा, एक अनुप्रस्थ बल भी बीम के क्रॉस सेक्शन में कार्य करता है, तो मोड़ को अनुप्रस्थ कहा जाता है:

इंजीनियरिंग अभ्यास में, झुकने का एक विशेष मामला भी माना जाता है - अनुदैर्ध्य I. ( चावल। एक, सी), अनुदैर्ध्य संपीड़न बलों की कार्रवाई के तहत रॉड के बकलिंग द्वारा विशेषता। छड़ की धुरी के साथ निर्देशित और इसके लंबवत बलों की एक साथ कार्रवाई एक अनुदैर्ध्य-अनुप्रस्थ झुकने का कारण बनती है ( चावल। एक, जी)।

चावल। 1. बीम का झुकना: ए - शुद्ध: बी - अनुप्रस्थ; में - अनुदैर्ध्य; जी - अनुदैर्ध्य-अनुप्रस्थ।

एक बार जो झुकता है उसे बीम कहा जाता है। एक मोड़ को सपाट कहा जाता है यदि बीम की धुरी विरूपण के बाद एक सपाट रेखा बनी रहती है। बीम के घुमावदार अक्ष के तल को झुकने वाला तल कहा जाता है। भार बलों की क्रिया के तल को बल तल कहा जाता है। यदि बल विमान क्रॉस सेक्शन की जड़ता के मुख्य विमानों में से एक के साथ मेल खाता है, तो मोड़ को सीधा कहा जाता है। (अन्यथा एक तिरछा मोड़ है)। क्रॉस सेक्शन की जड़ता का मुख्य विमान बीम के अनुदैर्ध्य अक्ष के साथ क्रॉस सेक्शन के मुख्य अक्षों में से एक द्वारा गठित एक विमान है। फ्लैट सीधे झुकने में, झुकने वाले विमान और बल विमान मेल खाते हैं।

एक बीम (सेंट-वेनेंट समस्या) के मरोड़ और झुकने की समस्या बहुत व्यावहारिक रुचि की है। नेवियर द्वारा स्थापित झुकने के सिद्धांत का अनुप्रयोग संरचनात्मक यांत्रिकी की एक व्यापक शाखा का गठन करता है और इसका व्यावहारिक महत्व है, क्योंकि यह आयामों की गणना और संरचनाओं के विभिन्न भागों की ताकत की जांच के आधार के रूप में कार्य करता है: बीम, पुल, मशीन तत्व , आदि।

लोच के सिद्धांत के बुनियादी समीकरण और समस्याएं

§ 1. बुनियादी समीकरण

सबसे पहले, हम एक लोचदार शरीर के संतुलन की समस्याओं के लिए बुनियादी समीकरणों का एक सामान्य सारांश देते हैं, जो लोच के सिद्धांत के खंड की सामग्री बनाते हैं, जिसे आमतौर पर एक लोचदार शरीर के स्थैतिक कहा जाता है।

शरीर की विकृत स्थिति पूरी तरह से तनाव क्षेत्र टेंसर या विस्थापन क्षेत्र द्वारा निर्धारित होती है तनाव टेंसर के घटक अंतर कॉची निर्भरता द्वारा विस्थापन से संबंधित हैं:

(1)

तनाव टेंसर के घटकों को सेंट-वेनेंट अंतर निर्भरताओं को पूरा करना चाहिए:

जो समीकरणों की अभिन्नता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें हैं (1)।

शरीर की तनाव स्थिति तनाव क्षेत्र टेंसर द्वारा निर्धारित की जाती है एक सममित टेंसर के छह स्वतंत्र घटक () तीन अंतर संतुलन समीकरणों को पूरा करना चाहिए:

तनाव टेंसर घटक औरविस्थापन हुक के नियम के छह समीकरणों से संबंधित हैं:

कुछ मामलों में, हुक के नियम के समीकरणों को सूत्र के रूप में उपयोग करना पड़ता है

, (5)

