Правилото за отваряне на скоби при умножение. Отваряне на скоби: правила и примери (7 клас)

В този урок ще научите как да трансформирате израз, който съдържа скоби, в израз, който не съдържа скоби. Ще научите как да отваряте скоби, предшествани от знак плюс и знак минус. Ще си спомним как да отваряме скоби, използвайки разпределителния закон на умножението. Разгледаните примери ще позволят да се свържат нов и предварително проучен материал в едно цяло.

Тема: Решаване на уравнения

Урок: Разширяване на скоби

Как да отворите скоби, предшествани от знак "+". Използване на асоциативния закон за събиране.

Ако трябва да добавите сумата от две числа към число, тогава можете да добавите първия член към това число, а след това втория.

Вляво от знака за равенство е израз със скоби, а вдясно е израз без скоби. Това означава, че при преминаване от лявата страна на равенството към дясната, скобите са били отворени.

Помислете за примери.

Пример 1

Разширявайки скобите, променихме реда на операциите. Броенето стана по-удобно.

Пример 2

Пример 3

Обърнете внимание, че и в трите примера просто премахнахме скобите. Нека формулираме правилото:

Коментирайте.

Ако първият член в скоби е без знак, тогава той трябва да бъде написан със знак плюс.

Можете да следвате примера стъпка по стъпка. Първо добавете 445 към 889. Това умствено действие може да се извърши, но не е много лесно. Нека отворим скобите и да видим, че промененият ред на операциите значително ще опрости изчисленията.

Ако следвате посочения ред на действията, тогава първо трябва да извадите 345 от 512 и след това да добавите 1345 към резултата. Чрез разширяване на скобите ще променим реда на действията и ще опростим значително изчисленията.

Илюстративен пример и правило.

Помислете за пример: . Можете да намерите стойността на израза, като добавите 2 и 5 и след това вземете полученото число с противоположен знак. Получаваме -7.

От друга страна, същият резултат може да се получи чрез добавяне на противоположни числа.

Нека формулираме правилото:

Пример 1

Пример 2

Правилото не се променя, ако в скоби има не два, а три или повече термина.

Пример 3

Коментирайте. Знаците се обръщат само пред термините.

За да отворим скобите, в този случай трябва да си припомним разпределителното свойство.

Първо, умножете първата скоба по 2, а втората по 3.

Първата скоба се предхожда от знак „+“, което означава, че знаците трябва да бъдат оставени непроменени. Вторият е предшестван от знак „-“, следователно всички знаци трябва да бъдат обърнати

Библиография

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Математика 6 клас. - Гимназия, 2006г.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. - Просвещение, 1989г.
4. Рурукин A.N., Чайковски I.V. Задачи за курса по математика 5-6 клас - ЗШ МИФИ, 2011г.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Ръководство за ученици от 6-ти клас на задочно училище МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011г.
6. Шеврин L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Математика: Учебник събеседник за 5-6 клас гимназия. Библиотека на учителя по математика. - Просвещение, 1989г.

1. Онлайн тестове по математика ().
2. Можете да изтеглите посочените в точка 1.2. книги().

Домашна работа

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М .: Мнемозина, 2012. (виж връзка 1.2)
2. Домашна работа: No 1254, No 1255, No 1256 (б, г)
3. Други задачи: No 1258(в), No 1248

резюме на други презентации

"Графика на функциите 7-ми клас" -). 1. Конструирайте графика на функция по точки: 2. (. Примери, водещи до понятието за функция. Умножете мономи: Функционална графика на функция. Оценка 7. Представете изрази като моном стандартен изглед: Графика на функцията. зависима променлива. Независима променлива.

"Полином в алгебрата" - Какво се нарича редукция на подобни членове? 2a5a2 + a2 + a3 – 3a2. 4x6y3 + 2x2y2 + x. 3ax - 6ax + 9a2x. Отговорете на въпросите: 17a4 + 8a5 + 3a - a3. Урок по алгебра в 7 клас. устна работа. 1. Изберете полиноми, написани в стандартен вид: 12а2b - 18ab2 - 30ab3. учител по математика, МОУ "СОУ №2" Токарева Ю.И. Обяснете как да приведете полином в стандартна форма.

“Полиноми от 7-ми клас” - 1. 6. В резултат на умножаване на полином по полином се получава полином. 9. Буквалният множител на моном, написан в стандартна форма, се нарича коефициент на моном. 4. В резултат на умножаването на полином по моном се получава моном. 5. 5. Алгебричната сума от няколко монома се нарича полином. - + + - + + - + +. 3. Устна работа. 2.

