Каква е площта на правоъгълен триъгълник? Как да намерите площта на триъгълник (формули)

В елементарната геометрия правоъгълният триъгълник е фигура, състояща се от три сегмента, свързани в точки, с ъгли, два от които са остри и един прав (т.е. равен на 90°). Правоъгълен триъгълниксе характеризира с редица важни свойства, много от които формират основата на тригонометрията (например връзката между нейните страни и ъгли). От училище всички знаем как да смятаме площ на правоъгълен триъгълник, а в ежедневието срещаме тази геометрична фигура доста често, понякога дори без да я забелязваме. Намира доста широко приложение в технологиите и затова инженерите, дизайнерите и архитектите често трябва да решават такъв проблем.

Архитектите трябва да определят тази стойност, когато проектират сгради с фронтони, които са завършек на фасадите и имат триъгълна формаограничена с корниз и отстрани с покривни наклони. Често ъгълът между склоновете е прав и в такива случаи фронтонът има формата на правоъгълен триъгълник. Необходимо е да се определи неговата площ по простата причина, че е необходимо да се знае точно количеството строителни материали, необходими за неговото подреждане. Трябва да се отбележи, че фронтоните са задължителни елементи на нискоетажни сгради (селски къщи, вили, дачи).

Намиране на площта на правоъгълен триъгълник

аб

а- крак

b- крак

С- площ на правоъгълен триъгълник

форма правоъгълен триъгълникимат много от детайлите, от които се изработват съвременните мебели. Както знаете, за да се използва максимално ефективно пространството на стаята, всички елементи от обзавеждането трябва да бъдат разположени в нея по оптимален начин. Можете да използвате добре области като ъгли, като използвате маси с триъгълна форма, чиито върхове в повечето случаи са правоъгълни триъгълници с крака, съседни на стените. При проектирането и изчисляването на тези елементи дизайнерите на мебелното производство използват формулата, според която намиране на площта на правоъгълен триъгълниксе извършва въз основа на дължината на страните му. В допълнение, те често трябва да разработват проекти за маси, прикрепени директно към стените, които включват поддържащи елементи, които също представляват правоъгълни триъгълници.

Строителите, занимаващи се с облицовъчни работи, често в професионалните си дейности трябва да използват керамични плочки във формата на правоъгълен триъгълник с крака с еднаква или различна дължина. Те също така трябва да определят площта на тези елементи, за да разберат необходимия брой.

форма правоъгълен триъгълникОсвен това има такъв важен и необходим инструмент за измерване като квадрат. Използва се за конструиране и контрол на прави ъгли и се използва много широко и от много: от обикновени ученици в уроците по геометрия до дизайнери на най-съвременни технологии.

Правоъгълен триъгълник се намира в действителност на почти всеки ъгъл. Познаването на свойствата на дадена фигура, както и способността да изчислявате нейната площ, несъмнено ще ви бъдат полезни не само за решаване на геометрични задачи, но и в житейски ситуации.

Геометрия на триъгълник

В елементарната геометрия правоъгълният триъгълник е фигура, която се състои от три свързани сегмента, които образуват три ъгъла (два остри и един прав). Правоъгълният триъгълник е оригинална фигура, характеризираща се с редица важни свойства, които формират основата на тригонометрията. За разлика от обикновения триъгълник, страните на правоъгълната фигура имат свои имена:

Хипотенузата е най-дългата страна на триъгълник, срещу правия ъгъл.
Краката са сегменти, които образуват прав ъгъл. В зависимост от разглеждания ъгъл катетът може да бъде съседен на него (образувайки този ъгъл с хипотенузата) или противоположен (лежащ срещу ъгъла). За неправоъгълните триъгълници няма катети.

Това е съотношението на краката и хипотенузата, което формира основата на тригонометрията: синусите, тангенсите и секантите се определят като съотношението на страните на правоъгълен триъгълник.

Правоъгълен триъгълник в действителност

Тази цифра е широко разпространена в действителност. Триъгълниците се използват в дизайна и технологиите, така че изчисляването на площта на фигурата трябва да се извършва от инженери, архитекти и дизайнери. Основите на тетраедрите или призмите - триизмерни фигури, които лесно се срещат в ежедневието - имат формата на триъгълник. Освен това квадратът е най-простото представяне на "плосък" правоъгълен триъгълник в действителност. Квадратът е металообработващ, чертожен, строителен и дърводелски инструмент, който се използва за конструиране на ъгли както от ученици, така и от инженери.

Площ на триъгълник

Площта на геометрична фигура е количествена оценка на това каква част от равнината е ограничена от страните на триъгълника. Площта на обикновен триъгълник може да се намери по пет начина, като се използва формулата на Heron или като се използват такива променливи като основа, страна, ъгъл и радиус на вписания или описан кръг. Най-простата формула за площ се изразява като:

където a е страната на триъгълника, h е неговата височина.

Формулата за изчисляване на площта на правоъгълен триъгълник е още по-проста:

където a и b са крака.

Работейки с нашия онлайн калкулатор, можете да изчислите площта на триъгълник, като използвате три двойки параметъра:

два крака;
крак и прилежащ ъгъл;
крак и противоположен ъгъл.

При проблеми или ежедневни ситуации ще ви бъдат дадени различни комбинации от променливи, така че тази форма на калкулатора ви позволява да изчислявате площта на триъгълник по няколко начина. Нека да разгледаме няколко примера.

Примери от реалния живот

Керамични плочки

Да речем, че искате да покриете стените на кухнята с керамични плочки, които имат формата на правоъгълен триъгълник. За да определите потреблението на плочки, трябва да разберете площта на един облицовъчен елемент и общата площ на обработваната повърхност. Да речем, че трябва да обработите 7 квадратни метра. Дължината на краката на един елемент е 19 см, тогава площта на плочката ще бъде равна на:

Това означава, че площта на един елемент е 24,5 квадратни сантиметра или 0,01805 квадратни метра. Познавайки тези параметри, можете да изчислите, че за да завършите 7 квадратни метра стена, ще ви трябват 7/0,01805 = 387 елемента облицовъчни плочки.

Училищна задача

Да кажем, че в училищен геометричен проблем трябва да намерите площта на правоъгълен триъгълник, като знаете само, че страната на единия катет е 5 см, а противоположният ъгъл е 30 градуса. Нашият онлайн калкулатор се предлага с илюстрация, показваща страните и ъглите на правоъгълен триъгълник. Ако страната a = 5 cm, тогава противоположният й ъгъл е ъгъл alpha, равен на 30 градуса. Въведете тези данни във формата на калкулатора и получете резултата:

По този начин калкулаторът не само изчислява площта на даден триъгълник, но също така определя дължината на съседния крак и хипотенузата, както и стойността на втория ъгъл.

Заключение

Правоъгълните триъгълници се срещат в живота ни буквално на всеки ъгъл. Определянето на площта на такива фигури ще ви бъде полезно не само при решаване на училищни задачи по геометрия, но и в ежедневните и професионални дейности.

В зависимост от вида на триъгълника има няколко варианта за намиране на площта му. Например, за да изчислите площта на правоъгълен триъгълник, използвайте формулата S= a * b / 2, където a и b са неговите крака. Ако искате да разберете площта на равнобедрен триъгълник, тогава трябва да разделите продукта на неговата основа и височина на две. Тоест S= b*h / 2, където b е основата на триъгълника, а h е неговата височина.

След това може да се наложи да изчислите площта на равнобедрен правоъгълен триъгълник. Тук на помощ идва следната формула: S = a* a / 2, където краката „a“ и „a“ задължително трябва да имат еднакви стойности.

Също така, често трябва да изчисляваме площта на равностранен триъгълник. Намира се по формулата: S= a * h/ 2, където a е страната на триъгълника, а h е неговата височина. Или според тази формула: S= √3/ 4 *a^2, където a е страната.

Как да намерите площта на правоъгълен триъгълник

Трябва ли да намерите площта на правоъгълен триъгълник, но формулировката на проблема не показва размерите на два от краката му наведнъж? Тогава не можем да използваме тази формула (S= a * b / 2) директно.

Нека разгледаме няколко възможни решения:

Ако не знаете дължината на единия катет, но са дадени размерите на хипотенузата и втория катет, тогава се обръщаме към великия Питагор и използвайки неговата теорема (a^2+b^2=c^2), изчисляваме дължината на неизвестния крак, след което го използваме, за да изчислим площта на триъгълника.
Ако са дадени дължината на единия катет и градусният наклон на ъгъла срещу него: намираме дължината на втория катет по формулата - a=b*ctg(C).
Дадени са: дължината на единия катет и градусният наклон на ъгъла, прилежащ към него: за да намерим дължината на втория катет, използваме формулата - a=b*tg(C).
И накрая, като се има предвид: ъгълът и дължината на хипотенузата: изчисляваме дължината на двата й катета, като използваме следните формули - b=c*sin(C) и a=c*cos(C).

Как да намерите площта на равнобедрен триъгълник

Площта на равнобедрен триъгълник може много лесно и бързо да се намери по формулата S= b*h / 2, но ако един от показателите липсва, задачата става много по-сложна. В крайна сметка е необходимо да се извършат допълнителни действия.

Възможни опции за задача:

Дадени са: дължината на една от страните и дължината на основата. Използвайки теоремата на Питагор, намираме височината, тоест дължината на втория крак. При условие, че дължината на основата, разделена на две, е кракът, а първоначално известната страна е хипотенузата.
Дадени са: основата и ъгълът между страната и основата. Изчисляваме височината по формулата h=c*ctg(B)/2 (не забравяйте да разделите страната „c” на две).
Дадени са: височината и ъгълът, образуван от основата и страната: използваме формулата c=h*tg(B)*2, за да намерим височината и умножаваме резултата по две. След това изчисляваме площта.
Известни са: дължината на страната и ъгълът, образуван между нея и височината. Решение: използваме формулите - c=a*sin(C)*2 и h=a*cos(C), за да намерим основата и височината, след което изчисляваме площта.

Как да намерите площта на равнобедрен правоъгълен триъгълник

Ако всички данни са известни, тогава с помощта на стандартната формула S= a* a / 2 изчисляваме площта на равнобедрен правоъгълен триъгълник, но ако някои индикатори не са посочени в проблема, тогава се извършват допълнителни действия.

Например: не знаем дължините на двете страни (помним, че в равнобедрен правоъгълен триъгълник те са равни), но дължината на хипотенузата е дадена. Нека приложим Питагоровата теорема, за да намерим еднаквите страни "a" и "a". Формула на Питагор: a^2+b^2=c^2. В случай на равнобедрен правоъгълен триъгълник, той се трансформира в следното: 2a^2 = c^2. Оказва се, че за да намерите катет „a“, трябва да разделите дължината на хипотенузата на корен от 2. Резултатът от решението ще бъде дължината на двата катета на равнобедрен правоъгълен триъгълник. След това намираме района.

Как да намерите площта на равностранен триъгълник

С помощта на формулата S= √3/ 4*a^2 можете лесно да изчислите площта на равностранен триъгълник. Ако радиусът на описаната окръжност на триъгълника е известен, тогава площта може да се намери с помощта на формулата: S= 3√3/ 4*R^2, където R е радиусът на окръжността.

Както може би си спомняте от училищната си програма по геометрия, триъгълникът е фигура, образувана от три сегмента, свързани с три точки, които не лежат на една и съща права линия. Триъгълникът образува три ъгъла, откъдето идва и името на фигурата. Дефиницията може да е различна. Триъгълник може да се нарече и многоъгълник с три ъгъла, отговорът също ще бъде правилен. Триъгълниците се делят според броя на равните страни и големината на ъглите във фигурите. Така триъгълниците се разграничават като равнобедрени, равностранни и мащабни, както и съответно правоъгълни, остри и тъпи.

Има много формули за изчисляване на площта на триъгълник. Изберете как да намерите площта на триъгълник, т.е. Коя формула да използвате зависи от вас. Но си струва да се отбележат само някои от обозначенията, които се използват в много формули за изчисляване на площта на триъгълник. И така, запомнете:

S е площта на триъгълника,

a, b, c са страните на триъгълника,

h е височината на триъгълника,

R е радиусът на описаната окръжност,

p е полупериметърът.

Ето основните обозначения, които могат да ви бъдат полезни, ако напълно сте забравили курса си по геометрия. По-долу са най-разбираемите и неусложнени опции за изчисляване на неизвестната и мистериозна площ на триъгълник. Не е трудно и ще ви бъде от полза както за вашите битови нужди, така и за помощ на вашите деца. Нека си припомним как да изчислим площта на триъгълник възможно най-лесно:

В нашия случай площта на триъгълника е: S = ½ * 2,2 см * 2,5 см = 2,75 кв. см. Не забравяйте, че площта се измерва в квадратни сантиметри (sqcm).

Правоъгълен триъгълник и неговата площ.

Правоъгълният триъгълник е триъгълник, в който единият ъгъл е равен на 90 градуса (оттук се нарича прав). Правият ъгъл се образува от две перпендикулярни прави (в случай на триъгълник, два перпендикулярни сегмента). В правоъгълен триъгълник може да има само един прав ъгъл, защото... сумата от всички ъгли на всеки триъгълник е равна на 180 градуса. Оказва се, че 2 други ъгъла трябва да разделят останалите 90 градуса, например 70 и 20, 45 и 45 и т.н. И така, помните основното, остава само да разберете как да намерите площта на правоъгълен триъгълник. Нека си представим, че имаме такъв правоъгълен триъгълник пред нас и трябва да намерим неговата площ S.

1. Най-простият начин за определяне на площта на правоъгълен триъгълник се изчислява по следната формула:

В нашия случай площта на правоъгълния триъгълник е: S = 2,5 см * 3 см / 2 = 3,75 кв. см.

По принцип вече няма нужда да проверявате площта на триъгълника по други начини, защото Само този ще бъде полезен и ще помогне в ежедневието. Но има и опции за измерване на площта на триъгълник чрез остри ъгли.

2. За други методи на изчисление трябва да имате таблица с косинуси, синуси и тангенси. Преценете сами, ето някои опции за изчисляване на площта на правоъгълен триъгълник, които все още могат да се използват:

Решихме да използваме първата формула и с някои малки петна (начертахме я в тетрадка и използвахме стара линийка и транспортир), но получихме правилното изчисление:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Получихме следните резултати: 3,6=3,7, но като вземем предвид изместването на клетките, можем да простим този нюанс.

Равнобедрен триъгълник и неговата площ.

Ако сте изправени пред задачата да изчислите формулата за равнобедрен триъгълник, тогава най-лесният начин е да използвате основната и това, което се счита за класическа формула за площта на триъгълник.

Но първо, преди да намерим площта на равнобедрен триъгълник, нека да разберем какъв вид фигура е това. Равнобедрен триъгълник е триъгълник, в който двете страни имат еднаква дължина. Тези две страни се наричат странични, третата страна се нарича основа. Не бъркайте равнобедрен триъгълник с равностранен триъгълник, т.е. правилен триъгълник с равни три страни. В такъв триъгълник няма специални тенденции към ъглите или по-скоро към техния размер. Ъглите при основата в равнобедрен триъгълник обаче са равни, но различни от ъгъла между равни страни. И така, вече знаете първата и основна формула, остава да разберете какви други формули за определяне на площта на равнобедрен триъгълник са известни.

Правоъгълен триъгълник е триъгълник, в който един от ъглите е 90°. Площта му може да се намери, ако са известни две страни. Можете, разбира се, да поемете по дългия път - да намерите хипотенузата и да изчислите площта с помощта на , но в повечето случаи това ще отнеме само допълнително време. Ето защо формулата за площта на правоъгълен триъгълник изглежда така:

Площта на правоъгълен триъгълник е равна на половината от произведението на краката.

Пример за изчисляване на площта на правоъгълен триъгълник.
Даден е правоъгълен триъгълник с катети а= 8 см, b= 6 см.
Ние изчисляваме площта:
Площта е: 24 cm 2

Теоремата на Питагор се прилага и за правоъгълен триъгълник. – сборът от квадратите на двата катета е равен на квадрата на хипотенузата.
Формулата за площта на равнобедрен правоъгълен триъгълник се изчислява по същия начин, както за правилен правоъгълен триъгълник.

Пример за изчисляване на площта на равнобедрен правоъгълен триъгълник:
Даден е триъгълник с крака а= 4 см, b= 4 см. Изчислете площта:
Изчислете площта: = 8 cm 2

Формулата за площта на правоъгълен триъгълник от хипотенузата може да се използва, ако на условието е даден един крак. От Питагоровата теорема намираме дължината на неизвестния катет. Например, като се има предвид хипотенузата ° Си крак а, крак bще бъде равно на:
След това изчислете площта, като използвате обичайната формула. Пример за изчисляване на формулата за площта на правоъгълен триъгълник въз основа на хипотенузата е идентичен с описания по-горе.

Нека разгледаме един интересен проблем, който ще помогне за консолидиране на знанията за формулите за решаване на триъгълник.
Задача: Площта на правоъгълен триъгълник е 180 квадратни метра. вижте, намерете по-малкия катет на триъгълника, ако той е с 31 см по-малък от втория.
Решение: нека обозначим краката аИ b. Сега нека заместим данните във формулата за площ: знаем също, че единият крак е по-малък от другия а – b= 31 см
От първото условие получаваме това
Заместваме това условие във второто уравнение: