द्विघात समीकरण कैसे लिखें। ऑनलाइन कैलकुलेटर

सरल तरीके से। ऐसा करने के लिए, कोष्ठक में से z निकालें। आपको मिलता है: z(az + b) = 0. गुणनखंड लिखे जा सकते हैं: z=0 और az + b = 0, क्योंकि दोनों का परिणाम शून्य हो सकता है। संकेतन az + b = 0 में, हम दूसरे को एक भिन्न चिह्न के साथ दाईं ओर ले जाते हैं। यहाँ से हमें z1 = 0 और z2 = -b/а मिलता है। ये मूल की जड़ें हैं।

यदि az² + c \u003d 0 के रूप का एक अधूरा समीकरण है, तो इस मामले में वे केवल मुक्त शब्द को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करके पाए जाते हैं। इसका चिन्ह भी बदल दें। आपको रिकॉर्ड az² \u003d -s मिलता है। व्यक्त z² = -c/a. मूल लें और दो समाधान लिखें - वर्गमूल का एक सकारात्मक और एक नकारात्मक मान।

टिप्पणी

यदि समीकरण में भिन्नात्मक गुणांक हैं, तो भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए संपूर्ण समीकरण को उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें।

स्कूली बच्चों और छात्रों दोनों के लिए द्विघात समीकरणों को हल करने का तरीका जानना आवश्यक है, कभी-कभी यह एक वयस्क को रोजमर्रा की जिंदगी में मदद कर सकता है। कई विशिष्ट निर्णय विधियां हैं।

द्विघात समीकरणों को हल करना

फॉर्म का एक द्विघात समीकरण a*x^2+b*x+c=0. गुणांक x वांछित चर है, a, b, c - संख्यात्मक गुणांक। याद रखें कि "+" चिह्न "-" चिह्न में बदल सकता है।

इस समीकरण को हल करने के लिए, आपको विएटा प्रमेय का उपयोग करना चाहिए या विवेचक का पता लगाना चाहिए। सबसे आम तरीका है विवेचक को खोजना, क्योंकि a, b, c के कुछ मानों के लिए Vieta प्रमेय का उपयोग करना संभव नहीं है।

विभेदक (D) को खोजने के लिए, आपको सूत्र D=b^2 - 4*a*c लिखना होगा। D का मान शून्य से अधिक, कम या उसके बराबर हो सकता है। यदि डी शून्य से बड़ा या कम है, तो दो मूल होंगे, यदि डी = 0, तो केवल एक जड़ शेष है, अधिक सटीक रूप से, हम कह सकते हैं कि इस मामले में डी की दो समकक्ष जड़ें हैं। ज्ञात गुणांक a, b, c को सूत्र में रखें और मान की गणना करें।

विवेचक मिल जाने के बाद, x ज्ञात करने के लिए, सूत्रों का उपयोग करें: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a जहां sqrt दी गई संख्या का वर्गमूल निकालने का कार्य है। इन व्यंजकों की गणना करने के बाद, आप अपने समीकरण के दो मूल पाएंगे, जिसके बाद समीकरण को हल माना जाता है।

यदि D शून्य से कम है, तब भी उसके मूल हैं। स्कूल में, इस खंड का व्यावहारिक रूप से अध्ययन नहीं किया जाता है। विश्वविद्यालय के छात्रों को पता होना चाहिए कि मूल के नीचे एक नकारात्मक संख्या दिखाई देती है। हम काल्पनिक भाग को अलग करके इससे छुटकारा पाते हैं, अर्थात -1 जड़ के नीचे हमेशा काल्पनिक तत्व "i" के बराबर होता है, जिसे उसी सकारात्मक संख्या के साथ मूल से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि D=sqrt(-20), परिवर्तन के बाद, D=sqrt(20)*i प्राप्त होता है। इस परिवर्तन के बाद, समीकरण का हल मूलों के समान खोज में कम हो जाता है, जैसा कि ऊपर वर्णित है।

Vieta के प्रमेय में x(1) और x(2) मानों का चयन शामिल है। दो समान समीकरणों का उपयोग किया जाता है: x(1) + x(2)= -b; एक्स (1) * एक्स (2) = एस। इसके अलावा, एक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु गुणांक बी के सामने का चिन्ह है, याद रखें कि यह चिन्ह समीकरण में एक के विपरीत है। पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि x(1) और x(2) की गणना करना बहुत सरल है, लेकिन हल करते समय, आप इस तथ्य का सामना करेंगे कि संख्याओं को ठीक से चुनना होगा।

द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए तत्व

गणित के नियमों के अनुसार, कुछ का गुणनखंड किया जा सकता है: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, यदि आप गणितीय सूत्रों का उपयोग करके इस द्विघात समीकरण को इस तरह बदलने में कामयाब रहे, तो बेझिझक उत्तर लिखो। x(1) और x(2) कोष्ठकों में आसन्न गुणांकों के बराबर होंगे, लेकिन विपरीत चिह्न के साथ।

इसके अलावा, अपूर्ण द्विघात समीकरणों के बारे में मत भूलना। हो सकता है कि आपको कुछ पद याद आ रहे हों, यदि ऐसा है, तो इसके सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं। यदि x^2 या x के पहले कुछ नहीं है, तो गुणांक a और b 1 के बराबर हैं।

द्विघात समीकरण - हल करने में आसान! *आगे पाठ "केयू" में।दोस्तों, ऐसा लगता है कि गणित में इस तरह के समीकरण को हल करने से ज्यादा आसान हो सकता है। लेकिन कुछ ने मुझे बताया कि बहुत से लोगों को उससे समस्या है। मैंने यह देखने का फैसला किया कि यांडेक्स प्रति माह प्रति अनुरोध कितने इंप्रेशन देता है। यहाँ क्या हुआ, एक नज़र डालें:

इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि हर महीने लगभग 70,000 लोग इस जानकारी की तलाश कर रहे हैं, और यह गर्मी है, और स्कूल वर्ष के दौरान क्या होगा - इसके लिए दोगुने अनुरोध होंगे। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि वे लड़के और लड़कियां जिन्होंने लंबे समय से स्कूल से स्नातक किया है और परीक्षा की तैयारी कर रहे हैं, वे इस जानकारी की तलाश में हैं, और स्कूली बच्चे भी अपनी याददाश्त को ताज़ा करने की कोशिश कर रहे हैं।

