Формули приведення із градусами повне пояснення. Формули приведення: доказ, приклади, менімонічне правило

Тема уроку

Зміна синуса, косинуса та тангенсу при зростанні кута.

Цілі уроку

Познайомитися з новими визначеннями та згадати деякі вже вивчені.
Познайомиться із закономірністю змін значень синуса косинуса та тангенсу при зростанні кута.
Розвиваючі – розвинути увагу учнів, усидливість, наполегливість, логічне мислення, математичне мовлення.
Виховні – за допомогою уроку виховувати уважне ставлення один до одного, прищеплювати вміння слухати товаришів, взаємовиручку, самостійність.

Завдання уроку

Перевірити знання учнів.

План уроку

Повторення раніше вивченого матеріалу.
Завдання на повторення.
Зміна синуса, косинуса та тангенсу при зростанні кута.
Практичне застосування.

Повторення раніше вивченого матеріалу

Почнемо з самого початку і згадаємо те, що буде корисно освіжити в пам'яті. Що таке синус, косинус і тангенс і якого розділу геометрії ставляться ці поняття.

Тригонометрія- це таке складне грецьке словоКабіна: тригонон - трикутник, метро - міряти. Отже по-грецьки це означає: міряються трикутниками.

Предмети > Математика > Математика 8 клас

Тригонометрія. Формули приведення.

Формули приведення не потрібно вивчати їх потрібно зрозуміти. Зрозуміти алгоритм їхнього виведення. Це дуже легко!

Візьмемо одиничне коло і розставимо всі градусні заходи (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) у ньому.

Розберемо в кожній чверті функції sin(a) та cos(a).

Запам'ятаємо, що функцію sin(a) дивимося на осі Y, а функцію cos(a) на осі X.

У першій чверті видно, що функція sin(a)>0
І функція cos(a)>0
Першу чверть можна описати через градусний захід, як (90-α) або (360+α).

У другій чверті видно, що функція sin(a)>0тому що вісь Y позитивна в цій чверті.
А функція cos(a) , тому що вісь X негативна у цій чверті.
Другу чверть можна описати через градусну міру як (90+α) або (180-α).

У третій чверті видно, що функції sin(a) Третю чверть можна описати через градусну міру, як (180+α) або (270-α).

У четвертій чверті видно, що функція sin(a) , тому що вісь Y є негативною в цій чверті.
А функція cos(a)>0тому що вісь X позитивна в цій чверті.
Четверту чверть можна описати через градусну міру як (270+α) або (360-α).

Тепер розглянемо формули приведення.

Запам'ятаємо простий алгоритм:
1. Чверть.(Завжди дивіться, у якій ви чверті знаходитесь).
2. Знак.(Щодо чверті дивіться позитивні або негативні функції косинуса або синуса).
3. Якщо у вас є в дужках (90° або π/2) та (270° або 3π/2), то функція змінюється.

І так почнемо розбирати по чвертях цей алгоритм.

З'ясуй чому буде дорівнює вираз cos(90-α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть перша.

Буде cos(90-α) = sin(α)

З'ясуй чому буде дорівнює вираз sin(90-α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть перша.

Буде sin(90-α) = cos(α)

З'ясуй чому буде дорівнює вираз cos(360+α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть перша.
2. У першій чверті знак функції косинуса позитивний.

Буде cos(360+α) = cos(α)

З'ясуй чому дорівнює вираз sin(360+α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть перша.
2. У першій чверті знак функції синуса позитивний.
3. У дужках немає (90° або π/2) та (270° або 3π/2), то функція не змінюється.
Буде sin(360+α) = sin(α)

З'ясуй чому буде дорівнює вираз cos(90+α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть друга.

3. У дужках є (90° або π/2), то функція змінюється з косинуса на синус.
Буде cos(90+α) = -sin(α)

З'ясуй чому буде дорівнює вираз sin(90+α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть друга.