“Редукция на алгебрични дроби” - 3. Основното свойство на дроб може да се запише по следния начин: , където b? 0, m? 0. 7. (a-b)?=(a-b) (a+b). Урок по алгебра в 7 клас „Алгебрични дроби. 1. Израз на формата се нарича алгебрична дроб. „Пътуване към света алгебрични дроби". Пътуване в света на алгебричните дроби. 2. В алгебричната дроб числителят и знаменателят са алгебрични изрази. „Пътуване в света на алгебричните дроби.“. Намаляване на дроби ”Учител на Степнинската средно училище Жусупова А.Б. Постиженията за големите хора никога не са били лесни!

"Отварящи се скоби" - Отварящи се скоби. ° С. математика. а. 7-ми клас. б. S = a b + a c.

"Координати на самолета" - Правоъгълна мрежа е използвана и от ренесансови художници. Съдържание Кратка бележка II. При игра на шах се използва и координатният метод. Заключение V. Литература VI. Оста y е y-ордината. Целта на Декарт е да опише природата от гледна точка на математически закони. С помощта на координатна мрежа пилотите и моряците определят местоположението на обектите. Правоъгълна координатна система. Кратка анотация. Приложение Колекция от задачи. Игралното поле се определяше от две координати - буква и цифра. Въведение Актуалност на темата.

Основната функция на скобите е да променят реда на действията при изчисляване на стойности. Например, в числовия израз \(5 3+7\) първо ще се изчисли умножението, а след това събирането: \(5 3+7 =15+7=22\). Но в израза \(5·(3+7)\) първо ще се изчислява събирането в скоби и едва след това умножението: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Пример. Разгънете скобата: \(-(4m+3)\).
Решение : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Разширете скобата и дайте подобни термини \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Пример. Разгънете скобите \(5(3-x)\).
Решение : Имаме \(3\) и \(-x\) в скобата и пет пред скобата. Това означава, че всеки член на скобата се умножава по \ (5 \) - напомням ви това знакът за умножение между число и скоба в математиката не се записва, за да намали размера на записите.

Пример. Разгънете скобите \(-2(-3x+5)\).
Решение : Както в предишния пример, поставените в скоби \(-3x\) и \(5\) се умножават по \(-2\).

Пример. Опростете израза: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Остава да разгледаме последната ситуация.

При умножаване на скоби по скоби, всеки член от първата скоба се умножава с всеки член от втория:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Разгънете скобите \((2-x)(3x-1)\).
Решение : Имаме продукт от скоби и той може да се отвори веднага с помощта на формулата по-горе. Но за да не се объркаме, нека направим всичко стъпка по стъпка.
Стъпка 1. Премахнете първата скоба - всеки от нейните членове се умножава по втората скоба:

Стъпка 2. Разширете продуктите на скобата с коефициента, както е описано по-горе:
- първо първият...

След това вторият.

Стъпка 3. Сега умножаваме и извеждаме подобни термини:

Не е необходимо да рисувате подробно всички трансформации, можете веднага да умножите. Но ако просто се учите да отваряте скоби - пишете подробно, ще има по-малък шанс да направите грешка.

Забележка към целия раздел.Всъщност не е нужно да помните всичките четири правила, трябва да запомните само едно, това: \(c(a-b)=ca-cb\) . Защо? Защото ако заместим едно вместо c, получаваме правилото \((a-b)=a-b\) . И ако заместим минус едно, получаваме правилото \(-(a-b)=-a+b\) . Е, ако замените друга скоба вместо c, можете да получите последното правило.

скоби в скоби

Понякога на практика има проблеми със скоби, вложени в други скоби. Ето пример за такава задача: да опрости израза \(7x+2(5-(3x+y))\).

За да постигнете успех в тези задачи, трябва:
- внимателно да разберете влагането на скоби - коя в коя е;
- отворете скобите последователно, като започнете например от най-вътрешната.

Важно е при отваряне на една от скобите не докосвайте останалата част от израза, просто го пренаписвам както е.
Нека вземем задачата по-горе като пример.

Пример. Отворете скобите и дайте подобни термини \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

Пример. Разгънете скобите и дайте подобни термини \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Това е тройно влагане на скоби. Започваме с най-вътрешния (маркиран в зелено). Пред скобите има плюс, така че просто се премахва.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Сега трябва да отворите втората скоба, междинна. Но преди това ще опростим израза, като посочим подобни термини в тази втора скоба.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Сега отваряме втората скоба (маркирана в синьо). Пред скобите има множител - така че всеки член в скобите се умножава по него.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		И отворете последната скоба. Преди скобата минус - значи всички знаци са обърнати.

Отварянето на скоби е основно умение в математиката. Без това умение е невъзможно да имате оценка над три в 8 и 9 клас. Затова препоръчвам добро разбиране на тази тема.

A + (b + c) може да се напише без скоби: a + (b + c) \u003d a + b + c. Тази операция се нарича разширяване на скоби.

Пример 1Нека отворим скобите в израза a + (- b + c).

Решение. a + (-b + c) = a + ((-b) + c) = a + (-b) + c = a-b + c.

Ако има знак „+“ преди скобите, тогава можете да пропуснете скобите и този знак „+“, като запазите знаците на термините в скоби. Ако първият член в скоби е изписан без знак, тогава той трябва да бъде написан със знак „+“.

Пример 2Нека намерим стойността на израза -2,87+ (2,87-7,639).

Решение.Отваряйки скобите, получаваме - 2,87 + (2,87 - 7,639) \u003d - - 2,87 + 2,87 - 7,639 \u003d 0 - 7,639 = - 7,639.

За да намерите стойността на израза - (- 9 + 5), трябва да добавите числа-9 и 5 и намерете числото, противоположно на получената сума: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

Една и съща стойност може да се получи по различен начин: първо запишете числата, противоположни на тези термини (т.е. променете техните знаци) и след това добавете: 9 + (- 5) = 4. Така - (- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

За да напишете сумата, противоположна на сбора от няколко члена, е необходимо да промените знаците на тези членове.

Така че - (a + b) \u003d - a - b.

Пример 3Намерете стойността на израза 16 - (10 -18 + 12).

Решение. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

За да отворите скобите, предшествани от знака „-“, трябва да замените този знак с „+“, като промените знаците на всички термини в скобите на противоположните и след това отворете скобите.

Пример 4Нека намерим стойността на израза 9.36-(9.36 - 5.48).

Решение. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) == 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5 ,48.

Отваряне на скоби и използване на комутативни и асоциативни свойства допълненияулесняват изчисленията.

Пример 5Намерете стойността на израза (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.

Решение.Първо отваряме скобите и след това намираме поотделно сбора от всички положителни и отделно сбора от всички отрицателни числа и накрая добавяме резултатите:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

Пример 6Намерете стойността на израза

Решение.Първо, ние представяме всеки член като сума от техните цели и дробни части, след това отваряме скобите, след което добавяме цялото и отделно дробначасти и накрая обобщете резултатите:

Как отваряте скоби, предхождани от знак "+"? Как можете да намерите стойността на израз, който е противоположен на сбора от няколко числа? Как да отворя скоби, предшествани от знак "-"?

1218. Разгънете скобите:

а) 3,4+(2,6+ 8,3); в) m+(n-k);

б) 4,57+(2,6 - 4,57); г) c+(-a + b).

1219. Намерете стойността на израза:

1220. Разгънете скобите:

а) 85+(7,8+ 98); г) -(80-16) + 84; g) а-(b-k-n);
б) (4,7 -17) + 7,5; д) -а + (m-2.6); з) - (a-b + c);
в) 64-(90 + 100); д) c+(-a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. Разгънете скобите и намерете стойността на израза:

1222. Опростете израза:

1223. Пиши количестводва израза и го опростете:

а) - 4 - m и m + 6,4; г) a + b и p - b
б) 1.1+a и -26-a; д) - m + n и -k - n;
в) a + 13 и -13 + b; д)m - n и n - m.

1224. Напишете разликата на два израза и я опростете:

1226. Използвайте уравнението, за да решите задачата:

а) На единия рафт има 42 книги, а на другия - 34. От втория рафт са извадени няколко книги, а на втория от първия са останали толкова. След това на първия рафт останаха 12 книги. Колко книги бяха свалени от втория рафт?

б) В първия клас има 42 ученика, във втория с 3 ученика по-малко, отколкото в третия. Колко ученици са в трети клас, ако в тези три класа има 125 ученици?

1227. Намерете стойността на израза:

1228. Изчислете устно:

1229. Намерете най-висока стойностизрази:

1230. Въведете 4 последователни цели числа, ако:

а) по-малкият от тях е равен на -12; в) по-малкият от тях е равен на n;
б) по-голямото от тях е равно на -18; г) по-голямото от тях е равно на k.

Съдържание на урока резюме на урокаподкрепа рамка презентация урок ускорителни методи интерактивни технологии Практика задачи и упражнения самоизпитване семинари, обучения, казуси, куестове домашна работа дискусия въпроси реторични въпроси от ученици Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картини графики, таблици, схеми хумор, анекдоти, вицове, комикси притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии чипове за любопитни cheat sheets учебници основни и допълнителен речник на термини други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебника, елементи на иновация в урока, замяна на остарелите знания с нови Само за учители перфектни уроци календарен планза година насокидискусионни програми Интегрирани уроци

Сред различните изрази, които се разглеждат в алгебрата, сборите от мономи заемат важно място. Ето примери за такива изрази:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Сборът от мономи се нарича полином. Членовете в полинома се наричат ​​членове на полинома. Монономите също се наричат ​​полиноми, като се разглежда монономът като полином, състоящ се от един член.

Например, полином
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
може да се опрости.

Представяме всички термини като мономи от стандартната форма:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Даваме подобни термини в получения полином:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Резултатът е полином, всички членове на който са мономи със стандартна форма и сред тях няма подобни. Такива полиноми се наричат полиноми със стандартен вид.

Отзад полиномна степенстандартната форма взема най-големите правомощия на своите членове. И така, биномът \(12a^2b - 7b \) има трета степен, а тричленът \(2b^2 -7b + 6 \) има втората.

Обикновено термините на полиноми със стандартна форма, съдържащи една променлива, са подредени в низходящ ред на нейните експоненти. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Сборът от няколко полинома може да бъде преобразуван (опростен) в полином със стандартна форма.

Понякога членовете на полинома трябва да бъдат разделени на групи, като всяка група се огражда в скоби. Тъй като скобите са противоположни на скобите, е лесно да се формулира правила за отваряне на скоби:

Ако знакът + се постави пред скобите, тогава термините, затворени в скоби, се изписват със същите знаци.

Ако пред скобите е поставен знак "-", тогава термините, затворени в скоби, се изписват с противоположни знаци.

Преобразуване (опростяване) на произведението на моном и полином

Използвайки разпределителното свойство на умножението, може да се трансформира (опрости) произведението на моном и полином в полином. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведението на моном и полином е идентично равно на сбора от произведенията на този моном и всеки от членовете на полинома.

Този резултат обикновено се формулира като правило.

За да се умножи един моном по полином, трябва да се умножи този моном по всеки от членовете на полинома.

Многократно сме използвали това правило за умножение по сума.

Произведение на полиноми. Преобразуване (опростяване) на произведението на два полинома

Най-общо, произведението на два полинома е идентично равно на сбора от произведението на всеки член от един полином и всеки член от другия.

Обикновено използвайте следното правило.

За да умножите полином по полином, трябва да умножите всеки член от един полином по всеки член на другия и да добавите получените продукти.

Съкратени формули за умножение. Сума, разлика и квадрати на разлика

Някои изрази в алгебричните трансформации трябва да се обработват по-често от други. Може би най-често срещаните изрази са \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), тоест квадратът на сбора, квадрат на разликата и квадратна разлика. Забелязахте, че имената на посочените изрази изглеждат непълни, така че например \((a + b)^2 \), разбира се, не е просто квадратът на сбора, а квадратът на сбора от а и б. Но квадратът на сбора от a и b не е толкова често срещан, като правило вместо буквите a и b съдържа различни, понякога доста сложни изрази.

Изразите \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) са лесни за преобразуване (опростяване) в полиноми от стандартната форма, всъщност вече сте се сблъсквали с такава задача при умножаването на полиноми :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Получените идентичности са полезни за запомняне и прилагане без междинни изчисления. Кратките словесни формулировки помагат за това.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадратът на сбора е равен на сбора от квадратите и двойното произведение.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадратът на разликата е сумата от квадратите без удвояване на произведението.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разликата на квадратите е равна на произведението на разликата и сбора.

Тези три идентичности позволяват в трансформациите да се заменят левите им части с десни и обратно – десните части с левите. Най-трудното в този случай е да видите съответните изрази и да разберете какви променливи a и b са заменени в тях. Нека разгледаме няколко примера за използване на съкратени формули за умножение.