इस तथ्य के बावजूद कि बहुत सारी साइटें हैं जो बताती हैं कि इस समीकरण को कैसे हल किया जाए, मैंने सामग्री को योगदान और प्रकाशित करने का भी फैसला किया। सबसे पहले, मैं चाहता हूं कि आगंतुक इस अनुरोध पर मेरी साइट पर आएं; दूसरे, अन्य लेखों में, जब भाषण "केयू" आएगा, तो मैं इस लेख का लिंक दूंगा; तीसरा, मैं आपको उनके समाधान के बारे में कुछ और बताऊंगा जो आमतौर पर अन्य साइटों पर कहा जाता है। आएँ शुरू करें!लेख की सामग्री:

द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है:

जहां गुणांक ए,बीऔर मनमानी संख्या के साथ, a≠0 के साथ।

स्कूल पाठ्यक्रम में, सामग्री निम्नलिखित रूप में दी जाती है - समीकरणों को तीन वर्गों में विभाजित करना सशर्त रूप से किया जाता है:

1. दो जड़ें हों।

2. *केवल एक जड़ हो।

3. कोई जड़ नहीं है। यहां यह ध्यान देने योग्य है कि उनकी वास्तविक जड़ें नहीं हैं

जड़ों की गणना कैसे की जाती है? अभी-अभी!

हम विभेदक की गणना करते हैं। इस "भयानक" शब्द के तहत एक बहुत ही सरल सूत्र है:

मूल सूत्र इस प्रकार हैं:

*इन सूत्रों को दिल से जानना चाहिए।

आप तुरंत लिख सकते हैं और हल कर सकते हैं:

उदाहरण:

1. यदि D > 0, तो समीकरण के दो मूल हैं।

2. यदि D = 0 है, तो समीकरण का एक मूल है।

3. यदि डी< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

आइए समीकरण को देखें:

इस अवसर पर जब विवेचक शून्य होता है, तो स्कूल पाठ्यक्रम कहता है कि एक जड़ प्राप्त होती है, यहाँ यह नौ के बराबर है। यह सही है, यह है, लेकिन...

यह प्रतिनिधित्व कुछ हद तक गलत है। वास्तव में, दो जड़ें हैं। हाँ, हाँ, चौंकिए मत, इससे दो बराबर मूल निकलते हैं, और गणितीय रूप से सटीक होने के लिए, उत्तर में दो मूल लिखे जाने चाहिए:

एक्स 1 = 3 एक्स 2 = 3

लेकिन ऐसा है - एक छोटा विषयांतर। स्कूल में, आप लिख सकते हैं और कह सकते हैं कि केवल एक जड़ है।

अब निम्नलिखित उदाहरण:

जैसा कि हम जानते हैं, ऋणात्मक संख्या का मूल नहीं निकाला जाता है, इसलिए इस मामले में कोई समाधान नहीं है।

यह पूरी निर्णय प्रक्रिया है।

द्विघात फंक्शन।

यहां बताया गया है कि समाधान ज्यामितीय रूप से कैसा दिखता है। यह समझना अत्यंत महत्वपूर्ण है (भविष्य में, एक लेख में, हम द्विघात असमानता के समाधान का विस्तार से विश्लेषण करेंगे)।

यह प्रपत्र का एक कार्य है:

जहाँ x और y चर हैं

a, b, c दी गई संख्याएँ हैं, जहाँ a 0

ग्राफ एक परवलय है:

यही है, यह पता चला है कि शून्य के बराबर "y" के साथ एक द्विघात समीकरण को हल करके, हम x-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं। इनमें से दो बिंदु हो सकते हैं (विभेदक सकारात्मक है), एक (विभेदक शून्य है) या कोई नहीं (विभेदक नकारात्मक है)। द्विघात फलन के बारे में अधिक जानकारी आप देख सकते हैंइन्ना फेल्डमैन द्वारा लेख।

उदाहरणों पर विचार करें:

उदाहरण 1: निर्णय लें 2x 2 +8 एक्स–192=0

a=2 b=8 c= -192

डी = बी 2 -4ac = 8 2 -4∙2∙ (-192) = 64+1536 = 1600

उत्तर: x 1 = 8 x 2 = -12

* आप समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को तुरंत 2 से विभाजित कर सकते हैं, अर्थात इसे सरल बना सकते हैं। गणना आसान हो जाएगी।

उदाहरण 2: निर्णय करना x2–22 एक्स+121 = 0

ए = 1 बी = -22 सी = 121

डी = बी 2 -4 एसी = (-22) 2 -4∙1∙121 = 484-484 = 0

हमें वह x 1 \u003d 11 और x 2 \u003d 11 . मिला

उत्तर में x = 11 लिखने की अनुमति है।

उत्तर: एक्स = 11

उदाहरण 3: निर्णय करना x 2 -8x+72 = 0

ए = 1 बी = -8 सी = 72

डी = बी 2 -4 एसी = (-8) 2 -4∙1∙72 = 64-288 = -224

विवेचक ऋणात्मक है, वास्तविक संख्या में कोई हल नहीं है।

उत्तर: कोई समाधान नहीं

विभेदक नकारात्मक है। एक समाधान है!

यहां हम उस मामले में समीकरण को हल करने के बारे में बात करेंगे जब एक नकारात्मक विवेचक प्राप्त होता है। क्या आप सम्मिश्र संख्याओं के बारे में कुछ जानते हैं? मैं यहाँ विस्तार में नहीं जाऊँगा कि वे क्यों और कहाँ उत्पन्न हुए और गणित में उनकी विशिष्ट भूमिका और आवश्यकता क्या है, यह एक बड़े अलग लेख का विषय है।

एक जटिल संख्या की अवधारणा।

थोड़ा सिद्धांत।

एक सम्मिश्र संख्या z, रूप की एक संख्या है

जेड = ए + द्वि

जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, i तथाकथित काल्पनिक इकाई है।

a+bi एक एकल संख्या है, जोड़ नहीं।

काल्पनिक इकाई माइनस वन के मूल के बराबर होती है:

अब समीकरण पर विचार करें:

दो संयुग्मी जड़ें प्राप्त करें।

अधूरा द्विघात समीकरण।

विशेष मामलों पर विचार करें, यह तब होता है जब गुणांक "बी" या "सी" शून्य के बराबर होता है (या दोनों शून्य के बराबर होते हैं)। वे बिना किसी भेदभाव के आसानी से हल हो जाते हैं।

स्थिति 1. गुणांक b = 0.

