माध्य लंबवत की परिभाषा। त्रिभुज के चार अद्भुत बिंदु

मध्य लंबवत (मध्य लंबवतया बीच-बचाव करनेवाली) दिए गए खंड के लंबवत और इसके मध्य बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

गुण

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; ए^2-बी^2+सी^2),$जहां सबस्क्रिप्ट उस पक्ष को इंगित करता है जिस पर लंबवत खींचा गया है, $एस$त्रिभुज का क्षेत्रफल है, और यह भी माना जाता है कि भुजाएँ असमानताओं से संबंधित हैं $ए\; \backslash geqslant\; b\; \backslash geqslant\; c.$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$और $p\_c\backslash geq\; p\_b.$दूसरे शब्दों में, एक त्रिभुज के लिए, सबसे छोटा माध्य लंब मध्य खंड को दर्शाता है।

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टिप्पणियाँ

लंबवत द्विभाजक की विशेषता वाला एक अंश

कुतुज़ोव, चबाने के लिए रुक गया, वोल्ज़ोजेन को आश्चर्य से देखता रहा, जैसे कि उसे समझ नहीं आ रहा था कि उसे क्या कहा जा रहा है। वोल्ज़ोजेन, डेस अल्टेन हेरन, [बूढ़े सज्जन (जर्मन)] के उत्साह को देखते हुए, मुस्कुराते हुए कहा:
- मैंने जो देखा, मैंने खुद को आपके आधिपत्य से छिपाने का हकदार नहीं माना ... सैनिक पूरी तरह से अस्त-व्यस्त हैं ...
- दिखाई दिया? क्या तुमने देखा? .. - कुतुज़ोव एक भ्रूभंग के साथ चिल्लाया, जल्दी से उठकर वोल्ज़ोजेन पर आगे बढ़ रहा था। "तुम्हारी हिम्मत कैसे हुई ... तुम्हारी हिम्मत कैसे हुई ...!" वह चिल्लाया, हाथ मिलाने और घुटन के साथ खतरनाक इशारे किए। - तुम्हारी हिम्मत कैसे हुई, मेरे प्यारे साहब, मुझसे यह कहो। तुम कुछ नहीं जानते। मुझसे जनरल बार्कले को बताएं कि उनकी जानकारी गलत है और लड़ाई का वास्तविक तरीका मुझे, कमांडर-इन-चीफ, उससे बेहतर पता है।
वोल्ज़ोजेन कुछ आपत्ति करना चाहता था, लेकिन कुतुज़ोव ने उसे रोक दिया।
- शत्रु को बायीं ओर खदेड़ दिया जाता है और दायीं ओर पराजित किया जाता है। यदि आपने अच्छी तरह से नहीं देखा है, प्रिय महोदय, तो जो आप नहीं जानते उसे अपने आप को कहने की अनुमति न दें। कृपया जनरल बार्कले के पास जाएं और उसे कल दुश्मन पर हमला करने के मेरे अपरिहार्य इरादे से अवगत कराएं, ”कुतुज़ोव ने सख्ती से कहा। हर कोई चुप था, और कोई सांस लेने वाले बूढ़े जनरल की एक भारी सांस सुन सकता था। - हर जगह खदेड़ दिया, जिसके लिए मैं भगवान और हमारी बहादुर सेना को धन्यवाद देता हूं। दुश्मन हार गया है, और कल हम उसे पवित्र रूसी भूमि से बाहर निकाल देंगे, - कुतुज़ोव ने खुद को पार करते हुए कहा; और अचानक फूट-फूट कर रोने लगा। वोल्ज़ोजेन, अपने कंधों को सिकोड़ते हुए और अपने होठों को मोड़ते हुए, चुपचाप एक तरफ हट गए, उबेर डाइस ईन्गेनमेनहाइट डेस अल्टेन हेरन पर आश्चर्य करते हुए। [बूढ़े सज्जन के इस अत्याचार पर। (जर्मन)]
"हाँ, वह यहाँ है, मेरा नायक," कुतुज़ोव ने मोटे, सुंदर काले बालों वाले जनरल से कहा, जो उस समय टीले में प्रवेश कर रहा था। यह रवेस्की था, जिसने पूरा दिन बोरोडिनो क्षेत्र के मुख्य बिंदु पर बिताया था।
रैव्स्की ने बताया कि सैनिक अपने स्थान पर मजबूती से खड़े थे और फ्रांसीसी ने अब और हमला करने की हिम्मत नहीं की। उसे सुनने के बाद, कुतुज़ोव ने फ्रेंच में कहा:
- वौस ने पेन्सेज़ डॉन पास कम लेसॉट्रेस क्यू नूस सोमेस ओब्लिजेस डे नूस रिटायरर? [तो आप नहीं सोचते, दूसरों की तरह, कि हमें पीछे हटना चाहिए?]

