วงเล็บเปิดคือตัวเลข วงเล็บขยาย - ความรู้ไฮเปอร์มาร์เก็ต

วงเล็บใช้เพื่อระบุลำดับการดำเนินการในนิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร ตลอดจนในนิพจน์ที่มีตัวแปร สะดวกในการส่งผ่านจากนิพจน์ที่มีวงเล็บปีกกาไปเหมือนกัน การแสดงออกที่เท่าเทียมกันไม่มีวงเล็บ เทคนิคนี้เรียกว่าการเปิดวงเล็บ

การขยายวงเล็บหมายถึงการกำจัดนิพจน์ของวงเล็บเหล่านี้

อีกประเด็นหนึ่งสมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษซึ่งเกี่ยวข้องกับลักษณะเฉพาะของการเขียนวิธีแก้ปัญหาเมื่อเปิดวงเล็บ เราสามารถเขียนนิพจน์เริ่มต้นด้วยวงเล็บและผลลัพธ์ที่ได้หลังจากเปิดวงเล็บเป็นความเท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น หลังจากเปิดวงเล็บ แทนนิพจน์
3−(5−7) เราได้นิพจน์ 3−5+7 เราสามารถเขียนนิพจน์ทั้งสองนี้เป็นความเท่าเทียมกัน 3−(5−7)=3−5+7

และอีกอย่างหนึ่ง จุดสำคัญ. ในวิชาคณิตศาสตร์ เพื่อลดจำนวนรายการ เป็นเรื่องปกติที่จะไม่เขียนเครื่องหมายบวกหากเป็นตัวแรกในนิพจน์หรือในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น หากเราบวกจำนวนบวกสองจำนวน เช่น เจ็ดและสาม เราจะไม่เขียน +7 + 3 แต่เขียนเพียง 7 + 3 แม้ว่าเจ็ดจะเป็นจำนวนบวกก็ตาม ในทำนองเดียวกัน ถ้าคุณเห็นนิพจน์ (5 + x) - รู้ว่ามีเครื่องหมายบวกอยู่ด้านหน้าวงเล็บซึ่งไม่ได้เขียนไว้ และมีเครื่องหมายบวก + (+5 + x) อยู่ด้านหน้าเครื่องหมาย ห้า.

กฎการขยายวงเล็บสำหรับการเพิ่มเติม

เมื่อเปิดวงเล็บเหลี่ยม หากมีเครื่องหมายบวกก่อนวงเล็บเหลี่ยม เครื่องหมายบวกนี้จะถูกละเว้นพร้อมกับวงเล็บเหลี่ยม

ตัวอย่าง. เปิดวงเล็บในนิพจน์ 2 + (7 + 3) ก่อนเครื่องหมายวงเล็บ plus จากนั้นอักขระที่อยู่ข้างหน้าตัวเลขในวงเล็บจะไม่เปลี่ยนแปลง

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

กฎการขยายวงเล็บเมื่อลบ

หากมีเครื่องหมายลบก่อนวงเล็บเหลี่ยม เครื่องหมายลบนี้จะถูกละเว้นพร้อมกับเครื่องหมายวงเล็บ แต่คำที่อยู่ในวงเล็บจะเปลี่ยนเครื่องหมายไปทางตรงกันข้าม การไม่มีเครื่องหมายก่อนเทอมแรกในวงเล็บหมายถึงเครื่องหมาย +

ตัวอย่าง. เปิดวงเล็บในนิพจน์ 2 − (7 + 3)

มีเครื่องหมายลบก่อนวงเล็บ ดังนั้นคุณต้องเปลี่ยนเครื่องหมายก่อนตัวเลขจากวงเล็บ ไม่มีเครื่องหมายในวงเล็บก่อนเลข 7 ซึ่งหมายความว่าเจ็ดเป็นค่าบวก ถือว่าเครื่องหมาย + อยู่ข้างหน้า

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

เมื่อเปิดวงเล็บ เราจะลบเครื่องหมายลบออกจากตัวอย่าง ซึ่งอยู่ก่อนวงเล็บเหลี่ยม และตัววงเล็บเอง 2 − (+ 7 + 3) และเปลี่ยนเครื่องหมายที่อยู่ในวงเล็บเป็นเครื่องหมายตรงข้าม

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

วงเล็บขยายเมื่อคูณ

หากมีเครื่องหมายคูณอยู่หน้าวงเล็บ ตัวเลขแต่ละตัวในวงเล็บจะถูกคูณด้วยตัวประกอบที่อยู่ด้านหน้าวงเล็บ ในเวลาเดียวกัน การคูณลบด้วยลบให้บวก และการคูณลบด้วยบวก เช่น การคูณบวกด้วยลบ ได้ลบ

ดังนั้นวงเล็บในผลิตภัณฑ์จึงถูกขยายตามคุณสมบัติการกระจายของการคูณ

ตัวอย่าง. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

เมื่อคูณวงเล็บด้วยวงเล็บ แต่ละเทอมของวงเล็บแรกจะถูกคูณด้วยวงเล็บที่สองทุกเทอม

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

อันที่จริง ไม่จำเป็นต้องจำกฎทั้งหมด แค่เพียงกฎเดียวเท่านั้น: c(a−b)=ca−cb ทำไม เพราะถ้าเราแทนที่หนึ่งแทน c เราจะได้กฎ (a−b)=a−b และถ้าเราแทนลบหนึ่ง เราจะได้กฎ −(a−b)=−a+b ถ้าคุณเปลี่ยนวงเล็บอื่นแทน c คุณจะได้กฎข้อสุดท้าย

ขยายวงเล็บเมื่อหาร

หากมีเครื่องหมายหารหลังวงเล็บ ตัวเลขแต่ละตัวในวงเล็บจะถูกหารด้วยตัวหารหลังวงเล็บ และในทางกลับกัน

ตัวอย่าง. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

วิธีขยายวงเล็บซ้อน

หากนิพจน์มีวงเล็บที่ซ้อนกัน วงเล็บจะถูกขยายตามลำดับ โดยเริ่มจากภายนอกหรือภายใน

ในเวลาเดียวกัน เมื่อเปิดวงเล็บปีกกาอันใดอันหนึ่ง เป็นสิ่งสำคัญที่จะไม่แตะต้องวงเล็บอื่น ๆ เพียงเขียนใหม่ตามที่เป็นอยู่