समीकरण रूप लेता है:

आइए रूपांतरित करें:

उदाहरण:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

स्थिति 2. गुणांक c = 0.

समीकरण रूप लेता है:

रूपांतरण, गुणनखंड करना:

*उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है।

उदाहरण:

9x 2 -45x = 0 => 9x (x-5) = 0 => x = 0 या x-5 =0

एक्स 1 = 0 एक्स 2 = 5

स्थिति 3. गुणांक b = 0 और c = 0।

यहाँ यह स्पष्ट है कि समीकरण का हल हमेशा x = 0 होगा।

गुणांक के उपयोगी गुण और पैटर्न।

ऐसे गुण हैं जो बड़े गुणांक वाले समीकरणों को हल करने की अनुमति देते हैं।

एएक्स 2 + बीएक्स+ सी=0 समानता

ए + बी+ सी = 0,तब

— यदि समीकरण के गुणांकों के लिए एएक्स 2 + बीएक्स+ सी=0 समानता

ए+ के साथ =बी, तब

ये गुण एक निश्चित प्रकार के समीकरण को हल करने में मदद करते हैं।

उदाहरण 1: 5001 एक्स 2 –4995 एक्स – 6=0

गुणांकों का योग 5001+ है ( – 4995)+(– 6) = 0, तो

उदाहरण 2: 2501 एक्स 2 +2507 एक्स+6=0

समानता ए+ के साथ =बी, साधन

गुणांक की नियमितता।

1. यदि समीकरण में कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0 गुणांक "बी" (ए 2 +1) है, और गुणांक "सी" संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर है, तो इसकी जड़ें हैं

कुल्हाड़ी 2 + (ए 2 +1) एक्स + ए \u003d 0 \u003d\u003e एक्स 1 \u003d -ए एक्स 2 \u003d -1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 6x 2 +37x+6 = 0 पर विचार करें।

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6।

2. यदि समीकरण कुल्हाड़ी 2 - बीएक्स + सी \u003d 0 में, गुणांक "बी" (ए 2 +1) है, और गुणांक "सी" संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर है, तो इसकी जड़ें हैं

कुल्हाड़ी 2 - (ए 2 + 1) एक्स + ए \u003d 0 \u003d\u003e एक्स 1 \u003d ए एक्स 2 \u003d 1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 15x 2 -226x +15 = 0 पर विचार करें।

एक्स 1 = 15 एक्स 2 = 1/15।

3. यदि समीकरण मेंकुल्हाड़ी 2 + बीएक्स - सी = 0 गुणांक "बी" बराबर (एक 2 -1), और गुणांक "सी" संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर, तो इसकी जड़ें बराबर होती हैं

कुल्हाड़ी 2 + (ए 2 -1) एक्स - ए \u003d 0 \u003d\u003e एक्स 1 \u003d - ए एक्स 2 \u003d 1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 17x 2 + 288x - 17 = 0 पर विचार करें।

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17।

4. यदि समीकरण कुल्हाड़ी 2 - बीएक्स - सी \u003d 0 में, गुणांक "बी" बराबर है (ए 2 - 1), और गुणांक सी संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर है, तो इसकी जड़ें हैं

कुल्हाड़ी 2 - (ए 2 -1) एक्स - ए \u003d 0 \u003d\u003e एक्स 1 \u003d ए एक्स 2 \u003d - 1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 10x2 - 99x -10 = 0 पर विचार करें।

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

विएटा का प्रमेय।

विएटा के प्रमेय का नाम प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रेंकोइस विएटा के नाम पर रखा गया है। विएटा के प्रमेय का उपयोग करते हुए, एक मनमाना KU की जड़ों के योग और गुणनफल को इसके गुणांकों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

कुल मिलाकर, संख्या 14 केवल 5 और 9 देती है। ये मूल हैं। एक निश्चित कौशल के साथ, प्रस्तुत प्रमेय का उपयोग करके, आप कई द्विघात समीकरणों को तुरंत मौखिक रूप से हल कर सकते हैं।

विएटा का प्रमेय, इसके अलावा। सुविधाजनक है क्योंकि द्विघात समीकरण को सामान्य तरीके से (विभेदक के माध्यम से) हल करने के बाद, परिणामी जड़ों की जाँच की जा सकती है। मैं इसे हर समय करने की सलाह देता हूं।

स्थानांतरण विधि

इस पद्धति के साथ, गुणांक "ए" को मुक्त शब्द से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "स्थानांतरित" किया जाता है, यही कारण है कि इसे कहा जाता है स्थानांतरण विधि।इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ों को खोजना आसान होता है और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि जब विवेचक एक सटीक वर्ग होता है।

यदि एक ए± बी+सी 0, तब स्थानांतरण तकनीक का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए:

2एक्स 2 – 11एक्स+ 5 = 0 (1) => एक्स 2 – 11एक्स+ 10 = 0 (2)

समीकरण (2) में वियत प्रमेय के अनुसार, यह निर्धारित करना आसान है कि x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

समीकरण की प्राप्त जड़ों को 2 से विभाजित किया जाना चाहिए (चूंकि दोनों को x 2 से "फेंक" दिया गया था), हम प्राप्त करते हैं

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5।

तर्क क्या है? देखिए क्या हो रहा है।

समीकरणों के विभेदक (1) और (2) हैं:

यदि आप समीकरणों की जड़ों को देखते हैं, तो केवल अलग-अलग हर प्राप्त होते हैं, और परिणाम x 2 पर गुणांक पर सटीक रूप से निर्भर करता है:

दूसरी (संशोधित) जड़ें 2 गुना बड़ी होती हैं।

इसलिए, हम परिणाम को 2 से विभाजित करते हैं।

*यदि हम एक तरह के तीन रोल करते हैं, तो हम परिणाम को 3 से विभाजित करते हैं, और इसी तरह।

उत्तर: x 1 = 5 x 2 = 0.5

वर्ग उर-यानी और परीक्षा।

मैं इसके महत्व के बारे में संक्षेप में कहूंगा - आपको जल्दी से निर्णय लेने में सक्षम होना चाहिए और बिना सोचे-समझे आपको जड़ों के सूत्र और विवेचक को दिल से जानना होगा। बहुत सारे कार्य जो USE कार्यों का हिस्सा हैं, एक द्विघात समीकरण (ज्यामितीय सहित) को हल करने के लिए नीचे आते हैं।

क्या ध्यान देने योग्य है!