अनुदेश

वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के माध्यम से एक रेखा खींचें। आपको दिए गए खण्ड का लम्ब समद्विभाजक प्राप्त हुआ है।

अब हमें एक बिंदु और एक रेखा दी गई है। इस बिंदु से एक लंबवत खींचना आवश्यक है सुई को बिंदु पर रखें। त्रिज्या का एक वृत्त बनाएं (त्रिज्या एक बिंदु से एक रेखा तक होनी चाहिए ताकि वृत्त रेखा को दो बिंदुओं पर काट सके)। अब आपके पास लाइन पर दो बिंदु हैं। ये बिंदु एक रेखा बनाते हैं। ऊपर चर्चा किए गए एल्गोरिदम के अनुसार, खंड के लंबवत द्विभाजक का निर्माण करें, छोर प्राप्त बिंदु हैं। लंबवत को प्रारंभिक बिंदु से गुजरना चाहिए।

सीधी रेखाएँ बनाना तकनीकी ड्राइंग का आधार है। अब यह ग्राफिक संपादकों की मदद से तेजी से किया जा रहा है, जो डिजाइनर को बेहतरीन अवसर प्रदान करते हैं। हालांकि, कुछ निर्माण सिद्धांत शास्त्रीय ड्राइंग के समान ही रहते हैं - एक पेंसिल और एक शासक का उपयोग करना।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - पेंसिल;
• - शासक;
• - ऑटोकैड सॉफ्टवेयर वाला कंप्यूटर।

अनुदेश

एक क्लासिक निर्माण के साथ शुरू करें। उस समतल का निर्धारण करें जिसमें आप रेखा खींचेंगे। इसे कागज की एक शीट का समतल होने दें। समस्या की स्थितियों के आधार पर व्यवस्था करें। वे मनमाना हो सकते हैं, लेकिन यह संभव है कि एक समन्वय प्रणाली दी गई हो। मनमाना अंक जहां आपको सबसे अच्छा लगता है। उन्हें ए और बी लेबल करें। उन्हें जोड़ने के लिए एक शासक का उपयोग करें। अभिगृहीत के अनुसार, दो बिंदुओं और केवल एक के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना हमेशा संभव होता है।

एक समन्वय प्रणाली बनाएं। मान लीजिए आपको अंक A (x1; y1) दिए गए हैं। उन्हें बनाने के लिए, आवश्यक संख्या को x-अक्ष के अनुदिश अलग रखना और y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचना आवश्यक है। फिर संगत अक्ष के अनुदिश y1 के बराबर मान आलेखित करें। चिह्नित बिंदु से एक लंब तब तक खींचे जब तक कि वह प्रतिच्छेद न कर दे। उनके प्रतिच्छेदन का स्थान बिंदु A होगा। उसी तरह, बिंदु B ज्ञात कीजिए, जिसके निर्देशांक (x2; y2) के रूप में निरूपित किए जा सकते हैं। दोनों डॉट्स कनेक्ट करें।