समीकरण (1)-(5) लोच के सिद्धांत में स्थैतिक समस्याओं के मूल समीकरण हैं। कभी-कभी समीकरण (1) और (2) को ज्यामितीय समीकरण, समीकरण कहा जाता है ( 3) - स्थिर समीकरण, और समीकरण (4) या (5) - भौतिक समीकरण। आयतन के आंतरिक बिंदुओं पर एक रैखिक रूप से लोचदार शरीर की स्थिति निर्धारित करने वाले मूल समीकरणों के लिए, इसकी सतह पर शर्तों को जोड़ना आवश्यक है। इन स्थितियों को सीमा की स्थिति कहा जाता है। वे या तो दिए गए बाहरी सतह बलों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं या दिए गए आंदोलन शरीर की सतह के बिंदु। पहले मामले में, सीमा की स्थिति समानता द्वारा व्यक्त की जाती है:

वेक्टर के घटक कहां हैं टी सतह की ताकत, इकाई वेक्टर के घटक हैं पी, सतह के लिए बाहरी सामान्य के साथ निर्देशित विचाराधीन बिंदु पर।

दूसरे मामले में, सीमा की स्थिति समानता द्वारा व्यक्त की जाती है

कहाँ पे सतह पर परिभाषित कार्य हैं।

सीमा की स्थितियाँ भी मिश्रित हो सकती हैं, जब एक भाग पर बाहरी सतह बल शरीर की सतह पर दिए जाते हैं और दूसरी तरफ शरीर की सतह के विस्थापन दिए गए हैं:

अन्य प्रकार की सीमा स्थितियां भी संभव हैं। उदाहरण के लिए, शरीर की सतह के एक निश्चित हिस्से पर, विस्थापन वेक्टर के केवल कुछ घटक निर्दिष्ट होते हैं और इसके अलावा, सतह बल वेक्टर के सभी घटक भी निर्दिष्ट नहीं होते हैं।

§ 2. एक लोचदार शरीर के स्थैतिक की मुख्य समस्याएं

सीमा स्थितियों के प्रकार के आधार पर, लोच के सिद्धांत की तीन प्रकार की बुनियादी स्थैतिक समस्याओं को प्रतिष्ठित किया जाता है।

पहले प्रकार की मुख्य समस्या तनाव क्षेत्र टेंसर के घटकों को निर्धारित करना है क्षेत्र के अंदर , शरीर द्वारा कब्जा कर लिया, और क्षेत्र के अंदर बिंदुओं के विस्थापन वेक्टर के घटक और सतह बिंदु दिए गए द्रव्यमान बलों के अनुसार निकाय और सतह बल

वांछित नौ कार्यों को बुनियादी समीकरणों (3) और (4), साथ ही सीमा शर्तों (6) को पूरा करना चाहिए।

दूसरे प्रकार का मुख्य कार्य विस्थापन का निर्धारण करना है क्षेत्र के अंदर बिंदु और तनाव क्षेत्र टेंसर घटक दी गई जन शक्तियों के अनुसार और शरीर की सतह पर दिए गए विस्थापन के अनुसार।

सुविधाओं की तलाश में और बुनियादी समीकरणों (3) और (4) और सीमा शर्तों (7) को पूरा करना चाहिए।

ध्यान दें कि सीमा की स्थिति (7) परिभाषित कार्यों की निरंतरता की आवश्यकता को दर्शाती है सीमा पर शरीर, यानी जब आंतरिक बिंदु सतह पर किसी बिंदु पर जाता है, फ़ंक्शन सतह पर दिए गए बिंदु पर दिए गए मान की ओर रुझान होना चाहिए।

तीसरे प्रकार की या मिश्रित समस्या की मुख्य समस्या यह है कि, शरीर की सतह के एक भाग पर सतही बलों को देखते हुए और शरीर की सतह के दूसरे भाग पर दिए गए विस्थापन के अनुसार और सामान्यतया, दिए गए शरीर बलों के अनुसार तनाव और विस्थापन टेंसर के घटकों को निर्धारित करना आवश्यक है , मिश्रित सीमा स्थितियों (8) के तहत बुनियादी समीकरण (3) और (4) को संतुष्ट करना।

इस समस्या का समाधान प्राप्त करने के बाद, यह निर्धारित करना संभव है, विशेष रूप से, बांड की ताकतों पर , इस सतह पर दिए गए विस्थापनों को महसूस करने के लिए सतह के बिंदुओं पर लागू किया जाना चाहिए, और सतह बिंदुओं के विस्थापन की गणना करना भी संभव है . कोर्सवर्क >> उद्योग, उत्पादन

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