1. समीकरण का रूप "अंतर्निहित" हो सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित प्रविष्टि संभव है:

15+ 9x 2 - 45x = 0 या 15x+42+9x 2 - 45x=0 या 15 -5x+10x 2 = 0.

आपको इसे एक मानक रूप में लाने की आवश्यकता है (ताकि हल करते समय भ्रमित न हों)।

2. याद रखें कि x एक अज्ञात मान है और इसे किसी अन्य अक्षर - t, q, p, h और अन्य द्वारा निरूपित किया जा सकता है।

कोपयेवस्काया ग्रामीण माध्यमिक विद्यालय

द्विघात समीकरणों को हल करने के 10 तरीके

सिर: पेट्रीकीवा गैलिना अनातोल्येवना,

गणित शिक्षक

एस.कोपयेवो, 2007

1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1.1 प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण

1.2 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों को कैसे संकलित और हल किया

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

1.4 अल-ख्वारिज्मी में द्विघात समीकरण

1.5 यूरोप में द्विघात समीकरण XIII - XVII सदियों

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

2. द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

निष्कर्ष

साहित्य

1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1.1 प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण

प्राचीन काल में न केवल पहली, बल्कि दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता एक सैन्य प्रकृति के भूमि और भूकंप के क्षेत्रों को खोजने के साथ-साथ खगोल विज्ञान के विकास से संबंधित समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण थी। गणित ही। द्विघात समीकरण लगभग 2000 ईसा पूर्व हल करने में सक्षम थे। इ। बेबीलोनियाई।

आधुनिक बीजगणितीय संकेतन का उपयोग करते हुए, हम कह सकते हैं कि उनके क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में, अपूर्ण लोगों के अलावा, ऐसे भी हैं, उदाहरण के लिए, पूर्ण द्विघात समीकरण:

एक्स 2 + एक्स = ¾; एक्स 2 - एक्स = 14,5

बेबीलोन के ग्रंथों में वर्णित इन समीकरणों को हल करने का नियम अनिवार्य रूप से आधुनिक के साथ मेल खाता है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बेबीलोन के लोग इस नियम पर कैसे आए। अब तक पाए गए लगभग सभी क्यूनिफॉर्म ग्रंथ व्यंजनों के रूप में बताए गए समाधानों के साथ केवल समस्याएं देते हैं, इस बात का कोई संकेत नहीं है कि वे कैसे पाए गए।

बेबीलोन में बीजगणित के उच्च स्तर के विकास के बावजूद, क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में ऋणात्मक संख्या की अवधारणा और द्विघात समीकरणों को हल करने के सामान्य तरीकों का अभाव है।

1.2 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों को कैसे संकलित और हल किया।

डायोफैंटस के अंकगणित में बीजगणित का एक व्यवस्थित विवरण नहीं होता है, लेकिन इसमें समस्याओं की एक व्यवस्थित श्रृंखला होती है, स्पष्टीकरण के साथ और विभिन्न डिग्री के समीकरणों को तैयार करके हल किया जाता है।

समीकरणों को संकलित करते समय, डायोफैंटस समाधान को सरल बनाने के लिए कुशलता से अज्ञात को चुनता है।

यहाँ, उदाहरण के लिए, उनके कार्यों में से एक है।

टास्क 11."दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि उनका योग 20 है और उनका गुणनफल 96 है"

डायोफैंटस का तर्क इस प्रकार है: यह समस्या की स्थिति से निम्नानुसार है कि वांछित संख्याएं समान नहीं हैं, क्योंकि यदि वे समान थीं, तो उनका उत्पाद 96 नहीं, बल्कि 100 के बराबर होगा। इस प्रकार, उनमें से एक से अधिक होगा उनकी राशि का आधा, यानी। 10+x, दूसरा छोटा है, अर्थात। 10's. उनके बीच का अंतर 2x .

इसलिए समीकरण:

(10 + एक्स)(10 - एक्स) = 96

100 - x 2 = 96

एक्स 2 - 4 = 0 (1)

यहां से एक्स = 2. वांछित संख्याओं में से एक है 12 , अन्य 8 . फेसला एक्स = -2डायोफैंटस के लिए मौजूद नहीं है, क्योंकि ग्रीक गणित केवल सकारात्मक संख्या जानता था।

यदि हम अज्ञात के रूप में वांछित संख्याओं में से किसी एक को चुनकर इस समस्या को हल करते हैं, तो हम समीकरण के समाधान पर आ जाएंगे

y(20 - y) = 96,

वाई 2 - 20y + 96 = 0. (2)

यह स्पष्ट है कि डायोफैंटस वांछित संख्याओं के आधे-अंतर को अज्ञात के रूप में चुनकर समाधान को सरल बनाता है; वह एक अपूर्ण द्विघात समीकरण (1) को हल करने के लिए समस्या को कम करने का प्रबंधन करता है।

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आर्यभट्ट द्वारा 499 में संकलित खगोलीय पथ "आर्यभट्टम" में द्विघात समीकरणों की समस्याएं पहले से ही पाई जाती हैं। एक अन्य भारतीय वैज्ञानिक, ब्रह्मगुप्त (7वीं शताब्दी) ने द्विघात समीकरणों को एकल विहित रूप में हल करने के सामान्य नियम को रेखांकित किया:

आह 2+ बी एक्स = सी, ए > 0. (1)

समीकरण (1) में, गुणांक, को छोड़कर ए, नकारात्मक भी हो सकता है। ब्रह्मगुप्त का शासन अनिवार्य रूप से हमारे साथ मेल खाता है।

प्राचीन भारत में, कठिन समस्याओं को हल करने में सार्वजनिक प्रतियोगिताएं आम थीं। पुरानी भारतीय किताबों में से एक में ऐसी प्रतियोगिताओं के बारे में कहा गया है: "जैसे सूरज अपनी चमक से सितारों को चमका देता है, वैसे ही एक विद्वान व्यक्ति सार्वजनिक सभाओं में बीजगणितीय समस्याओं को प्रस्तावित और हल करने में दूसरे की महिमा को चमकाएगा।" कार्यों को अक्सर काव्यात्मक रूप में तैयार किया जाता था।

यहाँ बारहवीं शताब्दी के प्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञ की समस्याओं में से एक है। भास्कर।

टास्क 13.