ตัวอย่าง. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

เพื่อสร้างความสามารถในการเปิดวงเล็บโดยคำนึงถึงเครื่องหมายด้านหน้าวงเล็บ

กำลังพัฒนา:

พัฒนา การคิดอย่างมีตรรกะ, ความสนใจ, คำพูดทางคณิตศาสตร์, ความสามารถในการวิเคราะห์, เปรียบเทียบ, สรุป, วาดข้อสรุป;

นักการศึกษา:

การก่อตัวของความรับผิดชอบความสนใจทางปัญญาในเรื่อง

ระหว่างเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร

ลองดูเพื่อน
คุณพร้อมสำหรับบทเรียนหรือไม่?
ทุกอย่างอยู่ในสถานที่หรือไม่? ทุกอย่างปกติดี?
ปากกา หนังสือ และสมุดบันทึก
ทุกคนนั่งถูกต้องหรือไม่?
ทุกคนเฝ้าดูอย่างใกล้ชิด?

ฉันต้องการเริ่มบทเรียนด้วยคำถามสำหรับคุณ:

คุณคิดว่าอะไรคือสิ่งที่มีค่าที่สุดในโลก? (คำตอบของเด็ก)

คำถามนี้สร้างปัญหาให้กับมนุษยชาติมาเป็นเวลาหลายพันปี นี่คือคำตอบของนักวิทยาศาสตร์ชื่อดัง Al-Biruni: “ความรู้คือการครอบครองที่ยอดเยี่ยมที่สุด ทุกคนพยายามเพื่อมัน แต่มันไม่ได้มาด้วยตัวเอง”

ให้คำเหล่านี้เป็นคำขวัญของบทเรียนของเรา

ครั้งที่สอง การทำให้เป็นจริงของความรู้ ทักษะ ทักษะก่อนหน้า:

การนับด้วยวาจา:

1.1. วันนี้วันอะไร?

2. คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเลข 20 บ้าง?

3. และหมายเลขนี้อยู่ที่ไหนบนเส้นพิกัด?

4. ตั้งชื่อหมายเลขย้อนกลับของเขา

5. ตั้งชื่อตัวเลขตรงข้ามกับมัน

6. ชื่อหมายเลข - 20 คืออะไร?

7. ตัวเลขใดที่เรียกว่าตรงกันข้าม?

8. ตัวเลขอะไรเรียกว่าลบ?

9. โมดูลัสของจำนวน 20 คืออะไร? - ยี่สิบ?

10. ผลรวมของจำนวนตรงข้ามคืออะไร?

2. อธิบายรายการต่อไปนี้:

ก) นักคณิตศาสตร์โบราณของอัจฉริยะอาร์คิมิดีสเกิดเมื่อ 0 287 ปีก่อนคริสตกาล

b) นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียผู้เก่งกาจ N.I. Lobachevsky เกิดเมื่อปี พ.ศ. 2335

แรก การแข่งขันกีฬาโอลิมปิกเกิดขึ้นที่ประเทศกรีซในปี ค.ศ. 776

d) การแข่งขันกีฬาโอลิมปิกสากลครั้งแรกเกิดขึ้นในปี พ.ศ. 2439

จ) กีฬาโอลิมปิกฤดูหนาวครั้งที่ XXII เกิดขึ้นในปี 2014

3. ค้นหาว่าตัวเลขใดหมุนอยู่บน "วงล้อคณิตศาสตร์" (การดำเนินการทั้งหมดจะดำเนินการด้วยวาจา)

ครั้งที่สอง การก่อตัวของความรู้ทักษะและความสามารถใหม่

คุณได้เรียนรู้วิธีการดำเนินการต่าง ๆ ด้วยจำนวนเต็ม เราจะทำอย่างไรต่อไป? เราจะแก้ตัวอย่างและสมการได้อย่างไร

มาหาความหมายของสำนวนเหล่านี้กัน

7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0

มีขั้นตอนอย่างไรใน 1 ตัวอย่าง? ในวงเล็บเท่าไหร่คะ? ลำดับของการกระทำในตัวอย่างที่สอง? ผลของการกระทำครั้งแรก? สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับนิพจน์เหล่านี้?

แน่นอน ผลลัพธ์ของนิพจน์แรกและนิพจน์ที่สองเหมือนกัน ดังนั้น คุณสามารถใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างพวกเขา: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

เราทำอะไรกับวงเล็บ? (สูญหาย.)

คุณคิดว่าเราจะทำอะไรในชั้นเรียนวันนี้? (เด็ก ๆ กำหนดหัวข้อของบทเรียน) ในตัวอย่างของเรา เครื่องหมายอะไรอยู่หน้าวงเล็บ (เป็นบวก.)

และเรามาถึงกฎข้อถัดไป:

หากมีเครื่องหมาย + อยู่หน้าเครื่องหมายวงเล็บ คุณสามารถละเครื่องหมายวงเล็บและเครื่องหมาย + นี้ได้ โดยคงเครื่องหมายของเงื่อนไขไว้ในวงเล็บ หากคำแรกในวงเล็บเขียนโดยไม่มีเครื่องหมาย จะต้องเขียนด้วยเครื่องหมาย +

แต่ถ้ามีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บล่ะ

ในกรณีนี้ คุณต้องให้เหตุผลแบบเดียวกับการลบ: คุณต้องบวกตัวเลขตรงข้ามกับตัวเลขที่กำลังลบ:

7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

- ดังนั้นเราจึงเปิดวงเล็บเมื่อมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า

กฎการขยายวงเล็บเมื่อมีเครื่องหมาย "-" อยู่ด้านหน้าวงเล็บ

ในการเปิดวงเล็บที่นำหน้าด้วยเครื่องหมาย - คุณต้องแทนที่เครื่องหมายนี้ด้วย + เปลี่ยนเครื่องหมายของเงื่อนไขทั้งหมดในวงเล็บเป็นเครื่องหมายตรงข้าม จากนั้นเปิดวงเล็บ

มาฟังกฎสำหรับการเปิดวงเล็บในข้อ:

มีเครื่องหมายบวกอยู่หน้าวงเล็บ
เขาพูดถึงมัน
คุณกำลังวางวงเล็บอะไร
ปล่อยให้สัญญาณทั้งหมดออกไป!
ก่อนวงเล็บลบเข้มงวด
จะขวางทางเรา
การถอดวงเล็บ
เราต้องเปลี่ยนป้าย!