ऑटोकैड में, कई . "द्वारा" फ़ंक्शन आमतौर पर डिफ़ॉल्ट रूप से सेट होता है। शीर्ष मेनू में "होम" टैब ढूंढें। आपके सामने Drawing पैनल दिखाई देगा। सीधी रेखा वाला बटन ढूंढें और उस पर क्लिक करें।

ऑटोकैड आपको दोनों के निर्देशांक निर्धारित करने की भी अनुमति देता है। नीचे डायल करें कमांड लाइन(_xline)। एंटर दबाए। पहले बिंदु के निर्देशांक दर्ज करें और एंटर भी दबाएं। दूसरे बिंदु को भी इसी तरह परिभाषित करें। इसे कर्सर को अंदर रखकर माउस क्लिक से भी निर्दिष्ट किया जा सकता है वांछित बिंदुस्क्रीन।

ऑटोकैड में, आप न केवल दो बिंदुओं से, बल्कि झुकाव के कोण से भी एक सीधी रेखा बना सकते हैं। ड्रा संदर्भ मेनू से, एक सीधी रेखा और फिर कोण विकल्प चुनें। प्रारंभिक बिंदु को माउस क्लिक या द्वारा सेट किया जा सकता है, जैसा कि पिछली विधि में था। फिर कोने का आकार सेट करें और एंटर दबाएं। डिफ़ॉल्ट रूप से, रेखा वांछित कोण पर क्षैतिज पर स्थित होगी।

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एक जटिल ड्राइंग (आरेख) पर खड़ापनप्रत्यक्ष और विमानमुख्य प्रावधानों द्वारा निर्धारित: यदि एक तरफ समकोणसमानांतर विमानअनुमान, तब इस तल पर बिना किसी विकृति के एक समकोण प्रक्षेपित किया जाता है; यदि एक रेखा दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के लंबवत है विमान, यह इसके लंबवत है विमान.

आपको चाहिये होगा

• पेंसिल, शासक, चांदा, त्रिकोण।

अनुदेश

उदाहरण: बिंदु M से होकर पर एक लंब खींचिए विमानपर लंब खींचना विमान, इसमें दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ पड़ी हैं विमान, और उनके लम्बवत एक रेखा का निर्माण करें। ललाट और क्षैतिज को इन दो प्रतिच्छेद रेखाओं के रूप में चुना जाता है। विमान.

ललाट f(f₁f₂) एक सीधी रेखा है जो में पड़ी है विमानऔर सामने के समानांतर विमानअनुमान . तो f₂ इसका प्राकृतिक मान है, और f₁ हमेशा x₁₂ के समानांतर होता है। बिंदु A₂ से x₁₂ के समानांतर h₂ खींचे और B₂C₂ पर बिंदु 1₂ प्राप्त करें।

पर संचार बिंदु 1₁ की प्रक्षेपण रेखा की सहायता से। A₁ से जुड़ें - यह h₁ है - क्षैतिज का प्राकृतिक आकार। बिंदु B₁ से f₁‖x₁₂ खीचें, A₁C₁ पर बिंदु 2₁ प्राप्त करें। प्रोजेक्शन कनेक्शन लाइन का उपयोग करके A₂C₂ पर बिंदु 2₂ खोजें। बिंदु B₂ से जुड़ें - यह f₂ होगा - सामने का पूर्ण आकार।

निर्मित प्राकृतिक क्षैतिज h₁ और ललाट f₂ के लंबवत के प्रक्षेपणों का विमान. बिंदु M₂ से, इसका ललाट प्रक्षेपण a₂ 90 . के कोण पर खींचे

एक त्रिभुज में तथाकथित चार उल्लेखनीय बिंदु होते हैं: माध्यिका का प्रतिच्छेदन बिंदु। समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु, ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु और लंब समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु। आइए उनमें से प्रत्येक पर विचार करें।

त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 1

एक त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन पर: त्रिभुज की माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और शीर्ष से प्रारंभ करते हुए प्रतिच्छेदन बिंदु को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करती हैं।