"बंदरों का एक डरावना झुंड और लताओं में बारह ...

बिजली खाकर मजा आ गया। वे कूदने लगे, लटक गए ...

उनमें से आठ भाग एक वर्ग में कितने बंदर थे,

घास के मैदान में मस्ती करते हुए। तुम बताओ, इस झुंड में?

भास्कर का हल इंगित करता है कि वह द्विघात समीकरणों के मूलों की द्वि-मूल्यवानता के बारे में जानता था (चित्र 3)।

समस्या 13 के संगत समीकरण है:

( एक्स /8) 2 + 12 = एक्स

भास्कर की आड़ में लिखते हैं:

x 2 - 64x = -768

और, इस समीकरण के बाएँ पक्ष को एक वर्ग में पूरा करने के लिए, वह दोनों पक्षों को जोड़ता है 32 2 , तब प्राप्त करना:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(एक्स - 32) 2 = 256,

एक्स - 32 = ± 16,

एक्स 1 = 16, एक्स 2 = 48।

1.4 अल-खोरेज़मी . में द्विघात समीकरण

अल-खोरेज़मी का बीजगणितीय ग्रंथ रैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण देता है। लेखक 6 प्रकार के समीकरणों को सूचीबद्ध करता है, उन्हें इस प्रकार व्यक्त करता है:

1) "वर्ग जड़ों के बराबर होते हैं", अर्थात। कुल्हाड़ी 2 + सी = बी एक्स।

2) "वर्ग संख्या के बराबर हैं", अर्थात। कुल्हाड़ी 2 = एस।

3) "मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात। आह = एस।

4) "वर्ग और संख्याएँ मूल के बराबर हैं", अर्थात्। कुल्हाड़ी 2 + सी = बी एक्स।

5) "वर्ग और मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात। आह 2+ बीएक्स = एस.

6) "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर हैं", अर्थात। बीएक्स + ग \u003d कुल्हाड़ी 2।

अल-ख्वारिज्मी के लिए, जो ऋणात्मक संख्याओं के प्रयोग से बचते थे, इनमें से प्रत्येक समीकरण की शर्तें जोड़ हैं, घटाव नहीं। इस मामले में, जिन समीकरणों का सकारात्मक समाधान नहीं होता है, उन्हें स्पष्ट रूप से ध्यान में नहीं रखा जाता है। लेखक अल-जबर और अल-मुकाबाला के तरीकों का उपयोग करके इन समीकरणों को हल करने के तरीकों की रूपरेखा तैयार करता है। उनके निर्णय, निश्चित रूप से, हमारे साथ पूरी तरह मेल नहीं खाते हैं। इस तथ्य का उल्लेख नहीं करने के लिए कि यह विशुद्ध रूप से अलंकारिक है, यह ध्यान दिया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, पहले प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करते समय

अल-खोरेज़मी, 17वीं शताब्दी से पहले के सभी गणितज्ञों की तरह, शून्य समाधान को ध्यान में नहीं रखते हैं, शायद इसलिए कि यह विशिष्ट व्यावहारिक समस्याओं में कोई फर्क नहीं पड़ता। पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय, अल-खोरेज़मी विशेष संख्यात्मक उदाहरणों का उपयोग करके हल करने के नियमों को निर्धारित करता है, और फिर ज्यामितीय प्रमाण।

कार्य 14."वर्ग और संख्या 21 10 जड़ों के बराबर हैं। जड़ का पता लगाएं" (समीकरण x 2 + 21 = 10x का मूल मानते हुए)।

लेखक का समाधान कुछ इस प्रकार है: जड़ों की संख्या को आधा में विभाजित करें, आपको 5 मिलता है, 5 को अपने आप से गुणा करें, उत्पाद से 21 घटाएं, 4 अवशेष। 4 की जड़ लें, आपको 2 मिलता है। 5 से 2 घटाएं, आप 3 प्राप्त करें, यह वांछित जड़ होगी। या 2 से 5 जोड़ें, जो 7 देगा, यह भी एक जड़ है।

ट्रीटीज़ अल-खोरेज़मी पहली पुस्तक है जो हमारे पास आई है, जिसमें द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण व्यवस्थित रूप से बताया गया है और उनके समाधान के सूत्र दिए गए हैं।

1.5 यूरोप में द्विघात समीकरण तेरहवें - XVII सदियों

यूरोप में अल-खोरेज़मी के मॉडल पर द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र सबसे पहले "अबेकस की पुस्तक" में निर्धारित किए गए थे, जिसे 1202 में इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची द्वारा लिखा गया था। यह विशाल कार्य, जो इस्लाम और प्राचीन ग्रीस के दोनों देशों में गणित के प्रभाव को दर्शाता है, प्रस्तुति की पूर्णता और स्पष्टता दोनों से प्रतिष्ठित है। लेखक ने स्वतंत्र रूप से समस्या समाधान के कुछ नए बीजीय उदाहरण विकसित किए और यूरोप में ऋणात्मक संख्याओं की शुरूआत करने वाले पहले व्यक्ति थे। उनकी पुस्तक ने न केवल इटली में, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में भी बीजीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। "अबेकस की पुस्तक" के कई कार्य 16 वीं - 17 वीं शताब्दी की लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में पारित हो गए। और आंशिक रूप से XVIII।