ใช่พวกเครื่องหมายลบนั้นร้ายกาจมากมันเป็น "ยาม" ที่ประตู (วงเล็บ) มันปล่อยตัวเลขและตัวแปรเฉพาะเมื่อพวกเขาเปลี่ยน "หนังสือเดินทาง" นั่นคือสัญญาณของพวกเขา

ทำไมคุณต้องเปิดวงเล็บเลย? (เมื่อมีวงเล็บก็มีโมเมนต์ของความไม่ครบถ้วนบ้าง ลึกลับบ้าง แบบว่า ประตูปิดข้างหลังเป็นสิ่งที่น่าสนใจ) วันนี้เราได้เรียนรู้เคล็ดลับนี้แล้ว

การพูดนอกเรื่องเล็กน้อยในประวัติศาสตร์:

วงเล็บปีกกาปรากฏในงานเขียนของ Vieta (1593) วงเล็บถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 18 เท่านั้น ต้องขอบคุณ Leibniz และยิ่งกว่านั้นสำหรับออยเลอร์

ฟิซกุลทมินูทก้า.

สาม. การรวบรวมความรู้ ทักษะ และความสามารถใหม่ๆ

งานหนังสือเรียน:

หมายเลข 1234 (วงเล็บเปิด) - ปากเปล่า

หมายเลข 1236 (วงเล็บเปิด) - ปากเปล่า

ลำดับที่ 1235 (ค้นหาความหมายของนิพจน์) - เป็นลายลักษณ์อักษร

หมายเลข 1238 (ลดความซับซ้อนของนิพจน์) - ทำงานเป็นคู่

IV. สรุปบทเรียน.

1. ประกาศคะแนน

2. บ้าน. ออกกำลังกาย. 39 หมายเลข 1254 (a, b, c), 1255 (a, b, c), 1259.

3. วันนี้เราได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

คุณได้เรียนรู้อะไร

และฉันต้องการจบบทเรียนด้วยความปรารถนาดีสำหรับคุณแต่ละคน:

“แสดงความสามารถทางคณิตศาสตร์
อย่าขี้เกียจ แต่พัฒนาทุกวัน
ทวีคูณ, แบ่ง, แรงงาน, คิด,
อย่าลืมเป็นเพื่อนกับคณิตศาสตร์

หน้าที่หลักของวงเล็บคือเปลี่ยนลำดับของการกระทำเมื่อคำนวณค่า ตัวอย่างเช่นในนิพจน์ตัวเลข \(5 3+7\) การคูณจะถูกคำนวณก่อน แล้วจึงบวก: \(5 3+7 =15+7=22\) แต่ในนิพจน์ \(5·(3+7)\) การเพิ่มในวงเล็บจะถูกคำนวณก่อน แล้วจึงคูณเท่านั้น: \(5·(3+7)=5·10=50\)

ตัวอย่าง. ขยายวงเล็บ: \(-(4m+3)\)
วิธีการแก้ : \(-(4m+3)=-4m-3\)

ตัวอย่าง. ขยายวงเล็บเหลี่ยมและกำหนดเงื่อนไขเหมือน \(5-(3x+2)+(2+3x)\)
วิธีการแก้ : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

ตัวอย่าง. ขยายวงเล็บเหลี่ยม \(5(3-x)\)
วิธีการแก้ : เรามี \(3\) และ \(-x\) อยู่ในวงเล็บ และห้าหน้าวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าสมาชิกแต่ละคนในวงเล็บจะถูกคูณด้วย \ (5 \) - ฉันเตือนคุณว่า เครื่องหมายคูณระหว่างตัวเลขและวงเล็บในวิชาคณิตศาสตร์ไม่ได้เขียนเพื่อลดขนาดของระเบียน.

ตัวอย่าง. ขยายวงเล็บเหลี่ยม \(-2(-3x+5)\)
วิธีการแก้ : ดังในตัวอย่างก่อนหน้านี้ \(-3x\) และ \(5\) ในวงเล็บจะถูกคูณด้วย \(-2\)

ตัวอย่าง. ลดความซับซ้อนของนิพจน์: \(5(x+y)-2(x-y)\)
วิธีการแก้ : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\)

ยังคงต้องพิจารณาสถานการณ์สุดท้าย

เมื่อคูณวงเล็บด้วยวงเล็บ แต่ละเทอมของวงเล็บแรกจะถูกคูณด้วยทุกๆ เทอมของวงเล็บที่สอง:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

ตัวอย่าง. ขยายวงเล็บ \((2-x)(3x-1)\)
วิธีการแก้ : เรามีผลิตภัณฑ์วงเล็บและสามารถเปิดได้ทันทีโดยใช้สูตรข้างต้น แต่เพื่อไม่ให้สับสนให้ทำทุกอย่างทีละขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 ลบวงเล็บแรก - สมาชิกแต่ละคนคูณด้วยวงเล็บที่สอง:

ขั้นตอนที่ 2 ขยายผลิตภัณฑ์ของวงเล็บตามปัจจัยดังที่อธิบายไว้ข้างต้น:
- คนแรกก่อน...