प्रमाण।

त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें, जहाँ $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ इसकी माध्यिका है। चूँकि माध्यिकाएँ भुजाओं को आधे में विभाजित करती हैं। मध्य रेखा $A_1B_1$ पर विचार करें (चित्र 1)।

चित्र 1. त्रिभुज की माध्यिकाएँ

प्रमेय 1 से, $AB||A_1B_1$ और $AB=2A_1B_1$, इसलिए $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$। इसलिए त्रिभुज $ABM$ और $A_1B_1M$ पहले में समान हैं समानतात्रिभुज। फिर

इसी प्रकार, यह सिद्ध होता है कि

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

त्रिभुज के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 2

त्रिभुज के समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन पर: त्रिभुज के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

प्रमाण।

त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें, जहाँ $AM,\ BP,\ CK$ इसके समद्विभाजक हैं। बिंदु $O$ को द्विभाजक $AM\ और\ BP$ का प्रतिच्छेदन बिंदु होने दें। इस बिंदु से त्रिभुज की भुजाओं पर लंब खींचिए (चित्र 2)।

चित्र 2. त्रिभुज के समद्विभाजक

प्रमेय 3

एक गैर-विस्तारित कोण के द्विभाजक का प्रत्येक बिंदु इसके पक्षों से समान दूरी पर है।

प्रमेय 3 से, हमारे पास है: $OX=OZ,\ OX=OY$। इसलिए $OY=OZ$। इसलिए बिंदु $O$ कोण $ACB$ के किनारों से समान दूरी पर है और इसलिए इसके द्विभाजक $CK$ पर स्थित है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

किसी त्रिभुज के लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 4

त्रिभुज की भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

प्रमाण।

मान लीजिए एक त्रिभुज $ABC$ दिया गया है, $n,\ m,\ p$ इसके लंब समद्विभाजक। बिंदु $O$ को लंबवत द्विभाजक $n\ और\ m$ का प्रतिच्छेदन बिंदु होने दें (चित्र 3)।

चित्र 3. त्रिभुज के लम्ब समद्विभाजक

प्रमाण के लिए हमें निम्नलिखित प्रमेय की आवश्यकता है।

प्रमेय 5

किसी खंड के लंबवत द्विभाजक का प्रत्येक बिंदु दिए गए खंड के सिरों से समान दूरी पर होता है।

प्रमेय 3 से, हमारे पास है: $OB=OC,\ OB=OA$। इसलिए $OA=OC$। इसका मतलब यह है कि बिंदु $O$ खंड $AC$ के सिरों से समान दूरी पर है और इसलिए, इसके लंबवत द्विभाजक $p$ पर स्थित है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

त्रिभुज की ऊंचाईयों का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 6

किसी त्रिभुज की ऊँचाइयाँ या उनके विस्तार एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

प्रमाण।

त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें, जहां $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ इसकी ऊंचाई है। त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष से शीर्ष के सम्मुख भुजा के समांतर एक रेखा खींचिए। हमें एक नया त्रिभुज $A_2B_2C_2$ मिलता है (चित्र 4)।

चित्र 4. त्रिभुज की ऊँचाई

चूँकि $AC_2BC$ और $B_2ABC$ एक उभयनिष्ठ भुजा वाले समांतर चतुर्भुज हैं, तो $AC_2=AB_2$, अर्थात बिंदु $A$ भुजा $C_2B_2$ का मध्यबिंदु है। इसी तरह, हम पाते हैं कि बिंदु $B$ पक्ष $C_2A_2$ का मध्यबिंदु है, और बिंदु $C$ पक्ष $A_2B_2$ का मध्यबिंदु है। निर्माण से हमारे पास $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$ है। अत: $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ त्रिभुज $A_2B_2C_2$ के लम्ब समद्विभाजक हैं। फिर, प्रमेय 4 से, हमारे पास यह है कि ऊँचाई $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।