द्विघात समीकरणों को हल करने का सामान्य नियम एकल विहित रूप में घटाया गया:

एक्स 2+ बीएक्स = साथ,

गुणांक के संकेतों के सभी संभावित संयोजनों के लिए बी , साथयूरोप में केवल 1544 में एम. स्टीफेल द्वारा तैयार किया गया था।

Vieta के पास द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र की एक सामान्य व्युत्पत्ति है, लेकिन Vieta ने केवल सकारात्मक जड़ों को मान्यता दी है। इतालवी गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेली 16वीं शताब्दी में सबसे पहले थे। सकारात्मक और नकारात्मक जड़ों के अलावा, खाते में लें। केवल XVII सदी में। गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटन और अन्य वैज्ञानिकों के काम के लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरणों को हल करने का तरीका आधुनिक रूप लेता है।

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

एक द्विघात समीकरण के गुणांकों और इसकी जड़ों के बीच संबंध को व्यक्त करने वाली प्रमेय, जिसका नाम विएटा है, उनके द्वारा पहली बार 1591 में इस प्रकार तैयार किया गया था: "यदि बी + डीसे गुणा ए - ए 2 , बराबर बीडी, तब एबराबरी परऔर बराबर डी ».

विएटा को समझने के लिए यह याद रखना चाहिए कि लेकिन, किसी भी स्वर की तरह, उसके लिए अज्ञात (हमारी .) एक्स), स्वरों पर, डी- अज्ञात के लिए गुणांक। आधुनिक बीजगणित की भाषा में, विएटा के उपरोक्त सूत्रीकरण का अर्थ है: if

(ए + बी ) एक्स - एक्स 2 = अब ,

एक्स 2 - (ए + बी )एक्स + ए बी = 0,

एक्स 1 = ए, एक्स 2 = बी .

प्रतीकों का उपयोग करते हुए लिखे गए सामान्य सूत्रों द्वारा समीकरणों के मूल और गुणांक के बीच संबंध व्यक्त करते हुए, वियतनाम ने समीकरणों को हल करने के तरीकों में एकरूपता स्थापित की। हालाँकि, विएटा का प्रतीकवाद अभी भी अपने आधुनिक रूप से दूर है। उन्होंने ऋणात्मक संख्याओं को नहीं पहचाना, और इसलिए, समीकरणों को हल करते समय, उन्होंने केवल उन मामलों पर विचार किया जहां सभी जड़ें सकारात्मक हैं।

2. द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

द्विघात समीकरण वह आधार है जिस पर बीजगणित की भव्य इमारत टिकी हुई है। त्रिकोणमितीय, घातीय, लघुगणक, अपरिमेय और अनुवांशिक समीकरणों और असमानताओं को हल करने में द्विघात समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हम सभी जानते हैं कि स्कूल (ग्रेड 8) से स्नातक स्तर तक द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है।

अभी-अभी। सूत्रों और स्पष्ट सरल नियमों के अनुसार। पहले चरण में

दिए गए समीकरण को मानक रूप में लाना आवश्यक है, अर्थात्। देखने के लिए:

यदि इस रूप में आपको पहले से ही समीकरण दिया गया है, तो आपको पहले चरण को करने की आवश्यकता नहीं है। सबसे महत्वपूर्ण बात सही है

सभी गुणांक निर्धारित करें ए, बीऔर सी.

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र।

मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को कहते हैं विभेदक . जैसा कि आप देख सकते हैं, x ज्ञात करने के लिए, हम

उपयोग केवल ए, बी और सी. वे। ऑड्स फ्रॉम द्विघात समीकरण. बस ध्यान से डालें

मूल्यों ए, बी और सीइस सूत्र और गिनती में। के साथ प्रतिस्थापित करें उनकासंकेत!

उदाहरण के लिए, समीकरण में:

ए =1; बी = 3; सी = -4.

मानों को प्रतिस्थापित करें और लिखें:

उदाहरण लगभग हल हो गया:

यही उत्तर है।

सबसे आम गलतियाँ मूल्यों के संकेतों के साथ भ्रम हैं ए, बीऔर साथ. बल्कि, प्रतिस्थापन के साथ

जड़ों की गणना के लिए सूत्र में नकारात्मक मान। यहाँ विस्तृत सूत्र बचाता है

विशिष्ट संख्या के साथ। यदि गणना में कोई समस्या है, तो करें!

मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है:

यहां ए = -6; बी = -5; सी = -1

हम सब कुछ विस्तार से, ध्यान से, सभी संकेतों और कोष्ठकों के साथ कुछ भी याद किए बिना पेंट करते हैं:

अक्सर द्विघात समीकरण थोड़े अलग दिखते हैं। उदाहरण के लिए, इस तरह:

अब उन व्यावहारिक तकनीकों पर ध्यान दें जो त्रुटियों की संख्या को नाटकीय रूप से कम करती हैं।

पहला स्वागत. पहले आलसी मत बनो द्विघात समीकरण को हल करनाइसे मानक रूप में लाएं।

इसका क्या मतलब है?

मान लीजिए, किसी भी परिवर्तन के बाद, आपको निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

जड़ों का सूत्र लिखने में जल्दबाजी न करें! आप लगभग निश्चित रूप से बाधाओं को मिलाएंगे ए, बी और सी।

उदाहरण सही ढंग से बनाएँ। पहले, x चुकता, फिर बिना वर्ग के, फिर एक मुक्त सदस्य। ऐशे ही:

माइनस से छुटकारा पाएं। कैसे? हमें पूरे समीकरण को -1 से गुणा करना होगा। हम पाते हैं:

और अब आप जड़ों के लिए सूत्र को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं, विवेचक की गणना कर सकते हैं और उदाहरण को पूरा कर सकते हैं।

आप ही निर्णय लें। आपको जड़ों 2 और -1 के साथ समाप्त होना चाहिए।

दूसरा स्वागत।अपनी जड़ों की जाँच करें! द्वारा विएटा का प्रमेय.

दिए गए द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, अर्थात्। यदि गुणांक

x2+bx+c=0,

तबएक्स 1 एक्स 2 = सी

x1 +x2 =−बी

एक पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए जिसमें ए≠1:

एक्स 2 +बीएक्स+सी=0,

पूरे समीकरण को से विभाजित करें ए:

→ →

कहाँ पे एक्स 1और एक्स 2 - समीकरण की जड़ें।

रिसेप्शन तीसरा. यदि आपके समीकरण में भिन्नात्मक गुणांक हैं, तो भिन्नों से छुटकारा पाएं! गुणा

एक सामान्य भाजक के लिए समीकरण।

निष्कर्ष। व्यावहारिक सुझाव:

1. हल करने से पहले, हम द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाते हैं, इसे बनाते हैं सही.

2. यदि वर्ग में x के सामने ऋणात्मक गुणांक हो तो हम सभी को गुणा करके इसे समाप्त कर देते हैं

-1 के लिए समीकरण।

3. यदि गुणांक भिन्नात्मक हैं, तो हम संपूर्ण समीकरण को संगत से गुणा करके भिन्नों को समाप्त करते हैं

कारक।

4. यदि x वर्ग शुद्ध है, तो इसके लिए गुणांक एक के बराबर है, समाधान को आसानी से जांचा जा सकता है

कई गैर-सरल फ़ार्मुलों के कारण यह विषय पहली बार में जटिल लग सकता है। द्विघात समीकरणों में न केवल लंबी प्रविष्टियाँ होती हैं, बल्कि विवेचक के माध्यम से जड़ें भी पाई जाती हैं। कुल तीन नए सूत्र हैं। याद रखना बहुत आसान नहीं है। यह ऐसे समीकरणों के बारंबार हल के बाद ही संभव है। तब सारे सूत्र अपने आप याद आ जाएंगे।

द्विघात समीकरण का सामान्य दृश्य

यहां उनका स्पष्ट संकेतन प्रस्तावित है, जब सबसे बड़ी डिग्री पहले लिखी जाती है, और फिर - अवरोही क्रम में। अक्सर ऐसी स्थितियां होती हैं जब शर्तें अलग हो जाती हैं। फिर समीकरण को चर की डिग्री के अवरोही क्रम में फिर से लिखना बेहतर होता है।

आइए नोटेशन का परिचय दें। उन्हें नीचे दी गई तालिका में प्रस्तुत किया गया है।

यदि हम इन संकेतन को स्वीकार करते हैं, तो सभी द्विघात समीकरण निम्न संकेतन में कम हो जाते हैं।

इसके अलावा, गुणांक a 0. मान लें कि इस सूत्र को नंबर एक द्वारा दर्शाया गया है।

जब समीकरण दिया जाता है, तो यह स्पष्ट नहीं होता है कि उत्तर में कितने मूल होंगे। क्योंकि तीन विकल्पों में से एक हमेशा संभव है:

• समाधान की दो जड़ें होंगी;
• उत्तर एक नंबर होगा;
• समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

और जब निर्णय अंत तक नहीं लाया जाता है, तो यह समझना मुश्किल है कि किसी विशेष मामले में कौन सा विकल्प बाहर हो जाएगा।

द्विघात समीकरणों के अभिलेखों के प्रकार

कार्यों में अलग-अलग प्रविष्टियां हो सकती हैं। वे हमेशा द्विघात समीकरण के सामान्य सूत्र की तरह नहीं दिखेंगे। कभी-कभी इसमें कुछ शर्तों की कमी होगी। ऊपर जो लिखा गया था वह पूरा समीकरण है। इसमें दूसरा या तीसरा टर्म हटा दें तो कुछ और मिलता है। इन अभिलेखों को द्विघात समीकरण भी कहा जाता है, केवल अपूर्ण।

इसके अलावा, केवल वे शब्द जिनके लिए गुणांक "बी" और "सी" गायब हो सकते हैं। संख्या "ए" किसी भी परिस्थिति में शून्य के बराबर नहीं हो सकती। क्योंकि इस स्थिति में सूत्र एक रेखीय समीकरण में बदल जाता है। समीकरणों के अधूरे रूप के सूत्र इस प्रकार होंगे:

तो, केवल दो प्रकार हैं, पूर्ण के अलावा, अपूर्ण द्विघात समीकरण भी हैं। बता दें कि पहला फॉर्मूला नंबर दो और दूसरा नंबर तीन है।

विभेदक और उसके मूल्य पर जड़ों की संख्या की निर्भरता

समीकरण की जड़ों की गणना करने के लिए यह संख्या ज्ञात होनी चाहिए। इसकी गणना हमेशा की जा सकती है, चाहे द्विघात समीकरण का सूत्र कोई भी हो। विवेचक की गणना करने के लिए, आपको नीचे लिखी गई समानता का उपयोग करना होगा, जिसकी संख्या चार होगी।

गुणांकों के मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने के बाद, आप विभिन्न चिह्नों वाली संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं। यदि उत्तर हाँ है, तो समीकरण का उत्तर दो भिन्न मूल होंगे। एक ऋणात्मक संख्या के साथ, द्विघात समीकरण के मूल अनुपस्थित रहेंगे। यदि यह शून्य के बराबर है, तो उत्तर एक होगा।

पूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल किया जाता है?

दरअसल, इस मुद्दे पर विचार शुरू हो चुका है। क्योंकि पहले आपको विवेचक को खोजने की जरूरत है। यह स्पष्ट करने के बाद कि द्विघात समीकरण की जड़ें हैं, और उनकी संख्या ज्ञात है, आपको चर के लिए सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता है। यदि दो जड़ें हैं, तो आपको ऐसा सूत्र लागू करने की आवश्यकता है।

चूंकि इसमें "±" चिन्ह है, इसलिए दो मान होंगे। वर्गमूल चिह्न के नीचे का व्यंजक विवेचक है। इसलिए, सूत्र को एक अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है।

सूत्र पाँच। एक ही रिकॉर्ड से यह देखा जा सकता है कि यदि विवेचक शून्य है, तो दोनों मूल समान मान लेंगे।

यदि द्विघात समीकरणों का हल अभी तक नहीं निकाला गया है, तो विवेचक और परिवर्तनशील सूत्रों को लागू करने से पहले सभी गुणांकों के मूल्यों को लिख लेना बेहतर है। बाद में यह क्षण कठिनाइयों का कारण नहीं बनेगा। लेकिन शुरुआत में ही भ्रम होता है।

एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल किया जाता है?

यहां सब कुछ बहुत आसान है। यहां तक ​​कि अतिरिक्त सूत्रों की भी आवश्यकता नहीं है। और आपको उन लोगों की आवश्यकता नहीं होगी जो पहले से ही विवेचक और अज्ञात के लिए लिखे जा चुके हैं।

सबसे पहले, अपूर्ण समीकरण संख्या दो पर विचार करें। इस समानता में, अज्ञात मान को कोष्ठक से बाहर निकालना और रैखिक समीकरण को हल करना माना जाता है, जो कोष्ठक में रहेगा। उत्तर की दो जड़ें होंगी। पहला अनिवार्य रूप से शून्य के बराबर है, क्योंकि एक कारक है जिसमें स्वयं चर शामिल है। दूसरा एक रैखिक समीकरण को हल करके प्राप्त किया जाता है।

नंबर तीन पर अधूरा समीकरण समीकरण के बाईं ओर से संख्या को दाईं ओर स्थानांतरित करके हल किया जाता है। फिर आपको अज्ञात के सामने गुणांक से विभाजित करने की आवश्यकता है। यह केवल वर्गमूल निकालने के लिए रहता है और इसे दो बार विपरीत संकेतों के साथ लिखना न भूलें।

निम्नलिखित कुछ क्रियाएं हैं जो आपको द्विघात समीकरणों में बदलने वाली सभी प्रकार की समानताएं हल करने का तरीका सीखने में मदद करती हैं। वे असावधानी के कारण होने वाली गलतियों से बचने में छात्र की मदद करेंगे। व्यापक विषय "क्वाड्रिक समीकरण (ग्रेड 8)" का अध्ययन करते समय ये कमियां खराब ग्रेड का कारण हैं। इसके बाद, इन क्रियाओं को लगातार करने की आवश्यकता नहीं होगी। क्योंकि एक स्थिर आदत होगी।

• सबसे पहले आपको समीकरण को मानक रूप में लिखना होगा। यही है, पहला पद जिसमें चर की सबसे बड़ी डिग्री है, और फिर - बिना डिग्री और अंतिम - केवल एक संख्या।

• यदि गुणांक "ए" से पहले एक माइनस दिखाई देता है, तो यह शुरुआती के लिए द्विघात समीकरणों का अध्ययन करने के लिए काम को जटिल कर सकता है। इससे छुटकारा पाना ही बेहतर है। इस प्रयोजन के लिए, सभी समानता को "-1" से गुणा किया जाना चाहिए। इसका मतलब यह है कि सभी शब्द संकेत को विपरीत में बदल देंगे।

• उसी तरह, अंशों से छुटकारा पाने की सिफारिश की जाती है। बस समीकरण को उपयुक्त कारक से गुणा करें ताकि हर रद्द हो जाए।

उदाहरण

निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को हल करना आवश्यक है:

एक्स 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

एक्स 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)।

पहला समीकरण: x 2 - 7x \u003d 0. यह अधूरा है, इसलिए इसे सूत्र संख्या दो के लिए वर्णित के अनुसार हल किया जाता है।

ब्रैकेटिंग के बाद, यह पता चला: x (x - 7) \u003d 0।

पहला रूट मान लेता है: x 1 \u003d 0. दूसरा रैखिक समीकरण से मिलेगा: x - 7 \u003d 0. यह देखना आसान है कि x 2 \u003d 7.

दूसरा समीकरण: 5x2 + 30 = 0. फिर से अधूरा। केवल इसे तीसरे सूत्र के लिए वर्णित के रूप में हल किया गया है।

समीकरण के दाईं ओर 30 स्थानांतरित करने के बाद: 5x 2 = 30. अब आपको 5 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यह पता चला है: x 2 = 6. उत्तर संख्याएँ होंगी: x 1 = √6, x 2 = - 6.

तीसरा समीकरण: 15 - 2x - x 2 \u003d 0। यहाँ और नीचे, द्विघात समीकरणों का समाधान उन्हें एक मानक रूप में फिर से लिखकर शुरू होगा: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. अब दूसरे का उपयोग करने का समय है उपयोगी टिप और सब कुछ घटा एक से गुणा करें। यह x 2 + 2x - 15 \u003d 0 निकलता है। चौथे सूत्र के अनुसार, आपको विवेचक की गणना करने की आवश्यकता है: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64। यह एक है सकारात्मक संख्या। ऊपर जो कहा गया था, उससे यह पता चलता है कि समीकरण की दो जड़ें हैं। उन्हें पांचवें सूत्र के अनुसार गणना करने की आवश्यकता है। इसके अनुसार, यह पता चला है कि x \u003d (-2 ± 64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. फिर x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5।

चौथा समीकरण x 2 + 8 + 3x \u003d 0 इस में परिवर्तित हो गया है: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. इसका विवेचक इस मान के बराबर है: -23। चूंकि यह संख्या ऋणात्मक है, इस कार्य का उत्तर निम्नलिखित प्रविष्टि होगी: "कोई जड़ें नहीं हैं।"

पाँचवाँ समीकरण 12x + x 2 + 36 = 0 को इस प्रकार फिर से लिखा जाना चाहिए: x 2 + 12x + 36 = 0। विवेचक के लिए सूत्र लागू करने के बाद, संख्या शून्य प्राप्त होती है। इसका मतलब है कि इसकी एक जड़ होगी, जिसका नाम है: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6।

छठे समीकरण (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) को रूपांतरण की आवश्यकता होती है, जिसमें यह तथ्य शामिल होता है कि आपको कोष्ठक खोलने से पहले समान पदों को लाने की आवश्यकता है। पहले वाले के स्थान पर ऐसा व्यंजक होगा: x 2 + 2x + 1. समानता के बाद, यह प्रविष्टि दिखाई देगी: x 2 + 3x + 2. समान पदों की गणना के बाद, समीकरण रूप लेगा: x 2 - x \u003d 0. यह अधूरा हो गया है। इसके समान पहले से ही थोड़ा अधिक माना गया है। इसका मूल अंक 0 और 1 होगा।