จากนั้นครั้งที่สอง

ขั้นตอนที่ 3 ตอนนี้เราคูณและนำเงื่อนไขที่คล้ายกัน:

ไม่จำเป็นต้องลงรายละเอียดการแปลงทั้งหมด คุณสามารถคูณได้ทันที แต่ถ้าคุณเพิ่งหัดเปิดวงเล็บ - เขียนให้ละเอียด จะมีโอกาสผิดพลาดน้อยลง

หมายเหตุถึงส่วนทั้งหมดที่จริงแล้ว คุณไม่จำเป็นต้องจำกฎทั้งสี่ข้อ คุณต้องจำกฎเพียงข้อเดียว ข้อนี้: \(c(a-b)=ca-cb\) ทำไม เพราะถ้าเราแทนที่หนึ่งแทน c เราจะได้กฎ \((a-b)=a-b\) และถ้าเราแทนลบหนึ่ง เราจะได้กฎ \(-(a-b)=-a+b\) ถ้าคุณเปลี่ยนวงเล็บอื่นแทน c คุณจะได้กฎข้อสุดท้าย

วงเล็บในวงเล็บ

บางครั้งในทางปฏิบัติอาจมีปัญหากับวงเล็บเหลี่ยมซ้อนอยู่ภายในวงเล็บเหลี่ยมอื่นๆ นี่คือตัวอย่างของงานดังกล่าว: เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ \(7x+2(5-(3x+y))\)

เพื่อให้งานเหล่านี้ประสบความสำเร็จ คุณต้อง:
- ทำความเข้าใจการวางซ้อนของวงเล็บอย่างละเอียด - อันไหนอยู่
- เปิดวงเล็บตามลำดับโดยเริ่มจากวงเล็บในสุด

เป็นสิ่งสำคัญเมื่อเปิดวงเล็บหนึ่งอัน อย่าสัมผัสส่วนที่เหลือของนิพจน์เพียงแค่เขียนใหม่ตามที่เป็นอยู่
ลองใช้งานข้างต้นเป็นตัวอย่าง

ตัวอย่าง. เปิดวงเล็บและใส่เงื่อนไข \(7x+2(5-(3x+y))\)
วิธีการแก้:

ตัวอย่าง. ขยายวงเล็บและให้เงื่อนไขเหมือน \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\)
วิธีการแก้ :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		นี่คือวงเล็บสามซ้อนกัน เราเริ่มต้นด้วยอันในสุด (เน้นด้วยสีเขียว) มีเครื่องหมายบวกอยู่ด้านหน้าวงเล็บ ดังนั้นจึงนำออกง่ายๆ
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		ตอนนี้ คุณต้องเปิดวงเล็บเหลี่ยมที่สอง ตรงกลาง แต่ก่อนหน้านั้น เราจะลดความซับซ้อนของนิพจน์โดยการโกสต์คำที่คล้ายกันในวงเล็บที่สองนี้
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		ตอนนี้เราเปิดวงเล็บที่สอง (เน้นด้วยสีน้ำเงิน) มีตัวคูณอยู่หน้าวงเล็บ - ดังนั้นแต่ละเทอมในวงเล็บจึงคูณด้วยตัวคูณ
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		และเปิดวงเล็บสุดท้าย ก่อนเครื่องหมายวงเล็บลบ - เครื่องหมายทั้งหมดจะกลับด้าน

การเปิดวงเล็บเป็นทักษะพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์ หากไม่มีทักษะนี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะมีเกรดที่สูงกว่าสามในเกรด 8 และ 9 ดังนั้นฉันจึงแนะนำให้เข้าใจหัวข้อนี้เป็นอย่างดี

ในบทความนี้ เราจะพิจารณารายละเอียดกฎพื้นฐานสำหรับหัวข้อสำคัญในหลักสูตรคณิตศาสตร์ เช่น วงเล็บเปิด คุณจำเป็นต้องรู้กฎสำหรับการเปิดวงเล็บเพื่อแก้สมการที่ใช้อย่างถูกต้อง

วิธีเปิดวงเล็บอย่างถูกต้องเมื่อเพิ่ม

ขยายวงเล็บนำหน้าด้วยเครื่องหมาย "+"

นี่เป็นกรณีที่ง่ายที่สุด เพราะหากมีเครื่องหมายเพิ่มเติมที่ด้านหน้าของวงเล็บ เมื่อเปิดวงเล็บ เครื่องหมายในวงเล็บจะไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่าง:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

วิธีเปิดวงเล็บนำหน้าด้วยเครื่องหมาย "-"

ในกรณีนี้ คุณต้องเขียนเงื่อนไขทั้งหมดใหม่โดยไม่มีวงเล็บ แต่ในขณะเดียวกันก็เปลี่ยนเครื่องหมายทั้งหมดที่อยู่ภายในเป็นคำตรงกันข้าม เครื่องหมายจะเปลี่ยนเฉพาะสำหรับเงื่อนไขจากวงเล็บที่นำหน้าด้วยเครื่องหมาย "-" ตัวอย่าง:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

วิธีเปิดวงเล็บเมื่อคูณ

วงเล็บนำหน้าด้วยตัวคูณ

ในกรณีนี้ คุณต้องคูณแต่ละเทอมด้วยตัวประกอบและเปิดวงเล็บโดยไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย หากตัวคูณมีเครื่องหมาย "-" เมื่อคูณ เครื่องหมายของเงื่อนไขจะกลับกัน ตัวอย่าง:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

วิธีเปิดวงเล็บสองอันที่มีเครื่องหมายคูณระหว่างกัน

ในกรณีนี้ คุณต้องคูณแต่ละเทอมจากวงเล็บแรกกับแต่ละเทอมจากวงเล็บที่สอง แล้วบวกผลลัพธ์ ตัวอย่าง:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

วิธีเปิดวงเล็บเหลี่ยม

หากผลรวมหรือผลต่างของพจน์สองพจน์เป็นกำลังสอง วงเล็บควรขยายตามสูตรต่อไปนี้:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2

ในกรณีของเครื่องหมายลบในวงเล็บ สูตรจะไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่าง:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

วิธีเปิดวงเล็บในระดับต่างๆ

หากผลรวมหรือส่วนต่างของเงื่อนไขเพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น ยกกำลัง 3 หรือ 4 คุณเพียงแค่แบ่งระดับของวงเล็บเป็น "กำลังสอง" กำลังของปัจจัยเดียวกันจะถูกเพิ่มเข้าไป และเมื่อทำการหาร ระดับของตัวหารจะถูกลบออกจากระดับของเงินปันผล ตัวอย่าง:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

วิธีเปิด 3 วงเล็บ

มีสมการที่คูณ 3 วงเล็บในครั้งเดียว ในกรณีนี้ คุณต้องคูณเงื่อนไขของสองวงเล็บแรกระหว่างกัน จากนั้นคูณผลรวมของการคูณนี้ด้วยเงื่อนไขของวงเล็บที่สาม ตัวอย่าง:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

กฎการเปิดวงเล็บเหล่านี้ใช้กับสมการเชิงเส้นและตรีโกณมิติอย่างเท่าเทียมกัน

การขยายวงเล็บคือการแปลงนิพจน์ประเภทหนึ่ง ในส่วนนี้ เราจะอธิบายกฎสำหรับการขยายวงเล็บ รวมทั้งพิจารณาตัวอย่างทั่วไปของงาน

Yandex.RTB R-A-339285-1

การขยายวงเล็บคืออะไร?

วงเล็บใช้เพื่อระบุลำดับการดำเนินการในนิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร ตลอดจนในนิพจน์ที่มีตัวแปร สะดวกในการส่งผ่านจากนิพจน์ที่มีวงเล็บเหลี่ยมไปยังนิพจน์ที่เท่ากันโดยไม่มีวงเล็บ ตัวอย่างเช่น แทนที่นิพจน์ 2 (3 + 4) ด้วยนิพจน์ like 2 3 + 2 4ไม่มีวงเล็บ เทคนิคนี้เรียกว่าการเปิดวงเล็บ

คำจำกัดความ 1

ภายใต้การเปิดวงเล็บ เราหมายถึงวิธีการกำจัดวงเล็บเหลี่ยมและมักจะพิจารณาเกี่ยวกับนิพจน์ที่อาจมี:

• เครื่องหมาย "+" หรือ "-" หน้าวงเล็บที่มีผลรวมหรือส่วนต่าง
• ผลคูณของตัวเลข ตัวอักษร หรือตัวอักษรหลายตัว และผลรวมหรือส่วนต่างซึ่งอยู่ในวงเล็บ

นี่คือวิธีที่เราใช้พิจารณาขั้นตอนการเปิดวงเล็บในรายวิชา หลักสูตรโรงเรียน. อย่างไรก็ตาม ไม่มีใครขัดขวางเราไม่ให้พิจารณาการกระทำนี้ในวงกว้าง เราสามารถเรียกการขยายวงเล็บว่าการเปลี่ยนจากนิพจน์ที่มีตัวเลขติดลบในวงเล็บเป็นนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ ตัวอย่างเช่น เราสามารถไปจาก 5 + (− 3) − (− 7) ถึง 5 − 3 + 7 . อันที่จริงนี่คือการขยายวงเล็บด้วย

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแทนที่ผลคูณของนิพจน์ในวงเล็บของแบบฟอร์ม (a + b) · (c + d) ด้วยผลรวม a · c + a · d + b · c + b · d เทคนิคนี้ไม่ได้ขัดแย้งกับความหมายของการขยายวงเล็บ

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง เราสามารถสรุปได้ว่าในนิพจน์ แทนที่จะเป็นตัวเลขและตัวแปร สามารถใช้นิพจน์ใดๆ ได้ ตัวอย่างเช่น นิพจน์ x 2 1 a - x + sin (b) จะสอดคล้องกับนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บของรูปแบบ x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b)

อีกประเด็นหนึ่งสมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษ ซึ่งเกี่ยวข้องกับลักษณะเฉพาะของการเขียนวิธีแก้ปัญหาเมื่อเปิดวงเล็บเหลี่ยม เราสามารถเขียนนิพจน์เริ่มต้นด้วยวงเล็บและผลลัพธ์ที่ได้หลังจากเปิดวงเล็บเป็นความเท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น หลังจากเปิดวงเล็บ แทนนิพจน์ 3 − (5 − 7) เราได้รับนิพจน์ 3 − 5 + 7 . เราสามารถเขียนนิพจน์ทั้งสองนี้เป็นความเท่าเทียมกัน 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7

การดำเนินการกับสำนวนที่ยุ่งยากอาจต้องมีการบันทึกผลลัพธ์ขั้นกลาง แล้วการแก้ปัญหาจะมีรูปแบบของห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 หรือ 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

กฎการเปิดวงเล็บ ตัวอย่าง

เริ่มจากกฎการเปิดวงเล็บกันก่อน

ตัวเลขเดี่ยวในวงเล็บ

ตัวเลขติดลบในวงเล็บมักปรากฏในนิพจน์ ตัวอย่างเช่น (− 4) และ 3 + (− 4) ตัวเลขบวกในวงเล็บก็เกิดขึ้นเช่นกัน

ให้เรากำหนดกฎสำหรับการเปิดวงเล็บที่มีตัวเลขบวกเดี่ยว สมมติว่า a เป็นจำนวนบวกใดๆ จากนั้นเราสามารถแทนที่ (a) ด้วย a, + (a) ด้วย + a, - (a) ด้วย - a หากเราใช้ตัวเลขเฉพาะแทน a แล้วตามกฎ: หมายเลข (5) จะถูกเขียนเป็น 5 นิพจน์ 3 + (5) ที่ไม่มีวงเล็บจะอยู่ในรูปแบบ 3 + 5 เนื่องจาก + (5) ถูกแทนที่ด้วย + 5 และนิพจน์ 3 + (− 5) เทียบเท่ากับนิพจน์ 3 − 5 , เพราะ + (− 5) ถูกแทนที่ด้วย − 5 .

ตัวเลขที่เป็นบวกมักจะเขียนโดยไม่ต้องใช้วงเล็บ เนื่องจากวงเล็บจะซ้ำซ้อนในกรณีนี้

ตอนนี้ให้พิจารณากฎสำหรับการเปิดวงเล็บที่มีตัวเลขติดลบเดียว + (−ก)เราแทนที่ด้วย −, − (− a) ถูกแทนที่ด้วย + a ถ้านิพจน์เริ่มต้นด้วยจำนวนลบ (-ก)ซึ่งเขียนในวงเล็บแล้ววงเล็บจะถูกละเว้นและแทน (-ก)ซาก −.

นี่คือตัวอย่างบางส่วน: (− 5) สามารถเขียนเป็น − 5 , (− 3) + 0 , 5 กลายเป็น − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) กลายเป็น 4 − 3 , และ − (− 4) − (− 3) หลังจากเปิดวงเล็บจะมีรูปแบบ 4 + 3 เนื่องจาก − (− 4) และ − (− 3) ถูกแทนที่ด้วย +4 และ +3

ควรเข้าใจว่านิพจน์ 3 · (− 5) ไม่สามารถเขียนเป็น 3 · − 5 นี้จะกล่าวถึงในย่อหน้าต่อไปนี้

มาดูกันว่ากฎการขยายวงเล็บมีพื้นฐานมาจากอะไร

ตามกฎแล้ว ผลต่าง a − b เท่ากับ a + (− b) ตามคุณสมบัติของการกระทำกับตัวเลข เราสามารถสร้างห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกันได้ (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = aซึ่งจะเป็นธรรม ห่วงโซ่แห่งความเท่าเทียมกันนี้โดยอาศัยความหมายของการลบ พิสูจน์ว่านิพจน์ a + (− b) คือความแตกต่าง a-b.

จากคุณสมบัติของจำนวนตรงข้ามและกฎสำหรับการลบจำนวนลบ เราสามารถยืนยันได้ว่า − (− a) = a , a − (− b) = a + b

มีนิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเลข เครื่องหมายลบ และวงเล็บหลายคู่ การใช้กฎข้างต้นทำให้คุณสามารถกำจัดวงเล็บปีกกาตามลำดับ โดยย้ายจากวงเล็บในไปยังวงเล็บด้านนอก หรือในทางกลับกัน ตัวอย่างของนิพจน์ดังกล่าวจะเป็น − (− ((– (5))))) มาเปิดวงเล็บโดยเลื่อนจากด้านในไปด้านนอก: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . ตัวอย่างนี้สามารถแยกวิเคราะห์ย้อนกลับได้: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

ภายใต้ เอและ b สามารถเข้าใจได้ไม่เพียง แต่เป็นตัวเลขเท่านั้น แต่ยังเข้าใจเป็นตัวเลขหรือ นิพจน์ตามตัวอักษรด้วยเครื่องหมาย "+" ข้างหน้าที่ไม่ใช่ผลรวมหรือส่วนต่าง ในกรณีเหล่านี้ คุณสามารถใช้กฎในลักษณะเดียวกับที่เราทำกับตัวเลขเดี่ยวในวงเล็บ

ตัวอย่างเช่น หลังจากเปิดวงเล็บ นิพจน์ − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z)ใช้รูปแบบ 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z . เราทำมันได้อย่างไร? เรารู้ว่า − (− 2 x) คือ + 2 x และเนื่องจากนิพจน์นี้มาก่อน ดังนั้น +2 x สามารถเขียนเป็น 2 x ได้ - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x และ − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

ในผลิตภัณฑ์ของสองตัวเลข

เริ่มจากกฎการขยายวงเล็บในผลคูณของตัวเลขสองตัว

มาแสร้งทำเป็นว่า เอและ b เป็นจำนวนบวกสองจำนวน ในกรณีนี้ ผลคูณของจำนวนลบสองตัว −และ − b ของรูปแบบ (− a) (− b) สามารถแทนที่ด้วย (a b) และผลคูณของตัวเลขสองตัวที่มีเครื่องหมายตรงข้ามของรูปแบบ (− a) b และ a (− b) สามารถแทนที่ด้วย (- ข). การคูณลบด้วยลบให้บวก และการคูณลบด้วยบวก เช่น การคูณบวกด้วยลบ ได้ ลบ

ความถูกต้องของส่วนแรกของกฎที่เป็นลายลักษณ์อักษรได้รับการยืนยันโดยกฎสำหรับการคูณจำนวนลบ เพื่อยืนยันส่วนที่สองของกฎ เราสามารถใช้กฎสำหรับการคูณตัวเลขกับ สัญญาณต่างๆ.

มาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง 1

พิจารณาอัลกอริทึมสำหรับการเปิดวงเล็บในผลคูณของจำนวนลบสองตัว - 4 3 5 และ - 2 ของรูปแบบ (- 2) · - 4 3 5 . เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราแทนที่นิพจน์เดิมด้วย 2 · 4 3 5 . มาขยายวงเล็บและรับ 2 · 4 3 5 .

และถ้าเราหาผลหารของจำนวนลบ (− 4) : (− 2) แล้วบันทึกหลังจากเปิดวงเล็บจะมีลักษณะดังนี้ 4: 2

แทนที่จะเป็นตัวเลขติดลบ −และ − b สามารถเป็นนิพจน์ใดๆ ที่มีเครื่องหมายลบนำหน้าซึ่งไม่ใช่ผลรวมหรือส่วนต่าง ตัวอย่างเช่น สิ่งเหล่านี้อาจเป็นผลคูณ, บางส่วน, เศษส่วน, องศา, รูท, ลอการิทึม, ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นต้น

เปิดวงเล็บในนิพจน์ - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) ตามกฎแล้ว เราสามารถทำการแปลงต่อไปนี้ได้: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .

การแสดงออก (− 3) 2สามารถแปลงเป็นนิพจน์ได้ (− 3 2) . หลังจากนั้นคุณสามารถเปิดวงเล็บ: − 3 2.

2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5

การหารตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกันอาจต้องมีการขยายวงเล็บเบื้องต้น: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 และ 2 3 4: (- 3 , 5) = - 2 3 4: 3 , 5 = - 2 3 4: 3 , 5 .

กฎสามารถใช้ในการคูณและหารนิพจน์ที่มีเครื่องหมายต่างกันได้ ให้สองตัวอย่าง

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

บาป (x) (- x 2) \u003d (- บาป (x) x 2) \u003d - บาป (x) x 2

ในผลิตภัณฑ์ที่มีตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป

มาต่อกันที่ผลิตภัณฑ์และผลหารซึ่งมี ปริมาณมากตัวเลข สำหรับวงเล็บขยาย จะทำหน้าที่ กฎถัดไป. ที่ เลขคู่ตัวเลขติดลบ คุณสามารถละวงเล็บ แทนที่ตัวเลขด้วยค่าตรงกันข้าม หลังจากนั้น คุณต้องใส่นิพจน์ผลลัพธ์ในวงเล็บใหม่ สำหรับจำนวนลบที่เป็นจำนวนคี่ โดยละเว้นวงเล็บ ให้แทนที่ตัวเลขด้วยค่าตรงข้าม หลังจากนั้นนิพจน์ผลลัพธ์จะต้องอยู่ในวงเล็บใหม่และใส่เครื่องหมายลบไว้ข้างหน้า

ตัวอย่าง 2

ตัวอย่างเช่น ลองใช้นิพจน์ 5 · (− 3) · (− 2) ซึ่งเป็นผลคูณของตัวเลขสามตัว มีตัวเลขติดลบสองตัว เราจึงเขียนนิพจน์ได้เป็น (5 3 2) จากนั้นในที่สุดก็เปิดวงเล็บ รับนิพจน์ 5 3 2

ในผลคูณ (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) ตัวเลขห้าตัวเป็นค่าลบ ดังนั้น (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1 , 25: 1) ในที่สุดเมื่อเปิดวงเล็บ เราก็ได้ −2.5 3:2 4:1.25:1.

กฎข้างต้นสามารถให้เหตุผลได้ดังนี้ อันดับแรก เราสามารถเขียนนิพจน์ดังกล่าวใหม่เป็นผลิตภัณฑ์ โดยแทนที่การหารด้วยการคูณด้วยส่วนกลับ เราแสดงจำนวนลบแต่ละรายการเป็นผลคูณของตัวคูณและแทนที่ - 1 หรือ - 1 ด้วย (− 1) ก.

โดยใช้สมบัติการสลับของการคูณ เราสลับตัวประกอบและถ่ายโอนตัวประกอบทั้งหมดเท่ากับ − 1 , ไปยังจุดเริ่มต้นของนิพจน์ ผลคูณของเลขคู่ลบหนึ่งเท่ากับ 1 และเลขคี่เท่ากับ − 1 ซึ่งช่วยให้เราใช้เครื่องหมายลบได้

หากเราไม่ได้ใช้กฎ ห่วงโซ่ของการดำเนินการสำหรับการเปิดวงเล็บเหลี่ยมในนิพจน์ - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 จะมีลักษณะดังนี้:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

กฎข้างต้นสามารถใช้เมื่อขยายวงเล็บปีกกาในนิพจน์ที่เป็นผลิตภัณฑ์และผลหารที่มีเครื่องหมายลบที่ไม่ใช่ผลรวมหรือส่วนต่าง ยกตัวอย่างนิพจน์

x 2 (- x) : (- 1 x) x - 3: 2 .

สามารถลดนิพจน์โดยไม่มีวงเล็บ x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .

วงเล็บเปิดนำหน้าด้วยเครื่องหมาย +

พิจารณากฎที่สามารถนำไปใช้กับวงเล็บขยายที่นำหน้าด้วยเครื่องหมายบวก และ "เนื้อหา" ของวงเล็บเหล่านี้จะไม่คูณหรือหารด้วยตัวเลขหรือนิพจน์ใดๆ

ตามกฎวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายด้านหน้าจะถูกละเว้นในขณะที่เครื่องหมายของคำศัพท์ทั้งหมดในวงเล็บจะถูกเก็บรักษาไว้ หากไม่มีเครื่องหมายนำหน้าพจน์แรกในวงเล็บ ให้ใส่เครื่องหมายบวก

ตัวอย่างที่ 3

ตัวอย่างเช่น เราให้นิพจน์ (12 − 3 , 5) − 7 . การไม่ใส่เครื่องหมายวงเล็บ เราจะเก็บเครื่องหมายของเงื่อนไขนั้นไว้ในวงเล็บและใส่เครื่องหมายบวกไว้หน้าเทอมแรก รายการจะมีลักษณะดังนี้ (12 − ​​​​3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . ในตัวอย่างข้างต้น ไม่จำเป็นต้องใส่เครื่องหมายไว้หน้าเทอมแรก เนื่องจาก +12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7

ตัวอย่างที่ 4

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง ใช้นิพจน์ x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x และดำเนินการกับมัน x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของการขยายวงเล็บ:

ตัวอย่างที่ 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2

วิธีขยายวงเล็บนำหน้าด้วยเครื่องหมายลบ

พิจารณากรณีที่มีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ และไม่ได้คูณ (หรือหาร) ด้วยตัวเลขหรือนิพจน์ใดๆ ตามกฎสำหรับการเปิดวงเล็บที่นำหน้าด้วยเครื่องหมาย "-" วงเล็บที่มีเครื่องหมาย "-" จะถูกละเว้น ในขณะที่เครื่องหมายของข้อกำหนดทั้งหมดภายในวงเล็บจะกลับกัน

ตัวอย่างที่ 6

ตัวอย่างเช่น:

1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2

นิพจน์ตัวแปรสามารถแปลงได้โดยใช้กฎเดียวกัน:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

เราได้รับ x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2

วงเล็บเปิดเมื่อคูณตัวเลขด้วยวงเล็บ นิพจน์ด้วยวงเล็บ

เราจะพิจารณากรณีที่จำเป็นต้องเปิดวงเล็บที่คูณหรือหารด้วยตัวเลขหรือนิพจน์ใดๆ นี่คือสูตรของแบบฟอร์ม (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) หรือ b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), ที่ไหน a 1 , 2 , … , nและ b คือตัวเลขหรือนิพจน์บางตัว

ตัวอย่าง 7

ตัวอย่างเช่น ลองขยายวงเล็บในนิพจน์ (3 - 7) 2. ตามกฎแล้ว เราสามารถทำการแปลงดังต่อไปนี้: (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . เราได้ 3 · 2 − 7 · 2 .