3. У дужках є (90° або π/2), то функція змінюється із синуса на косинус.
Буде sin(90+α) = cos(α)

З'ясуй чому буде дорівнює вираз cos(180-α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть друга.
2. У другій чверті знак функції косинуса негативний.
3. У дужках немає (90° або π/2) та (270° або 3π/2), то функція не змінюється.
Буде cos(180-α) = cos(α)

З'ясуй чому дорівнює вираз sin(180-α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть друга.
2. У другій чверті знак функції синуса позитивний.
3. У дужках немає (90° або π/2) та (270° або 3π/2), то функція не змінюється.
Буде sin(180-α) = sin(α)

Розмірковую про третю і четверту чверть так складемо таблицю:

Підписуйтесь на канал на YOUTUBEі дивіться відео, підготуйтеся до іспитів з математики та геометрії з нами.

Визначення. Формулами приведення називають формули, які дозволяють перейти від тригонометричних функційвиду до функцій аргументу. З їх допомогою синус, косинус, тангенс та котангенс довільного кута можна привести до синуса, косінусу, тангенсу та котангенсу кута з інтервалу від 0 до 90 градусів (від 0 до радіан). Таким чином, формули приведення дозволяють переходити до роботи з кутами в межах 90 градусів, що, безсумнівно, дуже зручно.

Формули приведення:

Для використання формул приведення є два правила.

1. Якщо кут можна представити у вигляді (π/2±a) або (3*π/2±a), то назва функції змінюється sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Якщо ж кут можна уявити як (π ±a) або (2*π ±a), то назва функції залишається без змін.

Подивіться на малюнок нижче, там схематично зображено, коли слід міняти знак, а коли ні

2. Знак наведеної функції залишається тим самим. Якщо вихідна функція мала знак плюс, то і наведена функція має знак плюс. Якщо вихідна функція мала знак мінус, то і наведена функція має знак мінус.

На малюнку нижче представлено знаки основних тригонометричних функцій залежно від чверті.

Приклад:

Обчислити

Скористаємося формулами приведення:

Sin(150˚) знаходиться у другій чверті, на малюнку бачимо що знак sin у цій чверті дорівнює "+". Значить, у наведеної функції теж буде знак «+». Це ми застосували друге правило.

Тепер 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ це π/2. Тобто маємо справу з випадком π/2+60, отже, за першим правилом міняємо функцію з sin на cos. У результаті отримуємо Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Урок та презентація на тему: "Застосування формул приведення під час вирішення завдань"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу
1С: Школа. Інтерактивні завдання на побудову для 7-10 класів
1С: Школа. Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову у просторі для 10–11 класів

Що вивчатимемо:
1. Трохи повторимо.
2. Правила формул приведення.
3. Таблиця перетворень для формул приведення.
4. Приклади.

Повторення тригонометричних функцій

Хлопці, з формулами привида ви вже стикалися, але їх ще не називали. Як ви думаєте: де?

Подивіться на наші малюнки. Правильно, коли вводили визначення тригонометричних функцій.

Правило для формул приведення

Давайте введемо основне правило: Якщо під знаком тригонометричної функції міститься число виду π×n/2 + t, де n – будь-яке ціле число, нашу тригонометричну функцію можна привести до більш простому вигляду, яка міститиме лише аргумент t. Такі формули називають формулами привида.

Згадаймо деякі формули:

sin(t + 2π*k) = sin(t)
cos(t + 2π*k) = cos(t)
sin(t + π) = -sin(t)
cos(t + π) = -cos(t)
sin(t + π/2) = cos(t)
cos(t + π/2) = -sin(t)
tg(t + π*k) = tg(x)
ctg(t + π*k) = ctg(x)

формул привида дуже багато, давайте складемо правило за яким визначатимемо наші тригонометричні функції при використанні формул привиду:

Якщо під знаком тригонометричної функції містяться числа виду: π + t, π - t, 2π + t і 2π - t, то функція не зміниться, тобто, наприклад, синус залишиться синусом, котанген залишиться котангенсом.
Якщо під знаком тригонометричної функції містяться числа виду: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t і 3π/2 - t, то функція зміниться на споріднену, тобто синус стане косинусом, котангенс стане тангенсом.
Перед функцією, що вийшла, треба поставити той знак, який мала б перетворювана функція за умови 0

Ці правила застосовні, і коли аргумент функції заданий у градусах!

Також ми можемо скласти таблицю перетворень тригонометричних функцій:

Приклади застосування формул приведення

1.Перетворимо cos(π + t). Найменування функції залишається, тобто. отримаємо cos(t). Далі припустимо, що π/2

2. Перетворимо sin(π/2 + t). Найменування функції змінюється, тобто. отримаємо cos(t). Далі припустимо, що 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Перетворимо tg(π + t). Найменування функції залишається, тобто. отримаємо tg(t). Далі припустимо, що 0

4. Перетворимо ctg (2700 + t). Найменування функції змінюється, тобто отримаємо tg(t). Далі припустимо, що 0

Завдання з формулами приведення для самостійного вирішення

Діти, перетворіть самостійно, використовуючи наші правила:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) ctg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

Вони належать до розділу "тригонометрія" в математиці. Суть їх полягає у приведенні тригонометричних функцій кутів до «простішого» виду. Про важливість їхнього знання написати можна багато. Цих формул аж 32 штуки!

Не лякайтеся, вчити їх не треба, як і багато інших формул в курсі математики. Зайвою інформацією голову забивати не потрібно, необхідно запам'ятовувати «ключики» чи закони, і згадати чи вивести потрібну формулу проблемою не буде. До речі, коли я пишу у статтях «… потрібно вивчити!» - Це означає, що дійсно, це необхідно саме вивчити.

Якщо ви з формулами приведення не знайомі, то простота їх виведення вас приємно здивує – є «закон», за допомогою якого це легко зробити. І будь-яку із 32 формул ви напишіть за 5 секунд.

Перелічу лише деякі завдання, які будуть на ЄДІ з математики, де без знання цих формул є велика ймовірність зазнати фіаско у вирішенні. Наприклад:

– завдання на розв'язання прямокутного трикутника, де йдеться про зовнішній вугілля, та й завдання на внутрішні кутидеякі з цих формул теж потрібні.
- Завдання на обчислення значень тригонометричних виразів; перетворення числових тригонометричних виразів; перетворення буквених тригонометричних виразів.
- Завдання на дотичну і геометричний сенсщодо, потрібна формула приведення для тангенсу, а також інші завдання.
- стереометричні завдання, по ходу розв'язання не рідко потрібно визначити синус або косинус кута, що лежить в межах від 90 до 180 градусів.

І це лише ті моменти, які стосуються ЄДІ. А в самому курсі алгебри є безліч завдань, при вирішенні яких без знання формул приведення просто не обійтися.

То що ж до чого наводиться і як обумовлені формули спрощують нам вирішення завдань?

Наприклад, вам потрібно визначити синус, косинус, тангенс чи котангенс будь-якого кута від 0 до 450 градусів:

кут альфа лежить в межах від 0 до 90 градусів

* * *

Отже, необхідно усвідомити закон, який тут працює:

1. Визначте знак функції у відповідній чверті.

Нагадаю їх:

2. Запам'ятайте наступне:

функція змінюється на кофункцію

функція на кофункцію не змінюється

Що означає поняття – функція змінюється на кофункцію?

Відповідь: синус змінюється на косинус чи навпаки, тангенс на котангенс чи навпаки.

От і все!

Тепер за поданим законом запишемо кілька формул приведення самостійно:

Цей кут лежить у третій чверті, косинус у третій чверті негативний. Функцію на кофункцію не міняємо, тому що у нас 180 градусів, значить:

Кут лежить у першій чверті, синус у першій чверті позитивний. Не міняємо функцію на кофункцію, тому що у нас 360 градусів, значить:

Ось вам ще додаткове підтвердження того, що синуси суміжних кутів рівні:

Кут лежить у другій чверті, синус у другій чверті позитивний. Не міняємо функцію на кофункцію, тому що у нас 180 градусів, значить:

Пропрацюйте подумки чи письмово кожну формулу, і переконаєтеся, що нічого складного немає.

***

У статті на рішення було зазначено такий факт – синус одного гострого кута прямокутному трикутникудорівнює косинусу іншого гострого кута у ньому.

Головна > Машинобудування