การขยายวงเล็บในนิพจน์ 3 x 2 1 - x + 1 x + 2 เราจะได้ 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2

คูณวงเล็บด้วยวงเล็บ

พิจารณาผลคูณของวงเล็บสองอันของแบบฟอร์ม (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . ซึ่งจะช่วยให้เราได้กฎการขยายวงเล็บเมื่อคูณวงเล็บด้วยวงเล็บ

เพื่อแก้ตัวอย่างข้างต้น เราแสดงว่านิพจน์ (ข 1 + ข 2)เช่น ข. ซึ่งจะทำให้เราใช้กฎการคูณนิพจน์วงเล็บ เราได้ (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b . โดยทำการทดแทนแบบย้อนกลับ ขใน (b 1 + b 2) ใช้กฎสำหรับการคูณนิพจน์ด้วยวงเล็บอีกครั้ง: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

ต้องขอบคุณกลเม็ดง่ายๆ หลายประการ เราสามารถหาผลรวมของผลคูณของแต่ละเงื่อนไขจากวงเล็บปีกกาแรกและแต่ละเงื่อนไขจากวงเล็บที่สองได้ กฎสามารถขยายไปยังเงื่อนไขจำนวนเท่าใดก็ได้ในวงเล็บ

ให้เรากำหนดกฎสำหรับการคูณวงเล็บด้วยวงเล็บ: เพื่อที่จะคูณสองผลรวมระหว่างกัน จำเป็นต้องคูณแต่ละเทอมของผลรวมแรกด้วยเงื่อนไขของผลรวมที่สองและเพิ่มผลลัพธ์

สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

มาขยายวงเล็บในนิพจน์ (1 + x) · (x 2 + x + 6) มันเป็นผลคูณของผลรวมสองผล มาเขียนคำตอบกัน: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

แยกกัน ควรคำนึงถึงกรณีเหล่านั้นเมื่อมีเครื่องหมายลบในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายบวก ตัวอย่างเช่น ลองใช้นิพจน์ (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3)

อันดับแรก เราแสดงนิพจน์ในวงเล็บเป็นผลรวม: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). ตอนนี้เราสามารถใช้กฎ: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 x y + ( − x) (− 2 x y 3))

มาขยายวงเล็บกัน: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .

วงเล็บขยายในผลิตภัณฑ์ของวงเล็บและนิพจน์ต่างๆ

หากมีนิพจน์สามรายการขึ้นไปในวงเล็บในนิพจน์ จำเป็นต้องขยายวงเล็บตามลำดับ จำเป็นต้องเริ่มต้นการเปลี่ยนแปลงด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าสองปัจจัยแรกอยู่ในวงเล็บ ภายในวงเล็บเหล่านี้ เราสามารถดำเนินการแปลงตามกฎที่กล่าวถึงข้างต้น ตัวอย่างเช่น วงเล็บในนิพจน์ (2 + 4) 3 (5 + 7 8)

นิพจน์ประกอบด้วยสามปัจจัยพร้อมกัน (2 + 4) , 3 และ (5 + 7 8) . เราจะขยายวงเล็บตามลำดับ เราใส่สองปัจจัยแรกไว้ในวงเล็บอีกอันหนึ่ง ซึ่งเราจะใส่สีแดงเพื่อความชัดเจน: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

ตามกฎของการคูณวงเล็บด้วยตัวเลข เราสามารถดำเนินการดังต่อไปนี้: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .

คูณวงเล็บด้วยวงเล็บ: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8

วงเล็บในประเภท

องศา ซึ่งเป็นฐานของนิพจน์บางตัวที่เขียนในวงเล็บ โดยมีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติถือเป็นผลคูณของวงเล็บหลายตัว นอกจากนี้ ตามกฎจากสองย่อหน้าก่อน พวกเขาสามารถเขียนได้โดยไม่ต้องวงเล็บเหล่านี้

พิจารณากระบวนการเปลี่ยนนิพจน์ (a + b + c) 2 . สามารถเขียนเป็นผลคูณของสองวงเล็บ (a + b + c) (a + b + c). เราคูณวงเล็บด้วยวงเล็บเหลี่ยมและรับ a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c

ลองมาอีกตัวอย่างหนึ่ง:

ตัวอย่างที่ 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2

การหารวงเล็บด้วยตัวเลขและวงเล็บด้วยวงเล็บ

การหารวงเล็บด้วยตัวเลขแสดงว่าคุณต้องหารด้วยตัวเลขที่อยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

ก่อนหน้านี้สามารถแทนที่หารด้วยการคูณหลังจากนั้นคุณสามารถใช้ กฎที่เหมาะสมเปิดวงเล็บในการทำงาน กฎเดียวกันนี้ใช้กับการหารวงเล็บด้วยวงเล็บ

ตัวอย่างเช่น เราต้องเปิดวงเล็บในนิพจน์ (x + 2) : 2 3 . ในการทำเช่นนี้ อันดับแรก เราแทนที่การหารด้วยการคูณด้วยส่วนกลับของ (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . คูณวงเล็บด้วยตัวเลข (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของการแบ่งวงเล็บ:

ตัวอย่างที่ 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

มาแทนที่การหารด้วยการคูณ: 1 x + x + 1 1 x + 2 .

ลองมาคูณกัน: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .

ลำดับการขยายวงเล็บ

ตอนนี้ให้พิจารณาลำดับการใช้กฎที่กล่าวถึงข้างต้นในนิพจน์ ปริทัศน์, เช่น. ในนิพจน์ที่มีผลรวมที่มีความแตกต่าง ผลิตภัณฑ์ที่มีผลหาร วงเล็บในประเภท

ลำดับของการกระทำ:

• ขั้นตอนแรกคือการยกวงเล็บให้เป็นพลังธรรมชาติ
• ในขั้นตอนที่สองวงเล็บจะเปิดขึ้นในที่ทำงานและเป็นส่วนตัว
• ขั้นตอนสุดท้ายคือการเปิดวงเล็บในผลรวมและส่วนต่าง

ลองพิจารณาลำดับของการกระทำโดยใช้ตัวอย่างของนิพจน์ (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . ให้เราแปลงจากนิพจน์ 3 (− 2) : (− 4) และ 6 (− 7) ซึ่งควรอยู่ในรูปแบบ (3 2:4)และ (− 6 7) . แทนที่ผลลัพธ์ที่ได้ลงในนิพจน์ดั้งเดิม เราได้รับ: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7 ). ขยายวงเล็บ: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 .

เมื่อจัดการกับนิพจน์ที่มีวงเล็บอยู่ในวงเล็บ จะสะดวกที่จะทำการแปลงจากภายในสู่ภายนอก

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter